PARÁMETROS ESTADÍSTICOS DE LA RESISTENCIA AL CORTE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO 1

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1 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS DE LA RESISTENCIA AL CORTE DE IGAS DE CONCRETO ARMADO 1 Jorge Medina 2 y Carlos Quintero Febres 3 Resumen: En este trabajo se determinan el ator de sesgo y el oeiiente de variaión de las variables que gobiernan la resistenia al orte en vigas de onreto armado mediante el empleo de ténias de simulaión. Se utilizan tres ténias de simulaión a in de estableer la ténia más adeuada para los ines que se persiguen. Palabras laves: oeiiente de variaión, ator de sesgo, resistenia al orte, ténias de simulaión. STATISTICAL PARAMETERS OF THE SHEAR RESISTANCE OF REINFORCED CONCRETE BEAMS Abstrat: In this work, the bias ator and the oeiient o variation o the variables governing the shear resistane o reinored onrete beams are determined by means o simulation tehniques. Three simulation tehniques are used in order to establish the more appropriated tehnique or the purpose pursued in this study. Keywords: bias ator, oeiient o variation, shear resistane, simulation tehniques. INTRODUCCIÓN La oniabilidad estrutural es el área que estudia la seguridad de un diseño estrutural basada en la onsideraión de las dierentes inertidumbres inherentes al mismo, y se aplia tanto en el diseño de estruturas nuevas y la evaluaión de estruturas existentes, así omo en la ormulaión de ódigos de diseño estrutural (ódigos omo el ACI, AISC, AASHTO y Euroódigos, entre otros) basados en la ilosoía LRFD (según las siglas en inglés de Load and Resistane Fator Design ). El estudio de la oniabilidad de un elemento estrutural se basa en la ormulaión de una unión de estado límite, también llamada de omportamiento o de margen de seguridad Z, euaión (1), que relaiona por un lado, la resistenia del elemento R (apaidad), y por el otro, las aiones sobre el mismo Q (demanda). Los valores positivos de Z representan la ondiión segura (Z 0). Las variables que intervienen en la euaión (1) son variables aleatorias por lo que en general se araterizan por el valor medio o media (μ), la desviaión estándar (σ) y las uniones de probabilidad ( R, Q ). La oniabilidad del elemento estrutural se uantiia mediante la determinaión de la probabilidad de alla (P ) o, alternativamente, del índie de oniabilidad (β) ambos a partir de la unión de estado límite. La euaión (2) representa la orma más senilla empleada para determinar la probabilidad de alla, para los asos donde R y Q son variables aleatorias normales. Esta ondiión no siempre ourre, por lo que la probabilidad así alulada se suele llamar probabilidad de alla normal, y representa un valor aproximado o de orientaión para estimar la P real (Bignoli, 1986). En la mayoría de los asos la expresión analítia de la P es muy ompleja y diíil de evaluar por lo que se reurre a ténias de simulaión de la euaión (1) para obtenerla. La euaión (2) también ilustra la expresión más simple del índie de oniabilidad, válida también en la ondiión indiada antes. La euaión (2) ha sido utilizada en numerosos trabajos (Ellingwood et al., 1980; Freudenthal, et al., 1966; Zadeh y Nanni, 2013). Formulaiones para asos más omplejos han sido propuestas y son desritas en la literatura (Choi et al., 2007; Melhers, 1999; Nowak y Collins, 2000). Z R Q (1) 1 Artíulo reibido el 12 de noviembre de 2014 y aeptado para publiaión el 25 de marzo de Proesor Asoiado, Universidad de Los Andes, Mérida, enezuela. jorgem@ula.ve 3 Proesor Titular, Universidad de Los Andes, Mérida, enezuela. arlosq@ula.ve Rev. Int. de Desastres Naturales, Aidentes e Inraestrutura Civil. ol. 14(1-2) 59

2 Z p p Z 0 p (2) Z donde: media del margen de seguridad Z; z R Q, z z desviaión estándar del margen de seguridad Z; unión de probabilidad normal aumulada, índie de oniabilidad; z. z, 2 2 z R Q La Figura 1 muestra la representaión gráia de las uniones de probabilidad R, Q, Z y de la p la ual se india omo el área sombreada, donde Z < 0 ó Q > R, situaión que no satisae el estado límite impuesto. Figura 1: Funiones de probabilidades de R, Q y Z. La araterizaión de una variable aleatoria puede haerse en orma alternativa a la tradiional, heha on el valor medio y la desviaión estándar (), mediante el uso del ator de sesgo (λ) indiado en la euaión (3), donde se relaiona el valor medio on el valor nominal (de uso omún en el diseño). Como medida de dispersión se usa el oeiiente de variaión () indiado en la euaión (4), que expresa la proporión que la desviaión estándar tiene en relaión al valor medio. Estos dos parámetros tienen la virtud de ser adimensionales, lo que les proporiona mayor generalidad en su uso y han sido utilizados en diversos estudios de oniabilidad de elementos estruturales (véase por ejemplo, Siu et al., 1975; Nowak y Szerszen, 2003 o Rakozy y Nowak, 2014). x (3) donde: λ ator de sesgo, μ media de la variable aleatoria, x valor nominal de la variable aleatoria. 60 Rev. Int. de Desastres Naturales, Aidentes e Inraestrutura Civil. ol. 14(1-2)

3 donde, σ desviaión estándar de la variable aleatoria, oeiiente de variaión. (4) Este trabajo se enoa en determinar los parámetros estadístios que araterizan la variable aleatoria R (apaidad) de la euaión (1), asoiada al orte resistente en vigas de onreto armado, por medio de los parámetros adimensionales ator de sesgo (λ) y oeiiente de variaión (), según las euaiones (3) y (4). Asimismo, se muestra un ejemplo de apliaión de los atores obtenidos. Los valores de λ, para la variable Q de la euaión (1) serán objeto de otro estudio por parte de los autores, en el que se realiza un proedimiento similar al realizado en este artíulo onsiderando el orte atuante (demanda) omo unión aleatoria dependiente de las argas, dimensiones de los elementos, materiales, geometría de la estrutura y ondiiones de apoyo. A in de lograr los objetivos señalados, se emplean las ténias de simulaión Monte Carlo, Hiperubo Latino y 2K+1 puntos estimados de Rosenblueth, desritos en Nowak y Collins (2000), para obtener los parámetros estadístios del orte resistente a partir del onjunto de valores nominales neesarios para estableerla (dimensiones y resistenia de los materiales onstituyentes) y así araterizar la variable aleatoria R a partir de λ, (para luego obtener μ, σ) y R. Cabe destaar que el ejeriio on las tres ténias de simulaión permite determinar las ventajas y desventajas de ada una de las ténias. La omparaión de dihos resultados permite estableer una propuesta sobre el ator de sesgo y oeiiente de variaión a emplear, así omo la ténia de simulaión más adeuada. SIMULACIÓN DE LA RESISTENCIA AL CORTE DE UNA IGA DE CONCRETO En diseño, la resistenia nominal al orte de un elemento de onreto armado, r, se obtiene de la ontribuión de la resistenia al orte del onreto y la del aero transversal (estribos) s. En este trabajo se obtienen los atores de sesgo y oeiientes de variaión (λ, ) para ambas ontribuiones a la resistenia al orte por las tres ténias de simulaión indiadas antes para así obtener los parámetros estadístios de la resistenia al orte de la viga. La resistenia nominal al orte (apaidad) de una viga de onreto de peso normal on reuerzo en el alma se deine omo (González y Robles, 1997; Nilson, 1999; entre muhos otros): r s (5a) (5b) s A d v y (5) se donde: r orte resistente de la viga (en N), orte resistente del onreto de peso normal (en N), sujeto exlusivamente a orte y lexión (ACI, 2002), s orte resistente del aero (en N), resistenia del onreto a los 28 días, en MPa, b anho de la viga, en mm, d altura útil de la viga, en mm, A v área de aero transversal de los estribos, en mm 2, Rev. Int. de Desastres Naturales, Aidentes e Inraestrutura Civil. ol. 14(1-2) 61

4 se y separaión de los estribos, en mm, esuerzo de edenia del aero de los estribos, en MPa. El proedimiento de simulaión onsiste en emplear los parámetros estadístios de las variables que intervienen en el álulo del orte resistente, que son:, b, d, se, A v y y ; los uales se obtienen de Nowak y Szerszen (2003), exepto los reerentes a la separaión de estribos (se) que se obtienen por simulaión. Simulaión del orte resistente del onreto La euaión (5b) se evalúa mediante ténias de simulaión on los datos de las Tabla 1 (Nowak y Szerszen, 2003) y de las euaiones (6a) y (6b) para los parámetros estadístios de la resistenia del onreto. Los valores nominales de las variables independientes de la euaión (5b) que se emplean en las simulaiones se indian en la Tabla 1, además para la resistenia del onreto se utilizan los siguientes valores en MPa: 20,67; 24,115; 24,518; 27,56; 31,005 y 34,45. Estos dierentes valores de las variables se ombinan on los indiados en la Tabla 3 y del parámetro se, para generar 648 onjuntos dierentes de valores nominales que se emplean en las simulaiones. Tabla 1: Parámetros estadístios para la simulaión del orte resistente. ariable λ Distribuión alores nominales b 1,010 0,040 Normal 200 ; 250 mm d 0,990 0,040 Normal 250 ; 400 ; 750 mm Tabla 2: Resultados de la simulaión para. Ténia (MPa) λ Monte Carlo 20,67 1,183 0,079 24,115 1,138 0,076 24,518 1,134 0,075 27,56 1,106 0,073 31,005 1,086 0,069 34,45 1,074 0,066 Hiperubo Latino 20,67 1,185 0,079 24,115 1,140 0,076 24,518 1,136 0,076 27,56 1,108 0,073 31,005 1,087 0,069 34,45 1,076 0,066 2k+1 puntos estimados de Rosenblueth 20,67 1,183 0,078 24,115 1,138 0,075 24,518 1,134 0,075 27,56 1,106 0,072 31,005 1,086 0,069 34,45 1,074 0,066 0, , ,9338 3,0649 (6a) 2,71x ,37x10 3 0,127 (6b) donde: esuerzo del onreto a los 28 días en ksi (Nowak y Szerszen; 2003, p. 381). Para la simulaión se emplea la euaión (5b) por los tres métodos de simulaión menionados on los 648 onjuntos de datos obtenidos de las Tablas 1 y 3. Por el método de Monte Carlo se emplean esta euaión 62 Rev. Int. de Desastres Naturales, Aidentes e Inraestrutura Civil. ol. 14(1-2)

5 vees por ada onjunto de valores nominales, 100 vees por el Hiperubo Latino y por 2k+1 puntos estimados de Rosenblueth se requiere evaluar las euaiones 13 vees para ada onjunto de valores nominales. Los resultados de la simulaión por las distintas ténias se indian en la Tabla 2. Los datos de la Tabla 2 se ajustaron mediante mínimos uadrados a los polinomios indiados en las euaiones (7a) y (7b) para obtener el ator de sesgo y el oeiiente de variaión del orte resistente del onreto ( ) en unión de en MPa. Estas euaiones son válidas para onretos de peso normal on valores de 34,45 MPa ,64x10 1,11x10 0,051 1,834 (7a) 3 2 4,96x ,87x ,19x10 4 0,082 (7b) Simulaión del orte resistente del aero transversal Antes de realizar la simulaión de la euaión (5) on los parámetros estadístios de la Tabla 3 (Nowak y Szerszen, 2003) se debe señalar que los parámetros reerentes a la separaión de estribos (se) no se inluyen en el estudio de Nowak, por lo que se deben determinar primero. Los parámetros estadístios de la separaión de los estribos (se) se obtienen a partir de los resultados de ensayos señalados en Russo y Puleri, (1997) y Zararis (2003). Para ello, primero se determina de los ensayos los parámetros estadístios de la uantía del aero de los estribos (ρ v ) que se onsidera una unión aleatoria. Luego se proede a estableer los parámetros estadístios de se por simulaión. Finalmente on los datos de se, se realiza la simulaión de s por las dierentes ténias. Tabla 3: Parámetros estadístios para la simulaión del orte resistente. ariable λ Distribuión alores nominales d 0,990 0,040 Normal 250 ; 400 ; 750 mm A v 1,000 0,015 Normal 143 ; 214 ; 253 ; 285 ; 380 ; 507 mm 2 y 1,145 0,050 Normal 415 Mpa Parámetros estadístios de la uantía de estribos Los parámetros estadístios de la uantía de estribos (ρ v ) se onsiguieron a partir de los ensayos del orte de alla reportados en Zararis (2003) que ueron realizados por Angelakos et al.; MGormley, et al.; Plaas y Regan y el registrado en Russo y Puleri (1997), eetuado por Clark. Fue neesario apliar los métodos para uniones aleatorias indiados en Nowak y Collins (2000), ya que de la inormaión suministrada por los autores itados sólo se podía obtener diretamente s y x deinidos en las euaiones (8) y (9). donde: s a / d v y bd (8) s orte resistido por el aero (Zararis, 2003) en N, a/d relaión luz / altura útil, b anho de la viga, en mm, d altura útil de la viga, en mm, y esuerzo de edenia del aero, en MPa ρ v uantía de estribos, Av v. b* se La razón entre el orte de alla obtenido en el experimento y el obtenido por la propuesta de Zararis (2003) se denomina x. donde: x exp (9) ormula Rev. Int. de Desastres Naturales, Aidentes e Inraestrutura Civil. ol. 14(1-2) 63

6 exp orte del ensayo, ormula orte obtenido por la apliaión de la propuesta de Zararis (2003). La unión ρ v en la euaión (10) se obtiene de ombinar las euaiones (8) y (9). Es una unión aleatoria porque las variables se onsideran aleatorias (Tabla 4) on exepión de a/d, que depende de la luz (asoiada a la variable Q de la euaión (1)). s v a / d y bdx (10) Tabla 4: Parámetros estadístios de las variables de ρ v (Nowak y Szerszen, 2003). ariable λ b 1,01 0,04 d 0,99 0,04 y 1,145 0,05 Los parámetros estadístios de ρ v, indiados en las euaiones (11b) y (11), se estableen a partir de la linearizaión de la euaión (10) obtenida por Series de Taylor y que se muestra en la euaión (11a), según el proedimiento desrito en Nowak y Collins (2000). El análisis se realiza para ada experimento mostrado en Zararis (2003) y Russo y Puleri (1997) on los datos de la Tabla 3. Con respeto a la media y desviaión estándar de s y x, ueron obtenidos de los resultados experimentales señalados en las dos reerenias anteriores. s v v v v v v s s y y a / d y bdx s y b d x b b d d x x s v a / d y bdx (11a) (11b) v v v v v v s y b d x s y b d x (11) La Tabla 5 muestra los resultados del álulo del ator de sesgo y oeiiente de variaión de ρ v para ada autor. Como resultado se obtuvo que el ator de sesgo promedio de los uatro grupos es igual a 0,869 (λ ρv = 0,869) y el oeiiente de variaión igual a 16,85% ( ρv = 16,85%). En uanto a la unión de distribuión ρv, on los resultados obtenidos en la Tabla 5 y el empleo del Método de Monte Carlo se onsigue que la distribuión que mejor se ajusta es la Log Normal según pruebas de bondad de ajuste (Figura 2), donde los datos de la simulaión se omparan on las tres distribuiones que menor dierenia presentan entre las reuenias obtenidas de la simulaión y las esperadas según la distribuión analizada, y que son, además las distribuiones que mayor empleo tienen en el área de la oniabilidad estrutural (Benjamin y Cornell, 1981; Nieves y Domínguez, 2010). Tabla 5: Cálulo de los parámetros estadístios de ρ v. Autor MGormley et al. Angelakos et al. Plaas y Regan Clark ariable μ σ μ σ μ σ μ σ y 488,31 24, ,500 28, ,238 15, ,087 18,354 b 0,205 0,008 0,303 0,012 0,154 0,006 0,205 0,008 d 0,415 0,017 0,916 0,037 0,269 0,011 0,386 0,015 s 0,165 0,014 0,137 0,018 0,033 0,001 0,142 0,022 x 1,016 0,085 1,005 0,132 1,030 0,045 1,780 0,280 ρ v 2,97E-3 4,15E-4 6,99E-4 1,40E-4 1,80E-3 1,76E-4 3,08E-3 7,26E-4 λ ρv 0,873 0,873 0,857 0,873 ρv 0,14 0,20 0,10% 0,24 64 Rev. Int. de Desastres Naturales, Aidentes e Inraestrutura Civil. ol. 14(1-2)

7 Figura 2: Distribuión de reuenias de la uantía de separaión de estribos. Parámetros estadístios de la separaión de estribos Estableidos los parámetros estadístios de ρ v, se puede obtener los orrespondientes a la separaión de los estribos (se) por la apliaión de las ténias de simulaión a la euaión (12) (Russo y Puleri, 1997). En la Tabla 6 se muestran los parámetros estadístios de las variables impliadas (Nowak y Szerszen, 2003) y la Tabla 7 muestra los resultados de los parámetros para la separaión de estribos. Cabe destaar que por el método de Monte Carlo se realizan álulos de la euaión (12), por el método Hiperubo Latino se aplia la euaión (12) on ien ombinaiones de valores, mientras que por el método de 2k+1 Puntos Estimados de Rosenblueth se evalúa la euaión (12) siete vees. Tabla 6: Parámetros estadístios para la simulaión de se. ariable λ Distribuión A v 1,00 0,015 Normal b 1,01 0,040 Normal ρ v 0,87 0,169 Lognormal se A b v (12) v Tabla 7: Resultados de la simulaión para se. Ténia λ se se Monte Carlo 1,14 0,052 Hiperubo Latino 1,14 0,054 2k+1 puntos estimados de Rosenblueth 1,17 0,174 En los valores de la Tabla 7 se observa una dierenia importante en el oeiiente de variaión por el Método de 2k+1 Puntos Estimados de Rosenblueth, en omparaión a lo obtenido por los otros métodos. Esto se debe al alto valor de ρv ( ρv = 0.169), lo que onirma lo señalado por Zhao et al. (1999), en el sentido de que Rev. Int. de Desastres Naturales, Aidentes e Inraestrutura Civil. ol. 14(1-2) 65

8 este proedimiento es apliable para variables aleatorias on desviaiones pequeñas. Por otra parte, se observa que los resultados de la simulaión por Monte Carlo, se pueden ajustar a una distribuión Log-Normal (Figura 3) según el resultado arrojado por una prueba de bondad de ajuste, luego de omparar on otras distribuiones de uso reuente en el área de la oniabilidad estrutural (Distribuión Normal, Lognormal y Beta que son las que poseen una mejor aproximaión al histograma obtenido) (Benjamin y Cornell, 1981; Nieves y Domínguez, 2010; Nowak y Collins, 2000). Figura 3: Distribuión de reuenias separaión de estribos. Conoido los parámetros estadístios de la variable aleatoria se (λ se = 1,14; se = 0,054 y se log-normal), se realiza la simulaión de la euaión (5) on los parámetros estadístios de la Tabla 3 y de se. Los valores nominales son los indiados en la Tabla 3, mientras que para se los valores nominales que se emplean son [d/2; d/3; d/4]. La Tabla 8 ompara los resultados por los tres métodos de simulaión. En esta tabla y la Tabla 2 se observa que por el método de 2k+1 puntos estimados de Rosenblueth existe una dierenia de alrededor 0,4% on respeto al método de Monte Carlo; mientras que por el Hiperubo Latino la dierenia es aproximadamente del 0,8%. Considerando el número de simulaiones que requiere el método 2k+1 puntos estimados de Rosenblueth, se onsidera que sus resultados son aeptables, exepto bajo las ondiiones que se propiiaron en los resultados de la Tabla 7 y que se omentan en el párrao anterior. Tabla 8: Resultados de la simulaión para s. Ténia λ s s Monte Carlo 0,997 0,085 Hiperubo Latino 0,997 0,078 2k+1 puntos estimados de Rosenblueth 0,997 0,084 Parámetros estadístios de la resistenia al orte de una viga de onreto armado Los parámetros estadístios del orte resistente de una viga de onreto armado se obtienen a partir de los orrespondientes parámetros del orte resistido por el onreto,, (euaiones (7a) y (7b) para el ator de sesgo y oeiiente de variaión, respetivamente), y del orte resistido por el aero transversal, s, para los uales se propone λ s = 1,00; s = 0,084 en base a los resultados indiados en la Tabla 8. De esta orma se propone apliar la euaión (13) para obtener la media del orte resistente a partir de los atores de sesgo de y s, y la euaión (14) para obtener la desviaión estándar del orte resistente a partir de los oeiientes de variaión de y s. (13) r s r n s sn 66 Rev. Int. de Desastres Naturales, Aidentes e Inraestrutura Civil. ol. 14(1-2)

9 (14) donde, r media del orte resistente de una viga de onreto armado, r n sn s s desviaión estándar del orte resistente de una viga de onreto armado, orte resistente nominal del onreto (alulado a partir de los valores nominales), orte resistente nominal del aero (alulado a partir de los valores nominales), ator de sesgo del orte resistente del onreto, ator de sesgo del orte resistente del aero, oeiiente de variaión del orte del onreto, oeiiente de variaión del orte del aero. La Figura 4 muestra las distribuiones de los ortes de onreto y aero obtenidas por el método de Monte Carlo. La distribuión del orte resistente del onreto se aproxima a la distribuión normal, mientras que el orte resistente del aero transversal a una log-normal de auerdo a la prueba de bondad de ajuste. Figura 4: Distribuión de reuenias del orte resistente en el onreto y aero. EJEMPLO En el ejemplo propuesto se determina la p de la viga doblemente empotrada indiada en la Figura 5 ante el orte. La viga es de 200x350 mm, = 20,67 MPa, y = 415 MPa, estribos diámetro 9,5 mm de 2 ramas separados ada 75 mm, L= 8 m, W muerta = 7,4 KN/m. Para las dimensiones indiadas los valores nominales resistentes del orte son: = 52,829 kn y s = 275,994 kn según las euaiones (5b) y (5). Se emplean las reomendaiones indiadas en las euaiones (7a) y (7b) y las del orte del aero transversal (λ =1,187; = 7,84% orte del onreto y λ s = 1; s = 8,4% orte del aero transversal) y se pueden apliar a las euaiones (3) y (4) sobre los valores nominales resistentes para obtener los parámetros estadístios del orte en el onreto y aero o bien en las euaiones (13) y (14), que permiten obtener los parámetros estadístios del orte resistente, sin neesidad de apliar algunos de los métodos de simulaión señalados. Rev. Int. de Desastres Naturales, Aidentes e Inraestrutura Civil. ol. 14(1-2) 67

10 w 350 mm Estribos d 9,5 separados ada 75 mm L Figura 5: iga analizada. 200 mm R 1,187*52,829 1*275,994 R 338,702 kn 2 2 R 0,0784*1,187*52,829 0,084*1*275,994 R 23,699kN Con respeto a la variable Q de la euaión (1) (estos parámetros se obtienen mediante la simulaión del orte en la viga produto de la arga por el método de 2k+1 puntos estimados de Rosenblueth), los parámetros estadístios del orte produido por la arga son: μ Q = 31,081 kn y σ Q = 3,108 kn. Por lo tanto, al apliar la euaión (2) se obtienen el índie de oniabilidad y la probabilidad de alla para orte de la viga aproximada a una unión normal. 338,702 31,081 23, , ,9 p 1 3x10 38 p 12,9 p 3,31*10 37 El resultado india que aproximadamente 1 de 3x10 37 vigas en estas ondiiones (apoyo, arga y luz) podría sobrepasar el estado límite de orte. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES En este estudio se determinaron los parámetros estadístios de la resistenia al orte de vigas de onreto armado (apaidad). Esta depende de varias variables aleatorias básias (b, d, Av, se, y y ) relaionadas on las propiedades de los materiales, las dimensiones, et. Algo similar ourre on las argas o sus eetos (demanda). En otras palabras, la oniabilidad de elementos estruturales depende de numerosas variables aleatorias básias. En este orden de ideas, el estudio de la oniabilidad de sistemas estruturales (onebidos omo un ensamblaje de elementos estruturales) implia la onsideraión de un número onsiderable de variables aleatorias relaionadas on todos los elementos estruturales que lo onorman. Por ello resulta de interés el onoer los parámetros estadístios de las apaidades (y/o demandas) de los elementos individuales a in de reduir el número de variables aleatorias a onsiderar en el estudio de la oniabilidad de sistemas estruturales (por ejemplo, oniabilidad de pórtios ormados por numerosas vigas y olumnas). Este estudio se orienta en esa direión. El presente estudio se aplia a onreto de peso normal, on Mpa; para dimensiones típias enontrados en pórtios, donde el anho de viga b es de 200 y 250 mm, la altura útil osila entre 250 d 750 mm, el área de aero transversal A v para barras de aero de diámetro de 9,5 y 12,7 mm. Las tres ténias de simulaión utilizadas en este estudio para obtener los parámetros estadístios de una unión aleatoria arrojaron resultados omparables. En este sentido, para determinar los parámetros estadístios 68 Rev. Int. de Desastres Naturales, Aidentes e Inraestrutura Civil. ol. 14(1-2)

11 undamentales (media y desviaión estándar) de una unión aleatoria resulta muy onveniente el utilizar el método de 2k+1 puntos estimados de Rosenblueth, puesto que requiere de un número onsiderablemente menor de simulaiones que en los otros proedimientos. Sin embargo, es importante señalar que el método de 2k+1 puntos estimados de Rosenblueth, no es apropiado uando una de las variables aleatorias presenta una dierenia importante en la dispersión de sus datos (omo lo releja o ) on respeto a las otras variables aleatorias tal omo se observó en la Tabla 7, en ontraste on los resultados de la Tabla 2 y 8. Por otra parte, si se desea estableer el tipo de distribuión de probabilidades que arateriza a una unión aleatoria, para lo que se requiere un número onsiderable de datos, el método de Monte Carlo resulta insustituible. AGRADECIMIENTOS Se agradee al Consejo de Desarrollo Cientíio, Humanístio, Tenológio y de las Artes de la Universidad de Los Andes por el inaniamiento de este proyeto (I C). REFERENCIAS ACI (2002). Building Code Requirements or Strutural Conrete, Amerian Conrete Institute, Detroit, Mihigan. Barker, R. y Pukett, J. (1997). Design o Highway Bridges (Based on ASSHTO LRFD Bridge Design Speiiations), John Wiley & Sons, In, Nueva York. Benjamin, J. y Cornell, C. (1981). Probabilidad y Estadístia en Ingeniería Civil, MGraw-Hill Latinoameriana S.A., Bogotá, Colombia. Bignoli, A. (1986). Introduión al Cálulo de la Coniabilidad de las Estruturas Civiles, Librería El Ateneo Editorial, Buenos Aires, Argentina. Choi, S., Grandhi, R. y Canield, R. (2007). Reliability-based Strutural Design, Springer-erlag London Limited, London, United Kingdom. Ellingwood, B., Galambos, T., MaGregor, J. y Cornell, C. (1980). Development o a Probability Based Load Criterion or Amerian National Standard A58, U.S Department o Commere, Washington, DC. Freudenthal, A., Garrelts, J. y Shinozuka, M. (1966). The analysis o strutural saety, ASCE Journal o Strutural Division, ol. 92, No. ST1, pp González, O. y Robles, F. (1997). Aspetos Fundamentales del Conreto Reorzado, Editorial Limusa S.A. de C.. Grupo Noriega Editores, Méxio D.F., Méxio. Melhers, R. (1999). Strutural Reliability Analysis and Predition, John Wiley & Sons Ltd, West Sussex, UK. Nieves, A. y Domínguez, F. (2010). Probabilidad y Estadístia para Ingeniería (Un enoque Moderno), MGraw-Hill/Interameriana Editores S.A. de C.., Méxio D.F., Méxio. Nilson, A. (1999). Diseño de Estruturas de Conreto, MGraw-Hill Interameriana, S.A., Bogotá, Colombia. Nowak, A. y Collins, K. (2000). Reliability o Strutures, 2 nd Edition, CRC Press, Boa Raton, Florida. Nowak, A. y Szerszen, M. (2003). Calibration o design ode or buildings (ACI 318): part 1 statistial models or resistane, ACI Strutural Journal, ol. 100, No.3, pp Rakozy, A. y Nowak, A. (2014). Resistane ators or lightweight onrete members, ACI Strutural Journal, ol. 111, No. 1, pp Russo, G. y Puleri, G. (1997). Stirrup eetiveness in reinored onrete beams under lexure and shear, ACI Strutural Journal, ol. 94, No. 3, pp Rev. Int. de Desastres Naturales, Aidentes e Inraestrutura Civil. ol. 14(1-2) 69

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