IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

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1 Ejercicios de continuidad y derivabilidad. Selectividad de 008, 009, 00 y 0 Anális 008 Ejercicio.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f() = + a + b y g() = c e -(+). Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto (-; ) y tienen en ese punto la misma recta tangente. (a) [ puntos] Calcula los valores de a, b y c. (b) [0'5 puntos] Halla la ecuación de dicha recta tangente. a = 0 ; b = ; c =. b) y = - Ejercicio.- Sea g : (0;+ ) R la función dada por g() = ln (ln denota logaritmo neperiano). (a) [0'75 puntos] Justifica que la recta de ecuación y es la recta tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa = e. e Ejercicio.- Condera la función f : R R definida por a f ( ) b (a) [ 5 puntos] Halla a y b sabiendo que f es derivable en R. (b) ( punto) Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa =. (c) a = ; b = -7 b) Tangente y = ; normal y Ejercicio.- (,5 puntos) De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (,), encuentra aquella que forma con las partes potivas d los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo. Solución: y = - +. Área = u Ejercicio 5.- (,5 puntos) Sea f la función definida, para 0, por f ( ) e. Determina las asíntotas de la gráfica de f. Solución: Vertical = 0 para 0 +. Oblicua y = + para - y + Ejercicio 6.- (,5 puntos) De entre los rectángulos de perímetro 8 cm, determina las dimenones del que tiene diagonal de menor longitud. Solución: Se trata de un cuadrado de lado cm Ejercicio 7.- (,5 puntos) Dada la función f : R R definida por la gráfica de f en su punto de infleión. Solución: y. Punto de infleión, e e e f ( ), determina la ecuación de la recta tangente a a b 0 Ejercicio 8. Sea la función f : [0,] R definida por f ( ) c (a) ( puntos) Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [0,], derivable en el intervalo abierto (0,) y que f(0) = f(). (b) (0,5 puntos) En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función? a = - ; b = 5 ; c = b) Ejercicio 9.- Sea la función f : [0,π] R definida por f ( ) e ( sen cos ). (a) (,5 puntos) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. (b) (,5 puntos) Calcula los puntos de infleión de f. (c) Creciente en 0,,. Decreciente en, b), e y 5, e Ejercicio 0.- Sea la función f :R R la función definida por f ( ) 6 (a) (0,75 puntos) Esboza la gráfica de f. (b) ( punto) Estudia la derivabilidad de f. Solución: a) b) Continua en todo R y derivable en R - {} e

2 Ejercicio.- Sea f : R R la función definida por f ( ) ( )e. (a) (,5 puntos) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. (b) ( punto) Calcula los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Creciente en, y decreciente en,, b) Mínimo en, 9e y máimo en (,e) Ejercicio.- (,5 puntos) Dada la función f definida para 0, por f ( ) e e determina las asíntotas de su gráfica. Solución: Vertical = 0 por la derecha y por la izquierda. Horizontal y = - para - e y = para + Ejercicio.- Sea g : R R la función definida por g( ). (a) (0,5 puntos) Esboza la gráfica de g. (b) (0,75 puntos) Determina la ecuación de la recta tangente de g en el punto de abscisa =. Solución: a) b) y = 0 c) u Anális 009 Ejercicio (,5 puntos) Sea f : R R la función definida por f() = a +b + c + d. Calcula los valores de a, b, c y d. sabiendo que f verifica: El punto (0, ) es un punto de infleión de la gráfica de f. F tiene un mínimo local en el punto de abscisa =. La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene pendiente. Solución: a ; b = 0 ; c ; d = 9 Ejercicio (,5 puntos) Se divide un segmento de longitud L = 0 cm en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima. 60 Solución: Cuadrado cm 7 80 ; rectángulo cm 7 Ejercicio La recta tangente a la gráfica de la función f : R R, definida por f() = m +n, en el punto (, -6), es paralela a la recta de ecuación y = -. (,5 puntos Determina las constantes m y n. Halla la ecuación de dicha tangente. m = ; n = -5.Ecuación de la tangente y = Ejercicio (,5 puntos) Se condera la función f :[, + ] R definida por f ( ) Determina la asíntota de la gráfica de f. Solución: Asíntota oblicua: y Ejercicio 5 (,5 puntos De entre todos los rectángulos cuya área mide 6 cm, determina las dimenones del que tiene diagonal de menor longitud. Solución: cm Ejercicio 6 (,5 puntos) Calcula el guiente limite (ln denota logaritmo neperiano), Solución: lim ln( ) Ejercicio 7 Sea f : R R la función definida por f ( ). (a) (0,5 puntos) Esboza la gráfica de f.

3 (b) 0,75 puntos) Comprueba que la recta de ecuación y = es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisas = 0. b) En efecto Ejercicio 8 Sea f : R R la función definida por f ( ) (a) (0,75 puntos) Estudia su continuidad y derivabilidad (b) (,5 puntos) Determina sus asíntotas y sus etremos relativos. (c) (0,5 puntos) Esboza la gráfica de f. 0 0 Continua en todo R, derivable en R - {0} b) Verticales no tiene al ser continua en todo R; horizontal y = 0 para - ; mínimo relativo en el punto, c) Ejercicio 9 Condera la curva de ecuación y (0,5 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisas = - Solución: y = Ejercicio 0 Sea f : R R la función definida por f ( ).(a) ( punto) Estudia la continuidad y derivabilidad de f. (b) (,5 puntos) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. Calcula sus etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). Continua en todo R, derivable en R - {} b) Creciente en (0. ) (, + ); decreciente en (-, 0) (, ). Mínimo relativo en (0, 0) y (, 0), máimo relativo en (, ). Ejercicio Sea f :[0, + ] R la función definida por f ( ) ln( ), endo ln la función logaritmo neperiano. ( punto) Comprueba que la recta de ecuación y es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = e e Solución: en efecto ln Ejercicio Sea f: (0, + ) R la función dada por f ( ) a is (a) (,5 puntos) Sabiendo que f es continua, calcula a (ln denota el logaritmo neperiano) (b) (,5 puntos) Estudia la eistencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que eista, determina su ecuación. a = b) Antota horizontal y = 0 para + Ejercicio (,5 puntos) Se sabe que la función f : R R definida como Es derivable. Determina los valores de a y b. Solución: a = ; b = b f ( ) a 5 a Ejercicio (,5 puntos) Se sabe que la función f : R R definida por f ( ) a b c d Tiene etremos relativos en (0, 0) y en (, ). Calcula a, b, c y d. Solución: a ; b ; c 0 ; d 0

4 Ejercicio 5 Sea f : R R la función definida por f ( ) e (a) (0,75 puntos) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, así como los etremos relativos o locales de f. (b) (0,5 puntos) Determina los intervalos de concavidad y de conveidad de f. (c) (0,75 puntos) Determina las asíntotas de la gráfica de f. (d) (0,5 puntos) Esboza la gráfica de f. Decreciente en (-, 0) y creciente en (0, + ) Oblicuas y = para + d) b) Convea en (--, + ) c) No tiene verticales ni horizontales. Ejercicio 6 Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f ( ), g ( ) ( punto) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g. Esboza dichas gráficas. Solución: (-, ) y (, ) Ejercicio 7 (,5 puntos) De tiene el de área máima Solución: 0 cm. Ejercicio 8 Sea f : R R la función definida por f ( ) todos los triángulos cuya base y altura suman 0 cm qué base 0 0 (a) (0,75 puntos) Estudia su continuidad y derivabilidad (b) (,5 puntos) Determina sus asíntotas y sus etremos relativos. (c) (0,5 puntos) Esboza la gráfica de f. Es continua en todo R. b) Horizontal y = cuando -, Mínimo relativo -/ en = / c) Ejercicio 9 (00) De una función f : [0; ] R se sabe que f() = y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. y (a) [0'5 puntos] Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. (b) [ punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. En qué punto alcanza la función f su máimo absoluto? (c) [ punto] Estudia la concavidad y la conveidad de f. y = +. b) En (0,) la función es creciente. El máimo absoluto lo alcanza en =

5 Anális 00 Ejercicio. [ 5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máima. 5 Solución: Los catetos miden metros Ejercicio. Sea f : (0,+ ) R la función definida por f() = ln( + ), donde ln denota el logaritmo neperiano. (a) [ 5 puntos] Determina, eisten, los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación y + = 0. (b) [ punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa =. (, ln(8)) b) y = ln(8) a b Ejercicio. (Junio) Sea f la función definida como f ( ) par a. a (a) [ 5 puntos] Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (, ) y tenga una asíntota oblicua con pendiente. (b) [ punto] Para el caso a =, b =, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. a = ; b = -0 b) y = 9 - Ejercicio. (Junio) [ 5 puntos] Calcula sen e e lim 0 Solución: 0 Ejercicio 5. (Junio) Condera la función f dada por f() = 5 y la función g definida como g( ) para 0. (a) [ punto] Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g indicando sus puntos de corte. Ejercicio 6. [ 5puntos] Sea la función f : R R dada por e a f ( ) b c 0 0 Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa = tiene pendiente. Solución: a = 0, b = y c = 0. Ejercicio7. [ 5 puntos] Sea f : R R la función definida como f ( ). Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = 5 y en el punto de abscisa =. Solución: En = 5: tangente 7 7 y ; normal y. En = : tangente y = ; normal = 7 7 Ejercicio 8. Condera la función f : R R definida por f() =. (a) [ punto] Esboza su gráfica. Ejercicio 9. [ 5 puntos] La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máimo? (Recuerda que el volumen del cono es: V. r. h ). Solución: 0 6 cm y 0 cm

6 Ejercicio 0. Condera las funciones f, g : R R definidas por f() = y g() =. (a) [ punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados. Ejercicio Sea f la función definida como f ( ) para ±. (a) [ punto] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) [0 75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (c) [0 75 puntos] Esboza la gráfica de f. Vertical: = - y =. Poción: f ( ) f ( ) ; f ( ) f ( ) gráfica de f por debajo de la antota Oblicua: y =, para - y +. Poción gráfica de f por encima de la antota b),, f estrictamente creciente ;,,0 0,, f estrictamente decreciente c) Ejercicio. Dada la función f : (0,+ ) R definida por f() = ln, donde ln es la función logaritmo neperiano, se pide: (a) [0 75 puntos] Comprueba que la recta de ecuación y = e + + e es la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = e. Recta normal y = e + + e Ejercicio. (Septiembre) [ 5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 8 cm de teto. Los márgenes superior e inferior han de tener cm cada uno y los laterales cm. Calcula las dimenones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. Solución: 5 cm 0 cm. Ejercicio. (Septiembre) Condera la función f : [0, ] R definida por: a b 0 f ( ) c (a) [ 75 puntos] Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(), determina los valores de a, b y c. (b) [0 75 puntos] Para a =, b = y c = halla los etremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). a = -; b = ; c = b) Mínimo absoluto 7/, para = /. Máimo absoluto para = 0 y = Ejercicio5. (Septiembre) Condera la función f : R R dada por f() = +. (a) [0 75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. y = + Ejercicio 6. [ 5 puntos] Dada la función f : R R definida como f() = a sen() + b + c + d, determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto (0, ) y que la segunda derivada de f es f () = sen() 0. Solución: a = -, b = -5, c = y d =.

7 Ejercicio 6. [ 5 puntos] Condera la función f : R R definida por e 0 f ( ) - 0 Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de f. Solución: La función es continua en R - {}. La función es derivable en R - {-, 0}. f e '( ) Ejercicio 7. Sean f, g : R R las funciones definidas por f() = + y g() = + (a) [ punto] Esboza las gráficas de f y g, y halla su punto de corte. Solución: a) Punto de corte (, ) Anális 0 Ejercicio. ['5 puntos] Una ventana normanda conste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 0 m, halla las dimenones del marco de la de área máima. Solución: Los lados del rectángulo son iguales y miden Ejercicio. Sea R la función definida por donde ln denota la función logaritmo neperiano. (a) ['5 puntos] Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo. (b) ['5 puntos] Para a = 0 y b = halla los etremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). a = b = b) Mínimo (,) máimo (,-ln) Ejercicio. ['5 puntos] Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área máima. Solución: Base unidades, altura unidades. Ejercicio. Condera las funciones f; g : R R definidas por f() = 6 y g() = - (a) [0'75 puntos] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte. (0.0) (,8) y g() f() Ejercicio 5. Sea f la función definida por f() = (a) ['5 puntos] Estudia las asíntotas de la gráfica de la función. (b) ['5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

8 Asíntota vertical: = 0. Asíntota oblicua: y =. b) f() es creciente en, máimo relativo (-,), mínimo relativo (,) Ejercicio 6. Sean f; g : R R las funciones definidas por f() = y (a) [0'75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = -. (b) ['75 puntos] Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta y = +5. y = +5 b) y y=+5 g() f() - - -, decreciente en Ejercicio 7. ['5 puntos] Dada la función f : R R definida por, determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de infleión en (,0), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación y = - +. Solución: a =, b = -9, c = 6 Ejercicio 8. Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por: y f()=- (a) [ punto] Esboza las gráficas de f()=+ f y g. Determina sus puntos de corte. f()=^ Ejercicio 9. ['5 puntos] En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola. Determina las dimenones del rectángulo para que su área sea máima. Solución: = u. y= u Ejercicio 0. ['5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 00 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 0 euros el metro. Cuáles son las dimenones del prado de área máima que podemos cercar con 000 euros? Solución: El lado que está junto a la carretera mide 50/ metros y el otro 50 metros. Ejercicio. ['5 puntos] En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad,, es de 8 a 50 años, los ingresos vienen dados por la fórmula + 70, mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están determinados por la epreón, Calcula cuál es el máimo de los ingresos y a qué edad se alcanza. Solución: El máimo ingreso es 5 y se alcanza a los 5 años Ejercicio. Dada la función f : R R definida por f() = (a) [0'5 puntos] Prueba que las rectas y = - + e y = - son tangentes a su gráfica. y = -+ es tangente en el punto (,0). Y = - es tangente en el punto (0,). Ejercicio. ['5 puntos] Un alambre de 00 m de longitud se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima. Solución: El trozo para construir el cuadrado mide 800/7 m. El trozo para construir el rectángulo mide 900/7 m. Ejercicio. Sea f : R R la función definida por f() = (a) [ punto] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa =. (b) ['5 puntos] Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta + y - = 0.

9 n(+) o b) (-,) Ejercicio 5. ['5 puntos] Se desea construir un depóto cilíndrico cerrado de área total igual a 5 m. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máimo. Solución: m. Altura = m. Ejercicio6. Sea f : (-;+ ) R la función definida por f() = ln( + ), donde ln denota la función logaritmo neperiano. (a) [0'75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje OY y la recta y =. Calcula los puntos de corte de las gráficas. Ejercicio 7. ['5 puntos] Sea f : [;+ ) R la función definida por f() = que se encuentra a menor distancia del punto A(; 0). Cuál es esa distancia?. Determina el punto P de la gráfica de f Solución: Distancia = Ejercicio 8. (Junio 0) Sea la función definida por a) [ punto] Calcula las asíntotas de f. b) [ punto] Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan) y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. c) [0,5 puntos] Determina, eisten, los puntos de infleión de f. Asíntota horizontal y = 0 cuando b) mínimo. Es creciente en (, + ) y decreciente en (-, ). c) (0, -) es el punto de infleión. Ejercicio 9. (Junio 0) Sabiendo que Solución: a = y = - Ejercicio 0. (Septiembre 0) Sea la función continua es finito, calcula el valor de a y el de dicho límite. definida por: a) [,75 puntos] Calcula el valor de k. b) [0,75 puntos] Halla la ecuación ce la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa =. k =. b) Ejercicio. (Septiembre 0) Sea la función f definida por a) [0,75 puntos] Estudia las asíntotas de la gráfica de f. b) [,5 puntos] Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan) y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. Asíntota vertical = ; asíntota horizontal y = 0 (cuando + ) b) (0, ) es el mínimo relativo. La función f es decreciente en (-, 0) y creciente en Ejercicio. (Septiembre 0) Sea la función definida por a) [0,75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =.

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