UNIDAD 10: OPERACIONES FINANCIERAS. EL INTERÉS

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1 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 1 de 19 UNIDAD 10: OPERACIONES FINANCIERAS EL INTERÉS 1- INTRODUCCIÓN OPERACIONES FINANCIERAS 11- OPERACIONES FINANCIERAS Una operación financiera es la acción que permite intercambiar uno o varios capitales por otro u otros equivalentes en diferentes momentos de tiempo o vencimientos, aplicando una determinada ley financiera Una persona o entidad acreedor- presta dinero a otra deudor- en una fecha determinada El deudor se compromete o está obligado a devolver la cantidad prestada más un interés en una fecha posterior, que llamamos vencimiento La representación gráfica de esta operación sería: C 1 C 2 t 1 t ELEMENTOS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS El Origen, que coincide con el momento de disponibilidad del primer capital, en nuestro ejemplo es t 1 El final, que coincide con el vencimiento del último capital En el ejemplo t 2 La duración, que es el tiempo transcurrido entre el origen y el final El acreedor, que es la persona física o jurídica que presta el capital (prestamista) El deudor, que es la persona que recibe el capital (prestatario) Prestación, conjunto de capitales prestados Contraprestación, conjunto de capitales que se han de devolver Ley financiera, es la expresión matemática pactada previamente que sirve para calcular los capitales que equilibran la operación financiera, de forma que acreedor y deudor queden saldados

2 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 2 de CLASES DE OPERACIONES FINANCIERAS Dependiendo del criterio de clasificación, tendremos multitud de tipos de operaciones financieras: 1 Según la naturaleza de la operación: Operaciones financieras ciertas, cuando tanto la cuantía como el vencimiento están determinados desde el principio Operaciones financieras aleatorias, cuando la/s cuantía/s y/o el los vencimiento/s son aleatorios, es decir, no están determinados de antemano 2 Dependiendo de la duración de la operación: Operaciones financieras a corto plazo, aquellas cuya duración sea inferior al año Se les suele aplicar la ley de capitalización simple, por ejemplo el descuento de efectos Operaciones financieras a largo plazo, aquellas cuya duración es superior al año Se les suele aplicar la ley de capitalización compuesta, por ejemplo, un préstamo hipotecario 3 Según los compromisos adquiridos por las partes: Simples: cuando la prestación y la contraprestación están formadas por único capital, por ejemplo cuando se concede un préstamo con un único reembolso de capital e intereses Compuestas: cuando prestación y/o contraprestación están formadas por más de 1 capital, por ejemplo las operaciones de venta a plazos o los préstamos hipotecarios 4 Según el momento de comparación de los capitales: De capitalización Cuando el tiempo de referencia de aplicación de la ley financiera es posterior al vencimiento de todos los capitales Por ejemplo, si te prestan una cantidad en este momento, cuánto tendrás que devolver dentro de 6 meses? De descuento Son aquellas en las que el tiempo de referencia de aplicación de la ley financiera es anterior al vencimiento de todos los capitales Por ejemplo, si yo tengo un documento que especifica que vale 3000 dentro de dos meses, cuánto me darían por él en el momento actual? Mixtas de capitalización y descuento Cuando el tiempo de referencia, el momento de valoración, está comprendido entre el primero y último vencimiento de los capitales 2- CAPITALIZACIÓN SIMPLE 21- CÁLCULO DEL INTERÉS: Recibe el nombre de capitalización simple la ley financiera según la cual los intereses de cada periodo de capitalización NO se agregan al capital inicial para hallar los intereses del periodo siguiente, sino que se calculan sobre el capital inicial C 0

3 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 3 de 19 Vamos a usar la siguiente nomenclatura: C 0 : Capital inicial I: los intereses del periodo I T : los intereses totales, siendo su valor la suma de los intereses de cada periodo i: tipo de interés anual en tanto por uno, que representa la cantidad de dinero que obtiene por cada euro invertido en un año C n : capital final o montante, que es la suma del capital inicial más los intereses totales Vamos a comenzar aprendiendo a calcular los INTERESES TOTALES de una operación, cuyo capital es C 0, y está impuesta a un tipo de interés i durante n periodos: Intereses del primer periodo Intereses del segundo periodo Intereses del periodo n Intereses totales EJEMPLO: Calcula el interés de 600 al 10% anual en 3 años: En definitiva podemos decir que: TOTAL INTERESES: = VARIABLES QUE INTERVIENEN EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE, A PARTIR DE LA FÓRMULA DEL INTERÉS: CAPITAL TIEMPO TIPO DE INTERÉS

4 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 4 de REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FORMA DE OPERAR EN INTERÉS SIMPLE: En interés simple los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial, NO acumulándose al mismo para producir nuevos intereses: C 0 I 1 I 2 I n INTERESES TOTALES: I 1 + I I n 1 2 n-1 n 24- EL MONTANTE: Definimos montante o capital final C n obtenido en una operación de capitalización a la suma del capital inicial más los intereses, por tanto: C 0 C n A la expresión (1+ni) se le denomina FACTOR DE CAPITALIZACIÓN y como resultado de aplicar dicha expresión a un capital inicial, convierte a éste en un capital final Cuál será el montante obtenido por un capital de al 5% de interés simple durante 5 años?: Capital inicial Intereses A partir de la fórmula del montante también podemos calcular cualquiera de sus elementos tal y como se hizo a partir de la fórmula del interés total Veamos cuál sería el valor del capital inicial, conocidos el montante, el tiempo y el tanto de colocación, para lo cual sólo hemos de despejar C 0 :

5 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 5 de 19 Que es lo mismo que: C 0 C n Pues bien a la expresión (1+ni) -1 se le denomina FACTOR DE ACTUALIZACIÓN y como resultado de aplicar dicha expresión a un capital final, convierte a éste en un capital inicial o anterior Sabemos que tras 5 años de colocación de un capital al 5% de interés simple, éste se convirtió en Cuál fue el capital que se impuso? 25- CAPITALIZACIÓN NO ANUAL: Hasta ahora hemos dado por hecho que los periodos de tiempo considerados eran años y que el tipo de interés era anual, pero lógicamente nos podemos encontrar con que el tiempo no se mida en años, sino en cualquier otra fracción del mismo (meses, semestres, ) Lo primero que debemos tener en cuenta para trabajar de esta forma es que el tiempo y el tanto deben estar referidos a periodos de tiempo homogéneos, si no es así, podemos hacer cualquiera de estas dos cosas: Transformar el tiempo en la unidad temporal que mida el tipo de interés Transformar el tipo de interés en su equivalente de la unidad temporal en que estemos trabajando Antes de seguir debes recordar, cuántos subperiodos (m) contiene el año de cada una de las posibles fracciones en que podemos dividirlo: Periodos Son periodos de: Frecuencia de fraccionamiento (m) Año 1 Semestre 6 meses 2 Cuatrimestre 4 meses 3 Trimestres 3 meses 4 Bimeses 2 meses 6 Teniendo en cuenta este nuevo parámetro, debemos completar la nomenclatura vista anteriormente, de la siguiente forma: i: tanto anual i (m) : tanto fraccionado equivalente m: frecuencia de capitalización Meses 30 día 12 Semanas 7 días 52 Días 360/365

6 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 6 de 19 Llamaremos TANTOS EQUIVALENTES a aquellos que aplicados a un mismo capital inicial C 0 durante el mismo periodo de tiempo n producen los mismos intereses I o generan el mismo montante C n Imaginemos que tenemos un capital C 0, en capitalización simple durante un periodo de tiempo a un tipo de interés anual i y queremos calcular el tanto equivalente i m, éste en una unidad temporal inferior Pues teniendo en cuenta el concepto de tantos equivalentes, i e i m lo serán si sucede que los intereses o los montantes producidos por los mismos son iguales, nosotros vamos a aplicar igualdad de intereses que simplifica más la demostración: Si tenemos en cuenta el tiempo y el tanto en años: Si tenemos en cuenta el tiempo expresado en m fracciones de año Igualamos ambas expresiones y despejamos i en función de i m : Y también podemos decir: De lo que podemos deducir que: En capitalización simple los tantos equivalentes son, además, proporcionales cosa que, como ya veremos, no ocurre con los tantos equivalentes en capitalización compuesta Así si el tanto anual de una operación fuera el 12%, podemos decir que su tanto equivalente: Mensual, será: 1% Semestral: 6% Bimensual 2% Y así sucesivamente Calcular el interés que produjo un capital de invertidos al 0,09 simple anual durante 13 cuatrimestres Co = i= 0,09 n= 13 cuatrimestres Como vemos i y n están referidos a distintas unidades temporales, podemos resolver este problema de las siguientes formas: I:?

7 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 7 de 19 1) Transformando n en la unidad temporal de i: 13 cuatrimestres son 13/3 =4,33333 años De forma que: 2) Transformando i en la unidad temporal de n: De forma que: Se puede decir por tanto que i (3) =0,03 trimestral es equivalente al i=0,09 anual pues aplicados al mismo capital inicial durante el mismo periodo de tiempo producen los mismos intereses EN RESUMEN: El tiempo y el tanto siempre deben estar referidos a la misma unidad temporal, cuando eso no sucede, podemos: Transformar n, en la unidad de tiempo a que se refiere i Transformar i, en la unidad de tiempo a que se refiere n TANTOS EQUIVALENTES, son aquellos aplicados al mismo capital inicial durante el mismo tiempo generan los mismos intereses o el mismo montante Siendo m el número de partes en que se divide el año 26- MÉTODOS DE CÁLCULO ABREVIADO Esta práctica es muy útil para el cálculo de intereses, cuando el tipo de interés que se aplica es constante y son muchos los capitales con los que trabajar, esto ocurre cuando se liquidan cuentas corrientes, por ejemplo Supongamos que tenemos varios capitales: C 1, C 2,, C n, colocados a un mismo tanto unitario anual de interés simple i, durante n 1, n 2,, n n (meses, días, semanas, ) respectivamente y que deseamos saber el interés total que nos producen Para ello, tenemos que calcular el interés de cada uno de los capitales y sumarlos después, es decir: (1)

8 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 8 de MÉTODO DEL MULTIPLICADOR FIJO: Si al producto de capital por tiempo lo llamamos NÚMERO COMERCIAL (NC) Al cociente i/m lo llamamos lo llamamos MULTIPLICADOR FIJO (M) Podemos decir que: En definitiva que el interés total es el sumatorio de los números comerciales por el multiplicador fijo (M f ), siendo éste i/m 262- MÉTODO DEL DIVISOR FIJO: Si volvemos a la expresión (1), podemos decir: Si al producto de capital por tiempo lo llamamos NÚMERO COMERCIAL (NC) Al cociente m/i lo llamamos lo llamamos DIVISOR FIJO (D f ) En definitiva que el interés total es el sumatorio de los números comerciales divido entre el divisor fijo D f, siendo éste m/i Calcula los intereses totales de 2500, 1500 y 3000 durante 13, 25 y 56 días, a un interés simple del 5% Teniendo en cuenta el año comercial C 0 n NC DIVISOR FIJO: MULTIPLICADOR FIJO: TOTAL

9 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 9 de DESCUENTO SIMPLE El descuento es una operación financiera muy utilizada en el ámbito mercantil Las empresas cuando se ven con dificultades de liquidez pueden acudir al descuento de efectos comerciales Los efectos que frecuentemente son objeto de descuento son la letra de cambio y el pagaré Estas operaciones son realizadas por las entidades financieras Los bancos abonan el importe del efecto comercial menos cierta cantidad en concepto de interés y gastos diversos El banco cobra después el efecto el día de su vencimiento Las entidades financieras no pueden aplicar un tipo de descuento arbitrario, sino el fijado por el poder público; en nuestro caso, el Banco de España Los bancos poseedores de efectos, que previamente han descontado a sus clientes, pero que aún no han vencido, pueden acudir al Banco de España para que éste, a su vez, les anticipe el importe, previa entrega de los efectos A esta operación se la denomina redescuento El comerciante tiene L/C pero no tiene liquidez y no puede esperar al vencimiento de las letras LETRAS DE CAMBIO NOMINAL menos: INTERESES COMISIONES El banco adelanta el importe de las letras a los comerciantes que los emitieron Lo hace a cambio de cobrar intereses y comisiones El banco puede acudir al BANCO DE ESPAÑA para el REDESCUENTO de los efectos Así pues, son operaciones de descuento aquellas en las que conocido un capital que vence en el futuro tratamos de calcular su capital equivalente, de acuerdo a una ley financiera, en un momento anterior A ese capital futuro le llamamos en estas operaciones nominal (N), y al capital equivalente en el momento anterior efectivo (E)

10 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 10 de 19 E < N y la diferencia se llama cantidad descontada o descuento (D), de forma que: D = N E Por tanto: E =N - D En las operaciones de descuento se suele conocer el nominal y lo que interesa es calcular o la cantidad descontada o el efectivo a pagar 31- CÁLCULO DEL DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE O BANCARIO Es aquel en el que la cantidad descontada se calcula sobre el nominal de la operación: En esta expresión: D c : es la cantidad descontada comercialmente N: es el nominal de la operación d c : tanto de descuento comercial en tanto por uno n: duración de la operación Como vemos, en este tipo de operaciones los intereses se calculan sobre el capital futuro En ellas se suele conocer el nominal y lo que interesa es calcular: La cantidad descontada (importe del descuento D c ) El efectivo a pagar E El efectivo de la operación será

11 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 11 de 19 1 Calcula el D c de un efecto de 72482,30 al que se aplica un tipo de descuento comercial del 8% anual y que vence dentro de 60 días 2 Sabiendo que el descuento comercial de un efecto fue de 508,03, que faltan 45 días (a o civil) para el vencimiento y que se aplicó el 9% anual de descuento comercial, a cuánto ascendió el nominal? 3 Calcula el efectivo resultante de aplicar a un nominal de 44444,44, que vence el 27 de septiembre, un descuento comercial del 7% anual El descuento se efectúa el 31 de marzo: (31) (30) (31) (30) (31) (31) (30) MARZ ABR MAY JUN JUL AG SEP TOTAL= 180 días 32- CAPITALES EQUIVALENTES Cualquier operación financiera implica unas prestaciones y unas contraprestaciones, que será preciso comparar Así, por ejemplo, en un préstamo, se compara el capital que recibe el prestatario, con el montante que tendrá que entregar al prestamista o, en una operación de compra-venta se puede comparar el importe de la operación al contado con el importe de la operación a plazos Como normalmente se tratará de prestaciones y contraprestaciones de cuantías y vencimientos diferentes, habrá que valorarlos todos en un mismo momento y a un mismo tipo de interés, para poderlos comparar

12 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 12 de 19 Cuando el valor actual de un capital es igual al valor actual de otro u otros capitales, diremos que son equivalentes financieramente Dado un capital de um, que vence dentro de 3 años, y otro de 15000, que vence dentro de 5 años, comprobar que son equivalentes en el momento cero, si tenemos en cuenta un tipo de valoración del 10% Si actualizamos, tendremos: Como el valor en cero, en ambos casos, es idéntico, podemos decir que ambos capitales: en el momento 3 y 15000, en el momento 5, son equivalentes en cero Pero sólo en ese momento, si hacéis la comprobación para el momento 2 en lugar de cero, por ejemplo, veréis que no existe equivalencia Vamos a comprobar si estos dos capitales siguen siendo equivalentes en MOMENTO 2: En capitalización simple, cuando dos capitales son equivalentes en un momento, no son equivalentes en ningún otro

13 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 13 de CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Llamamos capitalización compuesta a la ley financiera según la cual los intereses producidos por un capital en cada periodo se agregan al capital para calcular los intereses del periodo siguiente, y así sucesivamente, hasta el momento de cierre de la operación financiera En la práctica financiera, la capitalización y la actualización compuesta, se usan, sobre todo, en aquellas operaciones financieras con una duración superior a un año 41- CÁLCULO DEL CAPITAL FINAL O MONTANTE: Partiendo de la definición anterior, la capitalización compuesta consiste en un proceso de acumulación de los intereses al capital para producir conjuntamente nuevos intereses Si llamamos: C 0 : Capital inicial n : Duración de la operación i : Tipo de interés anual en tanto por uno C n : Capital final o montante Año que transcurre Capital al prcpio del periodo Interés del año Capital final al cabo de los años transcurridos n El capital final o montante en capitalización compuesta es:

14 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 14 de 19 Siendo el factor de capitalización compuesto, que nos permite trasladar capitales a un momento posterior en el tiempo C 0 C n Gráficamente, podemos representar el cálculo del montante: 42- CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DEL MONTANTE: CAPITAL INICIAL TIEMPO TANTO ;

15 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 15 de CÁLCULO DEL INTERÉS: 44- COMPARACIÓN ENTRE LA CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTA Vamos a comparar el montante en capitalización simple, con el montante en capitalización compuesta, para el caso particular en que : El valor de C n es una función exponencial de base > 1 y por tanto su comportamiento es creciente 1+i Nº de periodos En el siguiente ejemplo se calcula el montante para tres periodos distintos Observa cómo el montante obtenido en capitalización simple es superior al obtenido en capitalización compuesta para periodos de tiempo inferiores al año (6 meses), para periodos iguales al año, ambos montantes coinciden y, sin embargo para periodos de tiempo superiores al año (5 años) el montante obtenido en capitalización compuesta es superior al obtenido en capitalización simple Tiempo Capitalización simple Capitalización compuesta 6 meses 1 año 5 años

16 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 16 de TANTOS EQUIVALENTES EN INTERÉS COMPUESTO Al realizar los cálculos matemáticos en las operaciones financieras, el tipo de interés y la duración de la operación financiera deben estar medidos en la misma unidad de tiempo Recuerda el concepto de tantos equivalentes que se vio en referencia al interés simple: son tantos equivalentes aquellos que aplicados a un mismo capital inicial durante el mismo periodo de tiempo producen los mismos intereses o generan el mismo montante Imaginemos una operación en capitalización compuesta en años, siendo: é Imaginemos ahora la misma operación durante el mismo período de tiempo, pero en una unidad temporal menor (meses, trimestres, ), siendo: é Igualemos ambos montantes: Esta es la ECUACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES, que permite deducir el valor de en función de y viceversa: Para calcular sólo hemos de operar en la ecuación de tantos equivalentes: En capitalización compuesta los tantos equivalentes no son proporcionales, como ocurría en la capitalización simple Calcula el montante de um al 8% de interés semestral al cabo de 2 años: Por tanto el 0,08 semestral no equivale al 0,16 anual á

17 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 17 de TANTOS NOMINALES Dada la falta de proporcionalidad con que en el interés compuesto se relacionan los tantos equivalentes, surge un nuevo concepto: el tanto nominal Se trata de un tanto teórico que se obtiene multiplicando la frecuencia de capitalización (m) por el tanto de frecuencia o equivalente (i m ): De tal forma que en la práctica comercial, hablar de un 8% nominal capitalizable por semestres, es lo mismo que decir que capitalizamos al 4% semestral La palabra nominal no es indispensable, entenderíamos lo mismo diciendo simplemente: un 8% capitalizable por semestres De forma que: Un, sería lo mismo que un y este sería equivalente al, tal como podemos comprobar si aplicamos la ecuación de tantos equivalentes: Podemos calcular en función de También podemos obtener función de en 47- LA TAE La TAE intenta ser una unidad homogénea de medida para que, principalmente los pequeños inversores puedan comparar operaciones financieras Esta tasa incluye el efecto que determinados gastos como las comisiones, entre otros, producen en el coste o rendimiento final de la operación El objetivo de la TAE es mostrar el verdadero coste o rendimiento de una operación, teniendo en cuenta los gastos asociados a la misma La tasa anual equivalente se expresará en tanto por ciento y referida al año Cuando en una operación no existen gastos, la TAE coincidiría con el interés efectivo anual i

18 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 18 de 19 RESUMEN: TANTO ANUAL EFECTIVO (TAE) TANTOS EQUIVALENTES DE FRECUENCIA m TANTOS REALES Está regulado por el banco de España Es el interés efectivo anual en tanto por cien, que iguala las disposiciones con los pagos (por amortizaciones, comisiones, gastos, etc) Cuando en una operación financiera no existen gastos la TAE coincidirá con el interés efectivo anual Es un tanto real referido a distintos periodos del año y equivalente al tanto anual: Que podemos obtener a través de la ecuación de tantos equivalentes: TANTO NOMINAL TANTO TEÓRICO Es teórico porque no se usa para el cálculo, sin embargo es de gran utilidad pues permite obtener un tanto fraccionado con gran facilidad y rapidez, pues se define como: Es decir:, lo cual nos resulta para calcular el tanto anual COMPARACIÓN ENTRE LOS TRES TIPOS DE INTERÉS: Si relacionas bien todo lo visto no te será difícil comprobar que: i TAE

19 IES EXTREMADURA (Montijo) Página 19 de 19 Un inversor ha depositado 5000 en un novedoso instrumento financiero que le ha ofrecido su banco, según el cual la entidad le asegura un interés del 3% anual en una inversión de 600 días Calcular: 1 Cuánto obtendrá al final de la operación? 2 Cuál será la TAE de este producto si NO se cobra ninguna comisión? 3 Cuál será la TAE de este producto si se cobra un 1% de comisión en la amortización? 1 Para calcular el efectivo que obtendrá este inversor, lo primero que debemos hacer es calcular el tipo de interés diario y después calcular el montante de la inversión durante 600 días 2 El cálculo de la TAE se reduce a calcular el rendimiento o coste de la operación financiera Si no hay pagos por comisiones u otros conceptos, la TAE es el interés efectivo anual en tanto por ciento: í Calculemos ahora el tipo de interés de esta operación Que en términos anuales, tal como debe expresarse la TAE, será: 3 Al existir una comisión, NO coincidirán la TAE y el interés efectivo anual: Calculemos ahora el tipo de interés será: que en términos anuales