Números Complejos. Números naturales: útiles para contar cosas N={ 0, 1, 2, } Pero con ellos no podemos resolver la ecuación: X+5=2

Transcripción

1 Números Complejos Números naturales: útiles para contar cosas N={ 0, 1, 2, } Pero con ellos no podemos resolver la ecuación: X+5=2

2 Números Complejos Entonces inventamos los números enteros: Z = { -2, -1, 0, 1, 2, } Sin embargo, con ellos no podemos resolver la ecuación: 5x = 2

3 Números Complejos Entonces inventamos los números racionales Q, como la fracción: p/q con p y q números enteros (q distinto de cero) Sin embargo, hay números que no son racionales, como

4 Números Complejos Entonces inventamos los números reales, R Sin embargo, no podemos resolver la ecuación:? No hay un número real cuyo cuadrado sea -4!

5 Números Complejos A esta nuevo conjunto de números complejos nos gustaría imponer, tantas como sean posibles, propiedades de los números que ya conocemos. Por ejemplo:

6 Números Complejos Por lo tanto, postulamos que i se comporta como un número real en operaciones tales como la adición y la multiplicación. Con la única nueva característica que:

7 Números Complejos Definición formal: definimos los números complejos como un par ordenado (x,y) de números reales:

8 Números Complejos Dos números complejos: y son iguales si y sólo si e

9 Álgebra de números complejos Ecuación de Euler

10 Teorema de De Moivre

11 Raíces Dos números complejos son iguales si y solo si y k: entero

12 Raíces De aquí se deduce que si n-ésimas de están dadas por las raíces [ Raíces distintas: ]

13 Definimos la función valor principal de Ln(z), ln(z), restringiendo el argumento de z en el intervalo:

14 Ejemplo: evaluar Ln(-i) es decir Mientras que el valor principal es:

15 Ejemplo: simplifique la expresión Usando que tenemos Por lo tanto: z es real!

16 Regiones en el plano complejo Disco abierto, vecindad o entorno: El conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad donde es número real positivo [ : entorno] ====================================== Recordemos que representa la distancia entre y

17 Regiones en el plano complejo Ejemplos

18 Regiones en el plano complejo Punto interior: un punto en un conjunto S se le llama punto interior de S, si hay un disco abierto, o vecindad circular, que está completamente contenido en S Ejemplo: en el conjunto Re(z)>0, pues existe un disco contenido en el conjunto:

19 Regiones en el plano complejo Si cada punto del conjunto S es un punto interior, entonces S es un conjunto abierto Ejemplo: un disco abierto es un conjunto abierto Un conjunto abierto S es conexo, si para cada par de puntos y en S pueden unirse por una línea poligonal.

20 Regiones en el plano complejo Ejemplo: el anillo conjunto abierto y conexo es un

21 Regiones en el plano complejo A un conjunto abierto y conexo se le llama dominio

22 Regiones en el plano complejo Punto frontera: un punto está en la frontera de S, si cada vecindad de contiene al menos un punto en S y punto fuera de S Un conjunto es cerrado si contiene a todos sus puntos frontera Ejemplo: (disco cerrado)

23 Regiones en el plano complejo Los números complejos pueden visualizarse como puntos en la esfera unidad o esfera de Riemann por medio de una proyección estereográfica. Esta proyección asocia un punto z en el plano ecuatorial con un punto sobre la esfera, por el que una línea recta corta la esfera al unir z y el polo norte de la esfera

24 Regiones en el plano complejo El punto infinito se identifica con el polo norte de la esfera. A la unión de este punto y el plano complejo se le llama plano complejo extendido

25 Mapeos/Transformaciones Una vez introducido los números complejos y visto alguna de sus propiedades (y definido regiones en el plano x-y) quisieramos estudiar funciones de esos números: Recordemos que un función f es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A uno y sólo (*) un elemento de un conjunto B (*) las funciones multivaluadas las veremos más tarde

26 Mapeos/Transformaciones Si f asigna el valor b al elemento a en A, es decir, tenemos que: imagen de a bajo f El conjunto A es el dominio(*) de definición de f y el conjunto de imágenes f(a) es el rango de f (*) no necesariamente el dominio que hemos definido anteriormente

27 Mapeos/Transformaciones Comentario Podemos construir, de hecho ya lo hemos hecho, funciones que van del conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos Por ejemplo Pero estas funciones se pueden estudiar mediante el análisis vectorial de funciones reales

28 Resulta conveniente introducir el valor (complejo) w de la función f(z) en el punto z, es decir, como

29 Mapeos/Transformaciones Ejemplo: Sea a)describa las curvas en el plan x-y tales que y

30 Mapeos/Transformaciones b) Describa las curvas en el plan u-v cuya preimagen está dada por las coordenadas x=a e y=b

31 Mapeos/Transformaciones b) Entonces tenemos la transformacion de la región 0 a a 2 Plano x-y Plano u-v

32 Mapeos Ejemplo: Describa la función para z en el semidisco dado por con