EJERCICIOS UNIDAD 2: DERIVACIÓN (II)

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1 IES Padr Povda (Guadi) EJERCICIOS UNIDAD : DERIVACIÓN (II) 3 (03-M4-B-) (5 puntos) Condra la función f : R R dada por f ( ) = + a + b+ c Dtrmina a, b y c sabindo qu la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa = 0 s y + = 3 y qu l punto d inflión tin abscisa = + 0 a b 0 < < a) (5 puntos) Dtrmina a y b sabindo qu f s drivabl n todo su dominio b) ( punto) Halla la cuación d la rcta tangnt y d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa = 0 f : 0,+ dfinida por f ( ) = + ln( ) dond ln dnota la función logaritmo npriano a) (75 puntos) Halla los trmos absolutos d f (abscisas dond s obtinn y (03-M6;Jun-B-) Sa f : (, ) R la función dfinida por f ( ) 3 (0-M-A-) Sa la función ( ) R valors qu s alcanzan) n l intrvalo, b) (075 puntos) Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = 4 (0-M-A-) Sa la función f :[,] R dfinida por f ( ) 8ln( ) = dond ln dnota la función logaritmo npriano a) (075 puntos) Halla los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f b) ( punto) Calcula los trmos absolutos y rlativos d la función f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) c) (075 puntos) Estudia los intrvalos d concavidad y convidad 5 (0-M-B-) Sa la función : R R lím f a) (075 puntos) Calcula ( ) f dfinida por f ( ) = ( + ) y lím f ( ) + b) (5 puntos) Halla los trmos rlativos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan), dtrminando son máimos o mínimos c) (05 puntos) Dtrmina las abscisas d los puntos d inflión d la gráfica d f = para a) (5 puntos) Estudia las asíntotas d la gráfica d la función f b) (5 puntos) Halla los trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) y los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f 6 (0-M3;Jun-B-) Sa la función f dfinida por f ( ) 7 (0-M5-B-) Sa la función f : R R dfinida por f ( ) = ln( ) dond ln dnota la función logaritmo npriano a) (5 puntos) Halla los intrvalos d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) b) ( punto) Dtrmina la cuación d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa = ln( ) + a 8 (0-M-B-) Sa f :,4 R la función dfinida por f ( ) b+ ln < 4 dond ln dnota la función logaritmo npriano Unidad : Drivadas y Aplicacions

2 IES Padr Povda (Guadi) a) (5 puntos) Calcula los valors d a y b para qu f sa drivabl n ( /, 4) b) (5 puntos) Para a = 0 y b = halla los trmos absolutos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) f = para 0 a) (5 puntos) Estudia las asíntotas d la gráfica d la función b) (5 puntos) Halla los intrvalos d crciminto y d dcrciminto, y los trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) 9 (0-M;Spt-B-) Sa f la función dfinida por ( ) 3 3 f dfinida por f ( ) = a + b + c a, y c sabindo qu su gráfica tin un punto d inflión n (, 0) 0 (0-M3-A-) (5 puntos) Dada la función : R R dtrmina b tangnt n s punto tin por cuación y = 3 + 3, y qu la rcta (0-M5-B-) Sa f : R R la función dfinida por f ( ) = 4 a) ( punto) Halla la cuación d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa = b) (5 puntos) Dtrmina l punto d la gráfica n l qu la rcta tangnt s prpndicular a la rcta + y = 0 (00-M-B-) Sa : ( 0, + ) R f la función dfinida por f ( ) ln( + 3) =, dond ln dnota l logaritmo npriano a) (5 puntos) Dtrmina, istn, los puntos d la gráfica d f n los qu la rcta tangnt a la gráfica s paralla a la rcta d cuación y + = 0 b) ( punto) Halla la cuación d la rcta tangnt y d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa = 3 ( + a) 0 3 (00-M3-A-) (5 puntos) Sa la función f :R R dada por f ( ) = b + c > 0 + Calcula las constants a, b y c sabindo qu f s drivabl y qu la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = tin pndint 3 4 (00-M6-A-) (5 puntos) Dada la función f :R R dfinida como f ( ) = a sn + b + c+ d, dtrmina los valors d las constants a, b, c y d sabindo qu la gráfica d f tin tangnt 0, 4 y qu la sgunda drivada d f s f ( ) = 3sn( ) 0 horizontal n l punto ( ) 5 (00-M6-B-) (5 puntos) Dada la función f :R R dfinida por f ( ) + Estudia su continuidad y drivabilidad Dtrmina la función drivada d f 6 (009-M3;Jun-B-) Sa : R R f la función dfinida por f ( ) a) (075 puntos) Estudia la continuidad y drivabilidad b) (5 puntos) Dtrmina sus asíntotas y sus trmos rlativos c) (05 puntos) Esboza la gráfica d f < < < 0 0, Unidad : Drivadas y Aplicacions

3 IES Padr Povda (Guadi) 7 (009-M4-A-) Sa f : R R la función dfinida por f ( ) = 3 a) ( punto) Estudia la continuidad y drivabilidad d f b) (5 puntos) Estudia l crciminto y dcrciminto d f Calcula sus trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) 8 (009-M5-B-) (5 puntos) S sab qu la función :R R, 0, Calcula a, b, c y d tin trmos rlativos n ( 0 ) y n ( ) 3 f dfinida por f ( ) = a + b + c+ d 9 (009-M6-A-) Sa f : R R la función dfinida por f ( ) = + a) (075 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f, así como los trmos rlativos o locals d f b) (05 puntos) Dtrmina los intrvalos d concavidad y d convidad d f c) (075 puntos) Dtrmina las asíntotas d la gráfica f d) (05 puntos) Esboza la gráfica d f 0 (008-M-A-) San f : R R y g :R R las funcions dfinidas por f ( ) = ( +) + a + b y g ( ) = c S sab qu las gráficas d f y g s cortan n l punto (, ) y tinn n s punto la misma rcta tangnt a) ( puntos) Calcula los valors d a, b y c b) (05 puntos) Halla la cuación d dicha rcta tangnt a + 3 (008-M;Spt-A-) Condra la función f : R R dfinida por f ( ) b 4 > a) (5 puntos) Halla a y b sabindo qu f s drivabl n R b) ( punto) Dtrmina la rcta tangnt y la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa = 3 (008-M4-A-) (5 puntos) Dada la función : R R f dfinida por ( ), cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n su punto d inflión 3 (008-M4-B-) Sa la función f :[ 0,4] R dfinida por f ( ) a) ( puntos) Dtrmina b f + = dtrmina la + a + b c + 0 < 4 a, y c sabindo qu f s continua n l intrvalo crrado [,4] drivabl n l intrvalo abirto ( 0,4) y qu f ( 0) = f ( 4) b) (05 puntos) En qué punto dl intrvalo s anula la drivada d la función? 4 (008-M6-A-) Sa f : R R la función dfinida por f ( ) = ( 3 ) a) (5 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f b) ( punto) Calcula los trmos rlativos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) 3 + = a) (5 puntos) Dtrmina los valors d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos d f (puntos dond s obtinn y valors qu s alcanzan) 5 (007-M;Spt-A-) Sa f : ( 0,+ ) R la función dfinida por f ( ) b) ( punto) Calcula l punto d inflión d la gráfica d f 0, 3 Unidad : Drivadas y Aplicacions

4 IES Padr Povda (Guadi) 3 6 (007-M;Jun-B-) (5 puntos) Sa f :R R la función dfinida por f ( ) = + + a+ b Dtrmina a y b sabindo qu la rcta tangnt a la gráfica d f n su punto d inflión s la rcta y = (007-M3-A-) Sa f : ( 0,+ ) R la función dfinida por f ( ) Ln( ) = a) (5 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos d f (puntos dond s obtinn y valors qu s alcanzan) b) ( punto) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n = 8 (007-M4-B-) Sa f :R R la función dfinida por f ( ) = a) (5 puntos) Dtrmina los trmos rlativos d f (puntos dond s obtinn y valors qu s alcanzan) b) ( punto) Estudia y dtrmina las asíntotas d la gráfica d f 9 (007-M5-A-) Sa f :R R la función dfinida por f ( ) = ( 3) a) ( punto) Calcula los trmos rlativos d f (puntos dond s obtinn y valors qu s alcanzan) b) (5 puntos) Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n su punto d inflión 30 (006-M-A-) Sa :R R f = Ln + a) ( punto) Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto y los trmos rlativos d la función f (puntos dond s alcanzan y valor d la función) b) (5 puntos) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d inflión d abscisa ngativa f la función dfinida por ( ) ( ) 3 (006-M; Spt-A-) Sa f :R R la función dfinida por f ( ) = a) (075 puntos) Estudia la drivabilidad d f b) ( punto) Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f c) (075 puntos) Calcula los trmos rlativos d f (puntos dond s alcanzan y valor d la función) 3 3 (005-M;Jun-A-) (5 puntos) D la función f :R R dfinida por f ( ) = a + b + c+ d s sab qu tin un máimo n =, y qu su gráfica corta al j OX n l punto d abscisa = y tin un punto d inflión n l punto d abscisa = 0 Calcula a, b, c y d sabindo, admás, qu la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = tin pndint 9 33 (005-M-A-) Sa f la función dfinida para por f ( ) = a) (05 puntos) Halla las asíntotas d la gráfica d f b) (075 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f c) (075 puntos) Dtrmina los intrvalos d concavidad y d convidad d f d) (05 puntos) Esboza la gráfica d f 34 (005-M6;Spt-B-) D una función f :[ 0,5] R s sab qu () 3 = < < drivada stá dada por f ( ) = f y qu su función < 5 a) ( punto) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = 3 4 Unidad : Drivadas y Aplicacions

5 IES Padr Povda (Guadi) b) (5 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y calcula sus trmos rlativos o locals (puntos n los qu s obtinn y valors qu alcanza la función) 35 (004-M;Spt-B-) D una función f :[ 0,4] R s sab qu ( ) = 3 función drivada s la qu aparc n l dibujo f y qu la gráfica d su a) (05 puntos) Hall la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = b) ( punto) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f En qué punto alcanza la función f su máimo absoluto? c) ( punto) Estudia la concavidad y la convidad d f 36 (004-M5-A-) Sa f :R R la función dfinida por f ( ) = a) (075 puntos) Esboza la gráfica d f b) ( punto) Estudia la drivabilidad d f n = 0 c) (075 puntos) Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = 3 37 (003-M-B-) (5 puntos) S sab qu la función f :R R dfinida por f ( ) = a + b + c+ d s tal qu f ( 0 ) = 4 y qu su gráfica tin un punto d inflión n (,) Conocindo admás qu la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = 0 s horizontal, calcula a, b, c y d 38 (003-M3-A-) (5 puntos) S sab qu la función :R R tin un punto d drivada nula n = 39 (00-M-A-) Sa :[, 4] R 3 f dfinida por f ( ) = + a + b+ c qu no s trmo rlativo y qu f () = Obtén b a, y c f una función cuya drivada tin por gráfica la d la figura a) (5 puntos) Estudia l crciminto y l dcrciminto d f y dtrmina los valors dond alcanza sus trmos rlativos b) ( punto) Estudia la concavidad y la convidad d f Tin puntos d inflión la gráfica d f? 40 (00-M6;Spt-A-) Condra la función : (, 0) R f dfinida por a 6 < f ( ) 5 < 0 a) ( punto) Dtrmina l valor d a sabindo qu f s continua (y qu a > 0 ) b) (05 puntos) Esboza la gráfica d f c) ( punto) Estudia la drivabilidad d f 5 Unidad : Drivadas y Aplicacions

6 IES Padr Povda (Guadi) PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 4 (03-M-A-) (5 puntos) Halla las dimnons dl rctángulo d ára máima inscrito n un triángulo isóscls d 6 mtros d bas (l lado dgual) y 4 mtros d alto 4 (03-M;Spt-A-) (5 puntos) Un alambr d 0 mtros d longitud s divid n dos trozos Con uno d llos s forma un triángulo quilátro y con l otro un cuadrado Halla la longitud d dichos trozos para qu la suma d las áras sa mínima 43 (03-M4-A-) (5 puntos) Un rctángulo stá inscrito n un smicírculo d 5 cm d radio, d forma qu uno d sus lados stá contnido n l diámtro dl smicírculo y l lado opusto tin sus vértics sobr la smicircunfrncia Calcula las dimnons dl rctángulo sabindo qu s l mayor prímtro pobl 44 (0-M5-A-) (5 puntos) Un alambr d longitud mtros s divid n dos trozos Con l primro s forma un rctángulo cuya bas s l dobl d su altura y con l sgundo trozo s forma un cuadrado Calcula las longituds d dichos trozos para qu la suma d las áras dl rctángulo y l cuadrado rsultants sa mínima 45 (0-M6-B-) D ntr todos los triángulos rctángulos d hipotnusa 0 unidads, dtrmina las dimnons dl d ára máima 46 (0-M-A-) (5 puntos) Una vntana normanda const n un rctángulo coronado con un smicírculo D ntr todas las vntanas normandas d prímtro 0 m, halla las dimnons dl marco d la d ára máima 47 (0-M3-B-) (5 puntos) En l primr cuadrant rprsntamos un rctángulo d tal manra qu tin un vértic n l orign d coordnadas y l vértic opusto n la parábola y = + 3 Dtrmina las dimnons dl rctángulo para qu su ára sa máima 48 (0-M4-A-) (5 puntos) Qurmos hacr junto a la carrtra un crcado rctangular para unos caballos n una zona llana Cada mtro dl lado dl crcado qu stá junto a la carrtra nos custa 00 uros, mintras qu para l rsto dl crcado nos custa 0 uros l mtro Cuáls son las dimnons dl prado d ára máima qu podmos crcar con 3000 uros? 49 (0-M6;Jun-A-) (5 puntos) S dsa construir un dpóto cilíndrico crrado d ára total igual a 54 m Dtrmina l radio d la bas y la altura dl cilindro para qu ést tnga volumn máimo 50 (0-M6;Jun-B-) (5 puntos) Sa f :[,+ ) R la función dfinida por ( ) = f Dtrmina l punto P d la gráfica d f qu s ncuntra a mnor distancia dl punto A (, 0) Cuál s sa distancia? 5 (00-M4-A-) (5 puntos) La hipotnusa d un triángulo rctángulo mid 90 cm Si s hac girar alrddor d uno d sus cattos, l triángulo ngndra un cono Qué mdidas han d tnr los cattos dl triángulo para qu l volumn dl cono ngndrado sa máimo? (Rcurda qu l volumn dl cono s: V = π r h ) 3 5 (00-M5;Spt-A-) (5 puntos) Una hoja d papl tin qu contnr 8 cm d tto Los márgns suprior infrior han d tnr cm cada uno y los latrals cm Calcula las dimnons d la hoja para qu l gasto d papl sa mínimo 53 (009-M;Spt-B-) (5 puntos) D ntr todos los rctángulos cuya ára mid 6 cm, dtrmina las dimnons dl qu tin diagonal d mnor longitud 54 (009-M6-B-) (5 puntos) D todos los triángulos cuya bas y altura suman 0 cm qué bas tin l d ára máima? 6 Unidad : Drivadas y Aplicacions

7 IES Padr Povda (Guadi) 55 (008-M;Spt-B-) (5 puntos) D ntr todas las rctas dl plano qu pasan por l punto (,), ncuntra aqulla qu forma con las parts potivas d los js coordnados un triángulo d ára mínima Halla l ára d dicho triángulo 56 (008-M3;Jun-B-) (5 puntos) D ntr todos los rctángulos d prímtro 8 cm, dtrmina las dimnons dl qu tin diagonal d mnor longitud 57 (007-M3-B-) (5 puntos) Tnmos qu fabricar dos chapas cuadradas con dos matrials distintos El prcio d cada uno d stos matrials s y 3 uros por cntímtro cuadrado, rspctivamnt Por otra part, la suma d los prímtros d los dos cuadrados tin qu sr mtro Cómo hmos d lgir los lados d los cuadrados qurmos qu l cost total sa mínimo? 58 (007-M4-A-) (5 puntos) D ntr todos los rctángulos tuados n l primr cuadrant qu tinn dos d sus lados sobr los js coordnados y un vértic n la rcta r d cuación + y = (vr figura), dtrmina l qu tin mayor ára 59 (007-M6-B-) (5 puntos) S quir construir un dpóto n forma d prisma d bas cuadrada n tapadra qu tnga una capacidad d 500 m 3 Qué dimnons ha d tnr l dpóto para qu su suprfici sa mínima? 60 (006-M3;Jun-A-) (5 puntos) Dtrmina un punto d la curva d cuación qu la pndint d la rcta tangnt sa máima y = n l 6 (005-M-B-) (5 puntos) Dtrmina los puntos d la parábola d cuación y = 5 qu stán más próimos al orign d coordnadas Calcula la distancia ntr los puntos obtnidos y l orign d coordnadas 6 (005-M4-B-) (5 puntos) D un trrno s dsa vndr un solar rctangular d 800 m dividido n trs parclas iguals como las qu aparcn n l dibujo Si s quirn vallar las linds d las trs parclas (los bords y las sparacions d las parclas), dtrmina las dimnons dl solar para qu la longitud d la valla utilizada sa mínima APLICACIONES DE LA REGLA DE L HÔPITAL cos( ) + b sn( ) lím (03-M6;Jun-A-) (5 puntos) Sabindo qu s finito, calcula b y l valor dl límit 64 (009-M3;Jun-A-) (5 puntos) Calcula l guint límit lim ln( ) a 65 (004-M5-B-) (5 puntos) S sab qu lím s finito Dtrmina l valor d a y 0 calcula l límit Ln( + ) sn 66 (003-M;Spt-A-) (5 puntos) Calcula lím 0 sn ( ) sn 67 (00-M3-A-) (5 puntos) Calcula lím Unidad : Drivadas y Aplicacions

8 IES Padr Povda (Guadi) 68 (00-M4-A-) Calcula: a) (5puntos) lím 0 b) (5puntos) lím (0-M3;Jun-A-) Sa la función continua f : R R dfinida por + k 0 f ( ) > 0 a) (5 puntos) Calcula l valor d k b) (5 puntos) Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función f n l punto d abscisa = ( ln ) 70 (009-M4-B-) Sa f : ( 0, + ) R la función dada por f ( ) ( ) a = a) (5 puntos) Sabindo qu f s continua, calcula a ( ln dnota l logaritmo npriano) b) (5 puntos) Estudia la istncia d asíntota horizontal para la gráfica d sta función En caso d qu ista, dtrmina su cuación + 7 (008-M6-B-) (5 puntos) Dada la función f dfinida, para 0, por f ( ) = dtrmina las asíntotas d su gráfica f = para, 0 a) ( punto) Calcula los límits latrals d f n = 0 b) (5 puntos) Estudia y dtrmina las asíntotas d la gráfica d f f = para > 0, ln( ) (dond ln dnota l logaritmo npriano) Estudia y dtrmina las asíntotas d la gráfica d f 7 (03-M-B-) Sa f la función dfinida por ( ) 73 (03-M3-A-) (5 puntos) Sa f la función dfinida por ( ) 8 Unidad : Drivadas y Aplicacions

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