Tema 4. Estimación de parámetros

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1 Estadística y metodología de la ivestigació Curso Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Tema 4. Estimació de parámetros 1. Estimació putual Estimació de la proporció e la distribució Bi(m, p) Estimació e poblacioes Normales N(µ, σ 2 ) Estimació de la media µ Estimació de la variaza σ Estimació por itervalos de cofiaza Itervalos de cofiaza para la proporció p Itervalos de cofiaza para la media µ Determiació del tamaño muestral Aexo. Itervalos de cofiaza para los parámetros de ua població 8 1 Estimació putual E este tema se trata el problema de la estimació de parámetros. Para ello, comezamos recordado alguos coceptos básicos de la iferecia estadística que ya fuero itroducidos e el tema aterior, y que será ecesarios para la costrucció y el estudio de los estimadores: Població: cojuto homogéeo de idividuos sobre los que se estudia características observables co el objetivo de extraer algua coclusió. Por abuso de otació, e ocasioes os referimos a la distribució que sigue la variable de iterés e vez de al cojuto de idividuos. Así, se dice que estamos ate ua població Normal idicado que la variable que os iteresa sigue ua distribució ormal. Parámetro: característica de la població, como la media y la variaza (o desviació típica) e la distribució Normal o la probabilidad de éxito e la Biomial so parámetros. Si coocemos su valor (o si somos capaces de aproximarlo co suficiete precisió) podremos respoder a cualquier preguta sobre la distribució. Estadístico: cualquier fució de la muestra. Por ejemplo, la media o la variaza muestrales so estadísticos. Estimadores: so estadísticos idepedietes de los parámetros de la població, y que se utiliza para aproximarlos. Si θ es el parámetro de iterés, el estimador se deotará por ˆθ. E el caso de ua població Normal, podemos cosiderar la media muestral como estimador de la media poblacioal (es decir, X = ˆµ) y la variaza muestral como estimador de la variaza poblacioal (s 2 = ˆσ 2 ). Para ua distribució Bi(m, p), dode m deota el úmero de pruebas de Beroulli, la proporció p se puede estimar a partir de la proporció poblacioal (que deotaremos por ˆp). Por tato, X, s 2 y ˆp so estimadores putuales de µ, σ 2 (e distribució Normal) y p (e distribució Biomial), respectivamete. Método de muestreo: procedimieto para seleccioar ua muestra. Si e ua població queremos obteer ua muestra de u cierto tamaño (siedo meor que el tamaño de la població), la maera de obteer esta muestra o es úica. E este tema, cosideraremos muestras aleatorias simples (m.a.s.). 1

2 Estadística y metodología de la ivestigació. Grado e Efermería Tema 4 Las estimacioes putuales de los parámetros se obtiee a partir de ua muestra aleatoria simple X 1,..., X de la variable X. Si calculamos el valor del estimador a partir de distitas muestras, los resultados que obtedremos será diferetes. Es decir, los estimadores, al estar costruidos a partir de muestras aleatorias, so aleatorios y e cosecuecia, tiee ua distribució. La distribució de los estimadores se deomia distribució e el muestreo. Describimos a cotiuació los estimadores para la proporció (e distribució Biomial) y para la media y la variaza (e distribució Normal) y sus respectivas distribucioes e el muestreo, que será teidas e cueta a la hora de costruir los itervalos de cofiaza. 1.1 Estimació de la proporció e la distribució Bi(m, p) Supogamos que teemos ua variable X Bi(m, p), dode m deota el úmero de pruebas de Beroulli (coocido) y p es la probabilidad de éxito (descoocida). Nótese que e el Tema 3, deotamos por el úmero de pruebas de Beroulli. E este tema, es el tamaño muestral. Para estimar p, seleccioamos ua m.a.s. X 1,..., X de variables Bi(1, p) = Ber(p). Como estamos iteresados e la probabilidad del éxito, cosideraremos ua muestra co 1 si es éxito y 0 si es fracaso. La proporció muestral viee dada por: ˆp = i=1 X i La proporció muestral ˆp es ua variable aleatoria y, para suficietemete grade, su distribució es Normal, como cosecuecia del Teorema Cetral del Límite: ( ) p(1 p) ˆp N p,. Además, se puede iterpretar este resultado de la siguiete forma: Como ˆp sigue ua distribució Normal, y esta es ua distribució simétrica, los valores de ˆp se distribuirá co la misma probabilidad por ecima y por debajo de su media. La media de la proporció muestral es E(ˆp) = p, la proporció teórica o poblacioal. Por tato, los valores de ˆp se distribuye simétricamete alrededor de p, que es descoocido. E la variaza de ˆp aparece el tamaño de la muestra dividiedo. Esto idica que, al aumetar el tamaño muestral, dismiuye la variaza de ˆp, por lo que la distribució de ˆp se cocetra más alrededor de su media. Error típico: el error típico (ET) de u estimador simétrico es su desviació típica. E el caso de ˆp, su error típico es: p(1 p) ET (ˆp) = Nótese que p es descoocido, y e cosecuecia ET (ˆp) tambié lo es. Si queremos aproximarlo, podemos substituir p por ˆp. Por ejemplo, si teemos ua variable X Bi(15, p) y queremos estimar el valor de p, tomamos 500 muestras de tamaño 100 (X 1,..., X 100 ) y calculamos la proporció muestral e cada ua de ellas, obteiedo 500 valores para ˆp. Si los represetamos (se muestra e la Figura 1), podemos ver que los valores se distribuye simétricamete alrededor de 0.7. Tambié se puede ver que la curva Normal correspodiete (media 0.7 y variaza /100) se ajusta a la gráfica del histograma. Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 2 de 8

3 Estadística y metodología de la ivestigació. Grado e Efermería Tema 4 Histograma de la proporció muestral Figura 1: Distribució de la proporció muestral ˆp, a partir de 500 muestras de tamaño = 100. Distribució ormal de media p = 0.7 y variaza p(1 p)/. 1.2 Estimació e poblacioes Normales N(µ, σ 2 ) Ua v.a. X N(µ, σ 2 ) queda caracterizada por dos parámetros: la media µ y la variaza σ 2 (o la desviació típica σ). A cotiuació, itroduciremos los estimadores para estos parámetros y sus distribucioes e el muestreo. Es importate resaltar que tato para la estimació de µ como de σ 2, debemos teer e cueta el efecto del tamaño muestral y además, al estimar la media, tambié debemos ver si la variaza poblacioal es coocida o descoocida Estimació de la media µ. Supogamos que dispoemos de X 1,..., X ua m.a.s. de X N(µ, σ 2 ). La media poblacioal µ se puede estimar co la media muestral X = 1 X i, cuya distribució e el muestreo tambié es Normal: i=1 X N (µ, σ 2 ). Además, dado que teemos ua Normal, podríamos tipificarla y obteer ua N(0, 1): σ/ N(0, 1). (1) La distribució es cosecuecia de que la suma de variables Normales es tambié ua variable Normal. Este resultado es válido si la variaza poblacioal σ 2 es coocida. Esta distribució se puede iterpretar de la siguiete forma: X se distribuye simétricamete (ya que su distribució es Normal) alrededor de su media, que es E(X) = µ la media poblacioal o teórica. El tamaño muestral aparece dividiedo e la variaza, co lo que, al aumetar, la distribució de X se cocetra más alrededor de µ, como se puede observar e la Figura 2. Los histogramas y las correspodietes desidades ormales, está cetrados e la media real de la població de la població, pero se puede apreciar que la cocetració alrededor de este valor aumeta co el tamaño muestral. Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 3 de 8

4 Estadística y metodología de la ivestigació. Grado e Efermería Tema 4 Error típico: la media muestral X es u estimador simétrico para µ, por lo que podemos calcular su error típico, que viee dado por: ET (X) = σ =20 =100 = Figura 2: Distribució de la media muestral X, a partir de 500 muestras de tamaño = 20, = 100, = 500. Distribució ormal de media µ = 5 y variaza 1/. Si la variaza σ 2 es descoocida o podemos utilizar la distribució obteida e (1), y debemos substituir σ 2 por u estimador. La variaza σ 2 puede ser estimada por la variaza muestral: s 2 = 1 (X i X) 2 (2) i=1 o por la cuasivariaza: S 2 = 1 1 (X i X) 2 (3) Estos estimadores se verá co más detalle e la siguiete secció. Etoces, si queremos estimar la media µ a partir de ua m.a.s. X 1,..., X y o coocemos la variaza, e la expresió (1) substituimos σ 2 (equivaletemete, σ) por u estimador de la siguiete maera: i=1 s/ 1 = { S/ t 1 si 30, N(0, 1) si > 30, dode t 1 deota ua distribució T-Studet, co ( 1) grados de libertad. Esta distribució es simétrica y se aproxima a la N(0, 1) para suficietemete grade (véase Figura 3). Al igual que e el caso aterior (co variaza coocida), seguimos teiedo u estimador simétrico, pero el error típico vedrá ahora dado por: s ET (X) = = S 1 Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 4 de 8

5 Estadística y metodología de la ivestigació. Grado e Efermería Tema 4 T Studet Figura 3: Distribució t de Studet co distitos grados de libertad. Azul: = 1 (Cauchy); roja: = 5; verde: = 10; egra: N(0, 1). E resume, cuado queremos estimar la media µ e ua població Normal, debemos distiguir los siguietes casos: 1. Si la variaza σ 2 es coocida, etoces: σ/ N(0, 1) 2. Si la variaza σ 2 es descoocida y > 30: 3. Si la variaza σ 2 es descoocida y 30: s/ 1 = S/ N(0, 1) s/ 1 = S/ t Estimació de la variaza σ 2 E la estimació de la media se hace ecesario utilizar u estimador de la variaza σ 2, e caso de que esta o sea coocida. Para ello podemos utilizar la variaza muestral s 2 o la cuasivariaza muestral S 2, que viee dadas por (2) y (3), respectivamete. Es fácil ver la relació etre ellas, ya que: s 2 = 1 S2, o bie S 2 = 1 s2. Estos dos estimadores sólo se distigue e su deomiador, y para grade, o hay diferecias importates etre ellos. Como la variaza muestral o la cuasivariaza proporcioará valores (aleatorios) positivos, su distribució tedrá como soporte [0, ). Esta distribució será la distribució Chi-cuadrado χ 2 (distribució ji-cuadrado). Si X 1,..., X es ua m.a.s. de variables ormales co variaza σ 2, etoces: s 2 σ 2 χ2 1, o bie ( 1)S 2 σ 2 χ 2 1, dode χ 1 2 es ua distribució Chi-cuadrado co ( 1) grados de libertad. Esta distribució es asimétrica y co soporte la semirrecta real positiva, como puede verse e la Figura 4. Esta distribució es ecesaria cuado el tamaño de la muestra es pequeño. Para suficietemete grade, podemos aproximar ua distribució χ 2 (Chi-cuadrado co grados de libertad) por ua N(, 2). Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 5 de 8

6 Estadística y metodología de la ivestigació. Grado e Efermería Tema 4 = Figura 4: Distribució e el muestreo de la suma de los cuadrados de = 10 variables Normales estádar (sigue ua distribució χ 2 ). Gráficas de la desidad χ 2 : líea azul: = 10; líea verde: = 10; líea roja: = Estimació por itervalos de cofiaza E alguas ocasioes, o sólo estamos iteresados e dar ua estimació putual del valor del parámetro descoocido, y el objetivo se cetra e obteer u rago de valores etre los que se ecuetre el parámetro de la distribució co ua cierta probabilidad, es decir, u itervalo de cofiaza. Costruiremos itervalos de cofiaza para la proporció p e la distribució Biomial y para la media µ e la distribució Normal. Los estimadores que hemos itroducido para la proporció y la media (ˆp y X, respectivamete) so simétricos y podemos calcular o aproximar su error típico. La fórmula geeral para el cálculo de itervalos de cofiaza será: Estimador ± Cuatil ET (Estimador) (4) De este modo, obtedremos itervalos de cofiaza cetrados e el estimador, y cuya amplitud vedrá determiada por su error típico (dode iterviee el tamaño de la muestra) y por el cuatil de la distribució correspodiete, que estará relacioado co la cobertura del itervalo. 2.1 Itervalos de cofiaza para la proporció p Cosideremos ˆp, proporció muestral, como estimador de p. A partir de la ecuació (4) podemos costruir u itervalo de cofiaza de ivel (cobertura) (1 α) para p: ˆp ± z 1 α/2 o bie ( ) ˆp z 1 α/2, ˆp + z 1 α/2. ˆp(1 ˆp) E este caso, el error típico se aproxima por y, dado que ˆp tiee ua distribució Normal, cosideramos los cuatiles de ua N(0, 1). E cocreto, para los itervalos de cofiaza usuales, se tiee: IC para p al 90 %: ˆp ± 1.64 ˆp(1 ˆp) Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 6 de 8

7 Estadística y metodología de la ivestigació. Grado e Efermería Tema 4 ˆp(1 ˆp) IC para p al 95 %: ˆp ± 1.96 ˆp(1 ˆp) IC para p al 99 %: ˆp ± 2.57 ya que para ua cobertura 1 α = 0.9 = 90 % (α = 0.1), el cuatil z 1 α/2 = Del mismo modo, para ua cobertura del 1 α = 0.95 = 95 % (α = 0.05) el cuatil es z 1 α/2 = 1.96 y para u cobertura del 1 α = 0.99 = 99 % (α = 0.01) el cuatil es z 1 α/2 = Itervalos de cofiaza para la media µ Sea X N(µ, σ 2 ) y cosideremos X 1,..., X ua m.a.s. de X. Si estamos iteresados e obteer itervalos de cofiaza para la media µ, tedremos que teer e cueta las siguietes situacioes: 1. La variaza σ 2 es coocida. E ese caso, el IC para µ viee dado por: X ± z 1 α/2 σ dode z 1 α/2 es el cuatil de ua N(0, 1) que tomará valores 1.64 para cobertura del 90 %, 1.96 para cobertura del 95 % y 2.57 para cobertura del 99 % (al igual que e los itervalos para la proporció que vimos e la secció aterior). 2. La variaza σ 2 es descoocida pero es grade. Cuado la variaza o es coocida, la distribució de la media X es ua T-Studet, que para tamaño muestral 30 se puede aproximar por ua N(0, 1). E este caso, se debe aproximar el error típico obteiedo el siguiete itervalo de cofiaza: s S X ± z 1 α/2, o bie X ± z 1 α/2 1 dode uevamete z 1 α/2 es el cuatil de ua N(0, 1). 3. La variaza σ 2 es descoocida y es pequeño. E este caso, debemos cosiderar los cuatiles de la distribució T-Studet, quedado el itervalo de cofiaza como: s S X ± t 1,1 α/2, o bie X ± t 1,1 α/2 1 dode t 1,1 α/2 so los correspodietes cuatiles de ua distribució T-Studet co ( 1) grados de libertad. Estos cuatiles está tabulados. E el caso de los itervalos de cofiaza para µ, se puede observar que para u ivel de sigificació fijo, a mayor variaza, mayor logitud del itervalo. El efecto cotrario se produce a medida que aumeta el tamaño muestral. E ese caso, se reduce la logitud del itervalo. Cuado o coocemos la variaza, obteemos tambié itervalos más amplios que e el caso de σ 2 coocida, ya que los cuatiles de la distribució t so más extremos que para la N(0, 1). 2.3 Determiació del tamaño muestral Dado u ivel de cofiaza (1 α), os puede iteresar saber qué tamaño muestral ecesitamos para alcazarlo e u itervalo de logitud L, supoiedo los mismos resultados e la muestra. E los itervalos que hemos itroducido para p y µ, sus logitudes se puede calcular fácilmete. Estas logitudes depederá del tamaño de muestra, que se puede despejar como sigue: Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 7 de 8

8 Estadística y metodología de la ivestigació. Grado e Efermería Tema 4 Logitud de u IC de ivel (1 α) para p: L = 2z 1 α/2 = Logitud de u IC de ivel (1 α) para µ, co σ 2 coocida: 4z2 1 α/2 L 2 L = 2z 1 α/2 σ = 4z2 1 α/2 σ 2 Logitud de u IC de ivel (1 α) para µ, co σ 2 descoocida y grade: L 2 L = 2z 1 α/2 S = 4z2 1 α/2 S2 L 2 s L = 2z 1 α/2 = 4z2 1 α/2 s2 1 L Aexo. Itervalos de cofiaza para los parámetros de ua població Itervalos de cofiaza para X N(µ, σ 2 ) Estadístico Itervalo de ivel (1 α) Para µ, co σ 2 coocida σ/ N(0, 1) X ± z σ 1 α/2 Para µ, co σ 2 descoocida y > 30 S/ N(0, 1) X ± z S 1 α/2 s/ 1 N(0, 1) X ± z s 1 α/2 1 Para µ, co σ 2 descoocida y 30 S/ t 1 X ± t 1,1 α/2 S s/ 1 t s 1 X ± t 1,1 α/2 1 Itervalos de cofiaza para X Bi(m, p) Estadístico Itervalo de ivel (1 α) Para p, co m coocido ˆp p p(1 p)/ N(0, 1) ˆp ± z 1 α/2 Cuadro 1: Itervalos de cofiaza para los parámetros de ua població. Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Págia 8 de 8

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