1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

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1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA La ceca descrbe, explca y predce. Stephe Hawg, e Hstora del tempo. Objetvo de la udad: E el desarrollo de la presete Udad de Apredzaje (UA), el estudate stetzará u cojutos de datos, tomados de ua stuacó real o smulada, medate el uso de tablas, gráfcas y el cálculo de meddas de tedeca cetral y de dspersó, co la faldad de compreder e terpretar la formacó estadístca que se le presete e dferetes cotextos de su vda académca. E este capítulo se dará u repaso a los coocmetos sobre Estadístca Descrptva estudados e bachllerato o secudara. Se explca la mportaca de la Estadístca e el mudo cotemporáeo, su cocepcó y clasfcacó y el papel que desempeña la teoría de la probabldad como puete etre la estadístca descrptva y la estadístca ferecal. Eseguda se preseta alguos coceptos que frecuetemete aparecerá a lo largo del curso y que so mportates para la compresó de otros. Posterormete se desarrolla la otacó sumatora a través de sus propedades y ejemplos umércos para dar lugar a la revsó de las meddas descrptvas y de dspersó, tato para datos o-agrupados como para datos agrupados (tablas). També se eumera los pasos para costrur tablas de frecuecas. Al fal se revsa los prcpales métodos gráfcos para resumr cojutos de datos, co base e las tablas de frecueca costrudas; de los métodos gráfcos, se caracterza y se descrbe la forma de costrurlos, de forma que el estudate pueda detfcarlas, dferecarlas, costrurlas e terpretar, e stuacoes del mudo real, lo que represeta. Itroduccó Usualmete relacoamos co la palabra estadístca grades cojutos de datos (úmeros) que se ha colectado co u f determado. La estadístca ace como respuesta a ua ecesdad de los estados de teer dea cuáto gastará e rubros específcos para el sguete año e cuestoes como el úmero de defucoes de persoas desamparadas o el úmero de vacuas que debe teerse dspobles para los recé acdos. La estadístca descrptva se relacoa co las prmeras téccas utlzadas e la orgazacó de datos, resumédolos e tablas, gráfcas o a través del cálculo de meddas de tedeca cetral y de dspersó. E la actualdad, la mayor parte del uso de la estadístca, partcularmete e la ceca y e la geería, se drge a la Ifereca más que a la descrpcó; s embargo, es dudable que la estadístca descrptva tee au ua utldad cosderable. Los tervalos de cofaza, por ejemplo, se usa e la costruccó de las badas de especfcacó y de procesos, e el cotrol estadístco de la caldad. Elaboró: Arturo A. Alvarado Segura. Correo electróco:

2 PROBABILIDAD: PUENTE ENTRE LA DESCRIPCIÓN Y LA INFERENCIA ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA INFERENCIAL La Probabldad es el puete etre la estadístca descrptva y la estadístca ferecal; provee los fudametos teórcos que hace posble las cojeturas a uversos más amplos que la muestra. Metras que la estadístca descrptva os srve para resumr formacó, la estadístca ferecal (o smplemete Ifereca) se refere práctcamete a la estmacó de tervalos de cofaza y a realzar pruebas de hpótess sobre los parámetros poblacoales. CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL La estadístca descrptva se refere a los métodos dseñados para resumr y orgazar datos de tal forma que podamos captar la formacó esecal de los msmos o sus patroes de comportameto a través de meddas descrptvas, gráfcas y tablas de frecuecas. Podemos vsualzar estas ramas de la estadístca descrptva e el sguete dagrama: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA TABLAS DE FRECUENCIAS MÉTODOS GRÁFICOS DESCRIPCIONES NUMÉRICAS Los métodos tabulares y gráfcos os permte orgazar y presetar datos de tal forma que los aspectos sobresaletes (y esecales) de los msmos se puede eteder rápda y fáclmete. E ocasoes estos métodos os ayuda a establecer hpótess cales sobre la aturaleza del feómeo que queremos estudar o vestgar. La Estadístca es la ceca que se ocupa de la ordeacó y aálss de datos procedetes de muestras y de la realzacó de ferecas sobre las poblacoes de las que éstas procede. Geeralmete se puede dstgur dos fases e la realzacó de cualquer expermeto o trabajo de vestgacó. La prmera cosste e la observacó y aálss de los hechos que acotece (colecta de la formacó) y la seguda, e la terpretacó y obtecó de coclusoes.

3 La estadístca descrptva es la prmera herrameta para el maejo de los datos y proporcoa métodos para resumrlos y orgazarlos. Tee como objetvo caracterzar, descrbr y extraer coclusoes sobre ua muestra de datos. Puede ser útl e la prmera fase de ua vestgacó. La estadístca ferecal mplca obteer coclusoes sobre los caracteres de ua poblacó a partr de los datos muestrales y requere el cálculo de probabldades, que os de el grado de certeza de dchas coclusoes. POBLACIÓN Y MUESTRA Poblacó. Es el cojuto de refereca sobre el que va a recaer las observacoes, todos los elemetos que tega formacó sobre el feómeo que se estuda (por ejemplo, s estudamos el preco de la vveda e ua cudad, la poblacó será el total de vvedas de dcha cudad). Geeralmete este cojuto vee defdo por compresó, es decr, ctado la propedad que lo caracterza (habtates del sexo femeo de Yucatá co edades de 7 a 3 años, por ejemplo). Las poblacoes puede ser ftas o ftas. So poblacoes ftas s es posble cotar sus elemetos y so ftas e caso cotraro. Idvduo. Es cada uo de los elemetos que compoe la poblacó e estudo. Así, s estudamos la altura de las ñas de ua clase, cada aluma es u dvduo; s estudamos el preco de la vveda, cada vveda es u dvduo. S estudamos el peso de uos cerdos, cada amalto es u dvduo. U dvduo es cualquer persoa, amal, plata u objeto observable. Muestra. Es u grupo de dvduos que seleccoamos de la poblacó. Se suele tomar muestras cuado es dfícl o costosa la observacó de todos los elemetos de la poblacó. El úmero de elemetos de la msma se llama tamaño de la muestra. Se debe escoger los dvduos de la muestra de maera que sea represetatvos de la poblacó de la que procede, es decr, que coserve las propedades de aquélla. Así, s se estuda el preco de la vveda de ua cudad, usualmete o se colectará formacó sobre todas las vvedas de la cudad (sería ua labor muy compleja), so que suele seleccoarse u subgrupo (muestra) que se eteda que es sufcetemete represetatvo. Las téccas de muestreo os provee la metodología e cada caso partcular, depededo de la varabldad de la poblacó y del vel de cofaza que se desea. Exste así etre otros, el muestreo aleatoro smple, el muestreo estratfcado, el muestreo por coglomerados, el muestreo sstemátco y el muestreo e dos etapas. CLASIFICACIÓN DE VARIABLES Caracteres o varables estadístcas. El caracter es cualquer cualdad o propedad herete al dvduo. Por ejemplo, s el dvduo observado es u lbro, podremos descrbrlo medate los caracteres peso, tamaño, úmero de hojas, color de las pastas, etc. A los dvduos de la poblacó estudatl, podemos observarles la estatura, el peso, el color de ojos, los domas que habla o el sexo; cada ua de estas característcas la 3

4 llamamos varable estadístca y la represetamos ormalmete por las letras mayúsculas X, Y, Z. Hay caracteres que so medbles, esto es, se puede cuatfcar, tal como la edad, el peso y la estatura de las persoas, el preco de u producto, los gresos auales, etc. S embargo exste caracteres que o se puede cuatfcar, como el color de los ojos, el estado cvl, el sexo, la acoaldad, el vel de felcdad declarado, etc. A los prmeros se les llama caracteres cuattatvos (y a las varables que los represeta varables cuattatvas) y a los segudos caracteres cualtatvos o categórcos (y varables cualtatvas a las varables que los represeta). De este modo, podemos clasfcar las varables e cuattatvas y cualtatvas como se muestra e el sguete esquema: VARIABLES CUANTITATIVAS CUALITATIVAS El carácter o varable estadístca cualtatva estado cvl puede tomar los valores o modaldades: casado/a, soltero/a o vudo/a (hay ua categoría o formal llamada ejerce s título). La varable edad, que es cuattatva puede tomar los valores: 0 años, años, 5 años, etc. Los valores partculares de ua varable se represeta co las letras músculas x, x,, x. El subídce dca el úmero de dvduo sobre el que se tomó la observacó. Ua varable puede tomar dsttos valores y cada uo de éstos puede aparecer repetdas veces e la muestra. A su vez, las varables cuattatvas se puede clasfcar e dscretas y cotuas. Varable dscreta. Toma valores aslados y o puede tomar gú valor etre dos valores cosecutvos. Sólo puede tomar valores eteros (,, 8). Ejemplo: úmero de hermaos (puede ser,, 3,..., pero ade podrá decr que tee 3.5 hermaos). Ejemplo: úmero de moedas que ua persoa lleva e la bolsa (0,,, 3, ) Varable cotua. Puede tomar cualquer valor real detro de u tervalo real. Sempre puede tomar valores etre dos cosecutvos, por muy próxmos que los fjemos. Ejemplo: la velocdad de u vehículo puede ser 80.3 m/h, 9.57 m/h. Otros ejemplos: estatura de las persoas, medda del tempo,...etc. A cotuacó el esquema de clasfcacó de las varables cuattatvas.

5 VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS CONTINUAS Las varables cualtatvas (o categórcas) puede clasfcarse e omales y ordales. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE I. Coteste las sguetes pregutas.. Escrba co sus propas palabras qué estuda la estadístca.. Escrba las dferecas etre poblacó y muestra. 3. Escrba dos ejemplos de poblacó y dos ejemplos de muestra.. Escrba dos ejemplos de: varable cualtatva, varable cuattatva, varable dscreta y varable cotua. 5. Escrba dos dferecas etre estadístca descrptva y estadístca ferecal. 6. Mecoe u ejemplo de la vda real dode se utlce la estadístca descrptva. 7. Mecoe u ejemplo práctco dode se utlce la estadístca ferecal. 8. Ivestgue la defcó de varables cualtatvas omales y ordales. 9. Escrba dos ejemplos de varables omales y dos de varables ordales. II. Costruya u mapa coceptual de la clasfcacó de las varables. Icluya ejemplos. III. Costruya u crucgrama de 0 flas por 0 columas, usado los coceptos revsados e esta seccó y otros relacoados que usted vestgue. IV. Ivestgue la bografía de u estadístco famoso. Eumere sus prcpales cotrbucoes y las posbles aplcacoes que tee esas cotrbucoes e el mudo actual. 5

6 Notacó sumatora Hacer cálculos umércos usado la otacó sumatora. Usar las propedades del operador sumatora para deducr alguos resultados. E ocasoes ecestamos sumar las observacoes de ua sere de datos. Las observacoes so represetadas por x, x, K, x. El últmo subídce,, represeta el úmero total de observacoes. Por ejemplo, ua sere de datos co = 5 observacoes., 3.,., 5.6, y 3.7 so represetados por los símbolos x, x, x3, x, x5 dode x =., x = 3., x 3 =., x = 5.6 y x 5 = 3.7. Podemos dcar la suma de las observacoes e la sere de datos o alguos otros úmeros dervados de la msma, por medo de la otacó sumatora represetada por la letra grega sgma mayúscula, Σ. A cotuacó la defcó de esta otacó. Sgfcado del operador b a + xa + xa + K + + x + b a x + x dode a y b so úmeros eteros, co a b. La defcó dca que se suma los valores que represeta las x desde a hasta b. El valor de a se cooce como extremo (o límte) feror de la sumatora y b es el extremo superor. El símbolo es el ídce de la sumatora o cotador. Este ídce puede ser represetado por dferetes letras, auque las más usadas so, j,, l y h. El extremo feror os dca el prmer valor que toma el ídce de la sumatora y el extremo superor, su últmo valor. Ejemplos lustratvos..) x = x + x + Kx 3..) x = x + x + x 3 ( 3 ) x ) = ( x ) + ( x ) + ( x ) + ( x ) b Ejemplos umércos. Supoga que las cuatro observacoes e ua sere de datos so x = 3, x = 5, x 3 =, x = 3. ) x = x + x + x + = = 5 3 x ) 3x = 3x + 3x + 3x3 + 3x = 3 x = 3 (5) = 5 6

7 ) ( x ) = ( x ) + ( x ) + ( x ) + ( x ) = x () = 5 8 = 7 3 v) x = x + x + x + x = = 59 3 v) ( x ) = ( x ) + ( x ) + ( x3 ) + ( x ) = ( 3 ) + (5 ) + ( ) + (3 ) = = 5 A cotuacó se preseta alguas propedades de la operacó sumatora para su uso e la deduccó de resultados usados co frecueca. Propedades de la sumatora Cosdere que b y c so costate y que x y y so varables, etoces: ) c = c ) b x = b x 3) ( x + y ) = x + y La sumatora de hasta de ua costate es veces la costate La sumatora de ua costate por ua varable es gual a la costate por la sumatora de la varabl La sumatora de ua suma de varables es gual a la suma de las sumatoras respectvas. *Demostrar algebracamete las propedades e el pzarró y hablar de su mportaca. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE I. Resuelva las sguetes sumatoras. (Copar los datos acá para resolver las sumatoras) 6 ) x = ) 7 3 3x = ) ( x ) = v) x = 7 7

8 3 Datos o agrupados Calcular meddas de tedeca cetral y de dspersó para datos o-agrupados. Aplcar las propedades de la otacó sumatora para exhbr que las suma de todas las desvacoes respecto al promedo de u cojuto de datos, sempre es cero. Aplcar las propedades de la otacó sumatora para deducr la fórmula de operacó de la varaza muestral a partr de su fórmula de defcó. E esta seccó estudamos las meddas de tedeca cetral y de dspersó para datos o agrupados. Los datos o-agrupados so aquéllos s procesar, esto es, que aú está elstados e la forma como se fuero hacedo los regstros; su cotraparte so los datos agrupados e tablas de dstrbucó de frecuecas. Las meddas de tedeca cetral que abordaremos sobre estos datos s procesar so la meda artmétca, la moda y la medaa; y revsaremos las sguetes meddas de dspersó o de varabldad: el rago o ampltud, la varaza, la desvacó estádar y la desvacó meda absoluta. Ejemplo de datos o agrupados. U ejemplo de datos o-agrupados es el que se preseta eseguda y que correspode a las calfcacoes que 50 jóvees y señortas del Tecológco obtuvero e ua udad de Probabldad. Cuadro. Calfcacoes obtedas por 50 alumos e u exame de Probabldad Como puede observar, las calfcacoes e el Cuadro, está revueltas ; aparece e el orde como fuero regstradas e los estudates. Puede usted hacer otros ejemplos de datos o agrupados regstrado las estaturas, pesos, edades o úmero de hermaos de sus compañeros del saló. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las meddas de tedeca cetral más frecuetes so la medaa, la moda y la meda artmétca; ésta últma es la más usada por su practcdad y sus bueas propedades estadístcas. LA MEDIANA La medaa, represetada por m ~, es el valor medo de ua sere cuado los valores se ha ordeado ascedetemete. Para la sere 3,, 5, 8 y 9, la medaa es el tercer valor, 5. S hay ses valores e ua sere, por ejemplo 3,, 5, 8, 9 y 0, cualquer valor etre 5 y 8 dvdría la sere e dos partes guales; por tato, cualquera de tales valores podría ser la medaa. E la práctca, para u úmero par de datos, supoemos que la medaa se ecotrará etre los dos valores cetrales. Por tato, e uestro ejemplo, la medaa sería 8

9 6.5. La medaa puede teer valores détcos co el suyo a la zquerda y a la derecha. Por ejemplo, e la sere,, 3,, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 9, la medaa es 5. Debdo a estas característcas, puede defrse formalmete la medaa como aquel valor que dvde ua sere de tal forma que por lo meos 50 por 00 de los valores so guales a él o meores que él, y por lo meos 50 por 00 de los valores so guales o mayores que él. O be, la medaa de ua coleccó de datos ordeados e orde de magtud es el valor medo o meda artmétca de los dos valores cetrales. Característca de la medaa. Ua característca sobresalete de la medaa es su sesbldad haca las clasfcacoes extremas. Cosdere el sguete cojuto de calfcacoes:, 5, 8,, 8. La medaa es 8. Esto es verdad, auque el cojuto tee ua calfcacó extrema de 8. S e lugar de 8 tuvésemos ua calfcacó de 97, la medaa seguría sedo la msma. LA MODA La moda, deotada por Mo, es aquel valor de ua sere de datos que aparece más frecuetemete que cualquer otro. Este valor puede ser descuberto medatamete cuado se ordea los datos. Por ejemplo, e la sere,,,, 5, 6, y 7, la moda es. Por cosguete, podemos cosderar la moda como típca e el setdo e el setdo de que es el valor más probable de ua sere. La moda para ua sere de datos o agrupados sempre cocde co u valor real e la sere. Auque la moda es u cocepto secllo y útl, su aplcacó preseta muchos aspectos egorrosos. Prmero, ua dstrbucó puede revelar que dos o más valores repte u úmero gual de veces, y e tal stuacó o hay forma lógca de determar qué valor debe ser escogdo como la moda. Hablado e setdo rguroso, cualquer valor se llama moda s aparece más a meudo que cualquera de los valores adyacetes. S embargo, metras las frecuecas de los valores modales o sea guales, podríamos decdr escoger el valor co la frecueca más alta como la moda para la sere. Segudo, puede que o hallemos gú valor que aparezca más de ua vez. Tercero, la moda es u valor muy estable. Puede cambar radcalmete co el método de redodeo de los datos. Falmete, la moda podría ser u valor extremo, como e el caso de ua dstrbucó tragular (ua dstrbucó e la que la desdad de frecuecas dsmuye o aumeta, cotuamete y a u rtmo de zquerda a derecha), y etoces dfíclmete podría ser cosderada como ua medda de tedeca cetral. Ejemplo. Las sere de datos,, 5, 7, 9, 9, 9, 0, 0,,, 8 tee de moda 9. Ejemplo. La sere 3, 5, 8, 0,, 5, 6 o tee de moda. Ejemplo 3. La sere, 3,,,, 5, 5, 7, 7, 7, 9 tee dos modas, y 7, y se dce que es u cojuto de datos bmodal. 9

10 LA MEDIA ARITMÉTICA La meda artmétca, por su facldad de cálculo, largo uso y propedades matemátcas coveetes es promedo mejor coocdo y de uso más comú. A veces, se cooce secllamete como la meda o el promedo, pero debe usarse sempre adjetvos apropados cuado el cotexto cluye varos tpos de medas. La meda artmétca, represetada por x, es la suma de los valores dvduales de ua muestra dvdda por el úmero de observacoes de la muestra: x x = = Propedades de la meda artmétca. Prmero, es u valor típco porque es el cetro de gravedad u puto de equlbro. També es típca porque su valor puede substtur al valor de cada dato de la sere s cambar el total. La suma algebraca de las desvacoes co relacó a la meda es cero. Esto es, ( x x) = 0. La tercera propedad de la meda artmétca es que la suma de las desvacoes elevada al cuadrado de los datos respecto a la meda es meor que la suma de las desvacoes elevada al cuadrado de cualquer otro puto. CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES S ua sere de datos se coloca e orde de magtud, el valor medo (o la meda artmétca de los dos valores medos) que dvde el cojuto de datos e dos partes guales es la medaa. Por extesó, de esta dea se puede pesar e aquellos valores que dvde a los datos e cuatro partes guales. Estos valores, represetados por, Q Q y Q 3 se llama prmero, segudo y tercer cuartl, respectvamete; el valor de Q es gual al de la medaa. Aálogamete los valores que dvde los datos e dez partes guales se llama decles y se represeta por D, D,..., D 9, metras que los valores que dvde los datos e ce partes guales se llama percetles y se represeta por P, P,..., p99 El quto decl y el qucuagésmo percetl, se correspode co la medaa. Los percetles P5 y P75 se correspode co el prmer y tercer cuartl respectvamete. 0

11 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Calcule las meddas de tedeca cetral que se pde e los sguetes ejerccos.. Calcule la medaa, la moda y la meda artmétca de las calfcacoes del Cuadro.. U artículo publcado e 988 e ua revsta especalzada descrbe el cálculo de los coefcetes de arrastre para la superfce aerodámca NASA 00. Para ello se utlzaro dferetes algortmos computacoales co M = 0. 7, obteédose los sguetes resultados (los coefcetes de arrastre está dados e udades de coteos de arrastre; esto es equvalete a u coefcete de arrastre de 0.000): 79, 00, 7, 83, 8, 85, 8, 80 y 8. Calcule a). La meda muestral b). La medaa muestral 3. Las sguetes medcoes correspode a las temperaturas de u horo regstradas e lotes sucesvos de u proceso de fabrcacó de semcoductores (las udades so ºF): 953, 950, 98, 955, 95 99, 957, 95, 955. Calcule: a). La meda muestral de estos datos. b). La medaa muestral de estos datos. c). E cuáto puede cremetarse la mayor medcó de temperatura s que cambe la medaa muestral?. Haga u cuadro comparatvo de las vetajas y desvetajas de la medaa, la moda y la meda artmétca. MEDIDAS DE VARIABILIDAD Al caracterzar ua poblacó por el estudo de u atrbuto, o sólo es ecesaro coocer el valor alrededor del cual tede a presetarse co más frecuecas los valores de x, so també el grado de dspersó de estos valores. U promedo s salvedades puede carecer vrtualmete de sgfcado. U factor que aumeta la cofusó es que co alguas dstrbucoes todos los promedos mportates está estrechamete reudos, metras que co otras está muy separados. E otras palabras, u promedo puede ser muy egañoso, a meos que sea detfcado y vaya acompañado de otra formacó que os dga la ampltud de cosas o sus desvacoes co relacó al promedo.

12 EL RANGO O AMPLITUD El rago es la dfereca etre la putuacó mayor y la putuacó meor. Idca el úmero de udades ecesaras e la escala de medcó para clur los valores máxmo y mímo. Se calcula así: xm xm (putuacó mayor meos putuacó meor). També se le puede llamar ampltud o recorrdo. Ejemplo. S teemos los sguetes valores: 7, 8, 0, 0,, 8, 8, 30, 33. El rago será: 33 7 = 6. Cuato más grade sea el rago, se espera mayor dspersó de los datos. DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA La búsqueda de ua medda de varabldad que tome e cueta todos los valores observados y que caracterzaría la dspersó de los valores dvduales partedo de la tedeca cetral os coduce a la dea de calcular ua medda como: ( x x) pero esta medda será sempre gual a cero, porque = ( x x) = x x = x = x x = 0 x y, por tato, dfíclmete puede ser cosderada como ua medda de algo. Ua forma obva de superar la dfcultad es hallar ua meda de las desvacoes gorado la dreccó y el sgo algebraco correspodete. Al hacerlo así, obtedríamos lo que se llama la desvacó meda absoluta, o smplemete la desvacó meda, de la muestra. La desvacó meda absoluta, dm, de ua sere de datos está dada por: dm = x x La desvacó meda es útl para tratar stuacoes e las que o se requere u aálss mucoso. Depededo del cotexto, el térmo rago tee sgfcados dferetes. E Álgebra leal, por ejemplo, el rago de ua matrz correspode al úmero de sus columas lealmete depedetes; e Fucoes, se le llama rago al cotradomo (també llamado mage); el rago de ua varable aleatora, está formado por el cojuto de sus posbles valores. Cuado se habla del rago de u cojuto de úmeros se hace refereca a la dstaca que hay etre el valor más grade y el más pequeño. El térmo rago provee de ua traduccó lteral de la palabra rage del doma glés; auque puede, tal vez, usarse de forma más apropada la palabra ampltud para referrse a esta medda descrptva, el térmo rago es amplamete aceptado.

13 LA VARIANZA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR El promedo de las desvacoes al cuadrado de la meda se llama varaza muestral, desgada por s. Smbólcamete, s ( x ) = = x dode se llama grados de lbertad. El valor de la varaza, desde el puto de vsta práctco, es u poco complcado de eteder, porque las udades asgadas a ella so cuadradas, tales como metros, g, persoas, etc. Para covertr esta medda de varabldad e udades orgales, podemos tomar la raíz cuadrada (postva) de s, obteedo la desvacó estádar de ua muestra. La desvacó estádar srve como medda básca de varabldad. La desvacó estádar, deotada por s, está dado por: ( x x) s = varaza = Fórmula de operacó de la varaza. Falta agregar demostracó algebraca. s = x ( x ) La fórmula de operacó de la varaza puede escrbrse també como (sólo multplcamos la fórmula ateror por tato e el umerador como e el deomador): s = x x ( ) = COEFICIENTE DE VARIACIÓN A meudo os teresamos por comparar las varabldades etre dos o más cojutos de datos. Puede hacerse esto fáclmete co sus respectvas varazas o desvacoes estádares cuado las varables se da e las msmas udades y cuado sus medas so 3

14 aproxmadamete guales. Cuado falta está codcoes, puede que deseemos usar algua medda relatva de dspersó. Ua medda relatva de varabldad frecuetemete usada se llama coefcete de varacó, desgado cv, que es smplemete la razó de la desvacó estádar a la meda: cv = s x ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE. Co los datos de las calfcacoes del Cuadro, calcule: a). el rago b). la varaza c). la desvacó estádar d). la desvacó meda absoluta e). el coefcete de varacó. Co los datos de cso de la Actvdad de apredzaje de la pága, calcule: a). el rago b). la varaza c). la desvacó estádar d). la desvacó meda absoluta e). el coefcete de varacó

15 Costruccó de tablas de frecuecas (Datos agrupados) Costrur tablas de dstrbucó de frecuecas a partr de u cojuto de observacoes s procesar (e bruto). Determar el úmero de clases e ua tabla de frecuecas. Calcular las frecuecas absoluta y relatva, las frecuecas absoluta y relatva acumuladas y la marca de clase (o puto medo). E esta seccó se preseta las característcas de las tablas de frecuecas, tato por dato como por tervalos de clase. A partr de u cojuto de datos o procesados y co base e crteros defdos se puede costrur ua tabla de dstrbucó de frecuecas. Sobre las tablas de frecuecas se puede calcular meddas descrptvas y de dspersó así como geerar gráfcas que faclta la terpretacó de la formacó que cotee. El cálculo de estas meddas y las gráfcas se revsa e las sguetes seccoes. Reescrbmos los datos del Cuadro, de las calfcacoes, que utlzaremos e esta seccó. Cuadro. Calfcacoes obtedas por 50 alumos e u exame de Probabldad S se desea, a partr de las calfcacoes del Cuadro, resumr la formacó sobre el úmero de estudates que obtuvero ua determada calfcacó, esto puede hacerse e ua tabla de frecuecas por dato o por tervalos de clase. Tablas de frecuecas por dato (datos ordeados) Los datos e el Cuadro es u ejemplo de dstrbucó de frecuecas por dato (se le cooce també como datos ordeados o tablas de dos columas). A cada calfcacó se le asoca ua frecueca, que e este ejemplo, es el úmero de estudates que obtuvero ua calfcacó. Por regla geeral, como e el Cuadro, los datos (e este caso las calfcacoes) se ordea de meor a mayor, auque algue puede decdr hacerlo de forma descedete. Frecueca de dato. Es el úmero de veces que u dato se repte e ua coleccó. Para el ejemplo que se sgue, frecueca de dato se refere al úmero de veces que ua determada calfcacó aparece etre las 50 reportadas. La utldad de las tablas de dstrbucó de frecuecas por dato es máxma cuado el úmero de datos es pequeño y se escrbe algú texto que dque el tpo de observacó referecado. 5

16 Cuadro Frecuecas de calfcacoes obtedas por estudates del Tecológco e u exame ordaro del curso de Probabldad. Calfcacó Número de estudates Calfcacó Número de estudates Total 50 Del cuadro, podemos observar lo sguete: La calfcacó míma obteda fue de 3 putos. La calfcacó máxma obteda fue de 97 putos. Nade obtuvo putos. 8 estudates, de los de 50, obtuvero ua calfcacó gual o mayor que estudates se egaro a aprobar, es decr, obtuvero meos de 70 putos. Tablas de frecuecas por tervalo de clases Cuado el valor del rago es grade, es posble que se tega u gra úmero de datos dferetes lo que mpedría resumr la formacó adecuadamete, como es deseable. E estos casos puede ser más coveete agrupar los datos e categorías coocdos como tervalos de clase; a cada tervalo de clase se le asoca u úmero llamado la frecueca del tervalo de clase que se defe como el úmero de observacoes que perteece a la clase. La frecueca del -ésmo tervalo de clase lo deotaremos co f. Pasos para costrur ua tabla de dstrbucó de frecuecas a) Ecuetre la dfereca de los valores máxmo y mímo de la sere de datos (rago o ampltud). b) Elja u úmero de tervalos de gual tamaño que cubra el rago etre el mímo y el máxmo de los datos. Éstos so llamados tervalos de clase, y sus putos 6

17 extremos se cooce como límtes de clase [límte de clase feror (LCI) y límte de clase superor (LCS)] c) La dfereca etre el límte superor y el límte feror de la clase se cooce como achura o tamaño de clase (LCS LCI). d) Cuete el úmero de observacoes e los datos que correspode a cada tervalo de clase. La catdad de observacoes e cada clase se cooce como frecueca de clase. La frecueca del -ésmo tervalo de clase la deotaremos por f. e) Determe la frecueca relatva de cada clase, ( p ), dvdedo la frecueca de clase etre el úmero total de observacoes. E símbolos p = f f) Cálculo de la marca de clase o puto medo de clase (m ). S l es el límte feror l + L de la -ésma clase y L el límte superor, etoces. m = g) Frecuecas acumuladas. La frecueca acumulada de la -ésma clase es la suma de las frecuecas de las prmeras clases. Aplca tato para las frecuecas absolutas como para las relatvas. Por ejemplo, para la clase 3, la frecueca absoluta acumulada es f + f + f3 ; su frecueca relatva acumulada es p + p + p3 h) Debe observarse que la suma de todas las frecuecas absolutas da como resultado el úmero de observacoes () y la sumatora de las frecuecas relatvas es. Cuátas clases tee ua tabla de dstrbucó de frecuecas? El úmero de clases depede del úmero de observacoes y de la dspersó de los datos. E geeral resulta satsfactoro usar etre 5 y 0 clases, y que el úmero de clases aumete e fucó del úmero total de observacoes, represetado por. E la práctca, puede usarse aproxmadamete la raíz cuadrada del úmero de datos ( ) para defrse el úmero de clases a usarse. S hay meos clases que las ecesaras, la pérdda de formacó es sera. S hay muchas clases y la sere de datos es pequeña, las frecuecas etre celdas tede a subr y a bajar de ua maera caótca y o produce u modelo de dstrbucó de los datos. Como u paso cal, las frecuecas puede ser determadas co u úmero grade de tervalos que puede después ser combados co el deseo de obteer ua eleccó de modelo de dstrbucó más vsble (Motgomery & Ruger, 996). Dóde empeza y dóde terma u tervalo de clase? Dremos que u úmero perteece a ua determada clase s su valor umérco es mayor o gual que el límte feror y estrctamete meor que el límte superor. Usado la otacó de tervalos, estudada e el curso Matemátcas I, teemos que: a, b = { x / a x < b}, co a < b [ ) E el Cuadro 3, la otacó [ b) a, dca que la clase cluye úmeros mayores o guales que a y estrctamete meores que b, tal como lo maeja Motgomery & Ruger (996). La otacó de tervalos tee la vetaja de que o hay que preocuparse por establecer los 7

18 límtes reales y omales de los tervalos de clase, como a meudo se hace, para calcular las meddas descrptvas sobre la tabla de frecuecas; para tal efecto, sólo os teresará detfcar los extremos (o froteras) feror y superor de cada clase. Además, la otacó de tervalos asegura que cada observacó de la base de datos quede, s ambgüedad, e sólo ua clase, depedetemete de la aproxmacó usada e la medcó de los datos. EJEMPLO. Co base e los datos del Cuadro, se costruye la dstrbucó de frecuecas sguedo los pasos eumerados arrba. Cuadro 3. Dstrbucó de frecuecas por tervalos de clase de las calfcacoes del Cuadro. Itervalo de clase Marca de clase Frecueca Absoluta Frecueca relatva Frecueca absoluta acumulada Frecueca relatva acumulada [30,0) 35 /50 /50 /50 [0,50) 5 0 0/50 /50 /50 [50,60) 55 /50 5/50 5/50 [60,70) 65 /50 6/50 6/50 [70,80) /50 3/50 3/50 [80,90) /50 7/50 7/50 [90,00) /50 50/50 50/50 Total 7 7 f = 50 p = = = EJEMPLO (Costruccó de ua tabla de dstrbucó de frecuecas) Los datos del Cuadro represeta la ressteca a la tesó, e lbras por pulgada cuadrada (ps), de 80 muestras de ua ueva aleacó de lto y alumo, que está sedo evaluada como posble materal para la fabrcacó de elemetos estructurales de aeroaves. Cuadro Ressteca a la tesó de 80 muestras de aleacó de alumo-lto Fuete: Motgomery & Ruger (996, p.5) 8

19 Co los datos aterores, costruya ua tabla de frecuecas. Utlce como límte feror del prmer tervalo de clase, el valor 70 y como límte superor del últmo tervalo, 50; co tamaño de clase de 0 para cada uo de los tervalos. Cuadro 5. Dstrbucó de frecuecas a partr de los datos del Cuadro. Itervalo de Marca de Frecueca Frecueca Frecueca relatva Frecueca absoluta clase clase absoluta relatva acumulada acumulada ( m ) ( f ) ( p ) ( P K ) ( F K ) [70,90) 80 /80 /80 [90,0) /80 5/80 5 [0,30) 0 6 6/80 /80 [30,50) 0 /80 5/80 5 [50,70) 60 /80 7/80 7 [70,90) /80 6/80 6 [90,0) /80 7/80 7 [0,30) 0 /80 78/80 78 [30,50) 0 /80 80/80 80 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Parte A. Co la sguete formacó, costruya ua tabla de dstrbucó de frecuecas. Uo de los mayores dcadores de cotamacó del are e las grades cudades y e los cturoes dustrales es la cocetracó de ozoo e la atmósfera. Las 78 observacoes del cuadro sguete fuero recolectadas por las autordades de Los Ageles, sobre la cocetracó de ozoo e esa localdad durate los veraos de 996 y 997. Cada observacó es u promedo de lecturas tomadas cada cuarto día. Cuadro 6. Meddas de cocetracó de ozoo e la atmósfera de la localdad de Los Ágeles durate los veraos de 966 y

20 Cometaro: Para costrur ua dstrbucó de frecuecas, prmero debemos otar que las lecturas míma y máxma so. y.7, respectvamete; por lo que se sugere los sguetes tervalos de clase. Cuadro 7. Dstrbucó de frecueca de los datos e el Cuadro 6 Itervalo de clase Coteo Marca de clase Frecueca absoluta Frecueca relatva [.0,.0) [.0, 3.0) [3.0,.0) [.0, 5.0) [5.0, 6.0) [6.0, 7.0) [7.0, 8.0) [8.0, 9.0) [9.0, 0.0) [0.0,.0) [.0,.0) TOTAL 78 Frecueca absoluta acumulada Frecueca relatva acumulada Cometaro: E ua dstrbucó de frecuecas, las frecuecas relatvas sempre debe sumar ; las frecuecas absolutas, el úmero de datos. Parte B. Co los datos agrupados e la tabla de dstrbucó de frecuecas ateror, calcule la meda artmétca y la varaza. (Le puede auxlar la sguete tabla) Cuadro 8 Itervalo de clase m f m f ( m x) ( m x) f m f [.0,.0) [.0, 3.0) [3.0,.0) [.0, 5.0) [5.0, 6.0) [6.0, 7.0) [7.0, 8.0) [8.0, 9.0) [9.0, 0.0) [0.0,.0) [.0,.0) TOTAL 0

21 5 Cálculo de meddas descrptvas e tablas de frecuecas Calcular las sguetes meddas de tedeca cetral e tablas de frecuecas: meda artmétca, moda y medaa. Calcular las sguetes meddas de dspersó e tablas de frecuecas: varaza y desvacó estádar. Las tablas de frecuecas os provee tedecas o patroes del comportameto de u cojuto de datos. Podemos usar la tabla de frecuecas para calcular las meddas descrptvas o sumaras, como las de tedeca cetral o las de dspersó. Báscamete teemos ecesdad de calcular estas meddas descrptvas sobre la tabla de frecuecas cuado o teemos acceso a los datos orgales como el caso de los datos reportados e las publcacoes académcas o de vestgacó. Por ejemplo, podemos determar la meda y la desvacó estádar, para los datos del Cuadro 9, correspodetes a la dstrbucó de frecueca de la edad de 00 hombres casados. Cuadro 9 Dstrbucó de frecueca de la edad de 00 estudates casados Itervalos de clase Marca de clase Frecueca (edad e años) m f [5, 0) [0, 5).5 7 [5, 30) [30, 35) [35, 0) Total CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA Esta tabla muestra que 8 observacoes se ecuetra e el tervalo 5-0, 7 observacoes está localzadas e el tervalo 0-5, y así sucesvamete. S saber la exacta poscó de las observacoes e cada tervalo, estmamos que todas las observacoes está localzadas e la mtad. El puto medo de las clases está dadas e la seguda columa de la tabla. De acuerdo a esto, co esto la observacó 7 es repetda 8 veces, es repetda 7 veces, y así sucesvamete. La suma de estas observacoes puede ser calculada como (7.5 8) + (.5 7) + (7.5 6) + ( ) + (37.5 0) Podemos dvdr este total etre = 00 y así obteer la meda muestral x. Los cálculos se muestra e el Cuadro 0.

22 Cuadro 0 Cálculo de la x y s para la dstrbucó de frecuecas del Cuadro 9 Itervalo de clase (edad) Marca de clase m Frecueca f m f m f [5, 0) [0, 5).5 7,665 [5, 30) 7.5 6,705 [30, 35) [35, 0) Total , Esto es, la meda artmétca es x = = A cotuacó se establece la fórmula de la meda artmétca para datos agrupados: Meda muestral para datos agrupados S la dstrbucó de frecuecas tee r tervalos de clase co putos medos m, m, K, m y correspodetes frecuecas f, f, K, f r, etoces la meda artmétca está dada por: x r = = m f r CÁLCULO DE LA VARIANZA MUESTRAL Supogamos que todas las observacoes está localzadas e el puto medo del tervalo., El cuadrado de las desvacoes ( m x),( m x),...,( m x), repetdas co sus respectvas frecuecas f, f, K, f r. La suma del cuadrado de las desvacoes es: r = ( m x ) f que dvdda etre - obteemos la varaza de la muestra s. Puesto que la frecueca total es usualmete grade para ua sere de datos, dvdedo la suma del cuadrado de las desvacoes etre - es equvalete a dvdrla etre, obteedo la sguete fórmula:

23 Fórmula de la varaza para tablas de frecuecas (datos agrupados) s r = = ( m x) f Como hcmos co la varaza para datos o-agrupados, podemos obteer ua fórmula alteratva para s, expadedo ( m x) e la expresó ateror y reducedo térmos semejates. La fórmula de operacó para el cálculo de la varaza e datos agrupados es: s = r = m Esta fórmula de operacó de la varaza puede utlzarse auxládose de la columa 5 de la tabla 0. Como sempre, la desvacó estádar se obtee co la raíz cuadrada postva de la varaza. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE. Calcule la meda y la desvacó estádar de la edad de los estudates casados co la dstrbucó de frecueca dada e el Cuadro 9. Utlce el Cuadro 0 para auxlarse e los cálculos.. Calcule la meda y la desvacó estádar e la dstrbucó de frecuecas de las calfcacoes del Cuadro. clase m f [30,0) 35 [0,50) 5 0 [50,60) 55 [60,70) 65 [70,80) 75 6 [80,90) 85 5 [90,00) 95 3 Total 7 = f = 50 f x 3

24 6 Métodos gráfcos Ua gráfca dce más que ml palabras Descrbr alguos métodos gráfcos. Idetfcar el tpo de gráfca e aplcacoes específcas. Costrur gráfcas a partr de ua tabla de frecuecas o sobre datos e bruto (o s procesar) Explcar el sgfcado práctco y la formacó que resume las gráfcas que se publca e dferetes medos como peródcos, revstas y lbros. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Parte A. (Realzar e bas co etrega dvdual e el saló) El structor proporcoa a las bas recortes recetes de peródco que cotega algú tpo de gráfca. Para cada recorte:. Escrba el tpo de gráfcas que aparece.. Eumere los prcpales putos del tópco que aborda. 3. Co base e la formacó coteda e las gráfcas del recorte, escrba u esayo etre meda y ua cuartlla. Parte B. (Realzar y etregar dvdual e horaro extraclase). Ivestgue las vetajas de los métodos gráfcos. 5. Co los datos de las calfcacoes de probabldad, costruya u hstograma, u polígoo de frecuecas, ua ojva. 6. Busque recortes e revstas o peródcos que cotega formacó e esquemas gráfcos y aplíqueles los putos, y 3 de esta Actvdad. Los recortes orgales debe adherrlos a su lbreta. Nota: evte publcacoes de ota roja y tampoco recorte los lbros de texto de hermaos meores. DIAGRAMA DE PUNTOS TERMINA LA ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE El dagrama de putos es ua gráfca muy útl para vsualzar u cojuto pequeño de datos; por ejemplo, 0 observacoes. La gráfca permte ver co rapdez y facldad la ubcacó o tedeca cetral de los datos, así como su dspersó o varabldad. A meudo, los dagramas de putos so útles para comparar dos o más cojutos de datos. S el úmero de observacoes es pequeño, a meudo es dfícl detfcar algú patró de varacó específco; s embargo, co frecueca el dagrama de putos es útl y puede proporcoar formacó sobre característcas poco usuales de los datos. Cuado el Elaboró: Arturo A. Alvarado Segura. Correo electróco:

25 úmero de observacoes es moderadamete grade, puede ser más útles otros tpos de gráfcas. # de alumos Calfcacoes GRÁFICA DE PASTEL (Cultvo local e teracoal de la papaya maradol). Eseguda se ejemplfca ua gráfca de pastel, para represetar la produccó mudal de la papaya maradol, co base e datos de la FAO. 3% Otros países % Brasl 0% Ida % Ngera % Méxco 0% Idoesa Brasl Ida Idoesa Méxco Ngera Otros países 5

26 HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS RELATIVAS Después de sumar los datos e la forma de dstrbucó de frecuecas, puede ser presetada gráfcamete a través de u hstograma de frecuecas relatvas, el cual es ua represetacó vsual del modelo de dstrbucó. Hstograma de frecuecas relatvas Para dbujar u hstograma de frecuecas relatvas, los tervalos de clase so marcados e el eje horzotal de la gráfca. E cada tervalo es dbujado u rectágulo cuya área es equvalete a la frecueca relatva del tervalo. Altura de u rectágulo es gual a: Frecueca relatva de ua clase Base del tervalo de clase Esto es porque el área de u rectágulo es gual a base por altura El área de cada rectágulo e u hstograma represeta la proporcó de las observacoes ocurrdas e cada tervalo de clase. Además, el área total de todos los rectágulos e u hstograma es. Lo covecoal de usar el área de los rectágulos más que sus alturas. Las frecuecas relatvas tee dsttas vetajas: sttvamete se comparara áreas cuado e dos partes de u hstograma o dos dferetes hstogramas. Cuado dos hstogramas se basa e tervalos de clase de dferete base, la propedad de teer u área total gual a los hace comparables. Ejemplo. Co refereca a los datos de cocetracó de ozoo e el Cuadro 7, los hstogramas correspodetes a la dstrbucó de frecuecas e los cuadros, 3 y, so mostradas e las fguras : a, b, y c. E cada caso ote que la altura de u rectágulo es obtedo dvdedo la frecueca relatva etre la base del tervalo de clase. Por ejemplo, las alturas de los prmeros rectágulos e las fguras : a, b, y c so 0.05 / 0.5 = 0.0, 0.09 / = 0.09, y 0.09 / = 0.05, respectvamete. El hstograma e la fgura (a) parece delgado porque los tervalos de clase so muy cortos. Los tervalos hace que el hstograma de la fgura : b y c sea más regulares y lsos e su forma, auque más formacó es perdda etre más tervalos de clase so usados. La regla de que los tervalos de clase sea guales es coveete cuado los datos se extede sobre determado rago y se cocetra altamete e u pequeña parte co relatvamete pocos úmeros e otras partes. Usar tervalos de clase más pequeños dode los datos so altamete cocetrados y más grades dode los datos está esparcdos ayuda a reducr la pérdda de formacó debdo al agrupameto. Tabulacoes de greso, edad, y otras característcas e reportes ofcales regularmete se hace co tervalos de clase 6

27 dferetes. Cuado todos los tervalos o so guales, el hstograma puede r de acuerdo a la covecó de usar el área de los rectágulos para represetar las frecuecas relatvas de u modelo de dstrbucó. DIAGRAMA DE LÍNEA DE FRECUENCIAS RELATIVAS Alguas veces los datos cosste e catdades, como el úmero de ños e famla o el úmero de accdetes de trásto por día, so observacoes sobre ua escala cotua. S el úmero de los dsttos valores o es demasado grade, ua dstrbucó de frecuecas es costrudo usado los valores dvduales como las clases e lugar de usar tervalos de clase. Los datos so luego presetados e forma de dagrama de líeas de frecuecas relatvas. Dagrama de líea de frecueca relatva Los dsttos valores so colocados sobre el eje horzotal, Líeas vertcales co alturas equvaletes a las frecuecas relatvas so luego dbujadas co esos valores. Las líeas reemplaza a los rectágulos acetuado que las frecuecas o so realmete extesoes sobre los tervalos. U hstograma puede també ser costrudo dbujado rectágulos cetrados sobre los dsttos valores de los datos, proveyedo las frecuecas relatvas sobre esos putos medos. Auque ambos dagramas de líea y rectagulares so usados para cotar datos, el dagrama de líea uca debe ser dbujado para observacoes de escala cotua. POLÍGONO DE FRECUENCIAS El polígoo de frecuecas es ua represetacó e líea se obtee a partr del hstograma. Su costruccó se lleva a cabo uedo los putos medos de los datos superores de los rectágulos del hstograma. OJIVAS S e lugar de frecuecas absolutas utlzamos sus correspodetes acumuladas obtedremos e vez del hstograma, ua represetacó gráfca e forma de líea crecete que se cooce co el ombre de ojva. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE (Nota: E esta actvdad, el docete puede seleccoar alguos de los sguetes ejerccos para que los estudates resuelva de forma dvdual o por equpos e el saló, bajo su supervsó). Se toma ocho medcoes del dámetro de los allos para los pstoes del motor de u automóvl. Los datos (e mm) so: 7.00, 7.003, 7.05, 7.000, 7.005, 7.00, y Costruya u dagrama de putos y haga cometaros al respecto. 7

28 . Costruya ua dstrbucó de frecuecas y u hstograma para los datos sguetes, utlzado ocho clases. Cuadro. Octaaje de varas mezclas de gasola Los datos sguetes so medcoes de tesdad solar drecta (e watts/m²) realzadas e ua localdad del sur de Méxco. Costruya u hstograma para estos datos Los datos sguetes represeta el redmeto de 90 lotes cosecutvos de u sustrato cerámco, e el que se ha aplcado u recubrmeto metálco medate u proceso de depostacó por vapor. Costruya ua dstrbucó de frecuecas y u hstograma para estos datos

29 Gráfca de barras # de alumos Calfcacoes # de alumos calfcacoes 9

30 REFERENCIAS Devore, Jay. (998). Probabldad y Estadístca para Igeería y Cecas. ta edco. Méxco, Iteracoal Thomso Edtores Johso, R. A. (997). Probabldad y Estadístca para Igeeros de Mller y Freud. 5ta edcó. Méxco, Pretce Hall Hspaoamercaa. Lpschutz, S. & J. Schller. (000). Itroduccó a la Probabldad y Estadístca. Sere Schaum. Madrd, McGraw Hll. Medehall. Probabldad y Estadístca. Motgomery, D. & G. Ruger. (996). Probabldad y Estadístca Aplcadas a la Igeería. Méxco, McGraw Hll. Lev, R. I. & D. S. Rub. (996). Estadístca para Admstradores. 6ta edcó. Méxco, Pretce Hall. Torres Leó, R. (999). Itroduccó a la Probabldad y Estadístca. Mérda,Yucatá, Méxco, Edcoes de la Uversdad Autóoma de Yucatá. Walpole, R. E.; R. H. Myers; S. L. Myers. (00). Probabldad y Estadístca para Igeeros. ta edcó. Méxco, McGraw. (La sexta edcó es de Pretce Hall Hspaoamercaa ) 30

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