I VARIACIONES. Una variación es un arreglo ordenado de n objetos diferentes, tomados de r a la vez se denota por medio de:

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1 ANALISIS COMBINATORIO. TEOREMA FUNDAMENTAL: Si u suceso puede teer lugar de m maeras distitas y cuado ocurre ua de ellas se puede realizar otro suceso imediatamete de formas diferetes, ambos sucesos, sucesivamete, puede ocurrir de m maeras distitas. or ejemplo: si hay 3 cadidatos para la presidecia y 5 para vicepresidecia, existe 3 5=15 parejas distitas de presidete y vicepresidete. NOTACION FACTORIAL: Las idetidades siguietes muestra el sigificado de factorial escrito! 5!= = 120!= = 720!= !=1 por defiició. I VARIACIONES. Ua variació es u arreglo ordeado de objetos diferetes, tomados de r a la vez se deota por medio de: V r! ( r)! Ejemplo: Ua persoa desea hacer ua apuesta y seleccioa los tres primeros lugares al fializar la carrera. Si e ella participa 8 caballos, Cuátas ordeacioes existe para los tres primeros caballos? (Supoiedo que o haya empate). 8 8! 1* 2*3* 4*5**7*8 V3 33 (8 3)! 1* 2*3* 4*5 II ERMUTACIONES. La permutació es u arreglo ordeado de u cojuto de elemetos, es decir de elemetos se ordea los elemetos cada vez. Supoga que se tiee úmeros: { 1,2,3 }. Ua permutació de ellos es 123, otra es 321, he aquí todas las ordeacioes que puede formarse co ellos:123, 132, 213, 231, 312, 321. El úmero de permutacioes de elemetos diferetes tomados a la vez, se deota mediate. =! ERMUTACIONES CON REETICION DE ELEMENTOS El úmero de permutacioes de elemetos repitiédose uo de ellos 1 veces, otro, 2 veces,, Viee dado por:,,,...,! siedo... k 1, 2, 3,..., k 1 2 3!*!*!*...*! k or ejemplo, el úmero de maeras e que se puede distribuir 3 moedas de 25 pesos y 7 moedas de 5, etre 10 iños de forma que a cada uo de ellos le correspoda 1 sola moeda..

2 10! 8*9*10 3!*7! 1* 2*3 10 3,7 120 maeras ERMUTACIONES CÍCLICAS. El úmero de maeras e que se puede ordear elemetos diferetes alrededor de ua circuferecia, es igual a ( 1 )!. c = ( 1)! or ejemplo, 10 persoas se puede setar alrededor de ua mesa redoda de Cuátas maeras? c 10 = ( 10 1)! = 9! = maeras. III COMBINACIONES: La combiació es u cojuto de elemetos, si que se preste ateció a su orde i a su arreglo. Ua combiació de r elemetos escogidos e u cojuto de elemetos es u subcojuto del cojuto de elemetos. or ejemplo, las combiacioes de las 3 letras a, b, c tomadas de 2 e 2 es ab, bc, ac, cualquiera de estas disposicioes es ua combiació. Obsérvese que ab y ba so ua misma combiació (se prescide del orde), de las letras a y b. Su forma viee dada por:! C r ( r)! r! Esta fórmula permite calcular el úmero de combiacioes de r elemetos que puede seleccioarse de elemetos. or ejemplo, el úmero de saludos que puede itercambiar etre sí 12 persoas, si cada ua saluda ua de las otras. C 2 12 = ( 12 2 ) = 12! (12 2)! 2! = NUMERO TOTAL DE COMBINACIONES DE ELEMENTOS. El úmero total de combiacioes de elemetos distitos tomados de 1, 2, 3,...,. Viee dado por: C = 2-1. or ejemplo, ua persoa tiee e su bolsillo ua moeda de 1 peso, otra de 5, otra de 50. El úmero total de formas e que puede sacar de su bolsillo catidades diferetes de diero es: C = = 8 1 = 7. EJERCICIOS RESUELTOS. 1.- Hallar el úmero de formas e que se puede colocar e fila 4 cuadros de ua colecció que se compoe de 12 cuadros.

3 El primer lugar lo puede ocupar cualquiera de los 12 cuadros. El segudo uo cualquiera de los 11 restates, el tercero uo cualquiera de los 10 y así sucesivamete: Número de formas = úmero de variacioes de 12 elemetos tomados de 4 e ! V (12 4)! 2.- De cuátas maeras distitas se puede ordear 5 persoas e ua fila? 5! = = De cuátas maeras distitas se puede colocar 7 libros sobre ua estatería? 7! = = De cuátas maeras se puede setar 5 persoas alrededor de ua mesa redoda? Supogamos que ua de ellas se sieta e u lugar cualquiera. Las 4 persoas restates se puede setar de 4! formas. 4! = 24 maeras. 5.- De cuátas maeras se puede setar 8 persoas alrededor de ua mesa redoda, de forma que 2 de ellas esté siempre setadas jutas? Cosideremos a las 2 persoas que debe estar jutas como ua sola. Como hay 2! formas de dispoer a estas 2 persoas etre sí, y! formas de colocar a 7 persoas alrededor de ua mesa circular, el úmero pedido será: 2!! = = Los orgaizadores del Superbowl está escogiedo a los árbitros del partido. Etre 12 árbitros elegibles se seleccioaro a 5, Cuátos equipos de 5 árbitros puede formarse co los 12? 12 12! C !*(12 5)! 7.- De cuátas maeras diferetes se puede colocar 7 cuadrados diferetes e ua fila, sabiedo que uo de ellos debe estar: E el cetro. E uo de los extremos. Como el cuadrado e cuestió debe situarse e el cetro, sólo queda cuadrados para colocar e la fila, por lo tato, se puede hacer. =!= = 720. Ua vez colocado el cuadrado e uo de los extremos, los otros se puede dispoer igual que e el caso aterior. =! = 720 E cosecuecia, si se toma los dos casos: 2 = 2! = = 1440.

4 ERMUTACIONES CON REETICION DE ELEMENTOS. 1.- a) Hallar el úmero de palabras que se puede formar co las letras de la palabra COOERADOR, b) Cuátas de estas palabras tiee jutas las letras O? c) Cuátas empieza co las dos letras R jutas? a) La palabra cooperador costa de 10 letras co 3O y 2R, y 5 letras diferetes, por lo tato el úmero de palabras que se puede formar viee dado por: 10,10 10! 3, 2 = ! 2! b) Cosiderado las 3 O como ua sola letra, tedremos 8 letras de las cuales 2 so R. 8 8! 2 = ! c) El úmero de palabras que se puede formar co las 8 letras restates, de las cuales hay 3 iguales, es: 8 8! 3 = ! EJERCICIOS ROUESTOS 1.- Se dispoe de los dígitos 2, 3, 4, 5, 8 y 9, si repeticioes: a) Cuátos úmeros de tres cifras puede formarse co ellos? b) Cuátos de los úmeros obteidos e a) so meores de 400? c) Cuátos de los úmeros obteidos e a) so pares? d) Cuátos de los úmeros obteidos e a) so múltiplos de 5? 2.- Cuátos sigos diferetes puede hacerse co baderitas, si 4 de ella so rojas y 2 azules? 3.- Cuátas ordeacioes puede obteerse co todas las letras de las siguietes palabras?: ave. escuela. alfalfa. 4.- De cuátas formas puede costituirse u comité de 5 persoas elegidas etre 2 agróomos, forestales y 4 veteriarios?, si debe estar: a) Siempre los 4 veteriarios. b) Exactamete 2 forestales. c) Máximo 3 forestales. d) Exactamete 1 veteriario y 1 agróomo. e) Debe haber al meos u veteriario. 5.- U estudiate elige 8 de 10 pregutas e ua prueba: a) De cuátas formas pudo elegirlas? b) De cuátas formas pudo respoderlas? b) Si ha cotestado las primeras 3 De cuátas formas puede respoder el resto?.- Hallar cuátos úmeros impares de 3 cifras, se puede formar co los dígitos: a) 1,2,3,4. b) 1,2,4,,8. De maera que cotega dos cifras iguales y ua distita. 7.- De cuátas maeras se puede colocar e ua fila 3 iñas y 3 iños de maera que o haya dos iñas, i dos iños ocupado lugares cotiguos?

5 8.- Cuátas jugadas distitas se puede presetar al lazar 3 dados? 9.- De cuátas formas se puede setar 4 hombres y 4 mujeres alrededor de ua mesa redoda? De maera que o haya 2 hombres jutos De cuátas maeras se puede setar persoas e u silló? 11.- De cuátas formas se puede setar 4 persoas e ua mesa redoda? 12.- De cuátas formas se puede hacer u collar que cotiee 5 perlas de distito color si se dispoe de 7 perlas de distito color? 13.- De cuátas maeras se puede setar 4 mujeres y 5 hombres e ua mesa redoda? 14.- Cuátos grupos de ivestigació de miembros se puede formar co 5 físicos, 4 químicos y 3 matemáticos, de maera que e cada grupo halla, 3 físicos, 2 químicos y u matemático Cuátos grupos se puede formar co 8 mujeres sabiedo que e cada uo de ellos debe haber por lo meos 3? 1.- Ua caja cotiee 7 tarjetas rojas, blacas y 4 azules. De cuátas maeras se puede elegir 3 tarjetas? De forma que: Todas sea rojas. Nigua sea roja Hallar el úmero de ordeacioes que se puede formar co las letras de la palabra TENNESSEE Se dispoe de 4 objetos diferetes De cuátas maeras se puede dispoer de uo o más de dichos objetos? 19.- De cuátas maeras se puede elegir 2 o más corbatas de etre ua colecció de 8 corbatas? 20.- Cuátos úmeros etre 3000 y 5000 se puede formar co los 7 dígitos: 0,1,2,3,4,5,, si repetició? RESUESTAS A LOS EJERCICIOS ROUESTOS: 1.- a) 120 b) 40 c) 0 d) a) 8 b) 300 c) 9 d) 10 e) a) b) c) a) 18 b) a) 35 b)