2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones"

Transcripción

1 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto x 0 (no necesariamente en el propio punto, basta que f esté definida en un conjunto de la forma (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ) con δ > 0). Se dice que f tiende al límite l en x 0 si los valores de f(x) están tan próximos a l como se quiera con tal de tomar x suficientemente próximo a x 0. Se escribe lim f(x) = l. x x 0 Fig.6 lim (2x + 5) = 11, x 3 ya que cuando x tiende a 3, 2x tiende a 6, y 2x + 5 tiende a 11. Propiedades de los limites Si lim x x0 f(x) = l, lim x x0 g(x) = m y α es un número real, entonces 1. Si f(x) = g(x), l = m. (Unicidad del límite) 2. lim x x0 [f(x) + g(x)] = l + m 3. lim x x0 [αf(x)] = αl 4. lim x x0 [f(x)g(x)] = lm. [ ] f(x) 5. lim x x0 = l g(x) m (si m 0). 6. lim x x0 f(x) = limx x0 f(x) = l. (Siempre que l 0) s 3 3x lim x + 6x 8 = 3 2. lim x + ( x x) = lim x + 3x + 5 6x 8 = lim 3 x + 3x + 5 lim x + 6x 8 = lim 3 x /x lim x + 6 8/x = 3 1/2 ( x lim x)( x x) = lim x + x x x + x x 2 x x = lim x + 3 x x = 0

2 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 8 x 2 3. lim x x2 + x 3x 6 = lim x x 2 + x x 2 3x x 6 x = 1 3. Nótese que se divide el numerador y el denominador por x. Continuidad en un punto Se dice que una función f, definida al menos en un intervalo abierto de la forma (x 0 r, x 0 + r), es continua en x 0 si lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Fig.7 Si una función es continua en todos los puntos de un intervalo se dice que es continua en el intervalo. Esto quiere decir de forma gráfica que no tiene agujeros ni saltos en el intervalo. Propiedades de la continuidad Si f y g son continuas en x 0 y α es un número real se verifica 1. f + g es continua en x 0 2. αf es continua en x 0 para todo α real 3. fg es continua en x 0 4. f/g es continua en x 0 siempre que g(x 0 ) 0. Dos teoremas básicos 1. Si f es continua en [a, b] y K es un número entre f(a) y f(b), existe al menos un número c entre a y b tal que f(c) = K. En particular si f(a) y f(b) son de distinto signo entonces existe al menos un punto c en el intervalo en el cual f(c) = 0 (figura 8a). 2. Si f es una función continua en [a, b], entonces (i) f está acotada en [a, b]. (ii) f alcanza tanto su máximo M como su mínimo m en [a, b] (figura 8b).

3 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 9 Fig.8 El primero de los dos teoremas anteriores es muy útil para resolver ecuaciones. Para demostrar que la ecuación x = 1/2 x tiene al menos una raíz real en el intervalo [0, 1], construimos la función f(x) = x 1 2 x. Esta función cumple que f(0) = 1 < 0 y f(1) = 1 2 > 0. Como la función es continua en [0, 1], tiene una raíz en (0, 1) y por tanto su parte entera es cero, es decir, la raíz es de la forma 0,... La derivada Se dice que una función f es derivable en x 0 si existe lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ). h A este límite se le denomina derivada de f en x 0 y se designa por f (x 0 ). El número f (x 0 ) puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (x 0, f(x 0 )). Esta recta tangente que pasa por el punto (x 0, f(x 0 )) con pendiente f (x 0 ), (siendo su ecuación y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 )), es la recta que mejor se aproxima a la gráfica de f en la proximidad del punto (x 0, f(x 0 )). La figura 9 muestra la recta tangente en el punto (1, 1) a la gráfica de y = x 2. Fig.9 Observación La derivabilidad de una función en un punto implica la continuidad de la función en ese punto; el recíproco no es cierto. Propiedades de la derivación Si α es un número real y f y g son derivables en x: 1. (f + g) (x) = f (x) + g (x)

4 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría (αf) (x) = αf (x) 3. (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) 4. ( f g ) (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] 2 si g(x) 0 5. Si f(x) = α, entonces f (x) = 0 para todo x real 6. Si f(x) = x, entonces f (x) = 1 para todo x real. En la última página de este tema se da una tabla con las derivadas más frecuentes. Regla de la cadena Si y es una función de x y ésta es a su vez función de t (esquemáticamente t x y), entonces dy dt = dy dx dx dt donde hemos utilizado la notación de Leibniz f (x) dy dx. Dada la función y = sen(x 2 ), hallar dy. Interpretamos la función propuesta como composición dx de dos funciones: u = x 2, y = sen u Aplicando la regla de la cadena tenemos dy dx = dy du du dx = cos u 2x = 2x cos(x2 ). Derivadas de orden superior Si una función es derivable, se puede formar una nueva función f. Si f es a su vez derivable, podemos formar su derivada, llamada derivada segunda de f y designada por f. Mientras sigamos teniendo derivabilidad podemos continuar de esta manera formando f, etc. En notación de Leibniz, las derivadas de orden superior se escriben d 2 y dx 2 = d dx ( dy dx ), d 3 y dx 3 = d dx ( d 2 y dx 2 ),... Crecimimiento y decrecimiento de una función Supongamos que f es continua en un intervalo [a, b] y derivable sobre el intervalo abierto (a, b). (a) Si f (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f es creciente en [a, b]. (b) Si f (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b]. (c) Si f (x) = 0 para todo x en (a, b), entonces f es constante en [a, b].

5 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 11 Concavidad y convexidad Sea f dos veces derivable sobre un intervalo abierto I. (a) Si f (x) > 0 sobre I, entonces f es cóncava hacia arriba sobre I. (b) Si f (x) < 0 sobre I, entonces f es cóncava hacia abajo sobre I. Si f es continua sobre un intervalo abierto conteniendo el punto x 0, y si f cambia la dirección de su concavidad en dicho punto f tiene un punto de inflexión en x 0, y decimos que el punto (x 0, f(x 0 )) de la gráfica de f es un punto de inflexión de f. Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de inflexión de la función f(x) = xe x. Calculando las dos primeras derivadas de f obtenemos f (x) = (1 x)e x, f (x) = (x 2)e x Teniendo en cuenta que e x es siempre positivo, el signo de f (x) estará determinado por el factor 1 x. La primera derivada es positiva para x < 1, y negativa para x > 1, luego la función es creciente para x 1 y decreciente para x 1. Análogamente el signo de f estará determinado por el factor x 2. Entonces, f (x) < 0 si x < 2, y f (x) > 0 si x > 2, lo cual implica que la gráfica es cóncava hacia abajo para x < 2 y cóncava hacia arriba para x > 2. Así pues, en x = 2 hay un punto de inflexión. Fig.10 Función implícita Algunas veces es preciso conocer y (x) a partir de una expresión entre las dos variables como, por ejemplo, y 5 +xy = 3. La función y(x) no puede obtenerse explícitamente. Todo lo que se tiene es una definición de y como una solución de y 5 + xy = 3. El punto (2, 1), por ejemplo, satisface la ecuación de la curva. Se trata de hallar dy/dx en x = 2. Derivando en los dos miembros de la ecuación, teniendo en cuenta la regla de la cadena tenemos 5y 4 dy dx + x dy dx + y = 0 sustiuyendo x = 2 e y = 1, y resolviendo para dy/dx: 5 dy dx + 2 dy dx + 1 = 0, dy dx = 1 7.

6 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 12 Ésta es la derivación implícita y, como se ha visto, proporciona dy/dx a partir de la regla de la cadena aunque y no sea conocida explícitamente como una función de x. La diferencial de una función Si una función es derivable en un punto x 0 de su dominio se define la diferencial de la función en ese punto y para un incremento arbitrario de la variable x = x x 0 como df(x 0 ) = f (x 0 ) x. Se escribe normalmente como df(x) = f (x)dx ya que dx = x x y x = 1. Si consideramos la expresión f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x x0 x x 0 a x 0 podemos poner en puntos x muy próximos f (x 0 ) f(x) f(x 0) x x 0 o bien f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Esta última expresión constituye una aproximación a la función f(x) para puntos cercanos a x 0 aproximación lineal local de f en x 0. Tanto mejor aproximación cuanto menor sea la distancia entre x y x 0. El término que da esta aproximación, es decir, la cantidad que hay que sumar a f(x 0 ) para obtener una aproximación de f(x) es precisamente la diferencial de f(x) en x 0 para un incremento x de la variable independiente. Observación Nótese que f(x) = f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) = df(x), o bien y dy, para pequeños incrementos x de la variable x (figura 13). Fig.11 El siguiente teorema está estrechamente relacionado con estas cuestiones. Teorema del valor medio Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces existe al menos un punto c comprendido entre a y b tal que se puede escribir f(x) en forma exacta (ver figura 12), f(b) = f(a) + f (c)(b a). Observación En particular si x 0 y x son puntos de [a, b] existirá un c entre los dos puntos tal que f(x) = f(x 0 ) + f (c)(x x 0 ), (1) es decir, el valor de la función en el punto x se puede escribir como suma del valor en otro punto x 0 más un término complementario.

7 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 13 Fig.12 Fórmula de Taylor La expresión (1) del apartado anterior se puede generalizar para funciones n veces derivables con continuidad en el intervalo [a, b] que tienen derivada de orden n + 1 en (a, b). En tal caso se puede escribir: f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + f (n+1) (c) n! (n + 1)! (x x 0) n+1 (2) donde x 0 < c < x. Es decir, se expresa el valor de la función en un punto x por un polinomio en potencias de x x 0 más un término complementario. Observación La expresión (1) es entonces un caso particular de la expresión (2) cuando n = 0, es decir, cuando sólo se exige derivabilidad de primer orden de la función f. Hallar el polinomio de Taylor de sen x en el punto x 0 = 0. Calculamos el valor de f(x) = sen x y de sus derivadas sucesivas hasta orden cinco en x 0 = 0. f(0) = sen(0) = 0, f (0) = cos(0) = 1, f (0) = sen(0) = 0, f (0) = cos(0) = 1, f (iv) (0) = sen(0) = 0, f (v) (0) = cos(0) = 1. Llevando estos resultados a la expresión (2) se tiene sen x = x x3 3! + x5 5! + Resto La figura 13 muestra la gráfica de los polinomios de Taylor de grado uno, tres y cinco en el punto x 0 = 0 para la función f(x) = sen x(= x x3 3! + x5 5! + ). Fig.13

8 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 14 Extremos relativos Sea f : D R R. Un punto x 0 D es un mínimo local (respect. máximo local) de f si f(x) f(x 0 ) (respect. f(x) f(x 0 )) cerca del punto. El punto x 0 se llama extremo local o extremo relativo. Puntos críticos Un punto x 0 es un punto crítico de f si f (x 0 ) = 0. Si f : D R R es diferenciable la condición necesaria de extremo local en x 0 es que x 0 sea punto crítico. Observación Un punto crítico puede no ser extremo local, se le llama un punto de inflexión. Condición suficiente de extremo Un punto crítico es un máximo (respect. mínimo) de una función f si la primera derivada que no se anula en ese punto es de orden par y es negativa (respect. positiva) en ese punto. Si la primera derivada que no se anula es de orden impar, la función carece de extremos en ese punto. En una reacción autocatalítica una substancia A se convierte en otra B de modo que B cataliza su propia formación. Suponiendo que la velocidad de reacción es proporcional a la cantidad x de B y también a la cantidad restante de A en el tiempo t, se quiere determinar para qué valor particular de x es máxima la velocidad de reacción. Llamando a a la cantidad inicial de substancia A se tiene v(x) = dx dt = kx(a x) (k constante positiva), La primera derivada de la velocidad es v (x) = k(a 2x) que se anula para x = a/2 y corresponde a un máximo, ya que ( v a ) = 2k < 0. 2 EJERCICIOS 1 Hallar los siguientes límites x 2 2x + 1 (a) lim x 1 x 2 + 2x 3, (b) lim x 0 x 2 + sen x 2x + x, (c) lim x x 0 x x. 2 Discutir la continuidad de las siguientes funciones (a) f(x) = x2 + 1 x 4 + 1, (b) f(x) = x 6 3x 2 x + 7, (c) f(x) = x 3 + 3x. 3 Demostrar que la función sen x + 2x + 1 = 0 tiene al menos una raíz real en el intervalo [ 1, 0]. 4 Calcular las derivadas de las siguientes funciones (a) f(x) = x + 1 x, (b) f(x) = x + 3 x + 1, 1 3x (c) f(x) = 1 + 3x.

9 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 15 5 Una bola se mueve en línea recta según la ecuación x(t) = t 16t 2, donde x se mide en metros y t en segundos. Hallar su aceleración (derivada segunda de x respecto de t) al cabo de 5 segundos. 6 Utilizar la diferencial de la función f(x) = x para calcular Hallar el polinomio de Taylor de las siguientes funciones en x 0 = 0 f(x) = xe x2 (grado 7), f(x) = sen x 2 (grado 10), f(x) = cos 3x (grado 5). 8 Calcular el seno de 10 y el coseno de 10 con un error, en ambos casos, inferior a Hallar los extremos relativos de la siguientes funciones (a) f(x) = x 2/3 (1 x) 2/3, (b) f(x) = x2, (c) f(x) = x + 2 cos x. 1 + x3 10 Sabiendo que la potencia suministrada por una pila de Volta es W = RI 2, siendo R la resistencia del circuito, I = E/(R + r) la intensidad de la corriente que produce, E su fuerza electromotriz y r la resistencia interior de la pila, hallar la R para que la potencia W sea máxima.

10 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 16 De Modelos matemáticos en las ciencias experimentales de Mariano J. Valderrama Bonet.

DERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.

DERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto

Más detalles

Expliquemos con exactitud qué queremos decir con valores máximos y mínimos.

Expliquemos con exactitud qué queremos decir con valores máximos y mínimos. Introducción: Ahora que conocemos las reglas de derivación nos encontramos en mejor posición para continuar con las aplicaciones de la derivada. Veremos cómo afectan las derivadas la forma de la gráfica

Más detalles

Unidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Unidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Unidad V Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.

CONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función

Más detalles

«La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto»

«La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto» TEMA 10 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f (a): Consideremos una función f(x) y un punto P de su gráfica (ver figura), de abscisa x=a. Supongamos que damos a la variable independiente x un pequeño incremento

Más detalles

TEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR

TEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR TEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR 5.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 5.1.1 Definición de derivada Definición: Sea I in intervalo abierto, f : I y a I. Diremos que f es derivable en a si existe y

Más detalles

TEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

TEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TEMA 7 DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS CCSSI º Bac TEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Definición : Se llama

Más detalles

Tema 1. Cálculo diferencial

Tema 1. Cálculo diferencial Tema 1. Cálculo diferencial 1 / 57 Una función es una herramienta mediante la que expresamos la relación entre una causa (variable independiente) y un efecto (variable dependiente). Las funciones nos permiten

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales

Fundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 8 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2016 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Análisis de funciones de una variable 49 4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE En esta sección realizaremos algunos ejercicios sobre el estudio de funciones de una variable: En la parte final hay ejercicios

Más detalles

TEMA 4: DERIVADAS. En símbolos, la pendiente de la curva en P = lim Q P (pendiente de P Q).

TEMA 4: DERIVADAS. En símbolos, la pendiente de la curva en P = lim Q P (pendiente de P Q). TEMA 4: DERIVADAS 1. La derivada de una función. Reglas de derivación 1.1. La pendiente de una curva. La pendiente de una curva en un punto P es una medida de la inclinación de la curva en ese punto. Si

Más detalles

1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Solución:

1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Solución: RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD DE ANÁLISIS. I Departamento de Matemáticas 1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función

Más detalles

CONCAVIDAD. Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Cómo la graficaríamos?

CONCAVIDAD. Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Cómo la graficaríamos? CAPÍTULO 14 CONCAVIDAD Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Intervalo Signo de f F (-00,3) + Creciente (3,8) - Decreciente (8, + ) + Creciente Cómo la graficaríamos?

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.4: La derivada y sus propiedades básicas. La Regla de la cadena. El concepto de derivada aparece en muchas situaciones en la ciencias: en matemáticas

Más detalles

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo

Más detalles

Lección 2: Funciones vectoriales: límite y. continuidad. Diferenciabilidad de campos

Lección 2: Funciones vectoriales: límite y. continuidad. Diferenciabilidad de campos Lección 2: Funciones vectoriales: límite y continuidad. Diferenciabilidad de campos vectoriales 1.1 Introducción En economía, frecuentemente, nos interesa explicar la variación de unas magnitudes respecto

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 7: Lunes 22 - Viernes 27 de Abril. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 7: Lunes 22 - Viernes 27 de Abril. Contenidos Coordinación de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semana 7: Lunes - Viernes 7 de Abril Cálculo Contenidos Clase 1: Álgebra de límites. Teorema del Sandwich. Cálculo de límites. Límites trigonométricos.

Más detalles

CÁLCULO II. Grado M+I. Sucesiones y series de funciones. Sucesiones y series de funciones 1 / 27. Grado M+I () CÁLCULO II

CÁLCULO II. Grado M+I. Sucesiones y series de funciones. Sucesiones y series de funciones 1 / 27. Grado M+I () CÁLCULO II CÁLCULO II Grado M+I Sucesiones y series de funciones Sucesiones y series de funciones 1 / Sucesiones funciones. Convergencia puntual Sucesión de funciones Definición Una sucesión de funciones será cualquier

Más detalles

Una función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x

Una función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x Apuntes de Matemáticas II. CBP_ ITSA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN En una función se puede analizar su crecimiento o decrecimiento al mirar la variación que experimentan

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

Derivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva

Derivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva Nivelación de Matemática MTHA UNLP Derivada Pendiente de la recta tangente a una curva Definiciones básicas Dada una curva que es la gráfica de una función y = f() y sea P un punto sobre la curva La pendiente

Más detalles

CONTENIDO PRÓLOGO LAS FUNCIONES... 5

CONTENIDO PRÓLOGO LAS FUNCIONES... 5 CONTENIDO PRÓLOGO... 1 1. LAS FUNCIONES... 5 1.1 FORMAS DE REPRESENTACIÓN... 5 1.1.1 Representación de funciones... 6 1.1.2 Funciones definidas a trozos... 7 1.1.3 Simetría... 8 1.1.4 Funciones crecientes

Más detalles

Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente

Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. La recta tangente a una curva en un punto

Más detalles

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six

Más detalles

Tema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2)

Tema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2) Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato TEMA 0 APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la recta tangente a la curva f en 0. Ordenada del

Más detalles

Funciones reales. Números complejos

Funciones reales. Números complejos Funciones reales. Números complejos Funciones reales 1. Encuentra todos los números reales x que verifican: a) (x 1)(x 3) > 1 b) x + 1 > 1 1 x c) x 1 + x + 1 < 1 d) 5 < x 2 14x + 5 < 26 2. Si la gráfica

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen

CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen Febrero 2012 T1. [2] Demostrar que la imagen continua de un conjunto compacto es compacto. T2. [2.5] Definir la diferencial de una función en un punto y demostrar

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice la cadena Tabla de Dada una función f : D R R,

Más detalles

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales.

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales. Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que se puede escribir de la siguiente forma: a n (x)y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a 0 (x)y(x)

Más detalles

Unidad II. Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en unaconstante.

Unidad II. Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en unaconstante. Unidad II Integral indefinida y métodos de integración. 2.1 Definición de integral indefinida. Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones

Más detalles

Semana 2 [1/24] Derivadas. August 16, Derivadas

Semana 2 [1/24] Derivadas. August 16, Derivadas Semana 2 [1/24] August 16, 2007 Máximos y mínimos: la regla de Fermat Semana 2 [2/24] Máximos y mínimos locales Mínimo local x es un mínimo local de la función f si existe ε > 0 tal que f( x) f(x) x (

Más detalles

DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES

DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 2 El procedimiento mediante el cuál se obtiene la derivada de una función se conoce como derivación. Llamaremos funciones elementales a las funciones polinómicas,

Más detalles

www.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid!

www.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid! CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. TEOREMAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- junio 1994 Se sabe que y = f (x) e y = g (x) son dos curvas crecientes en x = a. Analícese si la curva y = f(x) g(x) ha de ser,

Más detalles

8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL METODO DIRECTO DE LIAPUNOV

8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL METODO DIRECTO DE LIAPUNOV 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 309 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL METODO DIRECTO DE LIAPUNOV Consideremos el sistema autónomo dx = F (x, y) dt (8.32) dt = G(x, y), y supongamos que tiene

Más detalles

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. Concepto de función Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real (uno y sólo uno).

Más detalles

Continuidad. 5.1 Continuidad en un punto

Continuidad. 5.1 Continuidad en un punto Capítulo 5 Continuidad 5.1 Continuidad en un punto Definición 5.1.1 (Aplicación continua en un punto). Sean (X, τ) e (Y, τ ) dos espacios topológicos, y sea f : X Y una aplicación entre ellos. Diremos

Más detalles

Problemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de 1ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos

Problemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de 1ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos página /9 Problemas Tema Solución a problemas de Repaso de ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos Hoja 2. Problema. Sea f x )=a x 3 +b x 2 +c x+d un polinomio que cumple f )=0, f ' 0)=2, y tiene dos

Más detalles

Funciones reales de variable real

Funciones reales de variable real Tema Funciones reales de variable real Introducción El objetivo fundamental de este tema es recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real.. Conceptos Generales Definición.

Más detalles

Derivadas 6 ACTIVIDADES. 1. Página 140. Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página Página Página

Derivadas 6 ACTIVIDADES. 1. Página 140. Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página Página Página Derivadas 6 ACTIVIDADES 1. Página 140 Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página 140 3. Página 141 4. Página 141 5. Página 142 211 Derivadas 6. Página 142 Las derivadas laterales no existen, por

Más detalles

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números

Más detalles

Áreas entre curvas. Ejercicios resueltos

Áreas entre curvas. Ejercicios resueltos Áreas entre curvas Ejercicios resueltos Recordemos que el área encerrada por las gráficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada por Ejercicios resueltos b a f x g x dx Ejercicio

Más detalles

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x 1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.

Más detalles

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=

Más detalles

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo

Más detalles

DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD

DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3)

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Tasa de variación Dada una función y = f(x), se define la tasa de variación en el intervalo [a, a +h] como: f(a + h) f(a) f(a+h) f(a) y se define la tasa de variación media

Más detalles

UNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES

UNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES UNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES En la Sección anterior se abordó contenidos relacionados con las funciones y gráficas, continuamos aprendiendo más sobre funciones; en la presente unidad abordaremos

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE GENERAL SARMIENTO Matemática I Segundo Parcial (21/11/09) xe2x JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE GENERAL SARMIENTO Matemática I Segundo Parcial (21/11/09) xe2x JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS Segundo Parcial (21/11/09) 1. Sea f(x) = 1 +2 xe2x a) Hallar dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos locales de f. b) Hallar (si las hay) las asíntotas horizontales y verticales de

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto

Más detalles

1 Método de la bisección. 1.1 Teorema de Bolzano Teorema 1.1 (Bolzano) Contenido

1 Método de la bisección. 1.1 Teorema de Bolzano Teorema 1.1 (Bolzano) Contenido E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Resumen y ejemplos Tema 3: Solución aproximada de ecuaciones Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Límites y continuidad de funciones reales de variable real

Límites y continuidad de funciones reales de variable real Límites y continuidad de funciones reales de variable real Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M. a M. salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es Índice 1. Definiciones 3 2. Herramientas 10 2.1. Funciones

Más detalles

Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o

Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o DERIVADAS Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3) - f(-1) =

Más detalles

BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Crecimiento y decrecimiento. Extremos absolutos y relativos. Concavidad y convexidad. Asíntotas.

Más detalles

Capítulo 4: Derivada de una función

Capítulo 4: Derivada de una función Capítulo 4: Derivada de una función Geovany Sanabria Contenido Razones de cambio 57 Definición de derivada 59 3 Cálculo de derivadas 64 3. Propiedadesdederivadas... 64 3.. Ejercicios... 68 3. Derivadasdefuncionestrigonométricas...

Más detalles

May 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN

May 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN May 4, 2012 1. Optimización Sin Restricciones En toda esta sección D denota un subconjunto abierto de R n. 1.1. Condiciones Necesarias de Primer Orden. Proposición 1.1. Sea f : D R diferenciable. Si p

Más detalles

Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística

Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística Solución del examen final del curso Cálculo de una variable Grupo: Once Período: Inicial del año Prof: Rubén D. Nieto C. PUNTO. (x ) sen(x )

Más detalles

Definición 1.1 Se llama función (real de variable real) a toda correspondencia (o regla), f, que a cada número x le asigna un único valor f(x).

Definición 1.1 Se llama función (real de variable real) a toda correspondencia (o regla), f, que a cada número x le asigna un único valor f(x). Tema Funciones de una variable... Concepto de función. Definición. Se llama función (real de variable real) a toda correspondencia (o regla), f, que a cada número x le asigna un único valor f(x). Ejemplo.

Más detalles

Funciones convexas Definición de función convexa. Tema 10

Funciones convexas Definición de función convexa. Tema 10 Tema 10 Funciones convexas Los resultados obtenidos en el desarrollo del cálculo diferencial nos permiten estudiar con facilidad una importante familia de funciones reales de variable real definidas en

Más detalles

UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2

UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2 UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD 1.- Límites en el Infinito: lim x + f(x) = L Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a + es L ϵ Ɽ, si podemos hacer que f(x) se aproxime a L tanto como

Más detalles

Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas

Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas 1º) Interpreta geométricamente el área que define la integral y obtenla. Geométricamente, la integral representa el área de la región del plano

Más detalles

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x = Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.

Más detalles

CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1

CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1 CBC Matemática (51) universoexacto.com 1 PROGRAMA ANALÍTICO 1 :: UNIDAD 1 Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta

Más detalles

ƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.

ƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}. SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa de otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la derivada de una función inversa. f

Más detalles

Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos

Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím

Más detalles

Operador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales

Operador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales Operador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales. Operador Diferencial Un operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función en una

Más detalles

DERIVADAS. TVM (a, b) = = h. La tasa de variación media se puede interpretar como la pendiente de la recta AB de la figura siguiente:

DERIVADAS. TVM (a, b) = = h. La tasa de variación media se puede interpretar como la pendiente de la recta AB de la figura siguiente: Tasa de variación media DERIVADAS La tasa de variación media TVM de una unción ( en un intervalo (x, x se deine como: TVM (a, b ( x ( x x x Si consideramos x x + h, podemos expresar la TVM como: Interpretación

Más detalles

f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).

f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y). TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:

Más detalles

Información importante

Información importante Coordinación de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 010 Semana 7: Lunes 3 viernes 7 de Mayo Información importante El proceso de apelación del primer certamen comienza esta semana. Los cuadernillos los

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.7: Aproximación de funciones. Desarrollo de Taylor. Aproximación lineal. La aproximación lineal de una función y = f(x) en un punto x = a es la

Más detalles

2.1.5 Teoremas sobre derivadas

2.1.5 Teoremas sobre derivadas si x < 0. f(x) = x si x 0 x o = 0 Teoremas sobre derivadas 9 2. f(x) = x 3, x o = 3 a. Determine si f es continua en x o. b. Halle f +(x o ) y f (x o ). c. Determine si f es derivable en x o. d. Haga la

Más detalles

Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y Continuidad

Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y Continuidad y Laterales Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: y Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico y Esquema Laterales 1 Laterales 2 y Esquema Laterales

Más detalles

TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial

TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial En este tema vamos a hacer un estudio preliminar de las funciones de una variable real y el importante concepto de derivada. Comenzaremos recordando las funciones

Más detalles

SESIÓN 6 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA, REGLA GENERAL PARA DERIVACIÓN, REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS.

SESIÓN 6 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA, REGLA GENERAL PARA DERIVACIÓN, REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS. SESIÓN 6 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA, REGLA GENERAL PARA DERIVACIÓN, REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS. I. CONTENIDOS: 1. Interpretación geométrica de la derivada 2. Regla general

Más detalles

Teoremas de Convergencia

Teoremas de Convergencia Capítulo 24 Teoremas de Convergencia El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesión de funciones medibles para que se puedan permutar los símbolos y

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Figura 1. Círculo unidad. Definición. 1. Llamamos número π (pi) al valor de la integral

Figura 1. Círculo unidad. Definición. 1. Llamamos número π (pi) al valor de la integral ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. La función f(x) = 1 x 2 es continua en el intervalo [ 1, 1]. Su gráfica como vimos es la semicircunferencia de radio uno centro el origen de coordenadas.

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO

FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO 2007-2008 Funciones reales Definición Clasificación Igual de funciones Dominio Propiedades Monotonía Extremos relativos Acotación. Extremos absolutos Simetría

Más detalles

Instituto Tecnológico Autónomo de México. Departamento de Matemáticas Cálculo Diferencial e Integral I (MAT14100) Lista de Ejercicios.

Instituto Tecnológico Autónomo de México. Departamento de Matemáticas Cálculo Diferencial e Integral I (MAT14100) Lista de Ejercicios. Instituto Tecnológico Autónomo de Méico Departamento de Matemáticas Cálculo Diferencial e Integral I (MAT400) Lista de Ejercicios La derivada Cálculo Diferencial e Integral I La derivada La derivada Antes

Más detalles

Matemáticas Febrero 2013 Modelo A

Matemáticas Febrero 2013 Modelo A Matemáticas Febrero 0 Modelo A. Calcular el rango de 0 0 0. 0 a) b) c). Cuál es el cociente de dividir P(x) = x x + 9 entre Q(x) = x +? a) x x + x 6. b) x + x + x + 6. c) x x + 5x 0.. Diga cuál de las

Más detalles

Matemáticas para estudiantes de Química

Matemáticas para estudiantes de Química Matemáticas para estudiantes de Química PROYECTO EDITORIAL BIBLIOTECA DE QUÍMICAS Director: Carlos Seoane Prado Catedrático de Química Orgánica Universidad Complutense de Madrid Matemáticas para estudiantes

Más detalles

Concepto de función. Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B

Concepto de función. Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función

Más detalles

x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)

x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x) CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO 004 1. Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas

Más detalles

26 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

26 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU Unidad. Funciones.Continuidad TEMA FUNCIONES. CONTINUIDAD. 1. Definición de Continuidad. Tipos de discontinuidades 3. Continuidad de las funciones

Más detalles

FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales:

FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales: FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Bolzano Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Las imágenes

Más detalles

Ejercicios para el Examen departamental

Ejercicios para el Examen departamental Departamento de Física Y Matemáticas Ejercicios para el Examen departamental 1ª Parte M. en I.C. J. Cristóbal Cárdenas O. 15/08/2011 Ejercicios para el examen departamental de Cálculo 1 primera parte A

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]

Más detalles

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES

Más detalles

FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS.

FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS. FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS. FUNCIÓN. Es toda aplicación entre dos conjuntos A y B formados ambos por números. f A --------> B Al conjunto A se le llama campo de existencia de la función

Más detalles

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia

Más detalles

5 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones empleando la definición de

5 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones empleando la definición de Hallar el dominio de las siguientes funciones: x 3 a) x +ln(x ) b) ln x + 6 x + c) x x d) ln x x + e) cos x + ln(x 5π) + 8π x Graficar la función sen(x π ). Hallar para que valores de x es 3 Hallar las

Más detalles

PLAN DE ESTUDIOS DE MS

PLAN DE ESTUDIOS DE MS PLAN DE ESTUDIOS DE MS Temario para desarrollar a lo largo de las clases 11 y 12. CLASE 11: I. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL. a) Revisión de conceptos Estructura de espacio vectorial. Propiedades de los

Más detalles

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación

Más detalles

sobre un intervalo si para todo de se tiene que. Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en. Entonces,

sobre un intervalo si para todo de se tiene que. Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en. Entonces, Integral indefinida Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración. Integración por cambio de variable e integración por partes. Integración de funciones racionales e irracionales.

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto

Más detalles