PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRE EN LA CONVERSIÓN DE ALGUNAS MAGNITUDES DE HUMEDAD

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1 Simposio de Merología 5 al 7 de Ocubre de 006 PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRE EN LA CONVERSIÓN DE ALGUNAS MAGNITUDES DE HUMEDAD Jesús A. Dávila Pacheco, Enrique Marines López Cenro Nacional de Merología, División de Termomería km 4,5 Carreera a Los Cués, El Marquez, Qro., México ex. 3395, 340, jdavila@cenam.mx, emarine@cenam.mx Resumen: En la acualidad algunos insrumenos usados para medir la humedad en gases (higrómeros ienen la capacidad para mosrar, además de los valores medidos, oros valores que se calculan parir de los primeros. Por ejemplo, un higrómero capaciivo usa una ecuación empírica de la humedad relaiva como función de la capaciancia elécrica; a parir del valor de humedad relaiva mediane algorimos programados en el insrumeno, se calcula la emperaura de puno de rocío o la emperaura de bulbo húmedo. Según sea el caso, se debe conocer la emperaura y/o la presión ambiene para hacer la conversión. La propagación de la inceridumbre enre esas magniudes se obiene a parir de las ecuaciones que los relacionan. En ese rabajo se describe la propagación de la inceridumbre de cuaro casos de valores calculados a parir de valores conocidos. Palabras clave: humedad relaiva, emperaura de puno de rocío, emperaura de bulbo húmedo, propagación de inceridumbre, conversión de magniudes. 1. INTRODUCCIÓN El conenido de agua en una muesra de gas se puede expresar en érminos de varias magniudes, enre las que se encuenran la humedad relaiva, la emperaura de puno de rocío y la emperaura de bulbo húmedo. Por ejemplo, en la abla 1 se presenan los valores equivalenes para una muesra de gas. Tabla 1. Conenido de humedad de una muesra de gas a una emperaura de 3 ºC y una presión de Pa. Magniud Valor Unidad Humedad relaiva 45,0 %HR Temperaura de puno de rocío 10,4 ºC Temperaura de bulbo húmedo 15, 6 ºC Cada una de las magniudes de humedad de la abla 1 se puede medir con insrumenos diferenes, por ejemplo el valor de humedad relaiva se obiene con un higrómero capaciivo, la emperaura de puno de rocío con un medidor de espejo frío y la emperaura de bulbo húmedo con un psicrómero aspirado. El valor de humedad relaiva indicado por un higrómero capaciivo se obiene con una ecuación empírica que relaciona la capaciancia elécrica de un sensor al experimenar cambios en el conenido de agua. Un medidor de espejo frío mide la emperaura de condensación del agua de una muesra de aire, la cual se enfría isobáricamene. El valor de emperaura se relaciona con el conenido de agua en la muesra. Un psicrómero aspirado consa de dos ermómeros, uno se encuenra cubiero con un algodón humedecido con agua (bulbo húmedo y el oro (bulbo seco mide la emperaura ambiene. Cuando se hace circular una muesra de aire en ambos ermómeros, el bulbo húmedo experimena un enfriamieno debido a la evaporación del agua en la cubiera de algodón [1], la diferencia de emperaura de ambos ermómeros esá relacionada con la humedad de la muesra de aire. La emperaura indicada por el ermómero de bulbo seco permanece igual a la emperaura ambiene y consane durane la operación del psicrómero, en consecuencia, se usa la lieral para denoar el valor de la emperaura ambiene y bulbo seco. Algunos insrumenos han incorporado opciones para mosrar valores de oras magniudes calculadas a parir de valores obenidos de una magniud dada. Por ejemplo, algunos higrómeros capaciivos no sólo muesran valores de humedad 1

2 Simposio de Merología 5 al 7 de Ocubre de 006 relaiva, sino ambién valores de emperaura de puno de rocío y emperaura de bulbo húmedo, enre oras. Para asociar un valor de inceridumbre a los valores calculados que despliegan algunos medidores de humedad, es necesario diferenciar enre el valor medido y el valor calculado y propagar la inceridumbre del primero al segundo. La propagación de la inceridumbre de los valores calculados se obiene con la relación maemáica enre las magniudes. La propagación se realiza de acuerdo a la guía para la expresión de inceridumbres []. En ese rabajo se describe la propagación de la inceridumbre para cuaro casos en los que se relacionan la humedad relaiva, la emperaura de puno de rocío y la emperaura de bulbo húmedo.. FUNDAMENTOS La humedad relaiva y la emperaura de puno de rocío se relacionan por. d HR, (1 g 5 0 Pa K 3 g 6 0 Pa K 4 g 7,43350 Pa K -1 En un psicrómero aspirado el cálculo de la humedad relaiva se realiza a parir de mediciones de emperaura de bulbo húmedo ( y bulbo seco ( y esá dada por la ecuación (3, conocida como la aproximación de Ferrel [1]. A P ( HR (3 Donde A es consane (6,6x10-4 ºC -1 ; P es presión amosférica; es la presión de vapor de agua a ; es la presión de vapor de agua emperaura ambiene. En psicrómeros el ermómero de bulbo seco mide la emperaura ambiene. 3. CONVERSIÓN ENTRE MAGNITUDES DE HUMEDAD En la figura 1 se presenan los cuaro casos de conversiones enre HR, d y que se analiza en ese rabajo. Donde es la presión de vapor de agua una emperaura ; d es la emperaura de puno de rocío; es la emperaura ambiene. Una aproximación para calcular la presión de vapor de agua es [3]. 6 i ln T = g it + g 7 lnt, ( i = 1 T esá dado en Pascal Pa y T en kelvin K. Los coeficienes se presenan en la abla Tabla. Coeficienes de la aproximación de Sonnag ecuación ( para el cálculo de la presión de vapor de agua. Coeficiene Valor Unidades g 1-6, x 10 3 Pa K -1 g 1,40964 Pa g 3 -, x 10 - Pa K g 4 1,67395 x 10-5 Pa K Fig. 1. Esquema de conversiones enre HR, d y. Caso a Cálculo de HR a parir de d Para calcular el valor de HR a parir de valores medidos de d se usa la ecuación (1, la cual relaciona ambas magniudes. En ese caso se requiere conocer el valor de la emperaura ambiene. En la figura se muesran curvas ípicas del comporamieno enre d y HR calculados a diferenes valores de =3 ºC y P=81 kpa.

3 Simposio de Merología 5 al 7 de Ocubre de 006 % HR 10,00 100,00 80,00 60,00 40,00 0,00 0, (ºC d=-10 ºC d=0 ºC d=10 ºC d=0 ºC d=50 ºC d=30 ºC Fig. Valores calculados de HR para disinos valores de d. Caso b Cálculo de d a parir de HR Para calcular el valor de d a parir de HR se usa la ecuación (1 que relaciona ambas magniudes. Debido a que no es posible despejar el valor de d direcamene, se requiere solucionar la ecuación F =0 para d, donde F = d HR. (4 Caso c Cálculo de HR a parir de El valor de HR a parir de se puede obener con la ecuación (3. En ese caso se requiere conocer además los valores de la emperaura y presión ambiene. Caso d Cálculo de a parir de HR El valor de se puede calcular de la ecuación (3. De manera similar a b, el valor de no se puede despejar direcamene de (3, por esa razón se requiere solucionar la ecuación F 4 =0 para donde F = A P ( HR. (5 4 La solución a F y F 4 se puede obener numéricamene con el méodo de Neon [4]. 4. PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRE La propagación de inceridumbres para magniudes no correlacionadas esá dada por: La inceridumbre combinada relaiva esa dada por: u crel N uc ( y u( x i ( y = =. (7 y x i i = 1 Esa ecuación se aplica para modelos muliplicaivos con magniudes no correlacionadas. En ese rabajo la inceridumbre combinada de una magniud y se denoa como uy. 4.1 Propagación de uhr a parir de d y u d La propagación de la inceridumbre a HR debida a la inceridumbre de d y se obiene con la ecuación donde u uhr = HR d d d u + ( e, (8 d d ue ( d = ud, (9 d d ue ( = u. (10 d En ese caso y d no esán correlacionados debido a que el conenido de agua en una muesra de aire es independiene de la emperaura de la muesra, d sólo iene dependencia de la presión parcial de vapor de agua y de la presión. Además en la prácica, la medición de la emperaura de puno de rocío y la emperaura de la muesra se realiza con ermómeros diferenes. 4. Propagación de u d a parir de HR y uhr De la ecuación (1 se iene que: e d ( HR. (11 La inceridumbre u d se obiene al aplicar la ecuación (6 a la ecuación (11: u c = N i = 1 f xi u( xi (6 ( uhr u ( ( ue d = e d +. (1 HR e Esa ecuación se conoce como Ley de propagación de inceridumbres []. Finalmene de la ecuación (9, la inceridumbre u d se puede escribir como: 3

4 Simposio de Merología 5 al 7 de Ocubre de 006 d d u d = u d, (13 d d Donde u d esá dada por la ec. ( Propagación de uhr a parir de y u Del numerador de la ecuación (3 se define h = - A P ( -, (14 ( y se susiuye en (3, enonces HR se escribe como (15: h( HR =. (15 Nuevamene, de esa ecuación y de la ec. (6, se obiene De acuerdo a la ec. (1, (3 y (14 se iene que d es igual a h(. Al escribir la ec. (9 en érminos de h(, la inceridumbre en se obiene al despejar u de la siguiene ecuación uh ( De (15 se iene que dh( = u d. (18 h Al aplicar (7 a (19 se iene que uh( h( ( = HR. (19 y de (14 se iene que: uhr = HR u +, (0 uh( u u( HR = HR + ( h, (16 dh( d d = + A P. (1 d donde ( h + A P u + ua + ( A uh =.(17 h( h( up + u P No exise correlación enre y porque físicamene la mezcla de aire con vapor de agua a presión consane iene un grado de liberad; es decir para un valor dado de presión parcial de vapor de agua se puede manener en una fase para un infinio conjuno de valores de emperaura. En cambio al esar en equilibrio dos fases (vapor y líquido, el sisema no iene grados de liberad y ano como la presión de vapor de agua y ienen valores definidos. La inceridumbre ua se obiene de valores publicados [1] y resula ser ± x10-5 ºC -1 (k=1. La inceridumbre en P se obiene de los resulados experimenales del medidor de presión y de su informe de calibración. Al susiuir en la ecuación (18 las ecuaciones (0 y (1 se obiene que la inceridumbre para u esá dada por: HR u u(hr u = +. ( d/ d + A P HR 5. RESULTADOS Se obuvieron los modelos analíicos para el cálculo de la inceridumbre propagada para los cuaro casos descrios en la sección 4. A coninuación se presenan algunos ejemplos de aplicación. En odos ellos la inceridumbre calculada es para un facor de coberura k=. 5.1 Inceridumbre propagada a HR a parir de valores de d Se realizaron cálculos para disinos valores de d y. Los valores de inceridumbre se calcularon con la ecuación (11. La abla 3 muesra un caso para valores de d desde -10 ºC hasa 5 ºC y u d =0,3 ºC. 4.4 Propagación de inceridumbre de a parir de mediciones de HR y uhr 4

5 Simposio de Merología 5 al 7 de Ocubre de 006 Tabla 3. Valores de %HR y uhr calculados a parir de mediciones de d y, con =5 ºC, u = 0,1 ºC. Valores medidos Valores calculados d (ºC %HR u%hr -10 9,04 ± 0,7-5 13,31 ± 0,38 0,1 19,4 ± 0,55 5 7,53 ± 0, ,7 ± 1, ,8 ± 1,4 0 73,8 ± 1, ,0 ±,5 En la abla 3 se observa que para un medidor de emperaura de puno de rocío con inceridumbre u d = 0,3 ºC y un ermómero con inceridumbre u= 0,1 ºC, se obienen inceridumbres en humedad relaiva desde 0,3 % hasa,5 %. 5. Propagación de u d a parir de medición de HR El cálculo de d y u d se realizó con la ec. (14 en el inervalo de 10 % a 95 % de humedad relaiva y en emperaura en el inervalo de 10 ºC a 40 ºC. En la abla 4 se presenan los resulados cuando = ºC. Tabla 4. Valores de d y u d calculados a parir de mediciones de %HR, y P con u%hr = 0,8 %, u = 0,1 ºC y up = 00 Pa. Valores medidos Valores calculados %HR d (ºC u d (ºC 10-11,01 ±1,01 0-1,97 ±0, ,65 ±0, ,80 ±0, ,11 ±0, ,89 ±0, ,8 ±0, ,39 ±0, ,8 ±0,17 Un ejemplo en el que se pueden aplicar esos resulados es en higrómeros capaciivos que cuenan con la opción de indicar la emperaura de puno de rocío. En ese caso, las inceridumbres que se pueden obener son menores a ± 0,55 ºC en el inervalo de - ºC a 0 ºC. Una fuene de inceridumbre no considerada en nuesro análisis, es el modelo para el cálculo de d, por lo que se recomienda validar ese cálculo. 5.3 Propagación de inceridumbre uhr a parir de medición de Los valores calculados de HR en la abla 5 se obuvieron para un inervalo de 10 ºC a 5 ºC en emperaura de bulbo húmedo =5 ºC y P=81 kpa. Esos valores se obienen generalmene en un psicrómero aspirado. En ese ejemplo se consideró que la inceridumbre de los ermómeros involucrados es de 0,1 ºC en ambos casos. La inceridumbre uhr se calculó con la ec. (17 y 18. Tabla 5. Valores de %HR calculados a parir de mediciones de y, con u = 0,1 ºC, u =0,1 ºC y up = 00 Pa. Valores medidos Valores calculados (ºC %HR u%hr 10 13,1 ± 1,8 13 6,7 ± 1, ,9 ± 1, ,0 ± 1,6 78,3 ± 1, ,0 ±,0 5.4 Propagación de inceridumbre de valores calculados de a parir de medición de %HR La abla 6 muesra los valores calculados de y u con las condiciones: P=81 kpa, = ºC. Tabla 6. Valores de calculados a parir de mediciones de HR, y P. Los valores de inceridumbre uilizados son uhr=1 %, u = 0,1 ºC y up = 00 Pa. Valores medidos Valores calculados %HR (ºC u (ºC 10 7,58 ±0,4 0 9,63 ±0, ,54 ±0, ,3 ±0, ,99 ±0, ,55 ±0, ,03 ±0, ,4 ±0,3 90 0,75 ±0,3 Los valores de inceridumbre de la abla 6 se calcularon con la ec. (3 en las condiciones 5

6 Simposio de Merología 5 al 7 de Ocubre de 006 descrias en la misma abla. Para esos cálculos se requiere conocer la emperaura y presión amosférica de la muesra, así como sus inceridumbres correspondienes. 6. CONCLUSIONES pressure. Third Inernaional Symposium of Humidiy and Moisure; 1, 1998, pp [4] J. Mahes, Numerical mehods for mahemaics, science, and engineering. Prenice Hall; 199, nd ediion. Se obuvieron las ecuaciones para propagar la inceridumbre a valores de humedad calculados a parir de valores conocidos. Se presenaron cuaro casos que relacionan a la humedad relaiva, la emperaura de puno de rocío y la emperaura de bulbo húmedo. En esas ecuaciones se incluyó la inceridumbre de oras magniudes involucradas como son la emperaura ambiene y la presión amosférica. Adicionalmene se realizó la evaluación numérica de las ecuaciones obenidas en los inervalos de mayor inerés para los casos mencionados. Las ecuaciones obenidas se pueden usar en higrómeros que cuenan con opción para indicar además del valor medido, valores de oras magniudes calculadas a parir de ellos, por ejemplo en higrómeros capaciivos, medidores de puno de rocío y psicrómeros, Sin embargo, los valores calculados por esos insrumenos requieren validación. AGRADECIMIENTOS Los auores agradecen las observaciones y comenarios realizados por los árbiros, así como al Dr. Edgar Méndez L. y al Dr. Leonel Lira C. inegranes de la División del Termomería (CENAM por su acerada revisión. REFERENCIAS [1] ASTM E (reapproved 1996, Measuring Humidiy ih a Psychromeer (he measuremen of We-and Dry-Bulb Temperaures, ASTM sandards, 1996, pp [] ISO GUM, Guide o expression of he uncerainy in Measuremen. BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAP, IUPAC, OIML, [3] Sonnag D., The hisory of formulaion and measuremens of sauraion aer vapour 6