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1 EXAMEN DE MATEMÁTICAS CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Día: 3- II- 6 CURSO Halla el dominio de definición y recorrido de las funciones a) f(x)= 9 b) g(x)= 4. Calcula los límites: x 4 6 a) x 3 +8 b) 6 + x x 3 +8x 3. Sea f la función dada por f (x) = para x, determina sus asíntotas. 4. Halla el valor de los parámetros m y n para que la función f sea continua en todo., x f(x) = { mx + n, < x < 3 4, x 3 5. Calcula los siguientes límites: a) ( n 4 n ) b) ( + n+3 )n 6. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = en el punto P (, ). Cuál es la ecuación de la recta normal? El valor de la pendiente lo hallarás aplicando la definición de la derivada. 7. Halla las derivadas de las siguientes funciones: a) f(x) = x. x 3 + b) g(x) = x4 x 8. Halla las derivadas de las siguientes funciones: a) f(x) = (5 senx)+(x.cosx) b) g(x) = ln +x x 9. Si la función f (x) = x 3 + ax + b tiene un mínimo en el punto (, 5), determina los valores de a y b. Tiene algún otro máximo o mínimo esta función? 0. El área de un rectángulo es de 00 cm. Si queremos que tenga el menor perímetro posible, cuáles son sus dimensiones?

2 Solución del examen. Halla el dominio de definición y recorrido de las funciones a) f(x)= 9 b) g(x)= 4 Hallamos los dominios: a) La expresión 9 está definida cuando el radicando sea mayor o igual que cero, ya que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. Hallamos los valores tales que: x 3-3 x 3 D(f) = [-3, +3]. b) La expresión 4 está definida cuando el denominador no se anule. -4 = 0 = 4 x = Por lo tanto: D(f) = -{-,} ó (-,-)(-,)(,) Hallamos los recorridos a partir de las funciones inversas: a) y = 9 x = 9 y = 9-y y = 9- y = f - (x)= + 9 Función únicamente válida en [0, 3] que es por lo tanto el recorrido de f(x). b) y = 4 x = y 4 y -4 = x y = x + 4 Función válida en -{0} que es el recorrido de g(x).. Calcula los límites: a) x4 6 x 3 +8 b) 6 + x x 3 +8x a) Es una indeterminación del tipo ( 0 ), resolvemos el límite descomponiendo en factores 0 numerador y denominador con la regla de Ruffini y simplificando el resultado obtenido: x 3 6 x 3 +8 x 3 6 x 3 +8 ( +4)(x+)(x ) (x+).( x+4) ( +4)(x ) ( x+4) = 8.( 4) = 8 3 b) Es una indeterminación del tipo ( ), como el grado del numerador es igual que el grado del denominador sustituimos los polinomios por su monomio de mayor grado y simplificamos el resultado obtenido: x 3x x 3 +8x = 3 x x 3 3. Sea f la función dada por f (x) = para x, determina sus asíntotas. El dominio de definición es - {-, }. Asíntotas verticales: Son rectas verticales en las que lím f(x)=. Como es un cociente a buscamos los valores que anulan el denominador: = +, x x + = - x

3 = -, x x + = + La asíntotas verticales son: x = - y x =. Asíntotas horizontales: Son rectas de ecuación y = b, tales que f(x)= b. x x x ± x ± x = La asíntota horizontal es y = a izquierda y derecha. Se acerca a ella por arriba a izquierda y derecha. Asíntotas oblicuas: No tiene asíntotas oblicuas. La gráfica es la de la figura adjunta 4. Halla el valor de los parámetros m y n para que la función f sea continua en todo., x f(x) = { mx + n, < x < 3 4, x 3 Como es una función definida a trozos en y las ramas son constantes o polinómicas, será una función continua salvo en los puntos de solapamiento. En x =, debemos igualar los límites laterales en dicho punto: f() f(x) = x f(x) x + x +(mx + n) = m+n Igualando valores obtenemos: m+n =. En x = 3, debemos igualar los límites laterales en dicho punto: f(x) x 3 x 3 (mx + n) = 3m+n f(3) f(x) = 4 x 3 + Igualando valores obtenemos: 3m+n = 4 Obtenemos el sistema: { m + n = 3m + n = 4 que resolvemos por reducción restando a la ª ecuación la ª: m = m = sustituyendo en ª ecuación: +n = n = 5. Calcula los siguientes límites: a) ( n 4 n ) b) ( + n+3 )n a) ( n 4 n ) = - Es una indeterminación del tipo (-), que resolvemos multiplicando y dividiendo por la conjugada de la expresión dada, sustituyendo el polinomio por el monomio de mayor grado y 3

4 simplificando el resultado obtenido: ( n 4 n ( n ) 4 n ).( n 4+ n ) n 4 n + n 4+ n n 4+ n = 4 n 4+ n n + n n+n n 3 = 3 b) Es una indeterminación del tipo ( ) que resolvemos aplicando la fórmula L = e λ con: [f(x) ]. g(x) ( + n ). (n ) n = n+3 n+3 n Por lo tanto ( + n+3 )n = e = e 6. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = en el punto P (, ). Cuál es la ecuación de la recta normal? El valor de la pendiente lo hallarás aplicando la definición de la derivada. Utilizando la definición de derivada calculamos el límite x0 = - : f( +h) f( ) f '(-) ( +h) h 4h+ h 4h = ( 0 ) h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h 0 Indeterminación que resolvemos descomponiendo factorialmente y einando factores obtenemos la derivada: f '(-) h 4h h(h 4) (h 4) = -4 h 0 h h 0 h h 0 Hallamos el valor de la función en el punto x0 = -: f(-) =.(-) = Sustituimos valores en la ecuación de la recta tangente: y - = -4(x - ) y = -4x- La ecuación de la recta normal será: y - = 4 (x+) y = 4 x Halla las derivadas de las siguientes funciones: a) f(x) = x. x 3 + b) g(x) = x4 x a) Aplicamos las reglas de derivación de las raíces cuadradas, potenciales y los productos: f (x) =. x x.. x = x = x x 3 + x 3 + x 3 + = 5x 3 + x 3 + Racionalizando la función obtenida: f (x) = (5x3 +). x 3 + x 3 + b) Hallamos la derivada aplicando las reglas de derivación de las funciones potenciales y del cociente de dos funciones y simplificamos la función obtenida: g (x) = 4x3.(x ) x 4. = 4x4 4x 3 x 4 = 3x4 4x 3 (x ) (x ) (x ) 8. Halla las derivadas de las siguientes funciones: a) f(x) = (5 senx)+(x.cosx) b) g(x) = ln +x x 4

5 a) Hallamos la derivada aplicando las reglas de derivación de las funciones trigonométricas y potenciales y sacamos factor común de la función obtenida: f'(x) = (5 x senx+5.cosx)+( cosx+x ( senx)) = = 0xsenx+5.cosx+cosx xsenx = 9 xsenx +(5 -)cosx b) Aplicamos las las reglas de derivación de logaritmos, cocientes y la regla de la cadena: g'(x) = +x..( x) (+x).( ) ( x) = +x. ( x) x x Hallamos el común denominador y sumamos las fracciones obtenidas: g'(x) = (+x).( x) = 9. Si la función f (x) = x 3 + ax + b tiene un mínimo en el punto (, 5), determina los valores de a y b. Tiene algún otro máximo o mínimo esta función? f'(x) = 3 +a Si la función tiene un mínimo en x =: f'() = 0 3+a = 0 a = 3 Como el punto (, 5) pertenece a la gráfica de la función f(x), se verifica que: f() = 5 Al ser f(x) = x 3 3x+b, se tiene que: 3+b = 5 b = 7 Por lo tanto, la expresión de la función es: f(x) = x 3 3x + 7 hallemos si tiene algún otro máximo o mínimo: f'(x) = = 0 x = ± f"(x) = 6x f"( ) = 6 < 0 En x = tiene un máximo. 0. El área de un rectángulo es de 00 cm. Si queremos que tenga el menor perímetro posible, cuáles son sus dimensiones? Si tomamos las dimensiones del rectángulo como x e y, de las expresión del área despejamos: x.y = 00 y = 00 x El perímetro será: P(x, y) = x+y = x P(x) = x+ x x Derivamos y calculamos el valor en que se anula dicha derivada: P (x) = = 0 = 00 = 00 = 00 x = 0 El valor x = -0 no tiene sentido. Calculemos la segunda derivada y veamos su valor para x = 0: P (x) = 400 x 3 f"(0) > 0 En x = 0 tiene un mínimo. Las dimensiones del rectángulo son x = 0 cm, y = 0 cm. Es un cuadrado de 0 cm de lado. 5

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