MÓDULO III PLANTEO DE PROBLEMAS. Qué habilidad tiene el Mago Luas! Un día me dijo :

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Miguel Ángel Franco Marín
hace 7 años
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2 MÓDULO III PLANTEO DE PROBLEMAS Cómo traducir enunciados del lenguaje habitual al lenguaje simbólico Qué habilidad tiene el Mago Luas! Un día me dijo : Trataré de adivinar la fecha de tu cumpleaños. Tienes que ayudarme con algunas cuentas. 1- Piensa en el número que corresponde al día 1- x 2- Multiplícalo por x 3- Al resultado súmale x Vuelve a multiplicar todo por (10 x + 5 ) 5- Al número obtenido súmale el 5-10 (10 x + 5 ) + y número del mes en que naciste 6- Al resultado réstale (10 x + 5 ) + y A ver, a ver x + y 8- Qué número obtuviste?

3 Inmediatamente me respondió: naciste el 27 de mayo Efectivamente, es así! Cómo pudo el mago adivinar la fecha con tanta rapidez? En qué consistió su habilidad? El dedujo que las dos últimas cifras del número correspondían al mes y el resto al día de la fecha de tu cumpleaños. Puedes justificarlo? Ahora trata de adquirir un poco de la habilidad del mago e intenta aplicarla para adivinar la fecha del cumpleaños de tus amigos. En este planteo se observa que existen dos cantidades desconocidas ( las incógnitas ) que representamos con letras ( x e y ). Para interpretar y resolver el problema hicimos la traducción del lenguaje ordinario al lenguaje simbólico y el enunciado quedó planteado por medio de una expresión algebraica que debimos interpretar. Veamos otro ejemplo: Martín Bussac era un prestigioso catedrático en cuya cabeza germinaban las ideas más estrafalarias. Cierto día se le ocurrió recorrer, en forma sucesiva, varios negocios de su barrio y le fue proponiendo a sus dueños lo siguiente: En una librería propuso : Présteme tanto dinero, como el que ahora tengo en mi billetera y gastaré $100. En una perfumería y en un restaurante, propone lo mismo. Al volver a su casa comenta : Me quedé sin un centavo! 92

4 Cuánto dinero tenía Martín Boussac cuando entró a la librería? Traducir este enunciado al lenguaje simbólico no es sencillo, por eso conviene escribir los datos del problema en un cuadro y en forma sistematizada. Tenía en su billetera Disponía después de otorgarle el préstamo Gastó Le quedó en su billetera En la librería X X + X 100 2X En la perfumería 2 X (2x 100) + (2x 100) 100 4X En el restaurante 4X ( 4X 300 ) 100 8X En este planteo hemos introducido una cantidad desconocida x que relacionada con los datos del problema dio origen a la igualdad: 8 x 700 = 0. Por qué igual a cero? Como observamos en los ejemplos anteriores, el planteo de problemas que nacen de hechos de la vida cotidiana conducen, a menudo, al planteo de una o más igualdades en las que figuran una o más incógnitas y datos del problema. Datos e incógnitas están en general, relacionadas por medio de operaciones algebraicas, racionales e irracionales. Se trata ahora de resolver estos problemas matemáticos. Esta es la razón por la cual el próximo tema que trataremos es : Resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones ECUACIONES DEFINICIÓN: Una ecuación es una relación de igualdad entre cantidades, algunas de ellas desconocidas llamadas incógnitas. Qué es una ecuación? 93

5 EJEMPLOS: x + 2y = 3 x 2 + 2x + 1 = 0 sen x cos x = 0 La palabra ecuación proviene de la palabra aequare que en latín significa igualar. Las ecuaciones reciben distinto nombre, según las operaciones que afectan a las incógnitas. Además de las ecuaciones algebraicas, existen otras llamadas trascendentes en las que la incógnita está afectada por relaciones trigonométricas, logaritmación, etc. En este curso sólo nos ocuparemos de las algebraicas. En particular si la ecuación algebraica tiene una sola cantidad desconocida diremos que es una ecuación con una incógnita. Si la incógnita está afectada por las operaciones de suma, diferencia, producto, potencia o cociente se llama ecuación algebraica racional. Si la incógnita figura en el radicando, es una ecuación algebraica irracional. EJEMPLO: x + 1 = 5 EJEMPLOS: a) ( 5x + 1 ) ( x + 1 ) = 0 b) 3 x + 1 = 3 2 x + 1 c) x = x Una ecuación algebraica racional es fraccionaria si la incógnita está en algún denominador. 94 Una ecuación algebraica racional es entera si la incógnita no está en ningún denominador.

6 Volvamos al problema de Martín Bousacc. A través del planteo llegamos a la ecuación racional entera : 8 x 700 = 0. Si en esta igualdad reemplazamos la incógnita x por el valor 87,50 : 8 ( 87,50 ) 700 = 0 obtenemos la identidad numérica 0 = 0. En este caso decimos que 87,50 es una solución de la ecuación 8 x 700 = 0. DEFINICIÓN Una solución de una ecuación algebraica con una incógnita x es un número x 0 tal que, al reemplazar x por x 0 en la ecuación, ésta se transforma en una identidad numérica. Resolver una ecuación significa determinar si tiene solución y en tal caso hallar todas las soluciones. EJEMPLOS a ) 3x 9 = 0 tiene solución x 0 = 3. b) 2x + 1 = 2x no tiene solución. c) ( x 1 ) ( x + 1 ) = 0 tiene solución, son x 1 = 1 y x 2 = - 1. De aquí en más trataremos de someter las ecuaciones a ciertas leyes aritméticas que permitan resolverlas. Sea la ecuación 3 x + 1 = x x + 1 = x x x = x = - 4 La única solución de la ecuación es x = -2. x =

7 Será posible generalizar el método que utilizamos en este ejemplo para aplicarlo a cualquier ecuación algebraica? Recuerda : DEFINICIÓN: Dos o más ecuaciones son equivalentes si y sólo si admiten las mismas soluciones. Cómo puede obtenerse una ecuación equivalente a una dada? Por medio de operaciones elementales : Sumando a ambos miembros de una ecuación una expresión racional entera. Multiplicando ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero. EJEMPLO : Sea la ecuación 2 x + 4 = 12 Restando a ambos miembros 4 2x = 12-4 ( 1 ) 2x = 8 ( 2 ) 1 1 Multiplicando ambos miembros por ½ ( 2x ) =.8 x = 4 ( 3 ) 2 2 Si observas con cuidado las ecuaciones (1), (2) y (3), verás que la aplicación de las operaciones equivalen al pasaje de términos, de factores y de denominadores comunes de un miembro a otro de la igualdad. 96

8 EJERCICIOS 1- Determina ecuaciones equivalentes a la dada de estructura más simple y luego resuélvela a ) 3 x 2 = 5 x x b) x 3 4 x 2 = 6-6 x 2 + x Plantea tres ecuaciones equivalentes : Dados los pares de ecuaciones : Explica cómo las obtuviste y asegúrate que lo sean. Realiza la actividad propuesta con cuidado. Para obtener ecuaciones equivalentes deberás usar las operaciones elementales en forma correcta, en caso contrario podrías obtener resultados falsos. a) x + 3 = 3 ; x x 1 = 3 + x 1 b) x 2 = 3 ; x ( x 2 ) = 3 x. Son equivalentes? Justifica tu respuesta. 4 - En el razonamiento que sigue se han cometido errores Puedes señalarlos? x = y x 2 = x. y x 2 y 2 = x y y 2 (x y ) (x + y ) = y ( x y ) x + y = y 2x = x ( pues x = y ) 2 = 1? Respuestas problemas impares 1 a ) x = 0 x = -3 b) x = 3 3 a) no b) no x = 3 Marca con * la casilla donde se trabajó en forma errónea. 97

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