CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS
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- Juan Carlos Olivares Gil
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1 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS. Dada la función f (), (, ), definir f () y f () de forma que f sea continua sen(π ) en todo el intervalo cerrado [, ]. : f () f () π 5 si. Estudiar la continuidad de la función f () 5 si : f es continua en todo salvo en, donde tiene una discontinuidad de salto, siendo el salto de f.. Estudiar la continuidad de la función f () : f es continua en. si si en el punto. + e. Hallar a y b de modo que la siguiente función sea continua en todo : a( ) si f () sen( b+ ) si < < π π si π π : a, b + kπ, k 5. Comprobar que la función f () definida por f () 6 si es continua en + 6 si > el intervalo [, ] y encontrar los valores máimo y mínimo de la función f () en dicho intervalo. : El valor máimo de f se alcanza en y vale 7. El valor mínimo de f se alcanza en 5 y vale Estudiar el dominio y la continuidad de la función f () Ln. : Dom ( f ) (, + ) {}; f es continua en su dominio. (Ln ) 7. Dada la función f () ( ) a) Determinar su dominio. b) Se podría asignar a f () algún valor en los puntos de discontinuidad para que fuera continua en (, + )? : Dom ( f ) (, + ) {}, f () y f ()
2 si 8. Sea f () Calcular a, b para que f sea continua. a + b si > : b, a cualquier número real. 9. Estudiar la continuidad de la función f () : f es continua en todo.. Probar que la función f definida por f () tipo de discontinuidad presenta en dicho punto. : Evitable no es continua en. Indicar qué. Estudiar la continuidad de la función f () E(), donde E() designa la parte entera de, es decir, el mayor entero. Representar también dicha función. : f es continua en no es entero.. Estudiar la continuidad de la función f definida como f () : f es continua en {} e e + + si si >. Determinar los números reales a y b para que la función f definida como: sen ae + b cos si < f () 6 si sen a + b ( ) si > sea continua en toda la recta real. : a, b. si <. Estudiar la continuidad de la función f (). Dibujar la gráfica de la función si en un entorno del punto. : f es discontinua en el punto, donde presenta un salto de longitud. En los demás puntos es continua. 5. Estudiar la continuidad de la función f () π sen si < π + cos si π : f es discontinua en el punto, donde presenta un salto de longitud. En los demás puntos es continua.
3 6. Estudiar la continuidad de la función e f () + k según los diferentes valores del parámetro real k. : Si k >, f es continua en todo. Si k, f tiene discontinuidades asintóticas en ± k ; en los demás puntos es continua. 7. Hallar los valores a y b de forma que sea aplicable el teorema de Bolzano a la función cos si π f () a + si < < b si π en el intervalo [ π, π]. : a, b. si 8. Dada la función f () sen, estudiar la continuidad en el punto. si : f tiene un salto en, y la longitud del salto es. 9. Se considera la función f () + ( + ) sen que no tiene sentido para. + Determinar el valor de f ( ) para que la función sea continua en. : f ( ). La función f : dada por f () Cuánto valen b y c? : b, c. + b+ c Ln( + ) si si > es derivable en. a + b si <. Se sabe que la función f : [, 5] dada por f () c + si 5 derivable en el intervalo [, 5] y verifica f () f (5). Calcular a, b y c. : a, b, c. es. Consideremos la función f () a) Razonar en qué puntos es derivable y en cuáles no lo es. : a) No es derivable en ±.. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f () : f es continua para todo R y f es derivable para todo {,, }.
4 . Idem para la función f () + : f es continua para todo y f es derivable para todo {}. + si 5. Dada la función f () si > Demostrar que f es derivable en y calcular f (). Encontrar la función derivada f (). Probar que f () no es derivable en, es decir, no eiste f (). si : f (), f (). si > 6. Estudiar la derivabilidad de la función f : definida por si y f () si o : f es derivable en {, } 7. Sabemos que la función f : (, + ) definida por f () es continua en (, + ). Hallar el valor de a. Es f derivable en? : a. No. + si < < + a + si 8. Calcular a y b sabiendo que la función f : definida por f () derivable. : a, b 5 a + 5 si a + b si > es 9. Sea f : la función definida en la forma f () Estudiar la derivabilidad de f. : f es derivable en { } + si si < + si >. a) Determinar el valor de las constantes a y b sabiendo que la gráfica de la función f : e si definida por f () admite recta tangente en el punto (, ). a + b si > b) Eisten constantes c y d para las cuales la gráfica de la función g : definida por e si g () c + d si > admite recta tangente en el punto (, )? (Justificar la respuesta). : a, b. No eisten.
5 a 6 si <. Consideremos la f : (, ) definida por f () 5 si < a) Determinar el valor de a sabiendo que f es continua (y que a > ). b) Estudiar la derivabilidad de f. : a, f es derivable en (, ) {, 5}. Hallar la función derivada de cada una de las siguientes funciones: ) ) ) + + y y y y y y ) 5) + + y e y e ( + ) y y Ln 6 5 ( + ) 5 + 6) y Ln y log( + ) log e log( + ) + 7) y y y 8) logπ y logπ e ) y log π( 7) y log π( 7) logπ e 7 ( ) ( 5 5 ) ) y y 6Ln + ( ) ) y + Ln ( + ) ( + )( ) y ( ) ) y Ln y ) y y Ln+ ) y + y 8 (Sumar primero las fracciones y derivar después) ) y e y e π π
6 . Hallar la función derivada de cada una de las siguientes funciones: ( + ) cos + ) sen y y ( + ) cos + ) y sen y sen + ( + ) y + cos Ln + 5 sen Ln + 5 y ( ) ( ) + 5 ) cos ln 5 ) y ln cos 5 y tg + 5 5) y + sen cos y sen + sen ( sen) sen ( + ) tg 6) y 5 y Ln5 5 ( ) tg cos + y y e e cos ( cos ) sen + cos sen 7) log log log 8) cotg 6 cotg 6 y y 9 6 sen ( 6 ) 9) y arc sen + y cos( ) + + ) y y sen ( ) Ln + cos( ) y + ) y arc sen ( + ) y + arcsen + ) y arctg y ( 9 ) arctg π arctg π + ( tg e e cos(+ ) + tg e sen(+ )cos e + ) y y + e + + cos cos cos( ) cos( ) Lnπ π ) y e y e + π )
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