03 Ejercicios de Selectividad Continuidad y derivabilidad de funciones. Ejercicios propuestos en 2009

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1 0 Ejercicios de Selectividad Continuidad y derivabilidad de unciones Ejercicios propuestos en [009-1-A-] a) [1 5] Halle las unciones derivadas de las unciones deinidas por las siguientes ln epresiones: ( ) ; g ; h e + b) [1 5] Determine el dominio y las asíntotas de la unción m 4 - [009-1-B-] a) [1 5] Sea la unción 1, si 0, 1, si > Estudie su continuidad y su derivabilidad b) [1 5] Se consideran las unciones: g ( 1 ), h + Halle sus unciones derivadas a) [1 5] Obtenga los intervalos de monotonía de la unción y los valores de en los que dicha unción alcanza sus etremos locales b) [0 75] Determine los intervalos de concavidad y conveidad de la unción c) [0 75] Sabiendo que la gráica de pasa por el punto (,5 ), calcule la ecuación de la recta - [009--A-, Sept] La unción derivada de una unción viene dada por ' 1+9 tangente a la gráica de en dicho punto 4- [009--B-, Sept] Sea la unción a + b + a) [1 5] Determine el valor de los parámetros a y b sabiendo que la unción () en 1 y que 1 tiene un máimo b) [1 5] Para a b 1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto de abscisa 0 5- [009--A-, Jun] Sea la unción: a) [] Analice la continuidad y la derivabilidad de la unción en su dominio b) [0 5] Determine la asíntota horizontal, si la tiene c) [0 5] Determine la asíntota vertical, si la tiene +, si < 0,, si [009--B-, Jun] Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la unción: C t t + 4t+ 5, 0 t 5 ( t años transcurridos desde el 000) () a) [1] En qué año se alcanza un máimo en el nivel de contaminación? b) [1] En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? c) [1] Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráica de la unción C t en t 8 Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento 7- [009-4-A-] Un almacenista de rutas ha estimado que el beneicio que le produce cada kilogramo ( kg ) de resas depende del precio de venta de acuerdo con la unción B 4 B el () +, siendo beneicio por kg y el precio de cada kg, ambos epresados en euros a) [1 5] Entre qué precios se producen beneicios para el almacenista? b) [1 5] Qué precio maimiza los beneicios? c) [0 5] Si tiene en el almacén kg de resas, cuál será el beneicio máimo que podrá obtener? IES Acci Departamento de Matemáticas Antonio Roldán 1

2 0 Ejercicios de Selectividad Continuidad y derivabilidad de unciones 8- [009-4-B-] Sea la unción: a) [] Estudie la continuidad y la derivabilidad de la unción b) [1] Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto de abscisa, si 1, 6+ 8, si > 1 9- [009-5-A-] Sea la unción 1 a) [1] Calcule los puntos de corte de la gráica con los ejes, su monotonía y etremos relativos, si los tuviese b) [1] Determine su curvatura y su punto de inleión c) [1] Halle los puntos de la gráica en los que la reta tangente tiene pendiente 1- [009-5-B-] Sea la unción real de variable real: a) [1] Represente gráicamente la unción b) [1] Estudie la continuidad de la unción c) [1] Estudie la derivabilidad de la unción + 1, si < 1, 1, si [009-6-A-] Sea la unción 1 1 a) [1] Halle la ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto ( 0,1) b) [1] Estudie la monotonía de c) [1] Halle las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y represente gráicamente la unción e, si 0, 1- [009-6-B-] Sea la unción : deinida mediante + 1, si > a) [1] Es continua en 0? Es continua en su dominio? b) [1] Es derivable en 0? Es derivable en su dominio? c) [1] Halle la ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto de abscisa 1 Ejercicios propuestos en [008-1-A-] Sea la unción deinida mediante a) [0 5] Determine los puntos de corte con los ejes b) [1] Estudie su curvatura c) [1] Determine sus asíntotas d) [0 5] Represente la unción 14- [008-1-B-] a) [1 5] La gráica de la derivada de una unción es la recta que pasa por los puntos ( 0, ) y ( 4,0 ) Estudie la monotonía de la unción b) [1 5] Calcule la derivada de las siguientes unciones: e g + 1 L( + 1 ); h [008--A-, Sept] a) [1 5] Halle la ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción en el punto de abscisa 1 b) [1 5] Halle los valores de a y b para que la unción b g a+ tenga un etremo relativo en el punto ( 1, ) IES Acci Departamento de Matemáticas Antonio Roldán

3 0 Ejercicios de Selectividad Continuidad y derivabilidad de unciones 16- [008--B-, Sept] Dada la unción 4 +, determine: a) [1 5] La monotonía y la curvatura de b) [0 5] Los puntos donde la unción alcanza sus etremos relativos c) [1] La ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto de abscisa [008--A-, Jun] Sea la unción deinida de la orma: a) [0 5] Halle el dominio de b) [1 5] Estudie la derivabilidad de en c) [1 5] Halle la ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto de abscisa 0, si <, 1 10, si + a+ b, si < 1, L, si 1 a) [1 5] Determine a y b sabiendo que es continua y tiene un mínimo en 1 b) [1 5] Para a 1 y b 1, estudie la derivabilidad de en 1 y en [008--B-, Jun] Sea la unción deinida mediante 19- [008-4-A-] El beneicio de una empresa, en miles de euros, viene dado por la unción B , donde representa el gasto en publicidad, en miles de euros a) [0 75] Calcule el gasto a partir del cual la empresa no obtiene beneicios b) [0 75] Calcule el valor de que produce máimo beneicio Cuánto es ese beneicio? c) [0 75] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento del beneicio de la empresa d) [0 75] Represente gráicamente la unción B - [008-4-B-] Calcule las derivadas de las siguientes unciones: 7 a)[0'75] + 1 e b) [0'75] g L ( 5 6 c)[0'75] h d)[0'75] i 1- [008-5-A-] Sea la unción 6 a) [1] Determine sus puntos de corte con los ejes b) [1] Calcule sus etremos relativos y su punto de inleión c) [1] Represente gráicamente la unción - [008-5-B-] Sea la unción a) [] Calcule a y, sabiendo que b + 4, si 1, a + b, si > 1 7 y que es continua en 1 ( + 1) b) [1] Determine la ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto de abscisa 1 e, si 0, + + 1, si > a) [1] Es continua en 0? Es continua en su dominio? b) [1] Es derivable en 0? Es derivable en su dominio? c) [1] Estudie la monotonía de - [008-6-A-] Sea la unción deinida de la orma ) IES Acci Departamento de Matemáticas Antonio Roldán

4 0 Ejercicios de Selectividad Continuidad y derivabilidad de unciones 4- [008-6-B-] a) [1 5] Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráica de de abscisa 1 b) [1 5] Sea la unción g a b presenta un punto de inleión en el punto (,5 ) 5- [007-1-A-] a) [1 5] Sea la unción en el punto + + Calcule a y b sabiendo que su gráica Ejercicios propuestos en a, si 0, Halle a y b para que la + b+ 1, si > unción sea continua y derivable b) [1 5] Calcule la primera derivada de las siguientes unciones: g e + L1 ( ), h [007-1-B-] a) [1 5] Determine dónde se alcanza el valor mínimo de la unción Calcule el valor de a para que el valor mínimo de la unción sea 5 1 b) [1 5] Calcule g ', siendo g e 7- [007--A-, Jun] Para la unción : determine: a) [1 5] Su monotonía y sus etremos relativos b) [1 5] Su curvatura y su punto de inleión 6+a R R deinida de la orma , 8- [007--B-, Jun] a) [] Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráica de a b en el punto ( 1, 5) sea la recta y + + ( + ) '1 1 b) [1] Para g e L, calcule g, si 1, 9- [007--A-, Sept] Sea la unción : deinida por + m+ 5, si > 1 a) [1] Calcule m para que la unción sea continua en 1 b) [1] Para ese valor de m, es derivable en 1? c) [1] Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráica de en 0 - [007--B-, Sept] a) [] Sea la unción deinida para todo número real por a + b Determine a y b sabiendo que su gráica pasa por el punto ( 1,1 ) y que en ese punto la pendiente de la recta tangente es b) [1] Si en la unción anterior 1 a y b 4, determine sus intervalos de monotonía y sus etremos 1- [007-4-A-] Se considera la unción: a) [1 5] Estudie su derivabilidad en 0 b) [1 5] Determine si eisten asíntotas y obtenga sus ecuaciones - [007-4-B-] Se considera la unción a) [] Determine los etremos relativos de ; estudie la monotonía y la curvatura b) [1] Represente gráicamente la unción, si 0, + 1 +, si > IES Acci Departamento de Matemáticas Antonio Roldán 4

5 0 Ejercicios de Selectividad Continuidad y derivabilidad de unciones - [007-5-A-] Se considera la unción deinida por: a) [1 5] Estudie la continuidad y la derivabilidad de b) [1] Represente la gráica de c) [0 5] Indique los etremos relativos de la unción 8+ 6, si + 8 6, si > 1, 1 4- [007-5-B-] Sea la unción: a) [] Calcule el valor de k para que la unción sea continua en 0 Para ese valor de k, es derivable en 0? b) [1] Para 0, calcule k lím y lím + k, si > 0, , si 5- [007-6-A-] El beneicio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la unción [adjunta], donde representa el gasto en publicidad, en miles de euros a) [0 75] Represente la unción , si 0 6, 5 15, si 6 < 1 b) [0 75] Calcule el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas c) [0 75] Para qué gastos en publicidad se producen beneicios nulos? d) [0 75] Calcule el gasto en publicidad que produce máimo beneicio Cuál es ese beneicio? 6- [007-6-B-] a) [1 5] La unción a b + + tiene un etremo relativo en y un punto de inleión en Calcule los coeicientes a y b y determine si el citado etremo es un máimo o un mínimo relativo b) [1 5] Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción g en el punto de abscisa Ejercicios propuestos en [006-1-A-1] Sean las unciones 4+ 6 y g a) [p] Determine, para cada una de ellas, los puntos de corte con los ejes, el vértice y la curvatura Represéntelas gráicamente h g ) b) [1p] Determine el valor de para el que se hace mínima la unción ( 8- [006-1-B-] Calcule las derivadas de las siguientes unciones: 1 a) [1p] ( 5 g L + ) b) [1p] c) [1p] h + e 9- [006--A-, Septiembre] a) [1 5p] La gráica de la unción derivada de una unción es la parábola de vértice (0, ) que corta al eje de abscisas en los puntos (, 0) y (, 0) A partir de dicha gráica, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la unción b) [1 5p] Calcule los etremos relativos de la unción g 4- [006--B-, Septiembre] Se considera la unción: a) [1p] Halle la ecuación de la recta tangente a la gráica de esa unción en el punto de abscisa 1 b) [1p] Estudie su monotonía c) [1p] Calcule sus asíntotas IES Acci Departamento de Matemáticas Antonio Roldán 5

6 0 Ejercicios de Selectividad Continuidad y derivabilidad de unciones 41- [006--A-] a) [1 5p] Halle los valores de a y b para que la gráica de a + 5+ b pase por el punto ( 1, ) y tenga el punto de inleión en 1 b) [1 5p] Halle los intervalos de monotonía y los etremos relativos de la unción deinida por g [006--B-] Sea la unción deinida por:, si 0, 1 +, si > a) [p] Estudie la continuidad y la derivabilidad de b) [1p] Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción en el punto de abscisa 1 4- [006-4-A-] Consideremos la unción: 1, si 1, a) [1p] Estudie su continuidad y su derivabilidad b) [1p] Determine la monotonía de 1, si > 1 c) [1p] Represente gráicamente esta unción en el + 1 a b + 4 Calcule los valores 44- [006-4-B-] a) [1 5p] Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráica de g punto de abscisa 1 de los parámetros y para que b) [1 5p] Se considera la unción 1,10 a b tenga un etremo relativo en el punto 45- [006--A-] El beneicio esperado de una empresa, en millones de euros, en los próimos ocho años viene dado por la unción B deinida por: donde t indica el tiempo transcurrido en años t + 7, t si 0 t < 5, B() t a) [p] Represente gráicamente la unción t y eplique cómo 10, si 5 t 8 es la evolución del beneicio esperado durante esos 8 años b) [1p] Calcule cuándo el beneicio esperado es de 11 5 millones de euros 46- [006-5-B-] Sea la unción 1 a) [1 5p] Determine la monotonía y los etremos relativos de b) [0 75p] Calcule su punto de inleión c) [0 75p] Teniendo en cuenta los apartados anteriores, represéntela 47- [006-6-A-] a) [p] Dada la unción a 1 + b, calcule a y b para que la gráica de esta ) unción pase por el punto de coordenadas ( 1, y tenga un etremo relativo en el punto de abscisa g g b) [1p] Calcule '' siendo [006-6-B-] a) [1 5p] De una unción se sabe que la gráica de su unción derivada, ', es la recta de ecuación y + 4 Estudie razonadamente la monotonía de la unción, a la vista de la gráica 4 4 de la derivada b) [1 5p] Dada la unción g, calcule la ecuación de la recta tangente a + 4 su gráica en el punto de abscisa 0 IES Acci Departamento de Matemáticas Antonio Roldán 6

7 0 Ejercicios de Selectividad Continuidad y derivabilidad de unciones 49- [005-1-A-] Sea la unción Ejercicios propuestos en a) [1p] Obtenga la ecuación de la recta tangente a su gráica en el punto de abscisa 1 b) [0 5p] Halle su punto de inleión c) [1 5p] Dibuje la gráica de la unción, estudiando previamente la monotonía y los etremos relativos 5- [005-1-B-] a) [1 5p] Halle la ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción deinida de la orma 1+ L 1 en el punto de abscisa 1 g g b) [1p] Deduzca razonadamente las asíntotas de la unción deinida de la orma c) [0 5p] Determine la posición de la gráica de la unción g respecto de sus asíntotas 51- [005--A-1, Junio] Sea la unción:, si < 1, c) [1 5p] Estudie la continuidad y la derivabilidad de d) [0 5p] Calcule sus asíntotas, si 1 e) [1p] Determine la ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto de abscisa 5- [005--B-, Junio] El beneicio, en millones de euros, de una empresa en unción del tiempo t, en años, viene dado por t t + 1t 1, 4 t 7 () a) [1 5p] Represente la gráica de la unción b) [1 5p] Para qué valor de t alcanza la empresa su beneicio máimo y a cuánto asciende? Para qué valor de t alcanza su beneicio mínimo y cuál es éste? 5- [005--A-] Sea la unción: 1, si < 0, 1, si > a) [1 5p] Dibuje la gráica de y estudie su monotonía b) [0 75p] Calcule el punto de la curva en el que la pendiente de la recta tangente es 1 c) [0 75p] Estudie la curvatura de la unción 54- [005--B-] [p] Sea la unción deinida por a + < 1, si 1, + b+, si 1 Determine los valores que deben tener a y b para que sea derivable 55- [005-4-A-] a) [1 5p] Determine a y b en la ecuación de la parábola y a + b + 5 sabiendo que 1 ésta tiene un máimo en el punto (,9) b) [1 5p] Calcule las asíntotas de la unción + g '0 56- [005-4-B-] [p] Halle ', '4 y h para las unciones deinidas de la siguiente orma: 16 ( ) ; g ( ) ( 9 ) ; h ( ) ( + + L + 1 ) IES Acci Departamento de Matemáticas Antonio Roldán 7

8 0 Ejercicios de Selectividad Continuidad y derivabilidad de unciones 57- [005-5-A-, Septiembre] El valor, en miles de euros, de las eistencias de una empresa en unción del tiempo t, en años, viene dado por () t 4t + 60t 15, 1 t 8 a) [1p] Cuál será el valor de las eistencias para t? Y para t 4? b) [1p] Cuál es el valor máimo de las eistencias? En qué instante se alcanza? c) [1p] En qué instante el valor de las eistencias es de 185 miles de euros? 58- [005-5-B-, Septiembre] Sea la unción:, si 4, a) [1 5p] Estudie la continuidad y la derivabilidad de esta unción b) [1 5p] Represéntela gráicamente e indique, a la vista de la 8, si > 4 gráica, su monotonía y sus etremos 59- [005-6-A-] Sea la unción: +, si 0, + a, si > 6- [005-6-B-] Sea la unción: a) [1 5p] Para a, represente gráicamente la unción, e indique sus etremos relativos b) [1 5p] Determine el valor de a para que la unción sea derivable a) [p] Determine su dominio, puntos de corte con los ejes, las asíntotas y la monotonía b) [1p] Represente gráicamente esta unción IES Acci Departamento de Matemáticas Antonio Roldán 8

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