Líneas de Espera: Teoría de Colas. Curso Métodos Cuantitativos Prof. Lic. Gabriel Leandro

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1 ínea de Epera: Teoría de Cola Curo Método Cuantitativo Prof. ic. Gabriel eandro

2 a cola a cola on frecuente en nuetra vida cotidiana: En un banco En un retaurante de comida rápida Al matricular en la univeridad o auto en un lavacar

3 a cola En general, a nadie le guta eperar Cuando la paciencia llega a u límite, la gente e va a otro lugar Sin embargo, un ervicio muy rápido tendría un coto muy elevado E neceario encontrar un balance adecuado

4 Teoría de cola Una cola e una línea de epera a teoría de cola e un conjunto de modelo matemático ue decriben itema de línea de epera particulare El objetivo e encontrar el etado etable del itema y determinar una capacidad de ervicio apropiada

5 Teoría de cola Exiten mucho itema de cola ditinto Alguno modelo on muy epeciale Otro e ajutan a modelo má generale Se etudiarán ahora alguno modelo comune Otro e pueden tratar a travé de la imulación

6 Sitema de cola: modelo báico Un itema de cola puede dividire en do componente principale: a cola a intalación del ervicio o cliente o llegada vienen en forma individual para recibir el ervicio

7 Sitema de cola: modelo báico o cliente o llegada pueden er: Perona Automóvile Máuina ue reuieren reparación Documento Entre mucho otro tipo de artículo

8 Sitema de cola: modelo báico Si cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, paa de una vez a recibir el ervicio Si no, e une a la cola E importante eñalar ue la cola no incluye a uien etá recibiendo el ervicio

9 Sitema de cola: modelo báico a llegada van a la intalación del ervicio de acuerdo con la diciplina de la cola Generalmente éta e primero en llegar, primero en er ervido Pero pueden haber otra regla o cola con prioridade

10 Sitema de cola: modelo báico Sitema de cola legada Cola Diciplina de la cola Intalación del ervicio Salida

11 Etructura típica de itema de cola: una línea, un ervidor Sitema de cola legada Cola Servidor Salida

12 Etructura típica de itema de cola: una línea, múltiple ervidore Sitema de cola Servidor Salida legada Cola Servidor Salida Servidor Salida

13 Etructura típica de cola: varia línea, múltiple ervidore Sitema de cola Cola Servidor Salida legada Cola Servidor Salida Cola Servidor Salida

14 Etructura típica de cola: una línea, ervidore ecuenciale legada Sitema de cola Cola Servidor Cola Servidor Salida

15 Coto de un itema de cola 1. Coto de epera: E el coto para el cliente al eperar Repreenta el coto de oportunidad del tiempo perdido Un itema con un bajo coto de epera e una fuente importante de competitividad

16 Coto de un itema de cola 2. Coto de ervicio: E el coto de operación del ervicio brindado E má fácil de etimar El objetivo de un itema de cola e encontrar el itema del coto total mínimo

17 Sitema de cola: a llegada El tiempo ue trancurre entre do llegada uceiva en el itema de cola e llama tiempo entre llegada El tiempo entre llegada tiende a er muy variable El número eperado de llegada por unidad de tiempo e llama taa media de llegada ()

18 Sitema de cola: a llegada El tiempo eperado entre llegada e 1/ Por ejemplo, i la taa media de llegada e = 20 cliente por hora Entonce el tiempo eperado entre llegada e 1/ = 1/20 = 0.05 hora o 3 minuto

19 Sitema de cola: a llegada Ademá e neceario etimar la ditribución de probabilidad de lo tiempo entre llegada Generalmente e upone una ditribución exponencial Eto depende del comportamiento de la llegada

20 Sitema de cola: a llegada Ditribución exponencial a forma algebraica de la ditribución exponencial e:???? P( tiempo de ervicio t) 1 e t Donde t repreenta una cantidad expreada en de tiempo unidade de tiempo (hora, minuto, etc.)

21 Sitema de cola: a llegada Ditribución exponencial P(t) 0 Media Tiempo

22 Sitema de cola: a llegada Ditribución exponencial a ditribución exponencial upone una mayor probabilidad para tiempo entre llegada peueño En general, e conidera ue la llegada on aleatoria a última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la iguiente

23 Sitema de cola: a llegada - Ditribución de Poion E una ditribución dicreta empleada con mucha frecuencia para decribir el patrón de la llegada a un itema de cola Para taa media de llegada peueña e aimétrica y e hace má imétrica y e aproxima a la binomial para taa de llegada alta

24 Sitema de cola: a llegada - Ditribución de Poion Su forma algebraica e: P( k) Donde: P(k) : probabilidad de k llegada por unidad de tiempo : taa media de llegada e = 2, k e k!

25 Sitema de cola: a llegada - Ditribución de Poion P 0 legada por unidad de tiempo

26 Sitema de cola: a cola El número de cliente en la cola e el número de cliente ue eperan el ervicio El número de cliente en el itema e el número de cliente ue eperan en la cola má el número de cliente ue actualmente reciben el ervicio

27 Sitema de cola: a cola a capacidad de la cola e el número máximo de cliente ue pueden etar en la cola Generalmente e upone ue la cola e infinita Aunue también la cola puede er finita

28 Sitema de cola: a cola a diciplina de la cola e refiere al orden en ue e eleccionan lo miembro de la cola para comenzar el ervicio a má común e PEPS: primero en llegar, primero en ervicio Puede dare: elección aleatoria, prioridade, UEPS, entre otra.

29 Sitema de cola: El ervicio El ervicio puede er brindado por un ervidor o por ervidore múltiple El tiempo de ervicio varía de cliente a cliente El tiempo eperado de ervicio depende de la taa media de ervicio ()

30 Sitema de cola: El ervicio El tiempo eperado de ervicio euivale a 1/ Por ejemplo, i la taa media de ervicio e de 25 cliente por hora Entonce el tiempo eperado de ervicio e 1/ = 1/25 = 0.04 hora, o 2.4 minuto

31 Sitema de cola: El ervicio E neceario eleccionar una ditribución de probabilidad para lo tiempo de ervicio Hay do ditribucione ue repreentarían punto extremo: a ditribución exponencial (=media) Tiempo de ervicio contante (=0)

32 Sitema de cola: El ervicio Una ditribución intermedia e la ditribución Erlang Eta ditribución poee un parámetro de forma k ue determina u deviación etándar: 1 k media

33 Sitema de cola: El ervicio Si k = 1, entonce la ditribución Erlang e igual a la exponencial Si k =, entonce la ditribución Erlang e igual a la ditribución degenerada con tiempo contante a forma de la ditribución Erlang varía de acuerdo con k

34 Sitema de cola: El ervicio P(t) k = k = 8 k = 1 k = 2 0 Media Tiempo

35 Sitema de cola: Ditribución Erlang Ditribución Contante Erlang, k = 1 Deviación etándar 0 media Erlang, k = 2 1/ 2 media Erlang, k = 4 Erlang, k = 8 Erlang, k = 16 Erlang, cualuier k 1/2 media 1/ 8 media 1/4 media 1/ k media

36 Sitema de cola: Etiueta para ditinto modelo Notación de Kendall: A/B/c A: Ditribución de tiempo entre llegada B: Ditribución de tiempo de ervicio M: ditribución exponencial D: ditribución degenerada E k : ditribución Erlang c: Número de ervidore

37 Etado del itema de cola En principio el itema etá en un etado inicial Se upone ue el itema de cola llega a una condición de etado etable (nivel normal de operación) Exiten otra condicione anormale (hora pico, etc.) o ue interea e el etado etable

38 Deempeño del itema de cola Para evaluar el deempeño e buca conocer do factore principale: 1. El número de cliente ue eperan en la cola 2. El tiempo ue lo cliente eperan en la cola y en el itema

39 Medida del deempeño del itema de cola 1. Número eperado de cliente en la cola 2. Número eperado de cliente en el itema 3. Tiempo eperado de epera en la cola 4. Tiempo eperado de epera en el itema

40 Medida del deempeño del itema de cola: fórmula generale 1

41 Medida del deempeño del itema de cola: ejemplo Suponga una etación de gaolina a la cual llegan en promedio 45 cliente por hora Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 cliente por hora Se abe ue lo cliente eperan en promedio 3 minuto en la cola

42 Medida del deempeño del itema de cola: ejemplo a taa media de llegada e 45 cliente por hora o 45/60 = 0.75 cliente por minuto a taa media de ervicio e 60 cliente por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto

43 Medida del deempeño del itema de cola: ejemplo 3min min cliente cliente

44 Medida del deempeño del itema de cola: ejercicio Suponga un retaurant de comida rápida al cual llegan en promedio 100 cliente por hora Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 cliente por hora Se abe ue lo cliente eperan en promedio 2 minuto en la cola Calcule la medida de deempeño del itema

45 Probabilidade como medida del deempeño Beneficio: Permiten evaluar ecenario Permite etablecer meta Notación: P n : probabilidad de tener n cliente en el itema P( t t

46 Factor de utilización del itema Dada la taa media de llegada y la taa media de ervicio, e define el factor de utilización del itema. Generalmente e reuiere ue < 1 Su fórmula, con un ervidor y con ervidore, repectivamente, e:

47 Factor de utilización del itema - ejemplo Con bae en lo dato del ejemplo anterior, = 0.75, = 1 El factor de utilización del itema i e mantuviera un ervidor e = / = 0.75/1 = 0.75 = 75% Con do ervidore ( = 2): = / = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%

48 Modelo de una cola y un ervidor M/M/1: Un ervidor con llegada de Poion y tiempo de ervicio exponenciale M/G/1: Un ervidor con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución general de tiempo de ervicio M/D/1: Un ervidor con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución degenerada de tiempo de ervicio M/E k /1: Un ervidor con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución Erlang de tiempo de ervicio

49 Modelo M/M/1 1 0, ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( 1 ) ( ) (1 ) (1 1 2 t e t P e t P n P P t t n n n

50 Modelo M/M/1: ejemplo Un lavacar puede atender un auto cada 5 minuto y la taa media de llegada e de 9 auto por hora Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Ademá la probabilidad de tener 0 cliente en el itema, la probabilidad de tener una cola de má de 3 cliente y la probabilidad de eperar má de 30 min. en la cola y en el itema

51 Modelo M/M/1: ejemplo ) 30 / ( ) 30 / ( ) ( 0.25 ) (1 15min 0.25 ) ( 20min ) ( , 9, ) (1 ) ( t t e P e P P P hr hr cliente cliente

52 Modelo M/M/1: ejercicio A un upermercado llegan en promedio 80 cliente por hora ue on atendido entre u 5 caja. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minuto Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Ademá la probabilidad de tener 2 cliente en el itema, la probabilidad de tener una cola de má de 4 cliente y la probabilidad de eperar má de 10 min. en la cola

53 Modelo M/G/ ) 2( w P P

54 Modelo M/G/1: ejemplo Un lavacar puede atender un auto cada 5 min. y la taa media de llegada e de 9 auto/hora, = 2 min. Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/G/1 Ademá la probabilidad de tener 0 cliente en el itema y la probabilidad de ue un cliente tenga ue eperar por el ervicio

55 Modelo M/G/1: ejemplo min min ) 2( w P P hr hr cliente cliente

56 Modelo M/G/1: ejercicio A un upermercado llegan en promedio 80 cliente por hora ue on atendido entre u 5 caja. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minuto. Suponga = 5 min Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/G/1 Ademá la probabilidad de tener 0 cliente en el itema y la probabilidad de ue un cliente tenga ue eperar por el ervicio

57 Modelo M/D/1 2 2(1 ) 1 1

58 Modelo M/D/1: ejemplo Un lavacar puede atender un auto cada 5 min. a taa media de llegada e de 9 auto/hora. Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/D/1

59 Modelo M/D/1: ejemplo 1.875cliente cliente 2(1 ) hr 12.5min 0.125hr 7.5min

60 Modelo M/D/1: ejercicio A un upermercado llegan en promedio 80 cliente por hora ue on atendido entre u 5 caja. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minuto. Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/D/1

61 Modelo M/E k /1 2 ( k 1) 2k (1 ) 1 1

62 Modelo M/E k /1: ejemplo Un lavacar puede atender un auto cada 5 min. a taa media de llegada e de 9 auto/hora. Suponga = 3.5 min (aprox.) Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/E k /1

63 Modelo M/E k /1: ejemplo 11.25min min ) (1 2 1) ( hr hr cliente k k cliente

64 Modelo M/E k /1: ejercicio A un upermercado llegan en promedio 80 cliente por hora ue on atendido entre u 5 caja. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minuto. Suponga k= 4 Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/E /1 k

65 Modelo de un ervidor: Ejercicio: complete el cuadro ejemplo lavacar Modelo M/M/1 M/G/1 M/D/1 M/E k /1

66 Modelo de vario ervidore M/M/: ervidore con llegada de Poion y tiempo de ervicio exponenciale M/D/: ervidore con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución degenerada de tiempo de ervicio M/E k /: ervidore con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución Erlang de tiempo de ervicio

67 M/M/, una línea de epera ! 1,!,! 1 ) 1)!( (!! 1 P P k n i P P k n i P n P P n P w n n n n n n n

68 M/M/, una línea de epera Si Si 3 4 (3 )(6 4 2 )

69 Análii económico de línea de Coto epera Coto total Coto del ervicio Coto de epera Taa óptima de ervicio Taa de ervicio

70 R E S U M E N T E O R Í A D E C O A S Prof. ic. Gabriel eandro, MBA Dato báico: El número eperado de llegada por unidad de tiempo e llama taa media de llegada () El tiempo eperado entre llegada e 1/ El tiempo eperado de ervicio depende de la taa media de ervicio () El tiempo eperado de ervicio euivale a 1/ Medida del deempeño del itema de cola: Número eperado de cliente en la cola Número eperado de cliente en el itema Tiempo eperado de epera en la cola Tiempo eperado de epera en el itema Fórmula generale para la medida del deempeño: 1 Factor de utilización del itema: Modelo de una cola y un ervidor: 2 M/M/1: ( ) M/G/1: 2(1 ) 2 M/D/1: 2(1 ) 2 ( k 1) M/Ek/1: 2 k (1 ) Modelo de vario ervidore: M/M/: 1 P0 1 n! n0 n! P 2 0 ( 1)!( ) M/M/2 y M/M/3: M/D/ M/Ek/ 4 2 (3 )(6 4 ) Análii económico de cola: Coto Coto total Coto del ervicio Coto de epera Taa óptima de ervicio Taa de ervicio

71 Si deea má información viite e invitamo a leer nuetro artículo y matricular nuetro curo

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