Mecánica del Sólido Rígido

Transcripción

1 Mecánca del Sóldo Rígdo 1.- Introduccón Cnemátca, Dnámca y Estátca 2.- Cnemátca. Tpos de movmento del sóldo: Traslacón, Rotacón Movmento Plano General Movmento General 3.- Cnétca. Fuerzas y aceleracones. Energía y cantdad de movmento. Momento Angular y Momento de Inerca Ecuacones Fundamentales de la Dnámca 4.- Estátca. Equlbro.

2 Mecánca del Sóldo Rígdo Introduccónn. El Sóldo Rígdo como un sstema de partículas especal Sstema de Partículas. Fuerzas Internas y Externas Sóldo Rígdo: Se defne como aquel sstema de partículas que no se deforma. Esto es, s A y B son dos partículas cualesquera de un sóldo rígdo, entonces la dstanca entre A y B permanecerá sn cambos. Los límtes de esta hpótess son aquellas deformacones debdas a la elastcdad y a la rotura del cuerpo. r B A AB r B r / r A B A C (a) Fuerzas externas, representan la accón de otros cuerpos sobre el que consderamos (b) Fuerzas nternas son las fuerzas que sujetan juntas las partículas que forman el sóldo rígdo.

3 Mecánca del Sóldo Rígdo Introduccón: Cnemátca y Dnámca

4 Mecánca del Sóldo Rígdo Introduccón: Estátca, Equlbro.

5 Mecánca del Sóldo Rígdo 1.- Introduccón: Fuerzas que actúan en un sóldo rígdo : (a) Fuerzas externas, representan la accón de otros cuerpos sobre el que consderamos (b) Fuerzas nternas son las fuerzas que sujetan juntas las partículas que forman el sóldo rígdo. Consderacones báscas (se demostrarán posterormente usando Leyes de Newton) -Solo la accón de fuerzas externas sobre un sóldo rígdo puede producr cambo en el movmento de traslacón, rotacón o ambos. -Prncpo de transmsbldad: El efecto de una fuerza externa en un sóldo rígdo es exactamente el msmo cuando la fuerza se ejerce a lo largo de su línea de accón. Necestaremos ntroducr el concepto matemátco de momento de una fuerza (torque) para expresar matemátcamente este prncpo La accón de fuerza que ejerce la cuerda sobre el camón cuando los hombres tren de ella sería la msma s empujaran con la msma fuerza en la trasera del camón en un punto stuado a lo largo de la línea marcada por la cuerda?

6 Mechancs of Rgd Body Dagramas de sóldo lbre: Showng all the forces actng on the body Reactons at supports and connectons Restaurant Exercse: Free-Body Dagram on the rod (beam) embedded n the wall Exercse: Free-Body Dagram on the front wheel and on the rear wheel (a) constant speed (b) acceleratng (c) Actng brakes Exercse: Free-Body Dagram on the sldng star wth frcton n supportng ponts Keepng Constant Speed over a nclne wth angle α

7 Introduccón. Centro de Masa (Centro de gravedad) de un sstema de partículas: Concept. Statc and Dynamc propertes The center of mass of a system of partcles (Rgd Body s a partcular case) s the pont of the space where the system of gravtatonal forces formed by all elementary gravtatonal forces actng on each elementary partcle (dm g), s equvalent to one force (mg) placed there. The potental energy of a system of partcles s smply mgy, where y s the heght of center of mass. Ths concept provdes a method to fnd the center of mass of a body. The center of mass moves lke a partcle of mass m Σm actng on the system, F ext m a CM or under the nfluence of the external forces mv CM m v To compute the pont where s placed the center of mass m r m x CM CM m r m x ; m y CM m r CM m y dm m z Fnd the center of mass (wth math and wthout math ) or ; r CM m z m 2m

8 Cnemátca del sóldo rígdo 1.- CINEMÁTICA: Tpos de movmento: TRASLACIÓN, ROTACIÓN alrededor de un eje fjo, MOVIMIENTO PLANO GENERAL, Movmento alrededor de un punto fjo, MOVIMIENTO GENERAL TRASLACIÓN. Se dce que un movmento de un SR es de traslacón s una línea recta cualquera del cuerpo mantene la msma dreccón durante el movmento, Todas las parículas que forman el cuerpo se mueven en trayectoras paralelas. S estas trayectoras son líneas rectas, el movmento es de traslacón rectlínea. S las trayectoras son líneas curvas, el movmento es de traslacón curvlínea. ROTACIÓN alrededor de un eje fjo. Las partículas que forman el SR se mueven en planos paralelos a lo largo de círculo centrados en el eje de rotacón fjo. En el caso en que el eje de rotacón ntersecta el SR, las partículas del eje tenen velocdad cero y aceleracón cero. Ejercco: Dstngur entre traslacón curvlínea y rotacón alrededor de un eje fjo

9 Mechancs of Rgd Body. Knematcs Rueda Barra que deslza Movmento plano general. Cualquer movmento plano que no es de traslacón o de rotacón alrededors de un eje fjo. Movmento plano es aquel en el que las trayectoras de todas las partículas se mueven en planos paralelos Traslacón y rotacón xon movmentos planos.. Movmento alrededor de un punto fjo. Es el movmento trdmensonal de un cuerpo rígdo alrededor de un punto fjo. Por ejemplo el movmento de una peonza, cuando el punto de contacto con el suelo está fjo. MOVIMIENTO GENERAL Cualquer movmento de un cuerpo que no se descrbe por alguna de las categorías anterores.

10 Cnemátca del sóldo rígdo Ejercco: Descrbe los dferentes tpos de movmento de los Sóldos Rígdos representados en las fguras Cuestón: El movmento de la Terra consderada como un sóldo rígdo de qué tpo es?

11 Cnemátca del sóldo rígdo TRASLACIÓN. Ecuacones de la cnemátca del movmento explcar por qué? r B / A r B r A Para un movmento en traslacón el vector de poscón del punto B respecto de A, cualesquera sean esos puntos, será constante en magntud y dreccón, Y POR TANTO... la dervada of r B / A es cero Conclusón: Un sóldo rígdo en traslacón puede ser consderado como una sola partícula ASÍ PUES v B v A a B a A Cuando un SR está en traslacón todas las partículas tenen la msma velocdad. Y s exste aceleracón todas las partículas tenen la msma aceleracón

12 Cnemátca del sóldo rígdo. ROTACIÓN ROTACIÓN alrededor de un eje fjo. Ecuacones de movmento: Velocdad Placa representatva R v P Relacones báscas en el movmento crcular arco angulo x rado ds dθ R ds dθ R dt dt v ω R!!!Ángulos en radanes!!! Velocdad angular, ω Aceleracón angular α ω dθ dt α dω dt La velocdad y aceleracón angulares son nvarantes. Todas las partículas de un sóldo tenen la msma velocdad angular. Todas las partículas de un sóldo tenen la msma aceleracón angular. Descrben el movmento de rotacón del sóldo Ejercco: Un CD que está rotando a 500 rev/mn se escanea por un laser. Calcular la velocdad lneal (tangencal) del punto del dsco sobre el que ncde el láser, (a) cuando el rado es de 2.4 cm; (b) cuando el rado es de 6 cm.

13 Cnemátca del sóldo rígdo. ROTACIÓN ROTACIÓN alrededor de un eje fjo. Ecuacones del movmento: Aceleracón R a T a T dv dt 2 v R α d( ωr) dt ( ωr) R dω dt dω R dt 2 2 a N ω R α R R P a N Placa representatva Ejercco: Un CD que está rotando a 500 rev/mn se escanea por un laser. Calcular la aceleracón del punto del dsco sobre el que ncde el láser, (a) cuando el rado es de 2.4 cm; (b) cuando el rado es de 6 cm.

14 Cnemátca del sóldo rígdo. ROTACIÓN ROTACIÓN alrededor de un eje fjo. Ecuacones vectorales del movmento Expresones vectorales para la velocdad y aceleracón R v P ω r α a N - ω 2 R a α r + ω ( ω r) a T a N

15 Cnemátca del sóldo rígdo. ROTACIÓN ROTACIÓN alrededor de un eje fjo. Mecansmos. Mecansmos: Sóldos rígdos conectados La flecha roja muestra la velocdad angular para el engranaje 1. Dbuja la velocdad angular de los engranajes 2 y 3. Calcula los valores que faltan en la tabla. ω rev/mn; R 1 2 cm ω 2? rev/mn; R 2 5 cm; R 210 cm ω 3? rev/mn; R 4 10 cm; El cubo cae desde el reposo con una aceleracón de 0.3 g. (a) Cual es su velocdad después de 5 segundos y qué dstanca ha recorrdo. (b) Calcula la aceleracón angular de la polea (c) Con qué rapdez grará la polea después de 5 s de ncado el movmento. Rado polea 10 cm El engranaje 1 rota en el sentdo de las agujas del reloj a una velocdad angular de 12 rad/s. Con qué rapdez grarán los engranajes 2 y 3? Datos: R 1 : 5 cm; R 2 :10 cm; R 3 :20 cm.

16 Cnemátca del sóldo rígdo. MOVIMIENTO PLANO GENERAL MOVIMIENTO PLANO GENERAL. Cualquer movmento plano que no es de traslacón n de rotacón alrededor de un eje fjo Teorema de Euler: Cualquer movmento plano puede ser consderado como una composcón smultánea de un movmento de traslacón y un movmento de rotacón Rodadura

17 Cnemátca del sóldo rígdo. MOVIMIENTO PLANO GENERAL MOVIMIENTO PLANO GENERAL. Cualquer movmento plano que no es de traslacón n de rotacón alrededor de un eje fjo Centro Instantáneo de Rotacón: Es el punto del espaco desde el cual, y para ese nstante, el movmento del sóldo puede descrbrse como una rotacón pura. En el caso de un cuerpo en MPG sempre hay un punto desde el cual el movmento del sóldo es una rotacón pura, esto es la velocdad de traslacón es cero. Ese punto del espaco camba de poscón a cada nstante encontrar el CIR en cada uno de los movmentos representados Rodadura Barra que deslza

18 Cnemátca del sóldo rígdo. MOVIMIENTO PLANO GENERAL Caso de una barra que deslza La velocdad angular y la aceleracón angular son las msmas ndependentemente del punto que consderemos

19 Cnemátca del sóldo rígdo. MOVIMIENTO PLANO GENERAL Rodadura sn deslzamento.c S no hay deslzamento en el punto de contacto, la dstanca recorrda por el punto C, es exactamente la dstanca del arco s. Cuando la rueda de rado R rota un ángulo θ, el punto de contacto entre la rueda y el suelo se desplaza una dstanca s relaconada con θ por la ecuacón s θ R. Rodadura sn deslzamento s θ R vc ω R a α R C. s s.c Rodadura con deslzamento. Un objeto rueda y deslza Entonces... s θ R vc ω R a α R C

20 Cnemátca del sóldo rígdo. ROTACIÓN. Ejerccos Calcular y representar la velocdad y aceleracón de los puntos señalados en la fgura sabendo que el centro de la rueda se desplaza a una velocdad de 10 m/s. La rueda se mueve con rodadura sn deslzamento Calcular la velocdad angular de la barra de 3 m de longtud cuando la velocdad delpunto de contacto con el suelo es de 3 m/s, y el ángulo entre la barra y el suelo es de 45º. Cual es la velocdad del punto de contacto con la pared?. Y la del centro de masas? Un cclsta vaja a la velocdad de 40 km/h. Cuan rápdo pedalea en rev/mn?. Datos: Rado del pñón: 2.5 cm; Rado del plato: 10 cm; Rado de la rueda trasera: 40 cm El mecansmo bela-manvela converte el movmento de rotacónde la bela en un movmento lneal de la corredera o pstón. Encontrar la relacón entre la velocdad angular de la bela y la velocdad lneal del pston para una geometría determnada.

21 Calcular la velocdad angular promedo de la terra. Calcular la velocdad y aceleracón de un punto fjo de su superfce cuya poscón sea : (a) en el Ecuador, (b) 40º lattud Norte. Buscar los datos necesaros para hacer el cálculo