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1 .- CONTINUIDAD TEMA 6 Continuidd, Cálculo Diferencil. FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continu en si: Lim f( ) f( ) Pr que un función se continu en un punto se h de cumplir: º f ( ) D º Lim f ( ) º Lim f ( ) f ( ) f ( los lim ites lterles tienen que ser igules, pero no ) Discontinuidd evitble Discontinuidd evitble punto desplzdo D f Discontinuidd de slto infinito lim f ( ) Discontinuidd de slto finito No lim f ( ). - FUNCIÓN CONTINUA EN UN INTERVALO Un función es continu en un intervlo bierto, si lo es en todos los puntos de ese intervlo Un función es continu en el intervlo [,b], si lo es en (,b), en por l derech y en b por l izquierd Culquier función (polinómics, trigonométrics, logrítmics, irrcionles ) es continu en su dominio; por tnto, pr estudir l continuidd de un función es suficiente con clculr su dominio. El estudio de l continuidd de un función trozos requiere: o El estudio de l continuidd de cd función en su recinto de definición o El estudio de l continuidd en los puntos de emplme de los intervlos de definición EJERCICIOS:.- Estudi l continuidd de l función: Si en l definición de continuidd se sustituye por + tendremos l definición de continuidd por l dech. Igulmente si se cmbi por - drá lugr l definición de continuidd por l izqui. pág. 80 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

2 y.- Estudi l continuidd de ests funciones: e si si 0 )f () b) f () ln si si 0.- Clcul el vlor que debe tener k pr que l siguiente función se continu: si f () k si 4.- Clcul el vlor de k pr que cd un de ls siguientes funciones se continu: 5.- Estudi l continuidd de cd un de ls siguientes funciones pr los distintos vlores del prámetro : Selectividd nº 7. -TEOREMA DE LOS CEROS DE BOLZANO HIPOTESIS TESIS º. fcont en, b l menosc (, b) f( c) 0 º. signo f( ) signof ( b) f(b) f() c b Si un función es continu en [,b] y tom vlores de signo contrrio en los etremos del intervlo, l función se nul l menos en un punto del intervlo (,b) EJERCICIOS:.- Probr que l ecución +40 = 0 tiene lgun solución rel. Aproimr su vlor hst ls décims.- Observmos que f está definid en [0, ] y que verific f (0) = < 0 y f () = e - > 0, pero no eiste ningún c (0, ) tl que f (c) = 0. Contrdice el teorem de Bolzno? Rzon l respuest. pág. 8 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

3 f() e 4 4 si si 0 TEMA 6 Continuidd, Cálculo Diferencil.- Demuestr que l ecución = 0 tiene, l menos, un solución rel..4 -TEOREMA DE LOS EXTREMOS ABSOLUTOS DE WEIERSTRASS f(b) f() Si un función es continu en [,b] lcnz l menos un vez el máimo y el mínimo bsoluto en dicho intervlo Si se trt de un función linel lcnz el m. min. en los etremos del intervlo. c d b HIPÓTESIS TESIS EJERCICIOS:.- Justific cuáles de ls siguientes funciones tienen máimo y mínimo bsoluto en el intervlo correspondiente: ) en [, ] b) en [, 4] b) /( ) en [, 5] d) /( ) en [0, ] c) /( + ) en [ 5, 0] pág. 8 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

4 EJERCICIO TEMA 6 Continuidd, Cálculo Diferencil.-Selectividd nº.- Clculr ls siguientes derivds y simplific el resultdo ) y ( ) 4 m) ye tg b) y n) y sen 4 o) y rcsen(ln) c) y ln ( 4) p) y rctg cos d) y ln cos q) y ln(cos 5 ) e) y ln( ) r) y lnrctgln f) y ln s) ysen g) y ln( ) h) y rcsen( ) i) y rctg j) y ln e e k) y t) y u) y rctg v) y rcsen ) y sen l) y sen SOLUCIONES ) y = 8 ( -) m) y = b) y = n) y = c) y = o) y = d) y = p) y = e) y = q) y = f) y = ln + r) g) y = s) Hcerlos ntes de límites pág. 8 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

5 h) y = t) i) y = ) u) j) y = /(e - ) k) v) l) y = ) y =sen(/)-cos(/) pág. 84 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

6 TABLA DE FUNCIONES DERIVADAS pág. 85 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

7 .-DERIVABILIDAD. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO L derivd de un función f() en el punto = es un número que se represent por f ' (), y que se define como: f Lim f ( h ) f ( ) Lim f ( ) '( ) f ( ) h0 h Cundo eiste es l pendiente de l rect tngente l gráfic en el punto Ejercicios: Clcul, plicndo l definición, l derivd de ls siguientes funciones en los puntos que se indicn: ) f()= en = - b) f()= en 0 =0 c) f()= en 0 = Selectividd: Resolución de Problems nº, 6, 7,8,0,. DERIVADAS LATERALES Como l derivd es un límite, se dice que f es derivble en, cundo eiste ese límite por l izquierd, por l derech, y mbos son igules (no infinitos). Correspondiéndose con el concepto de límites lterles, están ls derivds lterles, por l izquierd y por l derech. Y, de l mism mner, precen los conceptos de semitngentes en los puntos en los que ls derivds lterles eisten (un o mbs). En l gráfic de l figur eisten ls derivds lterles en, pero no coinciden ls semitngentes lterles en =, por tnto, diremos que l función no es derivble en =. Esto sucederá siempre en los puntos ngulosos de ls funciones.. FUNCIÓN DERIVADA Diremos que f es derivble en (,b) si lo es 0 (,b) Se llm función derivd f ' de l función f, en (,b)dom f, un función que hce corresponder cd punto 0 (,b) el número rel f ' ( 0 ).4 DERIVACIÓN Y CONTINUIDAD Si un función f es derivble en un punto, entonces es continu es dicho punto De est firmción podemos etrer ls siguientes consecuencis: Definid como posición límite de ls rects secntes pág. 86 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

8 ) Si un función no es continu en =, entonces no es derivble en dicho punto. ) Si f() es continu en = puede ser derivble en = o no derivble en = ) Si f() es no derivble en = puede ser continu en = o no continu..5. ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD Distinguimos entre funciones simples y trozos. SIMPLES (dds por un sol epresión): polinómics, rcionles logrítmics, eponenciles, seno, coseno Tods ells son derivbles en su dominio, luego el estudio de l derivbilidd qued reducido l cálculo del dominio. En l función irrcionl y es distinto, pues Dom= [0,+ ) y es derivble en (0, + ) Ante l dud siempre se puede derivr y estudir el dominio de l función derivd. A TROZOS. Se procede del siguiente modo:.- Se estudi l continuidd de cd función, por seprdo, en su recinto de definición.- Se estudi l continuidd en los puntos de emplme (si en lguno de ellos no es continu, tmpoco será derivble. Si es continu hy que seguir con el estudio.- Se hll l función derivd sin poner el signo igul en los intervlos de definición 4.- Se estudin ls derivds lterles en los puntos de emplme. EJERCICIOS.- Estudi l derivbilidd de l función f. Dibuj su gráfic y l de f 4 8 si y 4 si 4 8 si.- ) Comprueb que l siguiente función es continu y derivble y hll f ' (0), f ' () y f ' (): b) Cuál es su función derivd? c) En qué punto se cumple f ' () = 5?.- Comprueb que f () es continu pero no derivble en = : 4.- Estudi l continuidd y derivbilidd de est función: 5.- Est es l gráfic de un función y = f (). Clcul, observándol: f ' ( ), f ' () y f ' () En qué puntos no es derivble? 6.- Comprueb que l función y = no es derivble en = pág. 87 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

9 7.- Cuántos puntos hy en est función que no tengn derivd? Y= Consider l función ) Clcul m y n pr que f se derivble en todo R. b) En qué puntos es f ' () = 0? 9.- Clcul y b pr que l siguiente función se derivble en todo R: 0.- Se l función f = ) Hll f' (). b) Hll f'' (). c) Represent f' y f''..- Estudi l derivbilidd de l función: f()= y clcul f ()..- ) Represent l función siguiente: f () =. Observndo l gráfic, di en qué puntos no es derivble. b) Represent f' ()..- Observ ls gráfics de ls siguientes funciones e indic en qué puntos no son derivbles. Algun de ells es derivble en todo R? 4.- Hll y b pr que l función f () se continu: Pr los vlores de y b obtenidos, estudi l derivbilidd de f. 5.- Determin, si es posible, el vlor del prámetro pr que l función f se derivble en todo su dominio de definición: 6.- Estudi l continuidd y derivbilidd de ls siguientes funciones: 7.- Hll l función derivd de y pág. 88 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

10 8.- Demuestr, utilizndo l definición de derivd, que l función: y no es derivble en = Selectividd nº 6, 9.6. TEOREMA DE ROLLE Si un función es continu en [,b], derivble en (,b),y f()=f(b) eiste l menos un c perteneciente l intervlo (,b) en el que f ' (c)=0 HIPOTESIS TESIS º.- f continu en [,b] º.- f derivble en (,b) l menosunc, b / f '( c) 0 º.- f() = f(b) f()=f(b) b EJERCICIOS.- Es plicble el teorem de Rolle ls funciones siguientes en los intervlos que se indicn?. En cso firmtivo clculr el vlor/es de "c". f( ) ( ) en 0,. f( ) sen en,. f( ) en, 0 y en 0,.- Se f () = /. Prueb que f () = f ( ) = 0, pero que f ' () no es nunc cero en el intervlo [, ]. Eplic por qué este resultdo contrdice prentemente el teorem de Rolle..- Clcul, b y c pr que l función: cumpl ls hipótesis del teorem de Rolle en el intervlo [0, 4]. En qué punto se cumple l tesis? 4.-Enunci el teorem de Rolle. Es posible segurr, utilizndo dicho teorem, que l función f () = sen ( ) + es tl que su derivd se nul en lgún punto del intervlo [, ]? Justific l respuest. pág. 89 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

11 5.- En cd uno de los ejemplos que se dn continución, es f () = f (b) y, sin embrgo, no hy ningún número z (, b) pr el que se f ' (z) = 0. Eplic, en cd cso, por qué el ejemplo no v en contr del teorem de Rolle. ) f()= b) 6.- Clcul b pr que f () = 4 + cumpl ls hipótesis del teorem de Rolle en el intervlo [0, b]. Dónde cumple l tesis? 7.- Si l derivd de un función f es positiv pr todos los vlores de l vrible, puede hber dos números distintos, y b, tles que f () = f (b)? Rzónlo..7 TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE LAGRANGE. TEOREMA DE LOS INCREMENTOS FINITOS Se f un función continu y definid en [,b] y derivble en (,b). Eiste, l menos, un c(,b) tl que: f(b)-f()=f ' (c)(b-) HIPOTESIS TESIS ª. f continuen, b ª. f derivbleen, b f b ( l menos) c, b / b ( ) f( ) f '( c) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA t A c b- rect secnte que ps por los etremos del intervlo. EJERCICIOS. B b f(b)-f() D Pendiente de l rect secnte AB f( b) f( ) b Pend. de l rect tngente t f ' (c) Como f( b) f( ) f '( c) b Ambs rects son prlels El teorem epres que eiste, l menos, un punto c(,b), en el que l rect tngente es prlel l.- Aplic el teorem del vlor medio, si es posible, l función: f () = + en [, ] Clcul el vlor correspondiente c..- Demuestr que f () cumple ls hipótesis del teorem del vlor medio en el intervlo [, 6]. En qué punto cumple l tesis?.- Se tiene l función f () Prueb que f stisfce l hipótesis del teorem del vlor medio en [, 0] y clcul el o los puntos en los que se cumple el teorem. pág. 90 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

12 4.- Clcul y b pr que: cumpl ls hipótesis del teorem del vlor medio en el intervlo [, 6]. Dónde cumple l tesis? Selectividd nº 0,, 8.8 NUEVAS TÉCNICAS DE DERIVACIÓN.8. Derivción Implícit Un función implícit es quell en l que es difícil o imposible despejr l y. Pr obtener y procederemos de l siguiente mner: ) (Primer miembro) = (Segundo miembro) 4 ) Despejmos y en l iguldd nterior. El vlor de y se obtiene en función de e y EJERCICIOS:.- Clcul l derivd de ests funciones implícits: ) +y = 9 b) +y 4 6y+ 9 =0 c) d) e) +y +y = 0 f).- Usndo l derivción implícit, hllr l ecución de l rect tngente l circunferenci: + y - + y - 7 = 0, en el punto de bscis y ordend positiv..- Comprueb que sen ( y) y + = 6 de l rect tngente en ese punto. ps por el punto (, 4 ) y hll l ecución.8. Derivción Logrítmic. Se utiliz en ls funciones eponencil-potencil y= [f()] g(), unque en ocsiones, y en otro tipo de funciones tomndo logritmos y provechndo sus propieddes, se simplific el cálculo de l derivd de un función. Consiste en: ) Aplicr logrítmos mbos ldos de l iguldd (Ln y =Ln [f()] g() ) 4 ATENCIÓN, l derivd de es, pero l derivd de y es y pág. 9 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

13 ) Utilizr tods ls propieddes de logrítmos que se pued Ln y =g() Ln (f()) ) Derivndo de form implícit l función obtenid, se obtiene: f ( ) y g( ) ln f ( ) g( ) y f ( ) 4) Sustituir el vlor de y por [f()] g() EJERCICIOS.- Clcul l derivd de cd un de ls siguientes funciones: f () = (sen ) g () = sen.- Aplic l derivción logrítmic pr derivr: ) y= b) y= + c) y= d) y=(ln ) + e ) f) y= tg.- Hll l ecución de l rect tngente ls siguientes curvs en los puntos que se indicn: en = /6 +y - 8y+5=0 en = 4.- Hll un punto de l gráfic y = en el cul l rect tngente se prlel y = Hll un rect que se tngente l curv: y = + y que forme un ángulo de 45 con el eje de bsciss. Hy lgún punto de l curv en el que l rect tngente se horizontl? 6.- Escribe ls ecuciones de ls tngentes en los puntos que se indicn:, en =0 y en = 7.- Dd l prábol: y =, se trz l cuerd que une los puntos de l prábol de bsciss = y =. Hll l ecución de l rect tngente l prábol que es prlel es cuerd. 8.- Hll los puntos de l gráfic de y= + en los que l rect tngente form un ángulo de π/4 rdines con el eje de bsciss. 9.- Hll los puntos de l gráfic de l función f()= -5+6, tles que sus rects tngentes se cortn en (, ). pág Hll los puntos de l gráfic de l función f()=, de modo que su rect tngente pse por (0,) ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

14 Selectividd nº 8, 45, 50b TEMA 6 Continuidd, Cálculo Diferencil pág. 9 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

15 FUNCIONS EXERCICIS DE DERIVADES DERIVADES.- y = sin y'= cos.- y = cos 5 y'= sin.- y = sin y' = sin cos 4.- y = sin y' = cos 5.- y = sin y' = 4 sin cos 6.- y = sin cos y' = ( cos -sin ) 7.- y = sin(sin) y' = cos(sin) cos 8.- y = / cos y' = - cos sin 9.- y = sin (cos7) y' = -4sin(cos7)cos(cos7)sin7 0.- y = ( ) 7 y' = 7( ).- y = ( 5 ) 0 y' = (5 ).- y = (- ) y' = (- ) (+.- y = cos cos sin y' = ( cos ) TEMA 6 Continuidd, Cálculo Diferencil ) 4.- y = tn(+ ) y' = cos ( ) 5.- y = ln( ++) y' = 6.- y = ln +ln -(ln) ln ln y' = 7.- y = ln sin y' = sec sin 8.- y = ln[(+). ] y' = 9.- y = ln y' = ( ) 0.- y = e + 4 y' = e + 4 ln4.- y = sin y' = sin cos ln.- y = ln(cos ) y' = sin tg cos.- y = ln cos y' = -tg 4.- y = e cos( +) y' = e cos( +) - e sin( +) 5.- y = rctg (+) y' pág. 94 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

16 FUNCIONS DERIVADES 6 y ln( ) y'= 7 y=rc tg y'= 8 cos y=rc tg cos y'= 9 y=rc sen(cos) y'=- 0 y=ln y'= y= y'= ( ) y= ln ln y'= ln y= cos cos 4 cos 4 y= sen cos cos sen y'= 5 5sen 0cos 5 y= sen y'= cos sen 4 cos sen cos 6 y= e y'= e 7 sen y= e sen y'=sen e 8 y= y'= ln ln 9 y= lncos y'=- tg 40 y= ln y'= 4 y= ln y'= 4 y = tg y =tg. tg- + tg.ln.sec 4 y=sin cos y'=sin cos- cos - sin cos + lnsin 44 y= rcsin( ) y'=/ 45 y= ln(++ ) y'= /(+) 46 y=(+) + y=(+) + (ln((+)e) 47 y=rctg - rctg y'=0 pág. 95 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS

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