91 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH.

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1 9 EJERCICIOS d DERIVABILIDAD º BACH. Drivabilidad y continuidad:. Dada si 0 f() si < 0 (Soluc: / f'(0)), s pid: a) Estudiar su drivabilidad n 0 b) Rprsntarla.. Ídm con 4 5 si f() 4 si < n (Soluc: f'()). Estudiar la drivabilidad d f(). Rprsntarla gráficamnt. (Soluc: / f'(0)) 4. Ídm con: a) > si f() 4 si b) si f() 5 si 5. Estudiar la drivabilidad d las siguints funcions n los intrvalos qu s indican: a) f() n (0,) b) f()/ n (-,) c) f() 4 n (0,4) d) si < 0 f() / si n su Dom(f) 6. Dada f(), s pid: a) Dibujarla. b) Estudiar su continuidad y drivabilidad. 7. Estudiar la drivabilidad d la función f() (Soluc: drivabl R-{0}) 8. (S) Estudiar la drivabilidad n d la función si f() si > Hacr la gráfica. (Soluc: no s drivabl porqu no s continua) 9. (S) Dada la función si 0 f() si > 0 s drivabl n 0? Es continua n 0? (Soluc: no s drivabl ni continua n 0)

2 - 0. En la figura izquirda aparc la gráfica d una función f() dfinida a trozos. S pid: a) Estudiar su continuidad. b) Estudiar su drivabilidad. c) Hallar f '(-), f '(0), f '(), f '() y f '(). En la figura drcha s ha rprsntado la gráfica d una función f() dfinida por ramas. Calcular f '(-), f '(), f '() y f '(). -. Dada f() -, s pid: a) Eprsarla como función dfinida a trozos. b) Estudiar su drivabilidad n c) Rprsntarla. (Soluc: f'()). (S) Rprsntar gráficamnt la función y -70 indicar n qué puntos no s drivabl. (Soluc: no s drivabl n y 5) 4. Estudiar la drivabilidad d f() -. Rprsntarla. (Soluc: f'(0); f'()) 5. (S) Dtrminar a y b para qu sa continua la función < si 0 f() a b si 0 5 si > La función qu rsulta s drivabl? Rprsntarla gráficamnt. (Soluc: a- y b; no drivabl) 6. (S) Calcular a y b para qu la siguint función sa drivabl n todo R: (Soluc: a y b-7) a si f() b 4 si > 7. (S) Hallar a y b para qu la función a si < f() a b si < 0 si 0 sa continua. Para sos valors d a y b studiar la drivabilidad. Rprsntarla gráficamnt. (Soluc: ab; para sos valors s drivabl n - y no lo s n 0) 8. (S) Sa si f() a b( ) si >

3 Para qué valors d a y b s continua la función? Para qué valors d a y b s drivabl? Rprsntarla gráficamnt. (Soluc: continua para a y b; drivabl para a y b-) 9. (S) Dada la función a si f() si > a a) Para qué valors dl parámtro a s continua? (Soluc: a y a) b) Para qué valors d a s drivabl? Rprsntarla n st caso. (Soluc: Sólo para a) Rcta tangnt y normal: 0. Hallar la cuación d la rcta tangnt y normal a la curva f() -- n l punto d abscisa. Dibujar la situación, intrprtar l rsultado. (Sol: tangnt -y-70; normal y40). Ídm para f() n 0 (Sol: tangnt 0; normal y). Hallar la cuación d la rcta tangnt a las siguints curvas n los puntos qu s indican: a) f() 8 n (Soluc: 6-y50) b) y 5 4 n - (Soluc: 0-y0) c) f() 4 - n 0 (Soluc: y-) d) y y4 n P(0,) (Soluc: y-) ) yln n (Soluc: y-) f) y -4 y40 n (Soluc: ) g) (S) n 0 (Soluc: y) f() h) f() n (Soluc: y-0) i) yy --y6 n - y ordnada strictamnt positiva (Soluc: y-) j) f() ( ) n 0 (Soluc: y-) k) f()(- ) n 0 (Soluc: y). En qué punto d la gráfica d la parábola f() -68 la tangnt s paralla al j d abscisas? Qué nombr rcib s punto? Cuál s la cuación d la tangnt? Dibujar ambas curvas. (Soluc: y-; vértic (,-) ) 4. En qué punto d la gráfica d la función antrior la tangnt s paralla a la bisctriz dl primr cuadrant? Dibujar la situación. (Soluc: 7/,-/4)

4 5. (S) Dtrminar los puntos d la curva y 9-95 n los cuals la tangnt s paralla a la rcta y5 (Soluc: (,6) y (-7,76)) 6. Hallar la cuación d la rcta tangnt a la curva y -56 paralla a la rcta y- Cuál s l punto d tangncia? Hacr un dibujo d la situación. (Sol: y-5; P(,)) 7. Hallar las coordnadas d los puntos d f() n los qu la rcta tangnt a la gráfica d sa función s horizontal. (Soluc: (,-9), (-,) y (-,8)) 8. Hallar los puntos n qu la tangnt a la función y s: a) Paralla al j OX b) Paralla a la rcta y5 9. (S) Obtnr la cuación d la rcta tangnt a la curva y ( ) n l punto (,) (Sol: y) 0. (S) Escribir la cuación d la rcta tangnt a la hipérbola y n l punto d abscisa. Rprsntar ambas curvas. (Soluc: 9y-60). (S) S da la curva d cuación y/. Comprobar qu l sgmnto d la tangnt a dicha curva n l punto (,/), comprndido ntr los js d coordnadas, stá dividido n dos parts iguals por l punto d contacto. (Soluc: la tangnt, 9y-60, corta a los js n (0,/) y (6,0), y su punto mdio s (,/)) Torma d Roll:. Dadas las siguints funcions, studiar si s vrifican las hipótsis dl torma d Roll n los intrvalos qu s indican. En caso afirmativo, hallar l valor o los valors d dicho intrvalo n qu s vrifica l torma: a) f() n [-,] (Soluc: c0) b) y 4 n [0,4] (Sol: c- ) c) y n [-,] (Sol: no driv. n 0) d) f() -4 n [,] (Soluc: c) ) y n [-,] (Sol: c0) f) y n [-,] (Sol: no driv. n 0) g) y ( ) n [0,] (Soluc: c6/5) h) y n [-,] (Sol: no cont. n 0) i) y7 () n [-,0] (Soluc: c-/) j) f() - 5 n [-,] (Soluc: c). (S) Dada la función f() -4, studiar si s vrifican las hipótsis y l torma d Roll n [-,] (Soluc: no s drivabl n ) 8 4 si [0,] 4. Enunciar l torma d Roll. Estudiar si s aplicabl a f() n [0,6]. En caso 0 si (,6] afirmativo, hallar l valor intrmdio n qu s vrifica. Intrprtar gráficamnt l rsultado. 5. (S) Estudiar si s aplicabl l torma d Roll a la siguint función n su dominio d dfinición:

5 si < f() 7 si 5 (Soluc: no, pus no s continua n ) 6. Estudiar si f() vrifica las hipótsis dl torma d Roll n [,] (Soluc: c0) si si > 7. Estudiar si s aplicabl l torma d Roll a la siguint función n su dominio d dfinición: 5 si f() 6 4 si < 5 (Soluc: no, pus no s drivabl n ) 8. Calcular a, b y c para qu a si f() cumpla las hipótsis dl torma d Roll n [-,5]. b c si < 5 Dónd cumpl la tsis? (Soluc: a0/, b-8/, c9; n 5/) Torma dl valor mdio d Lagrang: 9. Dadas las siguints funcions, i) Enunciar l torma dl valor mdio. ii) Estudiar si s vrifican las hipótsis dl torma n los intrvalos qu s indican. En caso afirmativo, hallar l valor o los valors d dicho intrvalo n qu s vrifica l torma. iii) Intrprtar gráficamnt l rsultado. a) f() n [0,4] (Soluc: c) b) y - n [,5] (Soluc: c7/) c) f()(-) () n [0,4] Soluc : c d) si [0,) f() si [,] n su Dom(f) (Soluc: c) ) si < 0 f() / si Soluc : c / y c n su Dom(f) ( ) si < 4 f) f() 0 9 si 4 n [,5] (Soluc: c7/4) g) y(-)() ± 7 4 n [-,] Soluc : c h) f() -- n [-,] Soluc : c ±

6 i) f()ln() n [,] Soluc : c ln ln j) f() 5 n [0,] k) y- n [-,] l) f()4-56 n [0,] 40. Dada f() a b si < si a) Hallar a y b para qu cumpla las hipótsis dl torma dl valor mdio n [-,5]. (Soluc: a0, b) b) Hallar l valor o los valors intrmdios qu vrifican l torma. (Soluc: /) Rgla d L Hôpital: Enunciar prviamnt la rgla. 0 ln 0 cos sn 6 sn sn (*) 5. (S) sn sn 0 tg sn 0 ln 0 0 ln ( cos) ctg π 4 ( ) tg π (S) 0 sn sn 58. sn 59. ( ) / (S) ( ) 6. (S) /cos ( cos) π 6. (S) 64. (S) 0 0 tg /sn 65. (S) tg 0 sn 66. (S) ln( ) sn 0 sn 67. (S) (*) ( ) 68. (S) 69. (S) 70. (S) 7. (S) 0 / / n 0 (n Ν) 0 ln sn( ) arctg arcsn 0 sn 6

7 7. (S) 7. (S) 74. (S) 75. sn 0 ln(cos ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 cos cos ln ( ) sn 78. ( cos ) sn (sn ) cos 8. ( ) 84. cos 0 0 sn π sn ( π )cos 88. ( ln ) ( ) 80. sn El curso pasado obtuvimos l númro a partir dl siguint límit :, Dmostrar qu (Ayuda: S rcominda aplicar la rgla A B B lna ) 9. Hallar l valor d a para qu π a Soluc : a π También s obtin mdiant la siguint suma infinita:......, n!!!! 4! 6 4 n 0