TRANSFORMADAS. Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs

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1 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema TRANSFORMADAS OBJETIVOS Reviión de la herramiena maemáica que e uilizan para la obención del modelo maemáico en forma de función de ranferencia. Reviión de la Tranformada de Laplace y u propiedade. Aplicar la ranformada de Laplace para la reolución de ecuacione diferenciale. Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

2 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema Objeivo Eudiar lo problema de convergencia de la ranformada de Fourier. Eudiar la Tranformada de Laplace, y u relación con la ranformada de Fourier, comenando u venaja y problema. Propiedade de dicha ranformada y u uilidad. Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

3 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema TRANSFORMADAS Inroducción al concepo maemáico de ranformada. Tranformada de Laplace. Forma de repreenar una eñal.. Tranformada. 3. Tranformada de Laplace. 4. Propiedade de la T. de Laplace. 5. Uilidad de la T. de Laplace. 6. Tabla de ranformada de Laplace. Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

4 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema Bibliografía Ogaa, K., "Ingeniería de conrol moderna", Ed. Prenice-Hall. Capíulo Dorf, R.C., "Siema moderno de conrol", Ed. Addion-Weley. Capíulo Kuo, B.C.,"Siema de conrol auomáico", Ed. Prenice Hall. Capíulo F. Maía y A. Jiménez, Teoría de Siema, Sección de Publicacione Univeridad Poliécnica de Madrid Capíulo Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

5 Univeridad Carlo III de Madrid FORMAS DE REPRESENTAR SEÑALES Señale y Siema Una eñal puede repreenare de varia manera Como función del iempo Ejemplo: Velocidad de un coche al arrancar v Aparenemene e la repreenación má naural Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

6 Univeridad Carlo III de Madrid FORMAS DE REPRESENTAR SEÑALES Señale y Siema Como función de la frecuencia Ejemplo: Sonido inenidad f Harían fala do gráfica ej. ampliud & fae Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

7 Univeridad Carlo III de Madrid FORMAS DE REPRESENTAR SEÑALES Señale y Siema π y 5 in 0. π / y 5 in 0. / Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

8 Univeridad Carlo III de Madrid FORMAS DE REPRESENTAR SEÑALES Señale y Siema Al iempo/frecuencia e le denomina variable independiene E poible paar de una repreenación a ora Dependiendo de la información que e preenda obener de la eñal, e mejor una repreenación u ora Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

9 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema TRANSFORMADAS Permien paar de un ipo de repreenación de eñale a oro. Ejemplo: TfiempoFfrecuencia Tf Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

10 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema TRANSFORMADAS Se buca implificar el eudio de la eñale y lo iema La ranformacione no iempre ienen un enido fíico y pueden er an olo repreenacione maemáica Señale coninua F K, f d K, b a e Tranformada de Fourier, jω Tranformada de Laplace, σjω Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

11 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema SERIES DE FOURIER Solo irven para eñale periódica Definición ω 0 π T f a k T k k 0 jkω0 f e d jkω e la frecuencia de la eñal f Poibilian un eudio de eñale emporale audio en u componene frecuenciale. T a e k 0 Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

12 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema SERIES DE FOURIER Una forma equivalene de repreenación como una uma de eñale enoidale: Dado que: e jθ coθ jinθ ae a co kω arg a ja in kω arg a jkω0 k k 0 k k 0 k k k f a co kω arg a j a in kω arg a k k 0 k k 0 k k Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

13 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema SERIES DE FOURIER La erie de Fourier e una ranformación dicrea, que olo oma valore para frecuencia múliplo de la frecuencia de la eñal f k ω 0 armónico * En cao de eñale reale: F[ kω0] F [ kω0] con lo que e anula la pare imaginaria correpondiene a la frecuencia kω 0 con la de -kω 0 k f a a co kω arg a 0 k 0 k k Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

14 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema SERIES DE FOURIER Ejemplo -0.5 f a0 ak cokϖ 0 bk en kϖ 0 k k 3 f enk 4 k 0 π k Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

15 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema SERIES DE FOURIER f 3 en3 en5 en7 en9 en... 4 π Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

16 SERIES DE FOURIER en en f en en f π π en en f f π en en f π Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

17 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema TRANSFORMADA DE FOURIER Relación con la erie de Fourier Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

18 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema TRANSFORMADA DE FOURIER Definición F f jω ω f e d ω R π jω F ω e dω Condición de convergencia f d < Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

19 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema TRANSFORMADA DE LAPLACE Problema de convergencia de la ranformada de Fourier F Mucha funcione de la uilizada en conrol no cumplen la condición de convergencia. Para olvenar el problema: Se inroduce el érmino iendo jω ω f e d d< Con el facor e garaniza la convergencia de la inegral: ˆ σ f f e ˆ j σ ω ˆ, σ R ω σ jω F f e d f e d f e σ Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

20 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema TRANSFORMADA DE LAPLACE Tranformada de Laplace σ jω F f e d F, C f π σ j j F σ j e d Convergencia a < σ < b Relación con la ranformada de Fourier j ω Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

21 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema TRANSFORMADA DE LAPLACE Do funcione pueden ener la mima ranformada de Laplace Ejemplo: x X α e > 0 0 < 0 α α e e d e d 0 0 α e > α α σ α 0 0 > 0 x α e < 0 α α X e e d e d α e < α α σ α e diferencian olo en la región de convergencia Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

22 Univeridad Carlo III de Madrid TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL Señale y Siema En general, rabajaremo con funcione en la que f0 para <0, en la que la ranformada de Laplace quedará definida como 0 F f e d que converge para a < σ Tranf. de Laplace unilaeral E la que uaremo habiualmene Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

23 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema PROPIEDADES Linealidad L ax bx ax bx Deplazamieno en el iempo x L 0 e X 0 Ecalado en el iempo x a L a X a Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

24 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema PROPIEDADES Deplazamieno en S α L e x X α Teorema del valor inicial x o limx Teorema del valor final lim x lim X 0 Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

25 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema PROPIEDADES DE LA T. L. Derivación dx L X d n d x L n d x0 X Inegración en el iempo n x0... x 0 n n 0 L x τ dτ X... Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

26 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema PROPIEDADES DE LA T. L. Diferenciación en L x Convolución dx d L x y X Y Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

27 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema TABLA DE TRANSFORMADAS δ > 0 u 0 0 < 0 u 0 n u 0 n! n α e u 0 α n α e u n! α en ω u co ω u e e α α 0 n en ω u ω co ω u 0 ω 0 ω 0 ω α ω 0 α α ω Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

28 Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema UTILIDAD La propiedad de diferenciación en el iempo no conviere la ecuacione diferenciale en polinomio en el dominio. La inegral de convolución repuea de un iema ane una eñal de do eñale en el iempo e ranforma en un produco de eñale en el dominio. Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

29 RESOLUCIÓN DE ECS. DIFERENCIALES 0 ; 0 5; 3 x x x x x ɺ ɺ ɺɺ ] 3[ ] [ 5 0] 3[ 0] 0 [ X X X X X X x X x x X ɺ e e x Univeridad Carlo III de Madrid Señale y Siema Dolore Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salich

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