Análisis Financiero 6 PRIMER CUATRIMESTRE Nº 93 Fernando Gómez-Bezares, José A. Madariaga y. Javier Santibáñez PERFORMANCE AJUSTADA AL RIESGO

Transcripción

1 Aál Facro Nº 93 Frado Gómz-Bzar, Joé A. Madaraga y 6 PRMER CUATRMESTRE 004 CUARTA EPOCA. P.V.P. 9,9 Javr Sabáñz PERFORMANCE AJUSTADA A RESGO 8 Jú Joé Agla Jméz y Aracl Rodríguz Mrayo E NVE DE A NFORMACÓN CONSODADA DVUGADA POR OS GRUPOS QUE COTZAN EN ESPAÑA 30 Joé u Marí Marí y Joé Maul Fra Domíguz E EFECTO DVESFCACON EN TÉRMNOS DE VER REATVO CACUADO POR SMUACON DE MONTECARO 44 Aa Joé Cro Ruz,Julo Déguz Soo y Mª Tra Galac aza FACTORES CONDCONANTES DE EQUBRO ECONOMCO DE OS GRANDES BANCOS EUROPEOS 64 Mgul Ágl Pña Crzo,Vc Ruz rrá y Joé Domgo García Mro ANASS DE OS FACTORES DETERMNANTES DE PRECO DE ACTVO VVENDA 76 J. ñak d a Pña NMUNZACON POR DURACONES PARA SEGUROS A PRMA PERODCA 9 Emma García Mca,abl Maríz Coa y Maul arrá Jorg E MODEO EBO Y A REEVANCA VAORATVA DE A NFORMACON SOBRE CAPTA NTEECTUA. UNA APROXMACON EMPRCA PARTE NSTTUTO ESPAÑO DE ANASTAS FNANCEROS FUNDACÓN DE ESTUDOS FNANCEROS MEMBRO DE AFEDERACON EUROPEA DE AS ASOCACONES DE ANASTASFNANCEROS EFFAS

2 Aál Facro CONSEJO EDTORA CESAR AERTA ZUE Prd d Tlfóca XAVER ADSERA GEBE Vcprd dl EAF Coro Dlgado d Rva y García FERNANDO BECKER ZUAZUA Cadráco d Ecooma Aplcada. Uvrdad Jua Carlo Drcor d Rlaco ucoal y Comucacó d brdrola MAXMO BORRE VDA Profor ordaro d Corol y Drccó Facra ESADE Cadráco d Ecooma Facra. Uvrdad Ramóluc JOSE US CAMPOS ECEVERRA Coro Dlgado d Prof GUERMO DE A DEESA ROMERO Prd d Avva Grupo corporavo, S.. PABO FERNANDEZ OPEZ Profor d Faza Corporava ESE SANTAGO FERNANDEZ VABUENA Drcor gral d Faza y Rcuro compardo d Tlfoca AVARO GARCA DE A RASA Y PNEDA Dfor dl vror dl EAF JAME G AUJA Cadráco d Orgazacó d Empra. Uvrdad d Barcloa Prd d la Ral Acadma d Cca Ecoómca y Facra MANUE MARTN MARTN Scraro Gral d la Fudacó d Eudo Facro Prd d la Comó d Éca y Prácca Profoal dl EAF PRESDENTE DE CONSEJO EDTORA ADO OCESE SANTONJA Prd d la Fudacó d Eudo Facro y dl uo Epañol d Aala Facro SECRETARO DE CONSEJO EDTORA CAROS GASCO TRAVESEDO Prd d la comó d ca y pracca profoal d.a.e. Drcor Gral d la Fudacó d Eudo Facro DRECTOR EDUARDO MARTNEZ-ABASCA Drcor Gral Aocado dl ESE JUAN MASCAREÑAS PEREZ ÑGO Cadráco d Ecoomía d la Empra. Uvrdad Complu JAVER MONZON DE CACERES Prd d dra EMO ONTVEROS BAEZA Cadraco d Ecooma d la Empra Uvrdad Auooma Coro Dlgado d Aala Facro racoal MARANO RABADAN FORNES Prd d NVERCO US RAVNA BOORQUEZ Cadráco d Ecoomía Aplcada y Dcao d la Faculad d Ecoómca. Uvrdad d Navarra JAVER SANTOMA JUNCADEA Profor Ordaro dl ESE JOSE ANTONO SANTOS ARRARTE Prd y Drcor Gral d Parvalor SGC.SA RAFAE SARANDESES ASTRAY-CANEDA Scraro Gral dl EAF Soco Coulor d Roca Juy PEDRO TABERNA GAZTAMBDE Drcor d Ba Capal RAFAE TERMES CARRERO Prd d oor dl EAF y dl ESE Profor d Faza dl ESE JOSE US SANCEZ FERNANDEZ DE VADERRAMA Cadráco d Ecoomía Facra y Coabldad.Uvrdad Complu Prd dl Comé Cífco y Académco dl uo pañol d Aala Facro y d la Fudacó d Eudo Facro ANTONO TORRERO MAÑAS Cadráco d Erucura Ecoómca. Uvrdad d Alcalá d ar Eda: Fudacó d Eudo Facro uo Epañol d Aala Facro. Drccó: Avda. dl Bral, 7-3ª A-B. 800 MADRD. Tléfoo: lía. Fa: Maquacó mpró: RARO Producco, S.. Dpóo lgal: M SSN:

3 SUMARO roduccó Joé u Sácz Frádz d Valdrrama Prformac auada al rgo Frado Gómz-Bzar, Joé A. Madaraga y Javr Sabáñz El vl d la formacó cooldada dvulgada por lo grupo qu coza Epaña Jú Joé Agla Jméz y Aracl Rodríguz Mrayo El fco dvrfcacó érmo d VR rlavo calculado por mulacó d Mocarlo Joé u Marí Marí y Joé Maul Fra Domíguz Facor codcoa dl qulbro coómco d lo grad baco uropo Aa Joé Cro Ruz, Julo Déguz Soo y Mª Tra Galac aza Aál d lo facor drma dl prco dl acvo vvda Mgul Ágl Pña Crzo,Vc Ruz rrá y Joé Domgo García Mro muzacó por duraco para guro a prma pródca J. ñak d a Pña El modlo EBO y la rlvaca valorava d la formacó obr capal lcual. ua apromacó mpírca par Emma García Mca, abl Maríz Coa y Maul arrá Jorg

4 76 ANÁSS FNANCERO J. ñak d a Pña* muzacó por Duraco para Sguro a Prma Pródca: muzacó Abra. NTRODUCCÓN o produco d la Edad Aguradora o comrcalzado ao a ravé d prma úca como d prma pródca. E dudabl qu ya l mmo momo d la ralzacó dl corao d guro á dlmado ao l grado d compromo qu adqur la Edad Aguradora como la rmuracó qu por lo rvco qu va a prar a d aboar l omador dl guro y aumdo por la Edad dd l mmo momo l qu frma l corao y l omador d guro aboa la prmra prma o cuoa d aporacó. S a prma úca, la Edad Aguradora dpo d lo rcuro coómco para, vrédolo l mrcado, puda acr fr al compromo probabl aumdo. a raga vrora qu pud llvar a cabo co u obvo d acr fr a u compromo fuuro aumdo l corao y ba a ua rabldad míma coracual, pud r ua raga muzadora cláca o ua muzacó a ravé d duraco. S mbargo cuado l produco acuaral comrcalzado a ravé d aporaco pródca, la Edad Aguradora aum odo l rgo dd l momo d la frma dl corao, pro mbargo o dpo d lo mmo fodo coómco para vrr qu ub vddo dco produco a ravé d ua prma úca. Eo, la Edad Aguradora al comrcalzar u produco acuaral a prma pródca cura ua opracó d acvo - pavo acuaral coua, dod la oblgaco aumda pavo acuaral mplca la ca d ua corr fuura d gro probabl o cuoa d aporacó a aboar acvo acuaral y qu db r cua a la ora d ralzar la plafcacó vrora d la prma rcaudada por produco acvo facro qu grará r y ua amorzacó dl prcpal vrdo. cuado l produco acuaral comrcalzado a ravé d aporaco pródca, la Edad Aguradora aum odo l rgo pro o dpo d lo mmo fodo qu ub vddo dco produco a ravé d ua prma úca E l pr rabao plaamo la raga vrora muzadora qu ga cua o ólo acvo facro, o ambé l acvo acuaral a ravé d la rucura mporal d gro probabl fuuro y qu quda dlmada l momo d la ucrpcó dl corao d guro y ua fca poror la oblgaco coracual quda pa la provó mamáca corrpod. Para llo aodará l cocpo d la provó mamáca y pcfcará la caracríca má mpora d * uo d Eudo Facro Acuaral. Uvrdad dl Paí Vaco.

5 NMUNZACÓN ABERTA 77 a raga muzadora, dlmado cocpo radcalm a dfr como l valor facro d lo compromo adqurdo y valor facro d la provó mamáca, qu cuado rfr a u produco comrcalzado a prma úca o ómo, pro l cao qu o ocupa o oalm dfr. Pororm propodrá l uo parcularzado y podrado dl cocpo d duracó para drmar l valor d la provó mamáca a varaco dl po d ré. Co llo podmo plaar í la raga vrora qu ga cua a parculardad, cual la d complar lo fuuro gro a lo qu coracualm oblga l omador dl guro l momo l qu ucrb la pólza d guro. Falzamo co ua aplcacó prácca d la raga muzadora ao mpl como múlpl, dod pud aprcar l fco d a codco la r d íulo facro la qu db vrr la dad para o ar pua al rgo d ré.. NMUNZACÓN a raga vrora muzadora co la cracó d ua carra d vro acvo d forma qu gr lo ufc fluo coómco para qu aga fr a u compromo o varo compromo d pago fuuro, dpdm d la varaco qu prm l po d ré d mrcado y garazado u ao d rdmo dura l prodo d mpo plafcado. Baada l orma d Fr & Wl [Fr & Wl, 97], para ua raga vrora d muzacó mpl baará co gualar la duracó dl acvo co l orzo d plafcacó dl vror y, para ua raga vrora d muzacó múlpl, rá cara la gualacó d duraco d ao l acvo como dl pavo [D a Pña, 997 a]. abualm dro d la Edad Aguradora d vda a mplado la muzacó do amplo ya a a ravé d ua cogruca abolua, pova o mporal para agurar compromo aumdo y a gur, como pud r carra d pavo. E o cao y como corapracó a ua prma úca, la dad aguradora compromía a aboar la praco qu corrpod aa la có dl colcvo. Podmo dcr qu craba u fodo pcalzado ddcad fud para la cobrura d o compromo co la prma rcaudada [Badr,. 985]. abualm dro d la Edad Aguradora d vda a mplado la muzacó do amplo para agurar compromo aumdo y a gur E cao plaa u programa lal para corar aqulla carra d vro qu co mor co puda acr fr a la rucura d pago probabl a ralzar cuaía y mpo bao dvra rrcco, dpddo dl po d ubraga muzadora complada: Abolua, pova o mporal. Bao ua cogruca abolua compla qu lo gro dl fodo vror r má la amorzacó d lo acvo vrdo a d r gual al compromo aumdo pago probabl para cada uo d lo rcco coómco fuuro complado. E ua cogruca pova procd a la gualacó d duraco, ao dl acvo como dl pavo co lo qu pquña varaco l po d ré o afcará al ormal darrollo d lo pago. No oba a varaco mayor dl po d ré procd ao a la gualacó d covdad como a ua rvó pródca d la carra, gudo lo poulado d Rdgo [Rdgo, 95]. Ea la raga vrora qu propomo l pr rabao y para la qu ralzarmo l aál d duraco corrpod. Falm la cogruca mporal admá d la gualacó d la duraco u caamo prfco d lo fluo coómco a aboar dura lo prmro prodo prmro prodo. E odo lo cao abualm la Edad Aguradora dpo calm dl fodo vror ufc como para bucar la carra d vro qu aga fr a al compromo, abda cua qu a do comrcalzado a ravé d ua prma úca. S mbargo produco qu comrcalza a prma pródca. Eo, u rgo qu pud dar S prodo y facada u cobrura prma pródca al qu, E cao la raga vrora d la compañía a d r cua:. o compromo oal aumdo l pavo acuaral.

6 78 ANÁSS FNANCERO. a prma rcaudada y la vro corrpod a éa acvo facro. [] 3. Erucura d gro probabl fuuro gú l corao d guro acvo acuaral. do: E a la raga vrora qu plaarmo l pígraf corrpod y qu drá cua acvo acuaral fuuro para l cao d qu maralc y qu o dlmará la caracríca qu db r l acvo facro l qu maralc la vro d la prma rcaudada. 3. E BAANCE DE ACTVO Y PASVO ACTUARA: A PROVSÓN MATEMÁTCA : Provó mamáca a la dad d ublacó. : Valor acual acuaral d la praco d ublacó a la dad d ublacó. : Valor acual facro d - año. : Probabldad d qu u bfcaro d la pracó d ublacó d dad, alcac lo año, dod la úca caua d alda l fallcmo. GRÁFCO 3.. CONCEPTO El pavo d ua dad aguradora lo couy la oblgaco pulada la mcoada pólza d guro, d acurdo a u rglamo dod ra la lccó d u drmado méodo d co o facacó dñado por l acuaro, drma la aporaco o prma a aboar. Dpddo dl méodo d co lgdo, ambé drma la provó mamáca dda como aqulla par dl valor acuaral d la praco qu db ar couda a la dad alcazada, dpddo d la pó dl pla y ba al darrollo ormal y acrado d éa [Bzu,.989]. El pavo d ua dad aguradora lo couy la oblgaco pulada la mcoada pólza d guro E l momo d la coraacó d la pólza d guro, l parícp o a amorzado gua cadad y por ao u corrpod provó mamáca ula: a provó mamáca ufr u crmo paulao dd la dad la qu fcúa la quvalca facroacuaral dad d rada, dad a parr d la cual aboa la prma aa la dad la qu l parícp va a mpzar a rcbr la praco d ublacó codrada uro cao a lo año momo a parr dl cual o ralza gua ora aporacó, dbdo r momo u moa mámo para acr fr a oda la pobl fuura praco. GRÁFCO Sdo X la dad d rada o dad d coraacó. E l cao d qu cora u produco acuaral d aorro como pud r l d prcbr forma d ra pródca valca a parr d la dad d ublacó d cuaía B, al alcazar dca dad d ublacó, l valor d la praco fuura a do qu r amorzado y coudo, do l valor d la provó l mmo qu l valor acual acuaral a la dad d ublacó d la praco fuura: []

7 NMUNZACÓN ABERTA 79 S coraa u produco acuaral d rgo como pud r l d aboar forma d capal úco ua dmzacó al fallcmo dl rabaador ocurr co arordad a la dad d ublacó d cuaía B, al alcazar dca dad d ublacó, l valor d la praco fuura ambé ulo, al o r rgo fuuro d ocurrca d la cogca y do l valor d la provó ambé ulo: S mbargo a ua dad rmda r a dad d rada y la dad d ublacó, la provó mamáca oma valor povo al complar ao l rgo qu pud ocurrr como la aporaco qu odavía pud ralzar l omador dl guro. 40% GRÁFCO 3 VARACÓN. ANTE RESGO DE NTERÉS [3] flucado por l rgo d ré. do a Va a Cfa a Va Cfa a a : Provó mamáca calculada a la dad alcazada. [4] : Valor acual acuaral a la dad alcazada a d la praco fuura a aboar al parícp. : Valor acual acuaral a la dad alcazada a d la aporaco fuura dl parícp. El Calculo d la Provó Mamaca por l Méodo Propcvo á flucado por l Rgo d ré a 30% 0% Méodo Rropcvo. 0% 0% -0% -0% -30%,00%,50%,00%,50% 3,00% 3,50% 4,00% 4,50% 5,00% 5,50% 6,00% Noa: Sobr ua Provó Mamáca d aorro calculada al 3,5% d ré. 3.. CÁCUO E l prodo comprddo r o do rmo la provó mamáca la podmo prar d dfr forma, dpddo dl méodo d co lgdo para amorzar la praco [D a Pña, 000]. El cálculo d a provó pobl dpddo d qu coablcmo la oblgaco fuura, ao d la Edad Aguradora como dl omador dl guro, o la paada, dod cua la aporaco aboada por o úlmo y l rgo d ocurrca d la pracó complada. Eo do méodo o: Méodo Propcvo. Qudará dfda la provó mamáca calculada por l méodo propcvo como l co dl valor acual acuaral d la praco fuura obr la prma fuura acualzada. E l méodo qu ormalm g la admracó para u cálculo y qu adcoalm á a provó mamáca d u agurado, la podmo dfr d forma rropcva, do gual al moa d oda la aporaco paada ralzada dd la dad d rada l colcvo, aa l momo dl cálculo d la provó, amorado l rgo o pracó coumda. Normalm la cuoa d aporacó dl año curo quda cluda para l cálculo bao la pó abual d prma prpagabl. a doarmo d la gu forma: Cp Vp a a dod Cp a :Cuoa paada capalzada acuaralm aa la dad d valoracó d la provó mamáca. Vp a :Valor d la praco paada capalzada aa la dad d valoracó d la provó mamáca. E u valor paado y calculado acord a la prca ral d la dad, por lo qu o á afcado por gú rgo d ré. Dro dl cálculo d la provó mamáca cua la dad d cada parícp agurado la fca a la qu rfr l cálculo, la pracó promda B, l méodo d drbucó d co mplado CA, la probabldad d fallcmo, valdz, roacó, m r q q q aí como l po d ré a ulzar la valoracó. m r f ; CA; B; q ; q ; q ; ;... a [5] [6]

8 80 ANÁSS FNANCERO 4. OS COMPROMSOS ADQURDOS VERSUS VAOR FNANCERO DE A PROVSÓN MATEMÁTCA MÉTODO PROSPECTVO E la opraco d guro d vda, l po d ré écco l ulzado para la ralzacó d la quvalca acuaral r praco y aporaco, do pororm mplado para far la provo mamáca. E muco cao l valor mámo qu pud omar é v lmado lgalm. Eo, ua rucura plaa. Ora vc mpla l po d ré lbr d rgo d lo acvo facro dl oro co l f d ofrar l produco bao u caamo d fluo coómco qu garac la praco promda la pólza d guro. E lo qu darrollamo l pr rabao mpr codramo qu cualqur cambo qu ocurra l po d ré producrá u dplazamo parallo d é. ay qu r cua qu l valor acual d lo fluo coómco dl momo cal codrado como l momo dl corao o ucrpcó d la pólza, a d r gual ao para lo gro probabl fuuro como para lo compromo d pago probabl fuuro. E a quvalca facro-acuaral dlma l valor d la prma qu l omador aboará a la Edad Aguradora. Bao ua rucura d po d ré pródco cualqura, do 0 l po d ré aual pródco al coado o Spo Ra aa l prodo -émo, do: [7] :Valor acual d la cuoa d aporacó o gro qu probablm l agurado abo ará, valorado al po d ré d mrcado. :Valor acual d la cuoa d lo compromo d pago qu probablm l aboará al bfcaro corrpod, valorado al po d ré d mrcado. E a quvalca facro-acuaral dlma l valor d la prma qu l omador aboará a la Edad Aguradora. 4.. PAGOS PROBABES FUTUROS: PASVO ACTUARA o compromo aumdo dpdrá dl po d produco comrcalzado. D a forma u produco d rgo la qu, por mplo, aboa ua pracó al fallcmo B m, l compromo probabl aumdo a ua dad rá: 0 B m 0 l aboo d la pracó fu a la valdacó, B 0 S uvémo co ua pracó d aorro pagadra a la dad, l compromo aumdo ría: B 0 do, m m q q p [8] [9] [0] :Compromo probabl aumdo por fallcmo a la dad. :Compromo probabl aumdo por valdz a la dad. :Compromo probabl aumdo por ublacó a la dad. :Probabldad d fallcmo a la dad y para u prodo d u año. :Probabldad d valdacó a la dad y para u prodo d u año. :Probabldad d alcazar la dad para u agurado d dad y para oda la caua d alda complada. 4.. NGRESOS PROBABES FUTUROS: ACTVO ACTUARA Al ralzar l corao, l omador dl guro comprom a aboar la cuoa d aporacó o prma qu corrpoda mpr qu o dé la cogca qu l cluya dl aboo, como pud r l fallcmo, la valdacó, c. E cao l gro probabl a ua dad qu a d r cua la Edad Aguradora rá CA 0 do, CA T p m T co ua probabldad d q co ua probabldad d - q co ua probabldad d co ua probabldad d co ua probabldad d co ua probabldad d - q co ua probabldad d < q m p - p m p T T T [] :gro probabl a r cua a la dad. :Cuoa d aporacó o prma pródca qu a d aboar l omador dl guro a la dad. :Probabldad a la dad d gur do coza acvo para u prodo d u año.

9 NMUNZACÓN ABERTA BAANCE FNANCERO : A PROVSÓN MATEMÁTCA E u momo rmdo l co dl valor acual d lo compromo coómco obr l valor acual d lo gro probabl por prma o drmará l valor d mrcado d la provó mamáca al po d ré, o vrdadro valor acual d lo compromo adqurdo para co l agurado bao l méodo d cálculo propcvo, al r é l qu á flucado por l rgo d ré valoracó a fuuro: [] Co ua rucura d po d ré cualqura, [3] E momo d mpo rmdo mo d codrar l valor acuaral d la cuoa d aporacó fuura dod l omador dl guro gurá aboado la cuoa qu l corrpoda mpr qu cumpla la codco qu l prma acrlo, o, é vvo, o váldo dpddo dl codcoado d la pólza. E claro qu l cao d ua prma úca úco pago l momo d la coraacó l valor d mrcado d la provó mamáca cocd co l valor acual d lo compromo ral adqurdo. [4] S mbargo, cao d la ca d aporaco pródca, lo pago probabl fudamará la provó acumulada aa la fca má la prma fuura qu l agurado db aboar. 5. A DURACÓN ACTUARA El cocpo d duracó d u acvo facro fu calm roducdo por Macaulay [Macaulay, 938] bao u foqu facro, aí como por ck [ck, 939] bao ua ópca coómca. El darrollo poror a baado prcpalm l mplo d la Duracó l acvo d la compañía aguradora, o, l aál d la vro ra fa, mayorm. D a forma auor como Brag y oro [977, 978, 990 y 99 ], boz [986, a y b ] aplcádola a la muzacó, Fabozz [995], Tov [986] la ra fa, c., a darrollado l mplo d la Duracó l acvo pro o a aodado l campo dl pavo d la dad aguradora, alvo caa rvco [ & Par, 994]. El cocpo d Duracó qu mpla para lo acvo facro d ra fa baa ua corr d fluo coómco varabl a lo largo dl mpo. S mbargo la opraco acuaral la frcuca d ocurrca y l volum d pago a ralzar ocáco. D co la mayoría d lo guro y ra acuaral baa pago a ralzar a la ocurrca o o d u vo d mur o uprvvca. Parmo d u modlo gral l qu la cuaía y l mpo v afcado por l momo dl vo alaoro. Podmo drmar la pró d la duracó prada d ua opracó cog como [D a Pña, 00], do, b v Ecao rabao a aodado la duracó dl Pavo g DE 0 0 b [5] :Pago a ralzar l a al dar la cogca. :Facor d acualzacó facro dd l a aa l org. :Fucó d ddad corrpod a la fucó d drbucó G d drbucó por dad,la cual o dcará la drbucó por dad d la poblacó a mdda qu l mpo paa. Su quval l campo dcro rá, DE v b v g d g d [6] para ua rucura d ré écco plaa y para ua rucura cualqura, u pró v dada a ravé d la duracó prada modfcada: [7]

10 8 ANÁSS FNANCERO 6. SENSBDAD DE A PROVSÓN MATEMÁTCA ANTE E TPO DE NTERÉS Ua varacó dl po d ré provocará ua varacó la valoracó facra d la provó mamáca. Ea l momo -émo rá: [8] y l valor acual d u compo vdrá drmado para u po d ré coa como: [9] D a forma, dado l valor facro d la provó ua fca dada, ua míma varacó l po d rabldad d mrcado, l valor d la oblgaco aumda cambará a. E cao, podmo corar u uvo valor mda ua apromacó d Macaur para r érmo, dod la fucó. E l lím a cro d valor crmal drmo, 6.. A TRAVÉS DE A DURACÓN ESPERADA [0] Al gual qu l valor acual d lo compromo ralm adqurdo mo amorado l rulado d lo compromo oal co lo gro probabl fuuro qu l agurado aboará a la compañía cocpo d prma, para drmar l fco qu produc ua varacó dl po d ré obr la provó mamáca d la dad aguradora ambé mo d amorar u fco. Por lo qu a varacó la podrmo dcar como la bldad d la provó mamáca calculada a ravé dl méodo propcvo rpco a varaco dl po d ré. Ralzamo por ao la prmra drvada d aqulla rpco a é: [] co lo cual darrollamo véa ao paradam la fluca qu la varaco dl po d ré obr lo compromo d pago y obr lo gro probabl, llgado a la pró qu o prm drmar d forma apromava l uvo valor d a provó cuado la varaco o aáa y paralla : [ ] [ ] d [] 6.. A TRAVÉS DE A DURACÓN Y CONVEXDAD ESPERADA a covdad prada raa d rcogr la par d la varacó l valor acual d lo compromo probabl d pago aumdo producdo por ua varacó l po d ré y qu o aya do capado por la duracó prada. Para obr ua mayor acud d la varacó qu prma lo pago por praco promda a varaco dl po d ré, codra u parámro qu o dca la dpró d aqul fr a é. E l érmo d covdad prada d la opraco acuaral, blm dfr a u omómo covdad d u íulo. a covdad prada CXE v dfda a ravé dl rcr érmo dl darrollo d Macaur. El parámro covdad prada ulza para dcrbr a dpró, do la drvada d gudo ord la apromacó d Macaur. D la dcrpcó ralzada aa aora dduc qu l fco corrcor d la covdad obr l valor d la oblgaco aumda calculado a ravé d la duracó prada, povo a baada dl po d ré. S l ré dcd, l aumo dl valor d o pago mayor qu l mado úcam co la duracó prada. S l ré auma, l dco fal mayor al mado co la duracó prada. Emplado l mmo razoamo qu l puo l ubpígraf aror llgamo a la pró véa ao d, CXEM CXEM [3] Dod l valor qu oma la covdad prada modfcada para lo pago probabl aumdo la carra d guro acd a: [4] Y la covdad d lo gro probabl qu db acr lo omador dl guro : CXE CXEM [5]

11 NMUNZACÓN ABERTA 83 El mplo d ao la duracó y la covdad para valorar la uva provó mamáca a varaco l po d ré, como pud aprcar l gráfco, prm apromaco ralm bua, para, por mplo u produco a prma pródca a aboar a u plazo d 0 año. El mplo d ao la duracó y la covdad para valorar la uva provó mamáca a varaco l po d ré,prm apromaco ralm bua GRÁFCO4 o cual mplca la ca d ua provó mamáca ula [7] Pro u momo rmdo,, l balac r ambo cocpo valorado acord al po d ré vg momo o dlmará l valor d la provó mamáca, l cual db ar al mo rpaldado por la vro d la cuoa rcaudada Eo, lugo, A 0 A A [8] [9] [30] lo compromo aumdo por la dad aguradora db ar al mo cubro por la vro ya ralzada A y maralzada l fodo d vró corrpod y l valor acual d lo gro probabl pd d rcbr. 7. A NMUNZACÓN ABERTA 7.. DEFNCÓN a muzacó abra co la cracó d ua carra d vro d acvo facro d ra fa d forma qu uo co la aporaco o gro fuuro dl propo produco a muzar gr lo ufc fluo coómco para qu aga fr a u úco pago fuuro o varo, dpdm d la varaco dl po d ré d mrcado. a muzacó Abra cua ao l Acvo Facro como l Acvo Acuaral 7.. NMUNZACÓN ABERTA Y SMPE calm momo dl corao, rá ua quvalca r l valor acual dl compromo a aumr y la cuoa a aboar por l omador dl guro: [6] D a forma, para ar muzado a l rgo d ré db dar gualdad d duraco dl acvo cao duraco modfcada, al complar ua rucura d po d ré o plaa, ao facro como acuaral ACTVO co l pavo acuaral, qu ua muzacó mpl l orzo d plafcacó dl vror: 0 ACTVO 0 [3] Sdo la duracó dl acvo la duracó mda podrada d lo acvo facro y acuaral qu la comprd. A ACTVO [3] A o fluo coómco qu compo a carra o: F F F F F - Dod F rpra l fluo coómco -émo producdo por la vró ralzada co la cuoa calm rcaudada CA. a duracó modfcada d o fluo d gro vdrá dada como ACTVO F F [33] ay qu r cua qu l valor acual d lo fluo co-

12 84 ANÁSS FNANCERO ómco dl momo -émo a d r gual, ao para lo gro como para lo pago: F [34] Por lo qu l umrador d la duracó lo podmo dcar como, D a forma, al fal dl prmr rcco ua baada d lo po d ré producrá u valor d rvró mor. S mbargo l valor d mrcado crmará y llgará a acumular l ufc mpor coómco como para acr fr al pago prvo. GRÁFCO 6 ACTVO F [35] Eo, A ACTVO A 0 [36] a duracó a la qu dbrá rucurar la carra d vro d la Edad Aguradora dbrá r: A 0 A A GRÁFCO 5 [37] Tdo cua lo gro probabl fuuro dl omador prma pródca pd d aboar gú corao, la vró cal d la prmra prma rcaudada ralzará a ua duracó upror al orzo d plafcacó dl vror. a gu corbuco al fodo rá rvrdo a duraco mayor qu l orzo d plafcacó, d forma qu uo co la duracó d la corr d gro probabl por prma aboada y rvrda ga ua duracó mda gual a orzo d plafcacó. la vró cal d la prmra prma rcaudada ralzará a ua duracó upror al orzo d plafcacó dl vror. a gu corbuco rá rvrdo a duraco mayor qu l orzo d plafcacó Adcoalm mo cua la covdad oal, l propo produco acuaral o drmará la covdad qu db r la rucura vrda d íulo, do ambé cua la covdad prada d ao lo compromo aumdo como dl acvo acuaral o fuuro gro probabl por la prma a rcaudar. Emplado l mmo darrollo qu l mplado para drmar la duracó d la carra d vro obmo qu la covdad a la qu dbrá rucurar la carra d vro d la Edad Aguradora dbrá r: CXM CXEM A 0 A A [38] a mor dpró dl aboo pródco d prma pródca fr a la dpró o covdad d lo compromo aumdo ac qu la rucuracó ralc íulo co u grado d dpró o covdad cada príodo upror al dl pavo aumdo NMUNZACÓN ABERTA Y MÚTPE Ea raga pud dr ambé a ua muzacó múlpl cuyo cao la prcpal varacó co rpco a la pro aror radca la codracó d la duracó prada d la rucura d compromo adqurdo dod calm momo dl corao, rá ua quvalca r l valor acual d lo compromo a aumr y la cuoa a aboar por l omador dl guro. E u momo rmdo,, l balac r ambo cocpo valorado acord al po d ré vg momo o dlmará l valor d la provó mamáca, l cual db ar al mo rpaldado por la vro d la cuoa rcaudada [39] A

13 NMUNZACÓN ABERTA 85 Eo, A [40] lo compromo aumdo por la dad aguradora db ar al mo cubro por la vro ya ralzada y maralzada l fodo d vró corrpod y l valor acual d lo gro probabl pd d rcbr. a raga muzadora múlpl corá la gualacó d duraco modfcada para la rucura d po d ré o plaa qu amo upodo a lo largo dl pr rabao d ao l acvo facro como acuaral co la duracó prada d lo compromo aumdo o pavo acuaral: ACTVO [4] Sdo la duracó dl acvo la duracó mda podrada d lo acvo facro y acuaral qu la comprd. ACTVO [4] Por lo qu la duracó a la qu db rucurar la vro dl fodo d la Edad Aguradora rá: A A [43] També co la muzacó múlpl la carra d vro db rucurar a ua duracó upror a la duracó prada d lo compromo múlpl aumdo d forma qu la duracó mda coua d ao l acvo facro como acuaral a gual a la duracó prada d o compromo. A A A co la muzacó múlpl la carra d vro db rucurar a ua duracó upror a la duracó prada d lo compromo aumdo GRÁFCO 7 S mo cua la covdad oal, l propo produco acuaral o drmará la covdad qu db r la rucura vrda d íulo, do ambé cua la covdad prada d ao lo compromo aumdo como dl acvo acuaral o fuuro gro probabl por la prma a rcaudar. Emplado l mmo darrollo qu l mplado para drmar la duracó d la carra d vro obmo qu la covdad a la qu dbrá rucurar la carra d vro d la Edad Aguradora dbrá r: CXM A A CXEM 8. PANTEAMENTO PRÁCTCO DE A ESTRATEGA [44] E pígraf pramo cómo qudaría l problma d programacó lal qu o prm rucurar la carra d vro d la dad aguradora ba a aboar lo compromo adqurdo co la comrcalzacó dl produco acuaral a prma pródca y do cua ua cogruca por duraco. 8.. NMUNZACÓN ABERTA Y SMPE A GRÁFCO 8 CXEM a muzacó mpl co rucurar la carra d vro d forma qu prma la gracó d lo ufc fluo coómco para acr fr a u úco compromo u momo d mpo drmado, dpdm d la varaco qu produzca l po d ré. a rucuracó d la carra d vro db prmr rcaudar lo ufc fluo como para acrlo fr Fucó obvo Dado u couo d cla d íulo dfr, ura fucó a opmzar rá corar aqulla carra co mor co,

14 86 ANÁSS FNANCERO do, [45] X :El mpor, obr l oal d la carra, agado al íulo -émo. E rá: [46] E lo mrcado facro ul r abual qu l prco d lo acvo facro vga dado ba 00, por lo qu podríamo rdñar la fucó obvo a opmzar ba al mpor coómco agado a cada íulo -émo, do cua la proporcó vrda cada íulo : El úmro d íulo adqurdo rula, Y la proporcó qu rula obr l oal d la carra, [47] [48] [49] Co lo qu la fucó obvo rula ambé la podmo dcar como: 8... Rrcco [50] a caracríca d la muzacó mpl rd u pago úco a acr fr l prodo -émo co lo fluo coómco d ao lo íulo agado como d lo gro por cuoa d aporacó pd d rcbr, lugo: a duracó d la carra d vro a d r mayor qu l orzo d plafcacó dl vror. A dod, Eo, M A X X X K X K X M A... dod la duracó modfcada dl íulo -émo. 3 X A [ P P... P ] X N P X A [5] [5] [53] Por upuo, l capal agado la carra d vro o pud uprar al valor acual d lo compromo aumdo. D co, a íulo co dfr caldad crdca obdrmo ua agacó d rcuro fror al valor d mrcado dl pavo. M A P N P N... P 0 A A A A N [ X X... X ] A [54] Al fal d la opracó, o, l momo l qu ralc l pago probabl prvo, l aldo fal a d r ulo: [55] v No pd gua cuaía a préamo, acdo fr a lo pago promdo co l fodo acumulado, lugo la proporcó d cada íulo,,..., la carra rá pova o ula. v o aror mplca qu agamo odo lo rcuro: O lo qu lo mmo. [56] v Adcoalm dabl qu l vror drm ua r d rrcco cualava o d prfrca qu o prma darrollar co u do prácco problma d programacó lal. Ea rrcco pud r l porca d cobrura d la carra d vro a agar a íulo d ua drmada dad, o porca a adqurr d lo íulo dl oro, boo dural, lqudz o a plazo mor o gual a u año, c. 8.. NMUNZACÓN ABERTA Y MÚTPE 8... Fucó Obvo Dada varabl d dcó rprado por lo cla d acvo facro lo qu pud vrr, la fucó obvo corá allar l mor valor d ua carra d acvo facro qu o prma acr fr a odo lo compromo: do, [57] X :El mpor, obr l oal d la carra, agado al íulo -émo Rrcco S A 0 0 Sgudo l lgado dado por Rdgo, l valor mdo d lo fodo ao facro como acuaral db gualar l valor mdo d lo pago. Eo, gualdad d duraco r l acvo facro y acuaral y l pavo acuaral, al y como mo dmorado: dod la duracó dl acvo, 3 K X X X 3 K X A M A X X X K X K X A A A A 3 A [ X X... X ] [58] [59]

15 NMUNZACÓN ABERTA 87 El valor acual d la carra d vro o db uprar al valor acual d la provó mamáca, A [60] dbdo a qu lo qu bucamo ua rucura d acvo facro qu o garac l pago d ua rucura d compromo fuuro amorado por lo gro probabl fuuro cálculo d la provó mamáca por l méodo propcvo y lo acvo facro lo podmo lgr l mrcado r lo dl oro y oro co dfr caldad crdca. Como rrccó adcoal mo qu l cd o balac fal d la opracó a d r povo o ulo. Para l modlo ópmo, mbargo, db r ulo lo qu mplcaría qu co lo fluo coómco grado d uro íulo podmo aboar puualm lo pago probabl: a mdda d la covdad o prmrá u mor afamo a ampla varaco dl po d ré o rcogda por la duracó. v Adcoalm dabl qu l vror drm ua r d rrcco cualava o d prfrca qu o prma darrollar co u do prácco problma d programacó lal. Ea rrcco pud r l porca d cobrura d la carra d vro a agar a íulo d ua drmada dad, o porca a adqurr d lo íulo dl oro, boo dural, lqudz o a plazo mor o gual a u año, c. v També lógco clur ua rrccó d o gavdad d fluo coómco lo prmro rcco, d forma qu lo z prmro prodo obga lo ufc fluo d forma qu puda acr fr a odo y cada uo d lo pago a ralzar, cuaía y mpo: S A 0 [6] F F... F v No pd gua cuaía a préamo, acdo fr a lo pago promdo co l fodo acumulado, lugo la proporcó d cada íulo,,..., la carra rá pova o ula. v o aror mplca qu agamo odo lo rcuro: O lo qu lo mmo. 0 3 K X X X 3 K X A [6] v Cuado l rgo d ré dbdo a varaco ala l po d ré, caro la corporacó d oro parámro qu o dqu l comporamo d ura carra d íulo a a varaco. E parámro v mddo a ravé dl rcr érmo dl darrollo d Macaur: a Covdad. El lgado uvo d Rdgo o dca qu la dpró obr l valor mdo d lo fodo db r mayor qu la dpró obr l valor mdo d lo compromo d pago. Ea mdda la covdad a ua varacó l po d ré d mrcado la cual ya a do dmorada arorm. ugo, CXM A A CXEM dod la covdad d la carra d íulo, CXM A A A [63] [64] CXEM [ CXM X CXM X... CXM X ] F F... F [65] Fz Fz... Fz z z do F l fluo coómco producdo por l íulo -émo l prodo -émo. Para l cao d qu a gualdad rca o z prmro prodo aríamo a ua raga d cogruca mporal, o, ua raga vrora ma r ua cogruca abolua caflo macg para o z prmro prodo y ua cogruca por duraco pov macg para l oal d la carra. 9. CONCUSONES o poulado gral d muzacó cláca db r adapado va a camar a ua corrca raga vrora para produco acuaral a prma pródca. o poulado gral d muzacó cláca db r adapado para produco acuaral a prma pródca. E ua raldad qu muco cao lo produco d la compañía aguradora comrcalza a ravé d u po d ré écco coa, lmado lgalm y qu lo cambo d é o cambo aáo y parallo. No oba ambé pobl l mplo d la rucura d po d ré d mrcado, bao la pó d dplazamo parallo d a rucura, mpr bao la prm-

16 88 ANÁSS FNANCERO a qu lo compromo aumdo qud rpaldado facram co íulo. D a forma lo cupo y amorzacó d éo podrá acr fr a o compromo aumdo, ao cuaía y mpo. S db procdr a mar l acvo acuaral la raga vrora, pu al f y al cabo o uo gro qu coracualm va a rcbr la dad cao d o dar la cogca complada l corao d guro corrpod y por ao a d clur dro d la raga vrora como u acvo acuaral. El fluo d gro probabl dfdo l corao o dlmará ua duracó d éo qu flurá la duracó coua dl programa lal d la raga muzadora. a duracó a la qu db rucurar la carra d vro dpdrá o ólo d la duracó dl acvo acuaral, o ambé dl valor acual d ao lo gro probabl fuuro como lo compromo probabl fuuro podrado obr l valor d, prcam la carra d vro corrpod. Eo ará qu a duracó d la carra d vro aya d r mayor a la duracó d lo compromo adqurdo. E prodo poror, la gu corbuco al fodo rá rvrdo a duraco mayor qu l orzo d plafcacó, d forma qu uo co la duracó d la corr d gro probabl por prma aboada y rvrda ga ua duracó mda gual a orzo d plafcacó. Auqu l produco comrcalzado lo a a u plazo mdo por mplo cco año, raa dl aboo d u capal dfrdo como l plaado la aplcacó o podmo corar co la cdad d bucar íulo d ala caldad crdca a u plazo muy upror al d la falzacó dl corao, pu la gualdad d duraco va a oblgar a vrr íulo co vcmo muy upror a o cco año. D co, dpddo d la caracríca dl produco acuaral, o podmo corar íulo d ra fa l mrcado qu poa duraco ala. E cuao para l aál d la covdad d la carra d vro, ambé lo gro probabl fuuro dl produco a prma pródca o dlmará u grado d dpró d éo y qu la carra d vro ambé db r cua. a mor dpró dl aboo pródco d prma pródca fr a la dpró o covdad d lo compromo aumdo ac qu la rucuracó ralc íulo co u grado d dpró o covdad cada príodo upror al dl pavo aumdo. 0. APCACÓN Co l f d lurar la raga muzadora, la aplcarmo a do produco, uo d aorro y oro d rgo. Para l produco d aorro codra l aboo d u capal d a lo 60 año l omador dl guro, d 55 año alcaza dca dad fallcr valdar. Codrado a do caua d alda GRM-95 para fallcmo y EVKM-90 para valdacó y bao la garaía dl po d ré lbr d rgo momo l mrcado 3 d ro d 003 qu acd al 5 0 3,367% Ea garaía coraada a lo 55 año d dad por u agurado, l cual aboa prma aual coa a 5 año, do l valor d éa: CA 55.69,8 El produco d rgo codra l aboo d ua dmzacó al fallcmo a aboar ocurr a d qu l agurado cumpla lo 65 año d dad. B a dad agura la rucura d po d ré vg a la fca, cuyo valor dpddo dl plazo acd a: y codra como caua d alda l fallcmo GRM- 95 y la valdz EVKM-90. Ea coraada a lo 55 año d dad por u agurado, l cual aboa prma aual coa do la prmra prma: CA ,09 Aalzamo la uacó d o produco acuaral a prma pródca cuado l agurado 55 año y ua vz a ucro la pólza, o ra abr aboado la prmra cuoa: PRODUCTO DE AORRO E ambo cao pud obrvar qu l compromo aumdo 55 mayor qu la provó mamáca 55 o fodo dóo qu db r couda la Edad Aguradora para acomr compromo. PRODUCTO DE RESGO , , , , , ,09 abla

17 NMUNZACÓN ABERTA 89 PRODUCTO DE AORRO PRODUCTO DE RESGO DE 4,0989 DE,7869 CXE 3,795 CXE,9337 DE,3704 DE,3704 CXE 8,0934 CXE 8,0934 abla A , ,86.608,09.608, , ,39.08,37.08, ,8.97,6.375,.375, ,7.53,8.454,36.454, , ,86.608,09.608,09 abla 5 ógcam l produco d aorro collva ua duracó y covdad mayor lo compromo aumdo qu la qu corrpod a lo gro probabl por prma. Bao ua pó d qu la provó mamáca cura ígram couda, o, rpaldada facram por la vro qu va a ralzar cada año la Edad Aguradora, lo gu cuadro dcará la volucó qu prma cada produco aa la falzacó dl corao. Para l produco d aorro, A , ,07.69,8.69, , , , , ,68 3.5,5 5.78, , ,0.60, , , ,88 0, , ,88 abla 3 Y a la ora d rucurar la vro, la carra facra dbrá omar ua duracó y covdad cada año fuuro: DE CXE DE CXE 0,7869,9337,3704 8,0934 4,869 30,3640,56 0,886,9048 6,095 3,953 8,8388,004 6,5597,4347 3,6763,767 0,67 3,477 3,854 0,9663,8675,787 5, ,9569,833 0,0000 0,0000 0,9569,833 abla 6 D A CX A Co l f d mplmar la raga vrora, acud al mrcado co l f d rucurar la carra d vro r íulo dl oro, cuya caracríca o lo gu íulo a u plazo mámo d 0 año y valorado a 3 d ro d 003: Y a la ora d rucurar la vro, la carra facra dbrá omar ua duracó y covdad cada año fuuro: DE CXE DE CXE D A CX A 0 4,0989 3,795,3704 8,0934 0,335 80,36 3,865 8,6394,9048 6,095 6, ,480,8877,87,4347 3,6763 3,7480 5,550 3,93 5,548 0,9663,8675,346 6,36 4 0,9569,833 0,0000 0,0000 0,9569,833 abla 4 o rulado qu obmo para l produco d rgo o Plazo Prco 00 0,7 0,49 00,9 00 0, ,43 Cupó,499% 3,50% 0,50% 3,070% 6,000% 3,847% 4,000% 3,764% 3,890% 6,50% Plazo Prco Cupó 4,5% 4,74% 4,37% 4,365% 4,379% 4,393% 4,408% 4,45% 4,44% 4,46% abla 7 Plaado la raga muzadora abra para la opracó mpl opracó d aorro, obmo la gu rucura d vro:

18 o cual upo ua agacó d fror a la provó mamáca qu dbmo r couda, y qu o garaza l pago probabl a ralzar. Para la raga vrora múlpl l produco d rgo, lo rulado obdo d la raga múlpl o lo gu. o cual upo ua agacó d fror a la provó mamáca qu dbmo r couda, y qu o garaza l pago probabl a ralzar. ay qu acr oar qu auqu la opracó d guro a a u plazo d 5 año, la vró d la carra corrpod u orzo mporal d vró upror a o 5 año, como a poddo aprcar la duracó qu db r l acvo facro y calculada al co d a aplcacó prácca.. ANEXO Pardo d la apromacó d Macaur para r érmo, dod la fucó. E l lím a cro d valor crmal drmo, [66].. Epró a ravé d la Duracó prada Tomado lo do prmro érmo d la apromacó, ralzamo la prmra drvada d aqulla rpco a é: [67] Darrollado paradam la fluca qu la varaco dl po d ré obr lo compromo d pago y obr lo gro probabl: [68] a varacó qu prma l valor d la provó mamáca cuado l po d ré varía d a vdrá dada por: [69] ugo, uuydo y oprado covm, alcazamo ua pró: [70] qu ambé lo podmo crbr como: [7] lo cual gfca qu la varacó qu prm la provó mamáca d ua opracó acuaral d prma pródca dpdrá d la duraco prada d ao lo compromo como d lo gro probabl dl corao, podrado co l po qu rpr cada uo d llo obr la provó mamáca orgara. El uvo valor qu omará la provó cuado l po d ré varí a rá: [7] Tdo cua l valor qu oma la provó mamáca drmada por l méodo propcvo [73] S uumo la pró aror, podmo alcazar la pró: [74] o cual lógco. ANÁSS FNANCERO 90 Tíulo Proporcó Tíulo Proporcó Tíulo Proporcó Tíulo Proporcó 0,00000% 6 3,3934% 6,44947% 6 8,7363% 0,00000% 7 0,0003% 6,96960% 7 9,3993% 3 0,00000% 8 4,76588% 3 7,3975% 8 9,554% 4,9900% 9 5,3658% 4 7,85053% 9 9,88838% 5 0,00000% 0 0,00045% 5 8,3096% 0 0,957% abla 8 96,07 A o 0 94,38 A o 0 d Tíulo Proporcó Tíulo Proporcó Tíulo Proporcó Tíulo Proporcó 0,9089% 6 3,44363% 4,03% 6 0,00000% 4,774% 7 4,6409% 3,39733% 7 0,056% 3 5,38400% 8 4,3889% 3,366% 8 0,00000% 4 4,836% 9 4,43878% 4 0,00000% 9 0,674% 5 5,78% 0 5,7875% 5 0,00000% 0 0,00000% abla 9 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

19 NMUNZACÓN ABERTA 9.. Epró a ravé d la Duracó y Covdad prada Emplado l mmo razoamo qu l puo l ubpígraf aror llgamo a la pró d, [75] Dod l valor qu oma la covdad prada modfcada para lo pago probabl aumdo la carra d guro acd a: [76] Y la covdad modfcada d lo gro probabl qu db acr lo omador dl guro : [77] Tdo cua l valor qu oma la provó mamáca drmada por l méodo propcvo, uuydo [0 ] y oprado podmo alcazar la pró: Eo, CXEM CXEM o cual ambé lógco.. BBOGRAFÍA [ ] [ CXEM CXEM ] CXEM CXEM [78] [79] d ré. Ed. Alaza Ecoomía y Faza. Madrd. DE A PEÑA, J. ÑAK,.997 a «El rgo d ré guro y po: ua apromacó acuaral». Prmr Prmo aquo 0º Colloquumm racoal d Barcloa. Aal dl uo d Acuaro Epañol, 3ª época, Nº, pp Madrd b «Ua apromacó a la raga vrora d lo fodo d po». Aál Facro, N º 73, pág Madrd Pla d Prvó Socal. Ed. Prámd. Madrd «Rgo d ré d la opraco acuaral cláca: u aál a ravé d la duracó». Aal dl uo d Acuaro Epañol, 3º época, Nº 7, pág Madrd. FABOZZ, FRANK J. Y FABOZZ, T. DESSA.995 T adbook of Fd com Scur, 4ª dcó r c. N York. FSER, & WE, R «Copg rk of r ra flucuao: Rur o bodoldr from Naïv ad Opmal Srag». Joural of Bu, Ocubr. CKS, J.R..939 Valu ad Capal. Clardo Pr.Oford. EBOWTZ, MARTN..986 a «T Ddcad Bod Porfolo Po Fud, Par : Movao ad Bac». T Facal Aaly Joural d Ero-Fbrro, Vrga b «T Ddcad Bod Porfolo Po Fud, Par : mmuzao, orzo Macg ad Cog Procdur». T Facal Aaly Joural d Marzo-Abrl, Vrga., DAVD X. & PANJER, ARRY «mmuzao Maur for f Cogc». T Procdg of four AFR raoal Colloquum, Orlado. MACAUAY, F..938 «T Movm of r Ra, Bod Yld ad Sock Prc Ud Sa c.856». Naoal Burau of Ecoomc Rarc, N York. REDNGTON, F.M..95 «Rv of Prcpl of f- Offc Valuao». T Joural of u of Acuar, 8, odo. TOEVS, ADEN «U of Durao Aaly for Corol of r Ra Rk.» Pla, R.B. Corollg r Ra Rk, Jo Wlly & So, c., N York. BADER, AWRENCE N..985 «Acuaral mplcao of Ddcad Po Fud». Traaco of Socy of Acuar, Vol. XXXV, Ccago. BETZUEN ZABDEGOTA, AMANCO Y BANCO BA- RRA, FEPE.989 Pla y Fodo d Po: Su cálculo y valoracó. Edco Duo, Blbao. BERWAG, GEORGE O..977 «mmuzao, Durao ad Srucur of r Ra». T Joural of Facal ad Quaav Aaly, dcmbr, Wago. - ; KAUFMAN GEORGE G. AND KANG CUSOON.978 «Durao ad Bod Porfolo Aaly; a Ovrv». T Joural of Facal ad Quaav Aaly, ovmbr, Wago. - ; CARES J. CORRADO AND GEORGE G. KAUFMAN.990 «Compug durao for bod porfolo». T Joural of Porfolo Maagm, Fall, N York Aál d la duracó. a gó dl rgo d po