4.1 Ángulos y medidas

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1 CAPÍTULO CUATRO Ejercicios propuestos. Ángulos medidas. Un ángulo es la unión de dos semirrectas de origen común.. Un ángulo queda determinado de manera única por su vértice.. Dos ángulos son adacentes si son consecutivos son suplementarios.. Dos ángulos suplementarios son siempre agudos. 5. Dos ángulos opuestos por el vértice siempre son complementarios. 6. Transormar cada ángulo dado de grados a radianes. a) 0º 5º c) -0º d) 50º -50º ) 60º 7. Transormar cada ángulo dado de radianes a grados. a) /6-5/ c) / d) / / ) 8. Complete la siguiente tabla: Radianes 0 Grados seagesimales 6 60º 5º º 50º 5º 9. El etremo del minutero de un reloj recorre 7 es la longitud del minutero? 0 cm en tres minutos. Cuál 0. Determine la medida del ángulo, en el cual la medida de su suplemento es veces la medida de su complemento.. Si la suma de las medidas de ocho ángulos congruentes es 80º. Cuánto mide dicho ángulo en radianes?. La medida del ángulo suplementario de es igual a º. Hallar la medida del ángulo la medida de su ángulo complementario. pág. 67

2 . Funciones trigonométricas elementales. Calcule el valor de las epresiones siguientes represéntelas como una racción o radical simpliicado: a) sen(0º) sen tan 6 c) 6 + sen 5 6 -tan tan tan(0º). Hallar el valor de cada epresión dada: c) sen(5º) - tan 6 d) tan 6 - -tan ) sen(0º) + (0º) tan(60º) + tan(0º) sen 6 () tan sen a) tan() + sen() sen(-0º) d) (50º) sen(50º) 6 (0º) + tan -. Gráicas de unciones trigonométricas 5. Parte de la gráica de = p + q() aparece a continuación. La gráica contiene los puntos (0,) (,-). Determine cuál de los siguientes enunciados es verdadero: a) p + q = 9 p - q = c) p - q = -9 d) p + q = - 0 p - q = Si se tiene la unción : [0,], tal que ()= - (), entonces su gráica es: a) / - -/ pág. 68

3 c) d) - - / -/ 7. El siguiente diagrama muestra parte de la gráica de una curva senoidal ()= p + qsen(k). El período es, el valor mínimo es el valor máimo es (esta gráica no está a escala). Halle el valor de: a) p q c) k 0 8. Graicar: a) = - + = sen() - - c) = -tan( - ) d) = sen(/) = sgn(()) pág. 69

4 9. La gráica muestra la altura h de las mareas en metros, a las t horas pasadas la media noche en la isla de Tahini. h Altura de las mareas en Tahini Número de horas pasada la media noche t La altura h puede tener como modelo a la unción h(t) = a(bt) +. a) Use la gráica anterior para hallar los valores de las constantes a b. A partir del resultado anterior, calcule la altura de la marea a las :00. c) A qué hora estará la marea en su mínimo durante el segundo período de 8 horas?. Funciones trigonométricas inversas 0. Sea α = arc(-/), / < α < β = arcsen(- /), / < β < ; encuentre el valor de sen(α) + tan(β).. Encuentre el valor de () si = arctan (/7),,.. Simpliicar las siguientes epresiones: a) (arcsen()) c) arc (arctan()) d) sen arctan Identidades trigonométricas.,, [sen - ( + ) = sen - () + sen - ()] pág. 70

5 . El valor de la epresión 8(0º)(0º)(0º) es: a) 8(70º) c) tan(0º) d) cot(0º) 8 5. El valor de (/) es: a) - + c) + d) Si /<< sen()= 5/, entonces el valor de (+/) es: a) c) - 7 d) Si /<< sen()= 5/, entonces el valor de sen(), es: a) -0/ / c) -/ d) 0/69-0/69 8. La epresión: sec(), es equivalente a: + sec() a) sec() sec() c) - d) (/) sec(/) 9. La epresión que no representa una identidad trigonométrica es: a) sen = sen() d) sen () + () = () = () - sen () tan() = c) tan() () = csc() tan() - tan () 0. Hallar el valor de: tan(9/).. Hallar (go ) () si g están deinidas por las siguientes reglas de correspondencia: () = () ; 0 ln(-) ; < 0 g() = ; e ; >. Si tan(5º)= a, representar en términos de a la siguiente epresión: tan(05º) - tan(5º) tan(5º) + tan(5º) pág. 7

6 . Simpliicar hallar el valor de las siguientes epresiones: a) sen(0º) - sen(70º) sen c) tan(55º) - tan(5º) d) 5 5 sen + α tan + β sen - β + cot + α ( - α) cot - - β ( - β) tan( - α) ) 8 6. Demuestre: = 5. Demuestre: a) sen (α - 70º) (60º - α) tan α - α - = (α) (α ) cot α - tan α = sen(α) c) tan () - tan () - tan () tan () = tan()tan() d) sen(ω)sen(60º - ω) sen + ω = sen(ω) sen(7º) + sen(6º) - sen(º) - sen(5º) = (7º) ) + sen(β) + (β) + sen(β) - (β) = + (β) sen(β) 6. Una de las siguientes epresiones no constitue una identidad trigonométrica, identiíquela: pág. 7 a) sen (θ)( + cot (θ)) = - csc (θ) = -cot (θ) c) sen(θ)(cot(θ) + tan(θ)) = sec(θ) d) ( - sen (θ))( + tan (θ)) = -

7 7. Si < α < / sen(α) = -/5, hallar el valor de tan(α). 8. Si tan(α)=/7; sen(β)=/ 0; α (0,/) β (0,/), determine sen(α + β). 9. Si () = tan(/); [0, /], hallar el valor de (/) - (/). 0. Si sen() = -/; /, hallar el valor de ( + /).. Encuentre una epresión para tan(α) en términos de tan(α).. Si tan(α)= -7/ cot(β)=/, / < α <, < β < /, encuentre el valor de (α + β).. Demostrar las siguientes identidades trigonométricas: a) (sen (θ) - ) sen (θ) - (θ) = - (θ) tan() - tan () + () + sen() = () - () - sen() c) tan(α) + (α) - sec(α) - tan(α) = sen (α) (α) d) (z) + 5sen(z) - 5 (z) = sen(z) - + sen(z) sen (ω) + (ω) - sen (ω) = (ω) - + (ω) ) sen (t) + sen(t) + (t) = + sen(t) - sen(t) g) sec( ) - ( ) + sen( ) = tan( ). Dado que sen() =, donde es un ángulo agudo, halle el valor de: a) () () c) sen() pág. 7

8 .6 Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas 5. Sea p(): sen () - 7sen() + = 0 [0, ], la suma de los elementos de Ap() es: a) / c) 5/ d) 7/6 6. Sea p(): sen() >, (0, ), hallar Ap(). 7. Sea q(): () <, (0, ), hallar Aq(). 8. La unción de dominio 0, se deine como () = () + sen(). Esta unción puede también epresarse de la orma () = R( - α), donde R > 0 0 < α <. a) Halle el valor de R la medida del ángulo α. Halle el rango de. c) Es inversible, por qué? d) Halle el valor de que satisace la ecuación () =. 9. Considere el predicado p(): sen () = - (), [0, ]. La suma de los elementos de Ap() es: a) 8 c) d) Resuelva la ecuación () = sen(), siendo 0. pág. 7