Geometría del Elipsoide de revolución 2ª parte E. Calero Versión 1.0 Marzo 2005 PROBLEMAS DIRECTO E INVERSO DE LA GEODESIA

Transcripción

1 Gomtrí dl Elipsoid d rvolución ª prt E. Clro Vrsión. Mrzo 5 PROBLEMAS DIRECTO E INVERSO DE LA GEODESIA.3 Prolms dircto invrso d l Godsi..4 Alguns fórmuls prvis..4. Elmnto dl rco d mridino d β n función d l ltitud rducid.4. Rdio d curvtur norml n un punto d l godésic y n l dircción d st..4.3 Imgn sféric d un godésic dl lipsoid d rvolución.4.4 Triángulo sférico polr socido un rco d godésic..4.5 Longitud dl lmnto d rco d godésic distint dl cudor.4.6 Cálculo d l longitud (godésic distint dl cudor).4.7 Intgrción dl rco (godésic distint dl cudor).4.8 Longitud dl rco d mridino ntr l cudor y un punto d ltitud rducid.4.9 Longitud dl rco d mridino ntr l cudor y un punto d ltitud godésic ϕ.4. Cálculo d l longitud λ n función d.5 Elmntos dl triángulo polr sor l sfr.6 Prolm Invrso Solución d J.J. Lvllois y Du Puy..7 Prolm Invrso. Solución itrtiv d Hlmrt modificd por Sodno.8 Prolm dircto. Método d E. Sodno..9 Prolm invrso. Fórmuls d Sodno. CÁLCULOS EN EL ELIPSOIDE.3 Cálculo d un tringulción n l lipsoid.3. Cálculos n l sfr..3. Torm d Lgndr..3.3 Extnsión dl torm d Lgndr l Elipsoid

2 .3 Prolms dircto invrso d l Godsi. Ddos dos puntos P y P d un lipsoid d rvolución: PROBLEMA DIRECTO: Conocids Ls coordnds godésics (, ) ϕ λ d P L longitud dl rco d godésic P - P El cimut A d P n P Dtrminr Ls coordnds godésics (, ) El cimut A d P n P PROBLEMA INVERSO: Conocids Dtrminr: ϕ λ d P Ls coordnds godésics ( ϕ, λ ) d P y (, ) L longitud dl rco d godésic P - P ϕ λ d P

3 El cimut A d P n P El cimut A d P n P.4 Alguns fórmuls prvis..4. Elmnto dl rco d mridino d β n función d l ltitud rducid En l lips mridin x.cos y sn. d β dx + dy ( sn + cos ) d ( + sn ) d, dβ + sn d El rco d mridino ntr l cudor y un punto d ltitud rducid, sn d β + intgrl líptic d primr spci..4. Rdio d curvtur norml n un punto d l godésic y n l dircción d st. Sn: A cimut d l godésic n un punto P R rdio d curvtur norml n l dircción A n l punto P ρ rdio d curvtur norml n l dircción dl mridino d P N rdio d curvtur norml n l dircción dl primr vrticl d P A cimut d l godésic n l punto d cort con l cudor r rdio dl prllo qu ps por P Aplicndo l torm d Eulr R ρ N cos A + sn A y l torm d Clirut rsna. sna.

4 N snϕ W ρ snϕ W ( ) ( ) 3 3 W sn ϕ sn + A R sna ρ N ρ. sna. sna WsnA r N.cosϕ cosϕ ( ) (( ) ) ( ) ( ) W W 3 W W W cos N ρ ϕ N ρ ρ sna R ρ constnt sn A sn A ( ) pro ( ) K sn A const. s un R ρ ( sn A ) R K. ρ En todo punto d un godésic dl lipsoid d rvolución, distint dl cudor y d un mridino, s vrific qu l rdio d curvtur norml n l dircción d l godésic s proporcionl l rdio d curvtur norml n l dircción dl mridino..4.3 Imgn sféric d un godésic dl lipsoid d rvolución Considrmos l lips mridin y su circunfrnci principl, l girr lrddor dl smij mnor, ms curvs dscrin un lipsoid d rvolución y un sfr rspctivmnt. Est sfr concéntric con l lipsoid y coincidnt n l cudor s l dnomin sfr principl dl lipsoid, lgunos l llm tmién sfr d Jcoi. Ls godésics d l sfr son los círculos máximos. Dd un godésic dl lipsoid cuyo cimut n C (punto d cort con l cudor) s A o, xist un círculo máximo d l sfr qu ps por l punto C con un cimut sférico AE tl qu A AE S P un punto d l godésic ntrior ( ϕ, λ, ) ltitud rducid, stlcmos l corrspondnci P P E

5 P E s un punto dl círculo máximo ntrior tl qu ϕ E ϕ E s l ltitud n l sfr. Est corrspondnci s iunívoc ntr los puntos dl lipsoid y los puntos d l sfr. El cso A π /s trivil, plic l cudor sor si mismo, y qu l cudor s un godésic n ms suprficis. El cso plic l mridino sor su circunfrnci principl. A Propidds.. L corrspondnci consrv los cimuts AP APE Aplicndo l torm d Clirut n l lipsoid y n l sfr rsna sna. rsna E E sna. E rsna resnae Pro r r E por l form d stlcr l corrspondnci, lugo sna sna E

6 . L corrspondnci consrv ls ltituds rducids E ϕe y qu n l sfr l ltitud rducid coincid con l ltitud sféric. 3. L corrspondnci no consrv ls longituds. Aplicndo l cución d Lplc: da snϕ dλ n dos puntos infinitsimlmnt vcinos n l godésic dl lipsoid y n los puntos corrspondints d l sfr: λ ϕ λ dae d Esn E d Esn λ ϕ da d sn rsult: dλesn dλsnϕ snϕ dλe dλ dλ sn Intgrndo λ snϕ ε λe λ dλ sn Como l intgrndo s simpr positivo ε >, l longitud dl punto corrspondint n l sfr vnz l cntidd ntrior..4.4 Triángulo sférico polr socido un rco d godésic. Sn P y Q los xtrmos d un rco d godésic n l lipsoid, usndo l corrspondnci ntrior, s otinn los puntos P y Q tl qu P tin l ltitud sféric P y su cimut sférico s A P, nálogmnt n Q E. Con los mridinos qu psn por PE y QE y l rco PE QE, s form un triángulo sférico cuyo ángulo n l polo s λq λp + εq εp λ+ ε L utilizción d l corrspondnci ntrior, rduc lgunos d los cálculos l trigonomtrí sféric. E E E

7 .4.5 Longitud dl lmnto d rco d godésic distint dl cudor Considrmos los puntos P y Q infinitmnt próximos n un godésic, n l mridino d P un punto H tl qu stá n l mismo prllo qu Q. S form un triángulo infinitsiml n l qu: PH dβ ds cos A cos A, dβ + sn d d β s l longitud dl rco d mridino PH. Aplicndo l torm d Clirut rsna sna cos sna sna cos sna sna ( ) ' + sn d β cos ds d sn A cos A sn cos A s l cimut d l godésic n C, punto d cort con l cudor Hcindo l cmio d vril sn cos d cos A cosd cos A sn ( ' cos ) ds + A sn d s l distnci n l sfr dsd C l punto d ltitud, s llm longción godésic..4.6 Cálculo d l longitud (godésic distint dl cudor) En l triángulo ntrior QH rdλ ds sna rd ds. sna λ snads. dλ.cos Utilizndo l cmio d vrils ntrior y l vlor d ds: dλ ' ( + cos ) ( cos Asn ) A sn sna d

8 .4.7 Intgrción dl rco (godésic distint dl cudor) Si fctumos l sustitución ' t cos A, rsult ( ) ds + t sn d El dsrrollo por l fórmul dl inomio dl rdicl s ( ) tsn tsn tsn tsn... Llmndo x tsn, ( ) 3 4 tsn ( x) x x x x... +! ! ! L longitud dl rco d godésic dsd l cudor un punto dfinido por 3 s + tsn d + tsn tsn + tsn d ( ) (...) (...) s d + t sn d t sn d + t sn d J.J. Lvlois llm intgrls d Wllis Usndo st notción p W p sn d s ( W + t W t W4 + t W6...) 4 4 6

9 Ls intgrls W vrificn l siguint rlción d rcurrnci: n fcto: n Wn Wn sn n n n cos n n n Wn sn d sn sn d sn ( cos ) d n n n Wn sn ( cos ) d sn d sn cos d Intgrdo por prts l sgundo sumndo u n sn n v cos dv snd n du sn cos d n n sn n sn Wn Wn cos sn d Wn cos W n n n n n n n sn cos ( ) Wn Wn Wn n n n Aplicndo l rlción d rcurrnci, rsult: W W ( sncos) W4 W sn ( sncos) W6 W4 sn sn ( cos ) s ( W + t W t W4 + t W6...) En l myor prt d ls pliccions difícilmnt s ps dl grdo 6.

10 En l cso dl cudor: ( ) s λ λ.4.8 Longitud dl rco d mridino ntr l cudor y un punto d ltitud rducid (Fórmul d Lvllois) ' Cundo s trt dl mridino A y l fórmul t cos A s rduc t ' ' '4 3 '6 smridino ( Wm + Wm W4m + W6m...) como sn cos A sn sn sn Wm W m ( sn cos) W4m W sn ( sn cos) W6m W4 sn sn ( cos ).4.9 Longitud dl rco d mridino ntr l cudor y un punto d ltitud godésic ϕ L fórmul clásic rsult d l intgrción d ϕ ϕ ϕ ( 3 ) ρ ϕ ϕ 3 ( )( ϕ) ϕ ( snϕ) s d d sn d dsrrollndo por fórmul dl inomio ( ) sn ϕ + ( sn ϕ) + ( sn ϕ) + ( sn ϕ )

11 ϕ (...) ( ) s + sn ϕ + sn ϕ + sn ϕ + dϕ 8 48 Tnindo n cunt ls fórmuls d d Moivr cosϕ sn ϕ 4 3 4cosϕ + 4cos4ϕ sn ϕ 8 6 5cos ϕ + 6cos 4ϕ 6cos 6ϕ sn 3 Intgrndo término término hst los d 6, rsult s B ϕ B sn ϕ + B sn ϕ B sn ϕ ( )( ) B B B B Est s l fórmul clásic n función d los snos d los múltiplos d l ltitud..4. Cálculo d l longitud λ n función d L fórmul

12 ' cos Asn ( + cos Asn ) sna dλ d con l sustitución ' t cos A, s convirt n Intgrdo rsult ( + tsn) dλ sna d λ sna cos Asn ( ) + tsn cos Asn d Sustituyndo l numrdor dl intgrndo por su dsrrollo n sri λ sna t sn t sn t sn... cos Asn d d sn d + t cos Asn cos Asn λ sna sn d 3 6 sn d t t cos Asn 46 cos Asn 3 λ sna I t I t I t I Ls intgrls I p vrificn l rlción d rcurrnci I W + cos A I + p p p En fcto: I ( cos + cos ) p p sn A sn A sn sn d d p cos A sn cos A sn p+ p sn d p + cos cos A sn I sn d A Aplicndo l rlción d rcurrnci: I I

13 I I W cos A I W I W W A A A I W W W4 cos A cos A cos A I4 4 cos cos cos I L xprsión d l longitud s scri I W I W W I + t t λ sna 3 6 I W W W 4 + t cos A cos A cos A 4 4 cos A 4 cos A cos A Como t ' cos A ' '4 I ( I W) ( I W Wcos A ) + 4 λ sna 3 '6 4 + ( I W Wcos A W4cos A) dspués d rordnr, rsult: ' '4 3 '6 ' '4 3 '6 I W λ sna '4 3 '6 3 '6 + Wcos A W4cos A λ sna M. I C W C W cos A C 4 W 4cos A M ( ' '4 '6 ' M. B C B C B4 C4 ) ( ) 4 λ sna. I + sna BW + BW cos A + B4W 4cos A +... p λ sna. I + sna BpWpcos A El primr sumndo s scri

14 Llmndo d sna. I sna sna cos Asn ( tn ) d sna sna. I rctn( tn ) sna + sn A tn d cos cos A tn cos cos p ε sna B pw p A L xprsión d l longitud dopt l form: λ + ε rctn( sna tn ) tn( λ + ε) sna tn considrndo st xprsión n l sfr principl, rsult l coincidnci d los dos vlors d ε.

15 .5 Elmntos dl triángulo polr sor l sfr Ls ltituds prmétrics(lipsoid): y Ls longcions godésics(sfr): P y P Los cimuts (sfr y lipsoid): A P y A P Ls longituds (sfr): λp + ε P y λp + ε P L solución d st triángulo sférico rsulv tnto l prolm dircto como l invrso. Aunqu no s prcismnt un prolm trivil. Ls distints solucions, fruto d 5 ños d trjo, s difrncin n l form d dtrminr los lmntos: ε y s..6 Prolm Invrso Solución d J.J. Lvllois y Du Puy. ε sna B cos p pw p A

16 L longitud dl rco d godésic s ( W + t W t W4 + t W6...) ' t cos A.7 Prolm Invrso. Solución itrtiv d Hlmrt modificd por Sodno. Dsignndo por L ( λ + ε ) ( λ + ε ) λ+ ε P p P p l ángulo n N, difrnci d longituds sférics, s dtrmin por un procdiminto itrtivo st vlor con l yud d un punto uxilir. P P s l punto dond l godésic d l sfr lcnz su ltitud máxim, qu s corrspond con un punto dl lipsoid d ltitud rducid. El triángulo A N tin dos ldos AN A 9º, y l ángulo n P tmién s rcto. P P. Cálculo d ls ltituds rducids. tn tnϕ tn tnϕ. S inici l procso itrtivo con un vlor inicil d L λ, clculándos cd vz un nuvo vlor d L con l yud d ls fórmuls siguints hst qu no s produzcn cmios significtivos d L. Llmndo l rco PP corrspondint l vlor ctul d Φ L, rsult cosφ sn sn + cos cos cos L plicndo l torm dl cosno n l triángulo PNP. snφ ( signo λ) cos Φ sn cos Φ snφ Φ sn3 3. sn 4sn 3 Φ Φ Φ Aplicndo l torm d los snos n los triángulos PNP, PNP y PNP cos cos cos Φ snap snap cos snl sn snap

17 cos coscos snl / snφ Llmndo σ m P + P σ P P σ m P + P P P P P cos cos( ) cos cos sn sn σ P P P P + P P cos cos( ) cos cos sn sn cos σ + cosσ cos cos m P P sn sn cos σ m cos Φ cos A cos 4σ + cos σ m m ( ) L cos A. Φ B. snφ cos σ + C. snφ cos 4σ m m 3 A ,,,4 4 sn, sn B sn sn 6 3,,4 4,4 C 56 4 sn 3. Un vz clculdo un vlor d L stisfctorio, s clcul s por ( cos σ cos 4σ 3 cos 6σ ) s B Φ + B snφ + B sn Φ + B sn Φ m m 4 m 6,,4, B + sn sn + sn ,,4, B sn sn + sn 4 6 5,4, B4 sn sn 8 5 B 536,6 6 6 sn y los cimuts por:

18 cot A P tn cos cos snl Lsn cot A P cos Lsn tn cos snl.8 Prolm dircto. Método d E. Sodno. El punto d prtid son ls fórmuls d Hlmrt. Mdint unos dsrrollos n sris d potncis, qu incluyn hst los términos d grdo sis n l xcntricidd dl lipsoid, s liminn ls itrcions dl método d Hlmrt. El método s dpt in l cálculo lctrónico y s consigu un xctitud d hst diz dcimls n l cimut y l distnci xprsdos n rdins. L solución s dcud tnto pr líns muy corts como pr ls grnds líns qu pudn xtndrs hst un hmisfrio. Si L s l difrnci d longituds n l sfr y n l lipsoid L λ + ε λ l difrnci d longituds s consigu l liminción dl procso itrtivo sustituyndo ls fórmuls d Hlmrt por dsrrollos n sri d ε, qu s un infinitésimo, tnindo n cunt l iguldd ntrior. L dducción d ls fórmuls stá pulicd n l Bulltin Godésiqu: "A rigorous non-itrtiv procdur for rpid invrs solution of vry long godsics". Emnul Sodno. B.G nº pp Algoritmo: Dtos: ϕ λ P A s. Ltitud rducid : Ltitud rducid : Incógnits: ϕ λ A P P tn tnϕ, m + sn co P cos cos snap g cos cos A P ( s )

19 s φ s rdins, + sn sn cos φ + g. sn snφ ( s s ),,, s sn s m s sn scos s φ φ + φ φ φ φ sn m sn sn ,4,4,4,4,4 φscosφs + φs φscosφs φscos φs + φscos φs 3 5 m sn sn 8 4 8,4,4,4 φs + φscosφs φscos φs 3 + Arco distinto dl mridino, A P ( ) cot A gcos φ sn snφ / cos P Cundo s trt d un rco d mridino, A P y l signo s l dl numrdor d l fórmul ntrior. ( φ φ ) ( φ ) cot L cos cos sn sn cos A / sn sna P P 3f 3f 3f λ L+ cos fφs + snφs + m φs snφscos φ s 4 4 λ λ+ λ φ sn sn cos g. sn + φ cos cos ( gcosφ sn snφ ) + + sn tn cos tnϕ tn

20 .9 Prolm invrso. Fórmuls d Sodno. Algoritmo: Dtos: ϕ λ ϕ λ Incógnits: P A P A s. Ltitud rducid : Ltitud rducid : P tn tnϕ P tn tnϕ Difrnci d longituds: λ λ λ cosφ sn sn + cos cos cos λ ( cos λ) ( cos cos cos ) snφ sn + sn sn λ c cos cos sn λ/ snφ sn sn m c Distnci s: f ( + f + f ) Φ+ ( f + f ) snφ Φ cscφ + ( f f ) ( f f ) f + + m Φ snφcos Φ+ Φ cot Φ + s f f f f f 3 snφcosφ + m Φ+ snφcosφ Φ cot Φ snφcos Φ f f m Φ cscφ+ snφcos Φ L ( f + f ) Φ+ snφ f Φ cscφ + λ + c 5 f f m Φ+ snφcosφ+ f Φ cot Φ 4 4 f

21 Acimuts: cot A P sn coscos L sncos snl cos cot A P sn cos cos Lsncos snl cos.3 Cálculo d un tringulción n l lipsoid Cálculos n l sfr..3.excso sférico d un triángulo. Ddo l triángulo sférico d vrtics A,B,C y cuyos ángulos, xprsdos n rdins, son rspctivmnt A,B y C. S dnomin xcso sférico ε A+ B+ C π El xcso sférico s proporcionl l ár dl triángulo invrsmnt proporcionl l cudrdo dl rdio d l sfr l qu prtnc. d los sctors d vértics A, B y C. Sctor sférico A: Ár Considrmos l hmisfrio visil y ls árs SA. A. R Sctor sférico B: Sctor sférico C: Ár Ár SB SC. B. R. C. R Sumndo sts árs rsult l ár dl hmisfrio dl triángulo T π. A R B R C R T R T A+ B+ C π R π R más dos vcs l ár

22 .3. Torm d Lgndr. Tnto por su importnci históric como por l utilidd qu pud suponr n dtrminds ocsions, ún hoy, l siguint torm, dido Lgndr, prmit fctur los cálculos d un triángulo sférico utilizndo l trigonomtrí pln dntro d un cirto ordn d proximción. Sn A, B, C los ángulos dl triángulo sférico (rdins),, y c los ldos (xprsdos n unidds linls) y R l rdio d l sfr, con un proximción dl curto ordn, l cálculo dl triángulo sférico s pud rducir l d un triángulo plno cuyos ldos sn, y c, cuyos ángulos sn A ε, B ε y C ε ; ε s l xcso sférico dl triángulo ABC. c Si α, β y γ son los ldos xprsdos n rdins, l torm dl cosno R R R n l triángulo sférico cosα cos βcosγ + snβsnγ cos A Dsrrollndo hst l curto ordn s pud scriir 4 α α cosα +! 4! 4 β β cos β +! 4! 3 β snβ β 3! 4 γ γ cosγ +! 4! 3 γ snγ γ 3! Sustituyndo los dsrrollos n l fórmul dl cosno α α β β γ γ β γ + cosa! 4! + β γ! 4! + +! 4! 3! 3! α α γ γ β βγ βγ β βγ βγ ! 4!! 4!!!!!4! 4!!4! 4!4! βγ γβ β γ + βγ + cos A 3! 3! 3!3! Pr uscr un rlción ntr,, αβγ limitándonos los términos d sgundo ordn rsult

23 α β γ + βγ cos A α β + γ βγ cosa Limitándonos los términos d curto ordn s pud scriir: α γ γ β β γ βγ β γ + ( β + γ βγ cosa) βγ cosa! 4!! 4!!!! 3! 3! α γ β β γ β γ 3! 3! + cos A+ βγ cos A βγ α β + γ βγ cosa sn A 3! Si psmos unidds linls c + c c cosa + sna sna 6R c En l cso dl rdio trrstr da sna 6R s infinitsiml, y tnindo n cunt qu, n st cso, cos( A da) cos A + dasna c + 6R c ccos A sna ε c pro sna c ccos A ε + 3 6R 3 Rpitindo l rzonminto rsult l torm. El limitr los dsrrollos los términos d curto ordn, limitn l plicción dl torm triángulos cuyos ldos no psn d unos 5 Km, qu s lo qu ocurr con los ldos normls d un tringulción clásic. Cundo s trt d ldos myors, cso dl nlnc Espñ Argli con ldos d unos 3 kms, hy qu xtndr l proximción términos d myor ordn n los dsrrollos..3.3 Extnsión dl torm d Lgndr l Elipsoid Aplicndo l Torm d Guss sor l curvtur totl d un polígono crrdo n l lipsoid, l rsultdo d Lgndr pud utilizrs igulmnt n l lipsoid simpr qu s mntng l limitción n l longitud d los ldos ntrior. Con todo rigor hrí qu clculr l xcso sférico tnindo n cunt l ár dl triángulo y como rdio d l sfr tomr l rdio d curvtur mdio n l cntro dl triángulo. L práctic d clculr l xcso prtir d los ángulos osrvdos sgur dmás l condición d mínim vrinz (mmcc) pr l solución d un triángulo plno isldo.

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