lo que hace a las colas un área interesante y desafiante. En la figura se muestra un sistema típico de colas. 4. MODELOS DE LINEAS DE ESPERA

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1 4. MODELOS DE LINEAS DE ESPERA Objetivo: El estudiante evaluará los criterios de decisión en las líneas de espera, examinando el proceso de llegada para poblaciones sencillas o múltiples de unidades finita, infinita o de volumen, generados en procesos de espera determinísticos o probabilísticos, dependientes o independientes; las disciplinas de las líneas de espera 4.1. Características generales lo que hace a las colas un área interesante y desafiante. En la figura se muestra un sistema típico de colas. Introducción. Parte de nuestra vida diaria es esperara algún servicio. Esperamos para entrar a un restaurante, hacemos cola para entrar a un espectáculo y nos formamos para recibir un servicio. Hacemos cola para esperar nuestro turno en bancos, supermercados, estéticas, casetas de pago en autopistas, y restaurantes. La programación de los aterrizajes de los aeroplanos en una pista específica es un problema de colas: piense que los aeroplanos en el aire son clientes que esperan ser atendidos, y la pista es el servidor. Los sistemas de tráfico telefónico son ejemplos de redes complejas de colas. Las llamadas telefónicas se en rutan a través de los sistemas de distribución, donde hacen cola hasta que son desviados ya sea a la siguiente estación de distribución o bien a su destino final. En efecto, fue A. K. Erlang, un ingeniero de telefonía danés, el responsable de muchos de los primeros desarrollos teóricos en el área de las colas. La teoría de colas es el estudio de los procesos de línea de espera. Una cola (queue) es la versión británica de la línea de espera norteamericana (waiting line). Virtualmente todos los resultados de la teoría de colas suponen que tanto los procesos de llegada como de servicio son aleatorios. Es la interacción entre estos dos procesos Los clientes llegan a una o más instalaciones de servicio. Si otras personas ya están esperando, según el tipo de servicio, los clientes que acaban de llegar esperarían su turno para ser atendidos por el siguiente servidor disponible y saldrían del sistema cuando terminen sus operaciones. Los problemas de colas son comunes en la administración de las operaciones. En el contexto de las manufacturas, el ambiente de taller puede considerarse una compleja red interrelacionada de colas. A medida que los trabajos terminan de realizarse en un centro, éstos hacen cola para ser procesados en el centro siguiente. Si la programación en un ambiente de taller se asume como un problema dinámico en lugar de uno estático, deben hallarse las tasas de flujo y otras medidas usando los resultados de la teoría de colas. Los problemas de colas se presentan con mucha frecuencia en los sistemas de servicios. Cada uno de nosotros experimenta colas en los sistemas de servicios todos los días. De hecho, según Michael Fortino, de Priority Management en Pittsburgh, la mayoría de las personas pasan aproximadamente cinco años de su vida haciendo colas y seis meses esperando en los semáforos (Chicago Tribune, 21 de junio, 1988). Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1

2 Por qué estudiar líneas de espera? Este estudio de las líneas de espera trata de cuantificar un fenómeno de esperar, tomando medidas relevantes de eficiencia como longitud promedio de la fila, tiempo de espera en la fila y uso promedio de las instalaciones. más de una llegada a la vez (lo que se conoce en las colas como llegadas por lote). La variable que consideraremos para las llegadas será la letra lamda: λ = número promedio de llegadas al sistema/ unidad de tiempo (velocidad de llegadas) A continuación se muestra una gráfica de un modelo de decisión de diseño de líneas de espera basado en costos. 2. Proceso del servicio. Se distingue por la distribución del tiempo requerido para servir a un cliente. Nuevamente, el caso más fácil de analizar se presenta cuando la distribución de los tiempos de servicio es exponencial. Otras distribuciones dan lugar a modelos de colas más complejos. En el caso del proceso de servicio usaremos la variable miu: µ = número promedio de entidades que se atienden en el sistema / unidad de tiempo. (velocidad de atención del servidor). Aspectos estructurales de modelos de colas 1. Proceso de llegada. Describe las llegadas de los clientes al sistema y se caracteriza por la distribución de los tiempos entre llegadas. El caso más simple es cuando se trata de una sola llegada a la vez, de manera completamente aleatoria. Esto da lugar a una distribución exponencial para los tiempos entre llegadas. Otras posibilidades incluyen las distribuciones generales entre llegadas o 3. Disciplina de servicio. Ésta es la regla mediante la cual se sirve a los clientes en la cola. La mayoría de los problemas de colas que se presentan en los sistemas de servicio son del tipo primeras llegadas, primeras salidas (FCFS). Generalmente consideramos a esta regla como justa. Sin embargo, también son comunes otras disciplinas de servicio. Cuando compramos leche, podemos verificar las fechas en los envases de cartón y elegir la que tenga la fecha de caducidad más lejana. Si consideramos que la leche es la cola, esto significa que la disciplina de servicio es del tipo último en llegar, primero en salir (LCFS). Las salas de emergencia de los hospitales darán prioridad a los pacientes cuya vida está en peligro tales como los traumatismos ocasionados en un accidente automovilístico por sobre aquéllos con problemas menos graves. Esto se denominaría una disciplina de servicio por prioridad. 4. Capacidad de la cola. En algunos casos, el tamaño de la cola puede estar limitado. Por ejemplo, los restaurantes y las salas de cine pueden alojar solamente a un número determinado de clientes. Desde Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 2

3 un punto de vista matemático, la hipótesis más simple es que el tamaño de la cola sea ilimitado. Aun si la capacidad es finita, es razonable ignorar dicha restricción si es poco probable que la cola se sature. 5. Número de servidores. Las colas pueden ser atendidas por un solo servidor o por servidores múltiples. Este último caso es común en los bancos: los clientes forman una sola cola y son atendidos por el siguiente servidor disponible. En contraste, el área de despacho de un supermercado típico no es una cola con servidores múltiples. Como un comprador debe formarse en una sola cola específica, éste es un sistema paralelo de colas con un solo servidor (posiblemente dependiente). Otro ejemplo de una cola con servidores múltiples sería el área de aterrizaje del aeropuerto; los aeroplanos pueden despegar o aterrizar en una de varias pistas. 6. Estructura de la red. Se forma una red de colas cuando la salida de una da pie a la entrada de otra cola. La mayoría de los procesos de manufactura generalmente es un tipo de red de colas. Los sistemas de carreteras y los sistemas de distribución telefónica son otros ejemplos. Estas estructuras con frecuencia son demasiado complejas como para analizarlas matemáticamente. Configuración: consiste en identificar la cantidad de servidores y el número de etapas o fases de servicio por las que tiene que pasar una entidad. En este tema se analizarán las configuraciones de un sólo canal y multicanal (ambos con una sola fase). La configuración de los mismos y otras configuraciones adicionales se representa gráficamente de la siguiente manera: Sistema de un sólo canal con una sola fase Sistema de un sólo canal con multifase Llegadas Salida Servidor 1 Servidor 2 Fila Fila Sistema multicanal con una sola fase Servidor 1 Llegadas Salida Sistema multicanal, multifase Fila Servidor 2 Llegadas Salidas Servidor Servidor Servidor Servidor Llegadas Servidor Salida Fila Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 3

4 Distribución de tiempos de servicio: al igual que las llegadas al sistema, los tiempos en que las entidades son atendidas dentro del sistema tienden a ser independientes una de la otra y aleatorias, por lo que es común que se representen con una distribución de probabilidad. Para los modelos de líneas de espera a analizar en este tema la notación Kendall será de la siguiente manera: 1. Modelo de un sólo canal (M / M / 1). 2. Modelo de canales múltiples (M / M / m). 3. Modelo de tiempo de servicio constante (M / D / 1). Importante: en la teoría de colas también puede encontrarse que los tiempos de servicio son constantes, los cuales se pueden encontrar en procesos automatizados. Dicha variante la veremos como último modelo de análisis en este tema. Notación Kendall Todos los sistemas de líneas de espera pueden ser representados de manera más sencilla mediante el uso de la notación desarrollada por A. G. Kendall, la cual tiene el propósito de representar mediante tres caracteres el tipo de sistema a analizar. La notación Kendall se representa de la siguiente manera: Distribución de Llegadas / Distribución de tiempos de Servicio / Número de servidores Donde: La Distribución de Llegadas puede ser: M = distribución de llegadas de tipo Poisson D = distribución de llegadas es constante G = distribución de llegadas general con varianza y media conocidas La Distribución de tiempos de Servicio puede ser: M = distribución de tiempos de servicio de tipo Exponencial D = distribución de tiempos de servicio es constante G = distribución de tiempos de servicio general con varianza y media conocidas Ejercicios: Para cada uno de los casos siguientes identifique: a) El cliente. b) El servidor. c) Naturaleza de la fuente (finita o infinita) d) Naturaleza de los clientes (individualmente o de grupo) e) Tiempo entre llegadas (determinística o probabilística) f) Tiempo de servicio (determinística o probabilística) g) Capacidad de la cola (finita o infinita) h) Disciplina de la cola. CASOS: 1) Aviones que llegan a un aeropuerto 2) Bases de taxis donde éstos esperan a que lleguen pasajeros 3) Verificación de las herramientas en un almacén en un área de maquinado 4) Cartas procesadas en una oficina de correos 5) Inscripción a las clases en una universidad 6) Juicios en una corte 7) Funcionamiento de las cajas en un supermercado 8) Funcionamiento de un estacionamiento Puede resolver este ejercicio usando el siguiente archivo de EXCEL: El Número de servidores puede tomar valores de 1, 2, 3, m Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 4

5 Dentro de teoría de colas tenemos dos variables importantes: lamda y miu tiene los siguientes significados: λ = número promedio de llegadas al sistema/ unidad de tiempo (velocidad de llegadas) µ = número promedio de entidades que se atienden en el sistema / unidad de tiempo. (velocidad de atención del servidor). Cuestionario. 1.- Explique lo que se entiende por la frecuencia de llegadas λ y el tiempo promedio entre llegadas. Cuáles son las unidades de cada variable? 2.- En cada caso siguiente determine la frecuencia promedio de llegadas por hora λ y el tiempo promedio de llegadas en horas. a) Una llegada cada 10 minutos b) Dos llegadas cada 6 minutos c) La cantidad de llegadas en un periodo de 30 minutos es 10. d) El intervalo promedio entre dos llegadas sucesivas es de 0.5 horas. 3.- En cada uno de los casos determine la frecuencia promedio de servicio por hora µ y el tiempo promedio de servicio en horas. a) Se termina un servicio cada 12 minutos. b) Hay dos salidas cada 15 minutos. c) La cantidad de clientes atendidos en 30 minutos es de 5 d) El tiempo promedio de servicio es de 0.3 horas. RESPUESTAS: 1. λ representa cuantos clientes llegan sobre una unidad de tiempo; por ejemplo 4 clientes/ hora. Las unidades son precisamente clientes/hora. El inverso de lambda 1/λ representa cuanto tiempo transcurre para que llegue un cliente. 2. Inciso A) 1/λ= horas/cliente y λ=6 clientes/hora Inciso B) 1/λ= 0.05 horas/cliente y λ=20 clientes/hora Inciso C) 1/λ= 0.05 horas/cliente y λ=20 clientes/hora Inciso D) 1/λ= 0.25 horas/cliente y λ=4 clientes/hora 3. Inciso A) µ= 5 clientes/hora y 1/µ=0.2 horas/cliente Inciso B) µ= 8 clientes/hora y 1/µ =0.125 horas/cliente Inciso C) µ = 10 clientes/hora y 1/µ =0.1 horas/cliente Inciso D) µ = clientes/hora y 1/µ =0.3 horas/cliente Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 5

6 Variables aleatorias Variable. Cantidad que cambia su valor a lo largo de un problema. Variable aleatoria. Cantidad que cambia su valor siguiendo las reglas de la probabilidad. Variable aleatoria continua. Las variables continuas pueden tomar cualquier valor entre dos valores cualesquiera; por ejemplo el peso de una persona 83.45kg o el tiempo de un servicio 4.67minutos; en otras palabras pueden tomar valores fraccionarios. Variable aleatoria discreta. Las variables discretas pueden tomar solo valores enteros; ejemplo de una variable aleatoria discreta es el resultado de lanzar un dado (1, 2, 3, 4, 5 y 6). Uso de la distribución poisson (usado para las llegadas de los clientes) Las condiciones para usar la distribución poisson en las ecuaciones de filas de espera son las siguientes. 1. Orden. En cualquier instante a lo más un cliente llegará a las instalaciones de servicio. 2. Estacionalidad. Para un marco de tiempo dado la probabilidad de que un cliente llegue dentro de cierto intervalo de tiempo es igual para el resto de los intervalos de la misma duración. 3. Independencia. Los clientes llegan independientemente uno del otro, la llegada de uno no afecta la probabilidad de llegada de otro cliente. Considerando que: λ = número promedio de llegadas al sistema/ unidad de tiempo (velocidad de llegadas) Si estamos dispuestos a que nuestro modelo acepte estas condiciones, podemos ocupar la siguiente ecuación para el proceso de llegadas poisson: x λ λ e p(x) = x! Dónde: λ = Ritmo o velocidad promedio de llegadas por cada unidad de tiempo. e = constante ( valor irracional) x! = x*(x-1)*(x-2)* (3)*(2)*(1) x = cantidad de clientes; 0, 1, 2, etc. En caso de que se requiera la probabilidad acumulada, la ecuación se transforma en lo siguiente: x x λ λ e P(x) = k= 0 x! Las funciones anteriores están en EXCEL y en las versiones 2007 se encuentra como POISSON.DIST y en 2010 solo como POISSON. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 6

7 Ejercicio: Los clientes llegan a una ferretería Hanks de acuerdo con la distribución poisson. La tienda abre a las 8:00am y los martes llegan en promedio 6 clientes entre las 8:00am y 9:00am. Hank fue a una fiesta el lunes por la noche y desea dormir media hora extra el martes, y está preocupado porque si abre media hora tarde podría perder demasiadas ventas. Por lo tanto desea conocer la probabilidad de que 0, 1, 2, 3.. etc clientes lleguen entre 8:00 y 8:30am. A continuación se muestra como se realiza en EXCEL Puede abrir el objeto de EXCEL insertado a continuación si tiene el archivo en WORD. Uso de la distribución exponencial (usado para la velocidad del servicio). Puesto que se usa el mismo tiempo promedio de servicio para despachar una taza de café, una máquina expendedora; el tiempo de servicio puede modelarse con una distribución constante (si este valor es prácticamente el mismo para todos los clientes). En caso de que los tiempos de servicio sean aleatorios con una media conocida, se puede usar la distribución exponencial. Recordando que: µ = número promedio de entidades que se atienden en el sistema / unidad de tiempo. (Velocidad de atención del servidor). k p(x=k) 0 5.0% % % % % % mas de 5 8.4% Uso de la distribución poisson. Ejercicio: Realice un histograma para K con valores entre 0 y 11; comente su comportamiento, tanto para la función de densidad como la acumulada. a) La función de densidad es una distribución simétrica? b) Cuál es el valor más elevado en la función de densidad? c) Revise donde queda el 50% de probabilidad de llegada en la función de probabilidad acumulada y comente sus conclusiones. La distribución exponencial está dada por la función acumulada F(t): F(t) terminado en un tiempo determinado µ t = 1 e Indica la probabilidad de que el servicio esté Y la función de densidad está dada por: t f(t) = µ e µ A esta ecuación se le llama distribución exponencial. Depende del único parámetro µ, que representa una tasa de ocurrencia o de atención al cliente. Esta función se usa tanto en teoría de líneas de espera como en tasa de fallas de componentes. Ambas funciones se encuentran disponibles en EXCEL Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 7

8 Ejemplo: Hank estima que tarda un promedio de cuatro minutos en atender a cada cliente, y los tiempos de servicio siguen una función exponencial, Hank tiene una cita importante para comer, de modo que desea hallar la probabilidad de que le tome menos de tres minutos en atender al siguiente cliente. A continuación se muestra como se realiza en EXCEL Puede abrir el objeto de EXCEL insertado a continuación (SOLO si tiene el archivo en WORD). A continuación se muestra la sintaxis usada por EXCEL para el cálculo de la distribución exponencial. 1/μ= μ = 4 minutos/cliente Tiempo que tarda un cliente en llegar 0.25 clientes/minuto Velocidad a la que llegan los clientes P(t< 3 min) = 52.8% RESPUESTA Uso de la distribución exponencial. Propiedad sin memoria de la distribución exponencial y poisson. Una de las propiedades de las distribuciones de probabilidad vistas es que no tienen memoria, es decir, no se obtiene más información de probabilidad si se espera más tiempo tanto las llegadas como el servicio; dado que cada llegada y cada servicio atendido es independiente de todos los anteriores. Esta propiedad de las distribuciones sin memoria se les conoce como MARKOVIANAS. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 8