[MODELO CUANTICO DEL ATOMO DE HIDROGENO] FISICA ATOMICA Y NUCLEAR

Transcripción

1

2 MODLO CUANTICO DL ATOMO D HIDOGNO oeote Boh consiea a eectón coo una patícua en obita aeeo e nuceo en nivees e enegía cuantizaos no aiantes. ste oeo nos eva a un anáisis que cobina conceptos e física cásica y física cuántica. Si bien en agunos esutaos expeientaes e oeo coincie con éxito no es capaz e expica po ejepo a ivisión e as íneas espectaes. stas ificutaes se eiinan cuano se utiiza un oeo copetaente cuantico que incuya a ecuación e Schoinge paa escibi e átoo e hiogeno. LA CUACIÓN D SCHÖDING pobea que queeos esove es coo efini ateáticaente e oviiento e un eectón en un átoo aeeo e su núceo. Patieos e caso genea y espués o concetaeos. Objetivo: Deteina os estaos posibes y nivees e enegía e átoo e hiógeno y átoos hiogenoies átoos con un sóo eectón. conociiento e os nivees e enegía seviá paa expica os espectos e eisión/absoción e átoo e hiógeno. Sistea: Un eectón y un núceo que inteaccionan eiante un potencia Couobico. one Z es e nueo atóico e es a caga e eectón y o aio-vectoes e núceo y e eectón y ' ε es una constante conocia coo peitivia en e vacío. Contibuciones a a enegía: negía cinética e eectón enegía cinética e potón y enegía potencia eectón-núceo. De oo que e Haitoniano que escibe e sistea seá: sieno ħ a constante e Diac. oviiento e os patícuas puee sepaase en e oviiento e cento e asa e sistea y e oviiento eativo e as os patícuas y esto afectaá a haitoniano. MONO VGA JOS LUIS MATMATICA FISICA e INFOMATICA

3 sto iso se puee ve ateáticaente. Consieaos e cabio a una soa iensión X y a M a asa e cento e asas y a μ a asa eucia e sistea ta que: M Después e cabio e vaiabe e Haitoniano teneos a cuación e Schöinge inepeniente e tiepo paa e sistea: La ecuación ifeencia es sepaabe en unas cooenaas que esciben e oviiento e cento e asa e sistea {XYZ} y unas cooenaas intenas {xeye ze}. La soución e oviiento e CDM seía a e a patícua ibe e asa M= +.La enegía coesponiente es a enegía tansaciona e sistea. MONO VGA JOS LUIS MATMATICA FISICA e INFOMATICA 3

4 Peo e oviiento que nos inteesa efini es e oviiento eativo ente e eectón y e potón. Tas e cabio e vaiabe e sistea se puee consiea coo e e una patícua e asa μ que se ueve especto a cento e cooenaas. La foa e potencia epene únicaente e a istancia a cento e cooenaas hace que sea ás factibe esove a ecuación ifeencia en cooenaas esféicas. Antes e segui aeante conviene conoce coo es este cabio e cooenaas catesianas a esféicas. Sustitución e cooenaas catesianas po esféicas Patios e a siguiente ecuación en cooenaas catesianas: H xe ye z e 4 La eación ente as cooenaas poaes y catesianas es: x = θ cos y = θ z = cosθ e one se euce que x y z cos cos cos cos cos cos evano a cuaao caa uno e os opeaoes anteioes y suano obteneos e opeao ga en cooenaas poaes esféicas: Ze ga x y z e e e cos cos = cos + cos cos + cos = MONO VGA JOS LUIS MATMATICA FISICA e INFOMATICA 4

5 cos = n a expesión anteio se pueen agupa téinos escibiénoa e a siguiente foa: Tas sustitui esta utia ecuación en e haitoniano en catesianas obteneos a ecuación e Schöinge en cooenaas poaes a cua paece ucho ás copicaa peo e hecho es ás fáci e esove ta coo esoveeos espués. H int 4 Haitoniano e oviiento eativo eectón-núceo quea: Ze H int 4 sieno a pate angua e haitoniano que ecoge abos ánguos ta y coo se ve en a iagen. La pate angua e Haitoniano es anáoga a a e a patícua en una esfea ya que e potencia eectón-núceo soo es función e a istancia con a ifeencia e que a istancia a cento e cooenaas no es constante. Poeos consiea e sistea coo una patícua e asa μ que se ueve sobe a supeficie e esfeas concénticas e aio vaiabe. De esta anea a pate angua e a función e ona seán as souciones paa a patícua en una esfea aónicos esféicos y queaa po esove a epenencia aia e a función e ona Ze De anea que as funciones e ona paa e átoo e hiógeno tenán a foa: sieno a pate e a función epeniente únicaente e pate aia e Y a pate e a función epeniente e y e θ pate angua. Los nueos y estan eacionaos con e oento angua e eectón sieno este e poucto vectoia e oento inea e eectón p po su aio vecto : L = x p Y si sustituios a expesión e a función e ona en a ecuación e Schöinge: MONO VGA JOS LUIS MATMATICA FISICA e INFOMATICA 5 Y

6 MONO VGA JOS LUIS MATMATICA FISICA e INFOMATICA 6 int H Y Y Z Y o o que es o iso Z 4 NOTA: A pati e ahoa cabiaos a notación e eivaas paciaes po a e totaes ya que ahoa caa eivaa actúa sobe una función e una soa cooenaa. Sepaación e vaiabes Paa esove a ecuación hay que sepaa as vaiabes en nuesto caso φ y θ en téinos istintos. Mutipicano a ecuación anteio po θ/ y eoenano téinos: 4 Z n esta expesión a vaiabe está sepaaa e esto en e tece téino. Cuano cabia ninguno e eos inteviene po o que e tece téino tiene que se constante tabién paa que a sua puea se paa cuaquie vao e igua a ceo. Po conveniencia a esta constante e aaeos : : tan te cons Poeos segui sepaano vaiabes. Sustituyeno en a utia ecuación y iviieno po : 4 Ze Obsévese que e pie y cuato téinos epenen sóo e y e seguno y teceo e θ. Siguieno e iso azonaiento que heos hecho paa a sua e os téinos que epenen e ebe se igua a una constante a a que po conveniencia aaeos + y a sua e os téinos que sóo epenen e θ ebe se igua a - +. stas útias constantes no se toan a capicho sino que tiene una azón. De os os oentos anguaes que existen y que aquí son tataos coo opeaoes ecanocuánticos e oento angua obita es e anáogo e a agnitu cásica L y es ebio a oviiento e a patícua a tavés e espacio. sta agnitu aeeo e núceo puee eostase

7 que es igua a es igua a.. La coponente e L a o ago e eje z Lz puee eostase que n esuen: Ze 4 esoución e a ecuación La soución e a pate aia son as funciones asociaas e Laguee. Consisten en una función exponencia utipicaa po un poinoio en. Las ifeentes souciones epenen e núeo cuántico y e oto nuevo núeo cuántico n núeo cuántico pincipa. Las pieas souciones son: Po oto ao una soución a a pate angua es: MONO VGA JOS LUIS MATMATICA FISICA e INFOMATICA 7

8 a La constante a es a constante e noaización es eci a necesaia paa que se cupa: Po tanto su vao ebe se: a a a y a función Φ quea coo a 4 a Cuaquiea que sea e vao e a función anteio es soución e a ecuación e Schöinge. Ahoa bien as coniciones fontea que heos ipuesto a a función e ona paa que su cuaao puea tene tio físico iitan os vaoes posibes paa. Una e ichas coniciones es que a función e ona tiene que tene un único vao en caa punto e espacio. so ipica que e vao e paa un ánguo φ tiene que se igua que su vao paa un ánguo 36eg. ayo +. n os siguientes ejepos se uesta que esto sóo se cupe si es un núeo enteo +/- +/- +/-3 etc: a a + a + a +/ a / a = a = a = a 4 isitnto e a / Hay una soución e Φ po caa vao enteo e. De anea que as souciones finaes tienen a foa: n. j. n. Y Las enegías asociaas vaoes popios e as funciones son: Hay una soución copeta e po caa tío e vaoes e n y one n puee toa cuaquie vao enteo igua o ayo e cuaquie vao enteo ente y n - y cuaquie vao enteo ese + hasta Agunas funciones e onas copetas aaas Obitaes paa e átoo e Hiógeno Z= son as siguientes: MONO VGA JOS LUIS MATMATICA FISICA e INFOMATICA 8

9 MONO VGA JOS LUIS MATMATICA FISICA e INFOMATICA 9

10 n a soución e a ecuación e Schoinge obteneos tes istintos núeos cuánticos paa caa caso e átoo e hiogeno os cuaes están estingios a vaoes enteos y eben coespone a os tes gaos e ibeta inepenientestes iensiones espaciaes NUMO CUANTICO PINCIPAL n pie nueo cuántico asociao con a función aia e a función onuatoia copeta es conocio coo nueo cuántico pincipa y se e asigna e síboo n. Las enegías e os estaos peitios paa e átoo e hiogeno se eteina coo: n ke a. n 366 ev n n 3... ste esutao esta copetaente e acueo con e obtenio en a teoía e Boh NUMO CUANTICO OBITAL Se asocia con e oviiento angua oebita e eectónigua que e nueo cuantico obita agnético.tanto y son enteos. Vaoes : Los vaoes e n pueen i e a Los vaoes e pueen i e a n- Los vaoes e pueen i e a + Poeos constui e cuao: n Po azones histoicas se ice que toos os estaos que tengan e iso nueo cuantico pincipa foan una capa :K L M....; que esignan os estaos paa os cuaes n = 3... De igua anea se ice que toos os estaos que tengan osisos vaoes e n y e foan una subcapa. : s p f....se utiizan paa esigna as subcapas paa oscuaes = 3... s p f shap pincipa iffuse funaenta shap : íneas nítias peo e poca intensia pincipa : íneas intensas ifuse : íneas ifusas funaenta : íneas fecuentes en uchos espectos MONO VGA JOS LUIS MATMATICA FISICA e INFOMATICA

11 Notaciones e capa y subcapas atóicas n Síboo e capa Síboo e subcapa K s L p 3 M 4 N 3 f 5 O 4 g 6 P 5 h Po ejepo: s estao esignao coo 3p Tiene os núeos cuanticos n = 3 y = s estao esignao coo s Tiene os núeos cuanticos n = y = Aqueos estaos que vioen a ega no existen.no satisfacen as coniciones iite e a función onuatoia Po ejepo: s estao esignao coo Tenía os núeos cuanticos n = y = No puee existi ya que e vao as ato peitio e es n- ; es eci.sway J. JWWTT POBLMAS SULTOS FISICA. Too II. 6º ición.5. México. Cap..Pág.66 Sección 4. nive n = e hiogeno Paa un átoo e hiogeno eteine e nueo e estaos peitios coesponientes a nueo cuantico pincipa n = y cacue as enegías e estos estaos Soución n - Teneos un estao : s Tes estaos: p Debio a que os cuato estaos cuánticos tienen e iso núeo cuántico pincipa n = toos tienen a isa enegía: MONO VGA JOS LUIS MATMATICA FISICA e INFOMATICA

12 n 366 ev n 3... n eepazo n= n 366 ev 4 n 3 ev.sway J. JWTT SOLUCIONAIO FISICA. Too II. 6º ición.5. México. Cap..Pág.688 Sección Una expesión genea paa os nivees e enegia e os atoos y iones e un eectón es : k e q q n n Done k e es a constante e e Couob q y q son as cagas e eectón y e núceo y es a asa eucia aa po.la ongitu e ona paa a tansición n = 3 a n = e átoo e hiogeno es 6563 n uz oja visibe. Que pasaía si? Cuáes son as ongitues e ona paa esta isa tansición en a positonio que esta constituio po un eectón y un positón y b heio con una soa ionizacion Nota: Un positón es un eectón e caga positiva Soución Pate a Positonio = + P k q q e ke q Teneos paa n= q k q q e Teneos paa n= k q q 3 e Teneos paa n= 3 3 MONO VGA JOS LUIS MATMATICA FISICA e INFOMATICA

13 Peo : hc 5 hc 36 36hc eepazo vaoes : =3-6 5 =3 Pate b 7. Un eectón e cantia e oviiento p esta a una istancia e un potón estacionaio. eectón tiene una eegía cinética : k p /. átoo tiene una enegía potencia : U ke e / y una enegía tota = K + U. Si un eectón esta igao a potón paa foa un asoo e hiogeno su posición poeio es en e potón peo a incetiube en su posición es apoxiaaente igua a aio e su obita. oento vectoia poeio e eectón es igua a ceo peo su oento a cuaao poeio es apoxiaaente igua a a incetiube a cuaao en su oento coo o ice e pincipio e incetiube. Tatano e átoo coo un sistea e una soa iensión a estie a incetiube e oento e eectón en función e.bstie as enegías cinética potencia y tota en función e.c vao ea e es e que iniiza a enegía tota o que a coo esutao un átoo estabe. Deteine ese vao e y a enegía tota esutante. Copae su espuesta con as peicciones e a teoía e Boh Soución Datos: x p p Pate a Sabeos : x p p p Pate b Sabeos : = K + U Coo p poeos seecciona : p MONO VGA JOS LUIS MATMATICA FISICA e INFOMATICA 3

14 Luego : ke Pate c Teneos : ke n aio e Boh : n n= ke ke eepazo en : k 4 e 4 ke ke Sipifico : = -36 ev MONO VGA JOS LUIS MATMATICA FISICA e INFOMATICA 4