IDENTIDADES DE ÁNGULOS DOBLE Y MEDIOS

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO DE MATEMÁTICAS GRADO: 10 TALLER Nº: 10 SEMESTRE 1 IDENTIDADES DE ÁNGULOS DOBLE Y MEDIOS RESEÑA HISTÓRICA Jean Baptiste Joseph Fourier. (176 en Auxerre - 10 en París, matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier. Estudió con los benedictinos en la Escuela Militar de Auxerre, pero abandonó su destino monástico para decicarse al estudio de las ciencias. Participó en la revolución francesa y, gracias a la caída del poder de Robespierre, se salvó de ser guillotinado. Se incorporó a la Escuela Normal Superior de París en donde tuvo entre sus profesores a Joseph-Louis Lagrange y Pierre-Simon Laplace. Posteriormente, ocupará una cátedra en la Escuela Politécnica. OBJETIVO GENERAL Desarrollar y aplicar las identidades trigonométricas para ángulo dobles y ángulos medios y utilizarlos para encontrar el valor de las funciones trigonométricas en ángulos no notables. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Derivar las identidades de ángulos dobles.. Derivar las identidades de ángulos medios.. Calcular el valor de las funciones trigonométricas para algunos ángulos no notables. PALABRAS CLAVES Identidad trigonométrica, función trigonométrica, ángulo doble, ángulo medio, suma de ángulos. DESARROLLO TEÓRICO En el taller Nº 9 se estudió el desarrollo de las identidades trigonométricas para la suma y resta de ángulos, con base en estas identidades se desarrollarán a continuación las identidades trigonométricas para ángulos dobles y medios que permitirán el cálculo de las funciones trigonométricas para ángulos no notables.

2 La siguiente tabla resume las identidades trigonométricas encontradas en el taller anterior para la suma y diferencia de ángulos. Tabla 1 Identidades Trigonométricas para la Suma y Diferencia de ángulos cos ( α β cos( α cos( β + sen( α sen( β cos ( α + β cos( α cos( β sen( α sen( β sen( α β sen( α cos( β sen( β cos( α sen ( α + β sen( α cos( β + sen( β cos( α tan ( ( α tan( β tan tan α β ( ( α + tan( β tan α + β 1+ tan( α tan( β tan( α tan( β ÁNGULOS DOBLES Las identidades presentadas en la tabla 1 son válidas para dos ángulos cualquiera α y β, haciendo α β se puede llegar a un conjunto de identidades nuevas. Ejemplo. Hallar sen ( α en términos de funciones trigonométricas que estén expresadas en función de α. Solución. sen ( α sen( α + α sen ( α + α sen( α cos( α + sen( α cos( α Identidad de la suma de ángulos para seno sen ( α cos( α + sen( α cos( α sen( α cos( α sen α sen α cos α Transitividad. ( ( ( De manera similar se tiene: Ejemplo. Hallar cos ( α en términos de funciones trigonométricas que estén expresadas en función de α. Solución. cos ( α cos( α + α Identidad de la suma de ángulos para cos( α + α cos( α cos( α sen( α sen( α coseno cos( α cos( α sen( α sen ( α cos ( α sen ( α cos α cos α sen α Transitividad. ( ( ( Actividad Hallar tan( ( α en términos de funciones trigonométricas que estén expresadas en función de α, y complete con su resultado la tabla.

3 Tabla IDENTIDADES DE ÁNGULOS DOBLES sen α sen α cos α Seno ( ( ( Coseno cos( α cos ( α sen ( α Tangente Ejemplos Si cos( x y x está en el cuadrante II, 1. determine sen (. Solución Al aplicar las identidades trigonométricas para ángulos dobles se tiene: sen ( sen( cos( Debemos hallar el valor que tiene la función sen (, como el ángulos se encuentra en la segundo cuadrante se sabe que el coseno es negativo y el seno es positivo, adicionalmente, por razones trigonométricas se sabe que: c. a cos( x hipotenusa Se sigue entonces, que al aplicar el teorema de Pitágoras se puede obtener el cateto opuesto, por lo tanto: ( hipot ( c. a + ( c. o Se tiene entonces que + ( c. o ( c. o 9 4 c. o Y sustituyendo se tiene: c. o sen ( hipotenusa Luego: sen( sen( 4 9 sen( sen( cos(. Escriba cos( en función de cos(x. Solución Observe que: cos( x cos(x + cos( x + cos(cos( sen( sen( (1 Pero se sabe que: y cos( cos ( sen ( sen ( sen( cos( Luego, sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1 se tiene: cos(x + ( cos ( sen ( cos( cos ( sen sen( ( cos( cos( ( sen( cos(

4 Actividad 1. Determine sen (, cos( x, y tan( x a partir de la información respectiva. a. sen (, 1 x en el cuadrante I. b. cot( x, sen( > 0. Encuentre la identidad trigonométrica dada. a. sen(4 4cos( cos( sen( tan ( b. cot( tan( ÁNGULOS MEDIOS Las identidades de ángulos dobles se pueden utilizar para demostrar para encontrar las identidades de ángulos medios, como muestra el siguiente ejemplo. En este caso se deberá hacer α β de donde β α. Ejemplo. 1. Encontrar una expresión para ( términos de α Solución Para iniciar hagamos Pero se sabe que: α cos α expresada como funciones trigonométricas en β, luego α β, ahora bien: cos ( α cos(β cos(β cos ( β sen ( β cos ( β 1+ cos ( β cos ( β 1 Despejando se tiene. cos(β + 1 cos(β + 1 cos ( β y por lo tanto, cos( β Ahora bien, sustituyendo el valor de α β se tiene: cos(α + 1 cos( α, se sigue entonces que : ( 1 cos( cos α + α 4

5 Ejemplo.. Encontrar una expresión para ( α términos de α Solución Para iniciar hagamos α sen expresada como funciones trigonométricas en β, luego α β, ahora bien: Pero se sabe que: cos ( α sen( β sen ( β cos ( β sen ( β sen ( β sen ( β sen ( β Despejando se tiene. cos( ( β β cos(β sen y por lo tanto, sen ( β Ahora bien, sustituyendo el valor de α β se tiene: cos(α sen ( α, se sigue entonces que : sen ( α cos( α Actividad. sen( α, utilice las expresiones anteriores para derivar una expresión Sabiendo que tan( α cos( α para la identidad trigonométrica de ( tan α y complete la siguiente tabla. Tabla IDENTIDADES DE ÁNGULOS MEDIOS Seno ( α cos( α sen ± Coseno 1 cos( cos( α + α ± Tangente

6 Ejemplos 1. Halle, sin usar calculadora el valor de cos( 1 π. Solución. Para desarrollar este ejercicio se hará uso de la tabla de ángulos notables que se derivaron en el taller Nº. Se tendrá presente que: π π 6, 1 esto es, el ángulo de la función es igual a la mitad de π, por lo tanto, aplicando 6 identidades de ángulos medios se tiene: 1 cos ( ( 6 cos π cos π + π 1 6 ± Pero se sabe que cos π, y como 6 π se encuentra en el primer cuadrante, 1 entonces el coseno es positivo, luego, sustituyendo, se tiene: esto es: ( π cos 1 ( π cos Encuentre, sin usar calculadora sen ( 7º. Solución. Se sabe que 10º es un ángulo notable, además *710, por lo tanto, aplicando identidades de ángulos medios se tiene: ( cos sen ( 7 sen( ± pero 10º se encuentran en el segundo cuadrante, y en el segundo cuadrante el coseno es negativo, por lo tanto: cos( 10, adicionalmente, 7ª reencuentra en el primer cuadrante, y en el primer cuadrante el seno es positivo, por lo tanto, sustituyendo en la expresión de seno se tiene: ( sen ( 7 Luego: sen sen ( 7 ( EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determine sen (, cos( x, y tan( x a partir de la información respectiva. a. csc( x 4, tan( < 0. b. 4 cos(, x en el cuadrante II c. sen(, x en el III cuadrante 6

7 . Utilizar las identidades del valor doble para calcular sen( 4π, cos( 4π / y ( 4 / partir de la función evaluada en π /. tan π a. En los siguientes ejercicios utilice las identidades de ángulos medios para encontrar el valor exacto en cada uno de los casos: a sen (. b cos(. c tan( 7 π d cos( 16º e tan( 9 π f sen ( π g csc( 7 π h sec( 1π i (19º cos π sen j ( 4. Demuestre las siguientes identidades: α α ( ( + cot α α ( tan( tan a. sec( α tan A tan A b. tan A cot tan A sena cos A sena cosa c. sec A d. sena cos A sena cos A sena cosa cot A 1 e. + cot A f. cos A cos A sena csc A tan A g. sena h. csc A + cot A cot A 1+ tan A i. cot A cot A tan A j. csc A cot A tan A cot ( β 1 sen( θ cos( θ k. cot(β l. cot( β sen( θ cos( θ. Demuestre que el área A de un triángulo isósceles cuyos lados congruentes tienen medida s y el ángulo entre ellos es θ está dada por: 1 A s sen ( θ s θ s 7

8 PEQUEÑOS RETOS Preguntas 1 y. Cecilia, Diego, Fabio, Gloria y Mario tienen diferentes cantidades de dinero. Ni Gloria ni Cecilia tienen tanto dinero como Fabio. Tanto Cecilia como Diego tienen más dinero que Mario. Gloria tiene más dinero que Mario, pero menos que Cecilia. 1. El que tiene la menor cantidad de dinero es: A. Mario B. Gloria C. Diego D. Cecilia. Si adicionalmente se sabe que Diego no tiene tanto dinero como Gloria, entonces el orden decreciente en el cual esta distribuido el dinero entre estas cinco personas es: A. Fabio, Gloria, Cecilia, Mario, Diego B. Gloria, Fabio, Diego, Cecilia, Mario C. Gloria, Fabio, Cecilia, Mario, Diego D. Fabio, Cecilia, Gloria, Diego, Mario. En un estanque experimental se han sembrado dos especies de peces designadas como A y B respectivamente. Al cabo exactamente de un año se ha hecho un censo de ambas especies y se encontró que mientras la población de A se incrementó en el 0%, la población de B disminuyó en el 10% y el número de peces de ambas especies resultó al final igual. Entonces la razón entre las poblaciones iniciales de la especie A, con relacion a la especie B es: A. 1/ B. /4 C. /6 D. /9