El Conjunto de los Números Naturales

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1 Objetivos El Conjunto de los Carlos A. Rivera-Morales Álgebra

2 Objetivos Tabla de Contenido Objetivos 1 Propiedades de los

3 Objetivos Objetivos: Discutiremos: el conjunto de los números naturales

4 Objetivos Objetivos: Discutiremos: el conjunto de los números naturales números primos

5 Objetivos Objetivos: Discutiremos: el conjunto de los números naturales números primos números compuestos

6 Objetivos Objetivos: Discutiremos: el conjunto de los números naturales números primos números compuestos

7 Objetivos Objetivos: Discutiremos: el conjunto de los números naturales números primos números compuestos máximo común divisor (MCD)

8 Objetivos Objetivos: Discutiremos: el conjunto de los números naturales números primos números compuestos máximo común divisor (MCD) mínimo común múltiplo (MCM)

9 Propiedades de los El Conjunto de los Introducción: Los números naturales surgen por la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo: cantidad de ovejas en un rebaño) y de asignar un símbolo a una cantidad específica de objetos o cosas. A lo largo de la historia, civilizaciones diferentes han utilizado sistemas de numeración diferentes (sistema egipcio, sistema romano, sistema decimal, sistema binario, entre otros).

10 Propiedades de los El Conjunto de los El Conjunto de los : El conjunto de los números naturales está dado por N = {1, 2, 3,...}. N = {1} {números primos} {números compuestos}.

11 Propiedades de los El Conjunto de los El Conjunto de los : El conjunto de los números naturales está dado por N = {1, 2, 3,...}. N = {1} {números primos} {números compuestos}. Nota: No hay un acuerdo general sobre si el número cero (0) es o no un número natural. En este curso, supondremos que no lo es.

12 Propiedades de los El Conjunto de los Un número natural distinto de 1 es un número primo si sólo tiene dos factores o divisores naturales diferentes, él mismo y el 1.

13 Propiedades de los El Conjunto de los Un número natural distinto de 1 es un número primo si sólo tiene dos factores o divisores naturales diferentes, él mismo y el 1. P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...}

14 Propiedades de los El Conjunto de los Un número natural distinto de 1 es un número primo si sólo tiene dos factores o divisores naturales diferentes, él mismo y el 1. P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...} Nota: Se puede demostrar que el conjunto P de números primos es infinito.

15 Propiedades de los El Conjunto de los Números Compuestos Un número natural distinto de 1 es un número compuesto si tiene más de dos factores o divisores naturales diferentes. De otra forma, a los números naturales que son el producto de dos o más números primos sel les llama compuestos.

16 Propiedades de los El Conjunto de los Cómo determinar si un número natural es primo o compuesto Para determinar si un número natural es primo o compuesto, se va dividiento el número por los números primos 2, 3, 5, 7, 11,..., en orden, hasta llegar a una división cuyo cociente sea igual o menor que el divisor. Si todas las divisiones tienen el residuo distinto de cero, el número propuesto es un número primo.

17 Propiedades de los El Conjunto de los Ejercicios: Clasifique cada número en primo o compuesto.

18 Propiedades de los El Conjunto de los Criterios de divisibilidad: A continuación damos algunos criterios de divisibilidad que facilitan la búsqueda de los factores primos.

19 Propiedades de los El Conjunto de los Criterios de divisibilidad: A continuación damos algunos criterios de divisibilidad que facilitan la búsqueda de los factores primos. Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par.

20 Propiedades de los El Conjunto de los Criterios de divisibilidad: A continuación damos algunos criterios de divisibilidad que facilitan la búsqueda de los factores primos. Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par. Divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3. Por ejemplo: es divisible por 3 pues = 24, el cuál es múltiplo de 3.

21 Propiedades de los El Conjunto de los Criterios de divisibilidad: A continuación damos algunos criterios de divisibilidad que facilitan la búsqueda de los factores primos. Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par. Divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3. Por ejemplo: es divisible por 3 pues = 24, el cuál es múltiplo de 3. Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o en cinco.

22 Propiedades de los El Conjunto de los Criterios de divisibilidad: Divisibilidad por 7 Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7.

23 Propiedades de los El Conjunto de los Criterios de divisibilidad: Divisibilidad por 7 Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7. Divisibilidad por 11 Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los dígitos que ocupan un lugar impar, y la suma de los dígitos de lugar par, (puede ser de derecha izquierda ó inversamente es decir, que la diferencia pudiera dar negativa), es cero o múltiplo de 11.

24 Propiedades de los El Conjunto de los Criterios de divisibilidad: Divisibilidad por 13, 17 y 19 El método para investigar la divisibilidad por 13, 17 y 19 es similar al de la divisibilidad por 7, sólo que al separar la primera cifra de la derecha, ésta se multiplica por 9, 5 y 17 respectivamente; siendo un número divisible por 13, 17 y 19 si al final del proceso sobra un cero o un múltiplo de 13, cero o un múltiplo de 17, cero o un múltiplo de 19.

25 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo: Veamos si el número 101 es un número primo.

26 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo: Veamos si el número 101 es un número primo. 101 no es divisible por 2.

27 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo: Veamos si el número 101 es un número primo. 101 no es divisible por no es divisible por 3.

28 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo: Veamos si el número 101 es un número primo. 101 no es divisible por no es divisible por no es divisible por 5.

29 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo: Veamos si el número 101 es un número primo. 101 no es divisible por no es divisible por no es divisible por no es divisible por 7.

30 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo: Veamos si el número 101 es un número primo. 101 no es divisible por no es divisible por no es divisible por no es divisible por 7. Como 7 2 = 49 y 49 < 101, hay que seguir probando.

31 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo: Veamos si el número 101 es un número primo. 101 no es divisible por no es divisible por no es divisible por no es divisible por 7. Como 7 2 = 49 y 49 < 101, hay que seguir probando. 101 no es divisible por 11.

32 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo: Veamos si el número 101 es un número primo. 101 no es divisible por no es divisible por no es divisible por no es divisible por 7. Como 7 2 = 49 y 49 < 101, hay que seguir probando. 101 no es divisible por 11. Como 11 2 = 121 y 121 > 101, el número 101 es un número primo.

33 Propiedades de los El Conjunto de los : Teorema: Todo número natural mayor o igual que 2 puede ser expresado, de manera única, como producto de números primos, sin tener en cuenta el orden de los factores.

34 Propiedades de los El Conjunto de los Ejercicios: Determine la factorización prima de cada uno de los siguientes números:

35 Propiedades de los El Conjunto de los : Definición: El máximo común divisor (MCD) de dos o más números naturales es el mayor de los números naturales que es divisor común de todos los números considerados. También se le conoce como máximo común factor (MCF).

36 Propiedades de los El Conjunto de los : Definición: El máximo común divisor (MCD) de dos o más números naturales es el mayor de los números naturales que es divisor común de todos los números considerados. También se le conoce como máximo común factor (MCF). Nota: Si el máximo común divisor o factor de dos números naturales es el 1, entonces se dice que los números son coprimos o relativamente primos.

37 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 10 y b = 15.

38 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 10 y b = 15. Para a = 10 el conjunto de los factores o divisores enteros positivos es {1, 2, 5, 10}.

39 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 10 y b = 15. Para a = 10 el conjunto de los factores o divisores enteros positivos es {1, 2, 5, 10}. Para b = 15 el conjunto de los factores o divisores enteros positivos es {1, 3, 5, 15}.

40 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 10 y b = 15. Para a = 10 el conjunto de los factores o divisores enteros positivos es {1, 2, 5, 10}. Para b = 15 el conjunto de los factores o divisores enteros positivos es {1, 3, 5, 15}. El conjunto de los factores o divisores comunes de 10 y 15 es {1, 5}.

41 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 10 y b = 15. Para a = 10 el conjunto de los factores o divisores enteros positivos es {1, 2, 5, 10}. Para b = 15 el conjunto de los factores o divisores enteros positivos es {1, 3, 5, 15}. El conjunto de los factores o divisores comunes de 10 y 15 es {1, 5}. Por lo tanto, el máximo común divisor de 10 y 15 es 5.

42 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 20 y b = 30.

43 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 20 y b = 30. Para a = 20 el conjunto de los factores o divisores enteros positivos es {1, 2, 4, 5, 10, 20}.

44 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 20 y b = 30. Para a = 20 el conjunto de los factores o divisores enteros positivos es {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Para b = 30 el conjunto de los factores o divisores enteros positivos es {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.

45 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 20 y b = 30. Para a = 20 el conjunto de los factores o divisores enteros positivos es {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Para b = 30 el conjunto de los factores o divisores enteros positivos es {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. El conjunto de los factores o divisores comunes de 20 y 30 es {1, 2, 5, 10}.

46 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 20 y b = 30. Para a = 20 el conjunto de los factores o divisores enteros positivos es {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Para b = 30 el conjunto de los factores o divisores enteros positivos es {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. El conjunto de los factores o divisores comunes de 20 y 30 es {1, 2, 5, 10}. Por lo tanto, el máximo común divisor de 20 y 30 es 10.

47 Propiedades de los El Conjunto de los Para hallar el máximo común divisor de dos o más números se siguen estos pasos:

48 Propiedades de los El Conjunto de los Para hallar el máximo común divisor de dos o más números se siguen estos pasos: 1 Se descompone cada número en un producto de potencias de bases primas.

49 Propiedades de los El Conjunto de los Para hallar el máximo común divisor de dos o más números se siguen estos pasos: 1 Se descompone cada número en un producto de potencias de bases primas. 2 El producto de las bases primas comunes en las diferentes factorizaciones elevadas al menor exponente que ocurre de ellas es el máximo común divisor de los números dados.

50 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 20 y b = 24.

51 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 20 y b = 24. La factorización de a = 20 es 20 = 2 2 5

52 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 20 y b = 24. La factorización de a = 20 es 20 = La factorización de a = 24 es 24 = 2 3 3

53 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 20 y b = 24. La factorización de a = 20 es 20 = La factorización de a = 24 es 24 = Luego, nos fijamos en las bases primas comunes a ambas factorizaciones; en este caso es 2 y consideramos la potencia menor que ocurre de ella en las diferentes factorizaciones.

54 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 20 y b = 24. La factorización de a = 20 es 20 = La factorización de a = 24 es 24 = Luego, nos fijamos en las bases primas comunes a ambas factorizaciones; en este caso es 2 y consideramos la potencia menor que ocurre de ella en las diferentes factorizaciones. Por lo tanto, el máximo común divisor (o factor) de 20 y 24 es MCD(20; 24) = 2 2 = 4.

55 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168.

56 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168. La factorización de a = 180 es 180 =

57 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168. La factorización de a = 180 es 180 = La factorización de a = 168 es 168 =

58 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168. La factorización de a = 180 es 180 = La factorización de a = 168 es 168 = Luego, nos fijamos en las bases primas comunes a ambas factorizaciones; en este caso son 2 y 3 y consideramos la potencia menor que ocurre de cada una de ellas en las diferentes factorizaciones.

59 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168. La factorización de a = 180 es 180 = La factorización de a = 168 es 168 = Luego, nos fijamos en las bases primas comunes a ambas factorizaciones; en este caso son 2 y 3 y consideramos la potencia menor que ocurre de cada una de ellas en las diferentes factorizaciones. Por lo tanto, el máximo común divisor (o factor) de 180 y 168 es MCD(180; 168) = = 12.

60 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 900 y b = 1080.

61 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 900 y b = La factorización de a = 900 es 900 =

62 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 900 y b = La factorización de a = 900 es 900 = La factorización de a = 1080 es 1080 =

63 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 900 y b = La factorización de a = 900 es 900 = La factorización de a = 1080 es 1080 = Luego, nos fijamos en las bases primas comunes a ambas factorizaciones; en este caso son 2, 3 y 5 y consideramos la potencia menor que ocurre de cada una de ellas en las diferentes factorizaciones.

64 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 900 y b = La factorización de a = 900 es 900 = La factorización de a = 1080 es 1080 = Luego, nos fijamos en las bases primas comunes a ambas factorizaciones; en este caso son 2, 3 y 5 y consideramos la potencia menor que ocurre de cada una de ellas en las diferentes factorizaciones. Por lo tanto, el máximo común divisor (o factor) de 900 y 1080 es MCD(900; 1080) = = 180.

65 Propiedades de los El Conjunto de los Ejercicios: Determine el máximo común divisor listando los factores o divisores de cada número:

66 Propiedades de los El Conjunto de los Ejercicios: Determine el máximo común divisor descomponiendo cada número en factores primos:

67 Propiedades de los El Conjunto de los : Definición: El mínimo común múltiplo (MCM)de dos o más números naturales es el menor múltiplo común positivo de todos los números considerados.

68 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 10 y b = 15.

69 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 10 y b = 15. Para a = 10 el conjunto de los múltiplos enteros positivos de 10 es {10, 20, 30, 40, 50, 60,...}.

70 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 10 y b = 15. Para a = 10 el conjunto de los múltiplos enteros positivos de 10 es {10, 20, 30, 40, 50, 60,...}. Para b = 15 el conjunto de los múltiplos enteros positivos de 15 es {15, 30, 45, 60,...}.

71 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 10 y b = 15. Para a = 10 el conjunto de los múltiplos enteros positivos de 10 es {10, 20, 30, 40, 50, 60,...}. Para b = 15 el conjunto de los múltiplos enteros positivos de 15 es {15, 30, 45, 60,...}. El conjunto de los múltiplos positivos comunes de 10 y 15 es {30, 60,...}.

72 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 10 y b = 15. Para a = 10 el conjunto de los múltiplos enteros positivos de 10 es {10, 20, 30, 40, 50, 60,...}. Para b = 15 el conjunto de los múltiplos enteros positivos de 15 es {15, 30, 45, 60,...}. El conjunto de los múltiplos positivos comunes de 10 y 15 es {30, 60,...}. Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 10 y 15 es 30.

73 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 20 y b = 30.

74 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 20 y b = 30. Para a = 20 el conjunto de los múltiplos enteros positivos de 20 es {20, 40, 60, 80, 100, 120,...}.

75 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 20 y b = 30. Para a = 20 el conjunto de los múltiplos enteros positivos de 20 es {20, 40, 60, 80, 100, 120,...}. Para b = 30 el conjunto de los múltiplos enteros positivos es {30, 60, 90, 120, 150,...}.

76 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 20 y b = 30. Para a = 20 el conjunto de los múltiplos enteros positivos de 20 es {20, 40, 60, 80, 100, 120,...}. Para b = 30 el conjunto de los múltiplos enteros positivos es {30, 60, 90, 120, 150,...}. El conjunto de los múltiplos comunes de 20 y 30 es {60, 120,...}.

77 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 20 y b = 30. Para a = 20 el conjunto de los múltiplos enteros positivos de 20 es {20, 40, 60, 80, 100, 120,...}. Para b = 30 el conjunto de los múltiplos enteros positivos es {30, 60, 90, 120, 150,...}. El conjunto de los múltiplos comunes de 20 y 30 es {60, 120,...}. Por lo tanto, el mínimo comúm múltiplo de 20 y 30 es 10.

78 Propiedades de los El Conjunto de los Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números se siguen estos pasos:

79 Propiedades de los El Conjunto de los Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números se siguen estos pasos: 1 Se descompone cada número en producto de potencias de bases primas.

80 Propiedades de los El Conjunto de los Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números se siguen estos pasos: 1 Se descompone cada número en producto de potencias de bases primas. 2 El producto de las diferentes potencias de bases primas elevadas al mayor exponente es el mínimo común múltiplo de los números dados.

81 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 20 y b = 24.

82 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 20 y b = 24. La factorización de a = 20 es 20 = 2 2 5

83 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 20 y b = 24. La factorización de a = 20 es 20 = La factorización de a = 24 es 24 = 2 3 3

84 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 20 y b = 24. La factorización de a = 20 es 20 = La factorización de a = 24 es 24 = Luego, nos fijamos en las bases primas diferentes en ambas factorizaciones; en este caso son 2, 3 y 5 y consideramos la potencia mayor que ocurre de cada una de ellas.

85 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 1: Sea a = 20 y b = 24. La factorización de a = 20 es 20 = La factorización de a = 24 es 24 = Luego, nos fijamos en las bases primas diferentes en ambas factorizaciones; en este caso son 2, 3 y 5 y consideramos la potencia mayor que ocurre de cada una de ellas. Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 20 y 24 es MCM(20; 24) = = 120.

86 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168.

87 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168. La factorización de a = 180 es 180 =

88 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168. La factorización de a = 180 es 180 = La factorización de a = 168 es 168 =

89 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168. La factorización de a = 180 es 180 = La factorización de a = 168 es 168 = Luego, nos fijamos en las bases primas diferente en ambas factorizaciones; en este caso son 2, 3, 5 y 7 y consideramos la potencia mayor que ocurre de cada una de ellas.

90 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168. La factorización de a = 180 es 180 = La factorización de a = 168 es 168 = Luego, nos fijamos en las bases primas diferente en ambas factorizaciones; en este caso son 2, 3, 5 y 7 y consideramos la potencia mayor que ocurre de cada una de ellas. Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 180 y 168 es MCM(20; 24) = = 2520.

91 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 3: Sea a = 900 y b = 1080.

92 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 3: Sea a = 900 y b = La factorización de a = 900 es 900 =

93 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 3: Sea a = 900 y b = La factorización de a = 900 es 900 = La factorización de a = 1080 es 1080 =

94 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 3: Sea a = 900 y b = La factorización de a = 900 es 900 = La factorización de a = 1080 es 1080 = Luego, nos fijamos en las bases primas diferentes en ambas factorizaciones; en este caso son 2, 3 y 5 y consideramos la potencia mayor que ocurre de cada una de ellas.

95 Propiedades de los El Conjunto de los Ejemplo 3: Sea a = 900 y b = La factorización de a = 900 es 900 = La factorización de a = 1080 es 1080 = Luego, nos fijamos en las bases primas diferentes en ambas factorizaciones; en este caso son 2, 3 y 5 y consideramos la potencia mayor que ocurre de cada una de ellas. Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 900 y 1080 es MCM(900; 1080) = = 5400.

96 Propiedades de los El Conjunto de los Ejercicios: Determine el mínimo común múltiplo listando los múltiplos de cada número:

97 Propiedades de los El Conjunto de los Ejercicios: Determine el mínimo común múltiplo descomponiendo cada número en factores primos:

98 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : Nota: Las operaciones de suma y multiplicación son operaciones internas; esto es, dados dos números naturales a y b tanto su suma a + b como su producto a b también son números naturales.

99 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : En N la operación + cumple las siguientes propiedades:

100 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : En N la operación + cumple las siguientes propiedades: 1. Clausura o Cierre: a, b N, a + b N.

101 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : En N la operación + cumple las siguientes propiedades: 1. Clausura o Cierre: a, b N, a + b N. 2. Conmutatividad: a, b N, a + b = b + a.

102 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : En N la operación + cumple las siguientes propiedades: 1. Clausura o Cierre: a, b N, a + b N. 2. Conmutatividad: a, b N, a + b = b + a. 3. Asociatividad: a, b N, (a + b) + c = a + (b + c).

103 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : En N la operación (multiplicación) cumple las siguientes propiedades:

104 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : En N la operación (multiplicación) cumple las siguientes propiedades: 1. Clausura o Cierre: a, b N, a b N.

105 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : En N la operación (multiplicación) cumple las siguientes propiedades: 1. Clausura o Cierre: a, b N, a b N. 2. Conmutatividad: a, b N, a b = b a.

106 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : En N la operación (multiplicación) cumple las siguientes propiedades: 1. Clausura o Cierre: a, b N, a b N. 2. Conmutatividad: a, b N, a b = b a. 3. Asociatividad: a, b N, (a b) c = a (b c).

107 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : En N la operación (multiplicación) cumple las siguientes propiedades: 1. Clausura o Cierre: a, b N, a b N. 2. Conmutatividad: a, b N, a b = b a. 3. Asociatividad: a, b N, (a b) c = a (b c). 4. Neutro o Identidad: un elemento en N (único) que es el 1, que verifica que a N, a 1 = a.

108 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : En las propiedades distributivas, indicadas a continuación, se combinan ambas operaciones:

109 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : En las propiedades distributivas, indicadas a continuación, se combinan ambas operaciones: a, b, c N, 1. Distributiva de Izquierda: a (b + c) = a b + a c.

110 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : En las propiedades distributivas, indicadas a continuación, se combinan ambas operaciones: a, b, c N, 1. Distributiva de Izquierda: a (b + c) = a b + a c. 2. Distributiva de Derecha: (b + c) a = b a + c a.

111 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : Nota: Las operaciones de resta y división no son operaciones internas; esto es, dados dos números naturales a y b tanto su diferencia a - b como su cociente a b no son, necesariamente, números naturales.

112 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : Nota: Las operaciones de resta y división no son operaciones internas; esto es, dados dos números naturales a y b tanto su diferencia a - b como su cociente a b no son, necesariamente, números naturales. Ejemplos: / N

113 Propiedades de los El Conjunto de los Propiedades de los : Nota: Las operaciones de resta y división no son operaciones internas; esto es, dados dos números naturales a y b tanto su diferencia a - b como su cociente a b no son, necesariamente, números naturales. Ejemplos: / N / N

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