Física Cuántica Partículas idénticas.

Transcripción

1 Física Cuántica Partículas idénticas. José Manuel López y Luis Enrique González Universidad de Valladolid Curso p. 1/18

2 Partículas idénticas Qué son varias partículas idénticas? Las que tienen las mismas propiedades intrínsecas: masa, carga, spin. Curso p. 2/18

3 Partículas idénticas Qué son varias partículas idénticas? Las que tienen las mismas propiedades intrínsecas: masa, carga, spin. Cómo se trata el problema clásicamente? Se distinguen segun su estado (posición y velocidad) en un instante determinado. Curso p. 2/18

4 Partículas idénticas Qué son varias partículas idénticas? Las que tienen las mismas propiedades intrínsecas: masa, carga, spin. Cómo se trata el problema clásicamente? Se distinguen segun su estado (posición y velocidad) en un instante determinado. Cuánticamente no se puede hacer lo mismo: Por ejemplo, si en una zona del espacio la probabilidad de encontrar dos partículas idénticas es no nula, entonces no podemos decir mediante un experimento cual de las dos se ha detectado. Curso p. 2/18

5 Choque entre 2 partículas idénticas en el sistema CM Inicialmente estan bien separadas y pueden etiquetarse (1) y (2) Curso p. 3/18

6 Choque entre 2 partículas idénticas en el sistema CM Inicialmente estan bien separadas y pueden etiquetarse (1) y (2) Durante el choque sus paquetes de onda solapan. Curso p. 3/18

7 Choque entre 2 partículas idénticas en el sistema CM Inicialmente estan bien separadas y pueden etiquetarse (1) y (2) Durante el choque sus paquetes de onda solapan. Finalmente una de ellas es detectada en D. Necesariamente la otra irá en el sentido contrario, debido a la conservación del momento. Curso p. 3/18

8 Tenemos 2 posibilidades que nos describen el estado medido: Cual es la correcta, la (a), la (b), determinada combinación lineal de ambas? No puede decidirse! Curso p. 4/18

9 Otro ejemplo: Dos partículas idénticas de spin 1/2. Sabemos que si efectuamos una medida completa del sistema conocemos cual es el estado del sistema después de esa medida. Medimos la componente z del spin de las dos partículas y obtenemos como resultado que una tiene como valor propio /2 y la otra /2. En el espacio de estados total ε = ε 1 ε 2 existen dos estados que corresponden a esa medida +, > y, + >, por tanto el estado del sistema será Φ >= α +, > +β, + > }{{} ( ) con α 2 + β 2 = 1 Curso p. 5/18

10 Otro ejemplo: Dos partículas idénticas de spin 1/2. Sabemos que si efectuamos una medida completa del sistema conocemos cual es el estado del sistema después de esa medida. Medimos la componente z del spin de las dos partículas y obtenemos como resultado que una tiene como valor propio /2 y la otra /2. En el espacio de estados total ε = ε 1 ε 2 existen dos estados que corresponden a esa medida +, > y, + >, por tanto el estado del sistema será Φ >= α +, > +β, + > }{{} ( ) con α 2 + β 2 = 1 El hecho de que las dos partículas sean idénticas introduce la DEGENERACIÓN DE INTERCAMBIO. Curso p. 5/18

11 Medimos ahora sobre el estado (*) S 1x y S 2x. Qué probabilidad tenemos de encontrar el valor /2 y /2? Recordemos: por tanto + > x = 1 2 ( + > + >) +, + > x = + > x + > x = 1 2 ( +, + > + +, > +, + > +, >) P( x, x ) = x < +, + Φ > 2 = 1 (α + β) 2 2 No son equivalentes todos los estados!!! Esto hace necesario añadir un nuevo postulado a los ya explicados anteriormente: Curso p. 6/18

12 Postulado 6 (de simetrización) Cuando en un sistema aparecen varias partículas idénticas solamente ciertos kets del espacio de estados representan estados físicamente aceptables (EFA): Los kets completamente antisimétricos respecto al intercambio de de partículas (fermiones) Los kets completamente simétricos respecto al intercambio de partículas (bosones). Además, se ha observado experimentalmente que: Las partículas con spin semientero (s = 1 2, 3 2, ) son fermiones. Las partículas con spin entero (s = 0, 1, 2, ) son bosones. Curso p. 7/18

13 Cómo se simetriza o antisimetriza un estado? N partículas idénticas que podemos situar en u 1 >, u 2 >,... u N > estados monoparticulares. 1. Asignamos a cada partícula un número y un estado y en el espacio ε = ε 1 ε 2 ε N formamos el producto tensorial de todos los de las N partículas: ψ 123 N >= 1 : u 1, 2 : u 2, 3 : u 3,,N : u N >= = 1 : u 1 > 2 : u 2 > N : u N > Curso p. 8/18

14 2. Formamos los estados obtenidos mediante todas las posibles permutaciones de los números asignados a cada partícula. Por ejemplo: ψ 213 N >= 2 : u 1, 1 : u 2, 3 : u 3,,N : u N >, ψ 231 N >, ψ 132 N >, 3a. Para bosones simetrizamos: Sumamos todos los estados obtenidos anteriormente y normalizamos. Curso p. 9/18

15 3b. Para fermiones antisimetrizamos: Multiplicamos cada estado por la paridad de su permutación (1 para permutaciones pares, -1 para permutaciones impares), sumamos los resultados y normalizamos. El resultado final es equivalente al llamado determinante de Slater: EFA >= 1 N!... 1 : u 1 > 1 : u 2 > 1 : u n > 2 : u 1 > 2 : u 2 > 2 : u N >. N : u 1 > N : u 2 > N : u N > Consecuencia: dos fermiones no pueden estar en el mismo estado cuántico: si u i >= u j > entonces EFA > 0 Este es el principio de exclusión de Pauli generalizado. Curso p. 10/18

16 Medidas para 2 partículas idénticas Consideremos un sistema de 2 partículas, una de ellas en el estado ϕ > y la otra en el estado χ > (que supondremos ortogonales). Sobre el sistema efectuamos una medida de una magnitud monoparticular B. Supongamos que los autovalores del operador asociado B forman un conjunto discreto y son no degenerados (B u i >= b i u i >). Queremos calcular la probabilidad de que la medida de B sea b n para una partícula y b m para la otra. Curso p. 11/18

17 Caso a: resultados distintos n m (b n b m, u n > u m > (1) Si se trata de partículas distinguibles ( clásicas") entonces podemos tomar como estado del sistema el 1 : ϕ, 2 : χ >, y dos posibilidades distintas de obtener b n y b m, a saber, 1 : u n, 2 : u m > y 1 : u m, 2 : u n >. La probabilidad pedida será por tanto la suma de las correspondientes a las 2 posibilidades: P c = < 1 : u n, 2 : u m 1 : ϕ, 2 : χ > 2 + < 1 : u m, 2 : u n 1 : ϕ, 2 : χ > 2 = = 2 + 2 Curso p. 12/18

18 (2) Si las partículas son idénticas tendremos (signo + para bosones, signo - para fermiones): El estado del sistema será ϕ; χ > ± = 1 2 ( 1 : ϕ, 2 : χ > ± 1 : χ, 2 : ϕ >) El estado propio asociado a obtener los resultados b n, b m : u n ; u m > ± = 1 2 ( 1 : u n, 2 : u m > ± 1 : u m, 2 : u n >) Y la probabilidad pedida es el modulo al cuadrado de su producto interno: P = ± ± 2 Curso p. 13/18

19 Haciendo las cuentas se obtiene: Curso p. 14/18

20 Haciendo las cuentas se obtiene: P c = 2 + 2 Curso p. 14/18

21 Haciendo las cuentas se obtiene: P c = 2 + 2 P f = 2 Curso p. 14/18

22 Haciendo las cuentas se obtiene: P c = 2 + 2 P f = 2 P b = }{{} término directo + }{{} 2 de intercambio Curso p. 14/18

23 Caso b: mismo nivel n = m (b m = b n, u m >= u n >) Curso p. 15/18

24 Caso b: mismo nivel n = m (b m = b n, u m >= u n >) (1) Distinguibles: Estado del sistema 1 : ϕ, 2 : χ >; estado asociado a la medida 1 : u n, 2 : u n >. Curso p. 15/18

25 Caso b: mismo nivel n = m (b m = b n, u m >= u n >) (1) Distinguibles: Estado del sistema 1 : ϕ, 2 : χ >; estado asociado a la medida 1 : u n, 2 : u n >. (2) Bosones: Estado del sistema ϕ; χ > + ; estado asociado a la medida u n ; u n > + 1 : u n, 2 : u n >. Curso p. 15/18

26 Caso b: mismo nivel n = m (b m = b n, u m >= u n >) (1) Distinguibles: Estado del sistema 1 : ϕ, 2 : χ >; estado asociado a la medida 1 : u n, 2 : u n >. (2) Bosones: Estado del sistema ϕ; χ > + ; estado asociado a la medida u n ; u n > + 1 : u n, 2 : u n >. (3) Fermiones: Estado del sistema: ϕ; χ > ; estado asociado a la medida u n ; u n > 0 (principio de exclusion). Curso p. 15/18

27 Haciendo las cuentas resulta Curso p. 16/18

28 Haciendo las cuentas resulta P c = 2 Curso p. 16/18

29 Haciendo las cuentas resulta P c = 2 P f = 0 Curso p. 16/18

30 Haciendo las cuentas resulta P c = 2 P f = 0 P b = 2 2 Curso p. 16/18

31 Haciendo las cuentas resulta P c = 2 P f = 0 P b = 2 2 Comparado con el caso "clásico", la probabilidad de que el nivel n se ocupe por segunda vez aumenta (al doble) en el caso de bosones y disminuye (a cero) en el caso de fermiones. Esto tiene importantes consecuencias en la Mecánica Estadística Cuántica. Curso p. 16/18

32 N partículas idénticas independientes Independientes no interactuantes (que no interaccionan entre sí). Más concretamente, el hamiltoniano del sistema puede escribirse como H(1, 2,,N) = h(1) + h(2) + + h(n) Particulas identicas H(1,,N) es simétrico respecto al etiquetado de las partículas. En el caso de partículas independientes implica que todos los h(i) son iguales. Los estados y energías propias de H en ε = ε 1 ε N vienen determinados por los de h(j) en ε j : h ϕ n >= e n ϕ n > Curso p. 17/18

33 Bosones: Estados propios: Φ n1,n 2,,n N >= SIM[ 1 : ϕ n1, 2 : ϕ n2,, N : ϕ nn >] Energías: E n1,n 2,,n N = e n1 + e n2 + + e nn Estado fundamental energía más baja: E 1,1,,1 = Ne 1 Fermiones: Φ n1,n 2,,n N >= SLATER[ 1 : ϕ n1 >, 2 : ϕ n2 >,, N : ϕ nn >] pero sólo los permitidos por el principio de exclusion. E n1,n 2,,n N = e n1 + e n2 + + e nn Estado fundamental energía más baja: Se van llenando los niveles e i más bajos respetando el principio de exclusion. La e i más alta alcanzada se denomina Energía de Fermi Curso p. 18/18