Teoria de Colas Aplicaciones en Aviación

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1 Teoria de Colas Aplicaciones en Aviación Dr. Antonio A. Trani Profesor Asociado Instituto Politécnico de Virginia Seminario Taller sobre Equilibrio entre Demanda y Capacidad Operacional del Sistema Aeropuerto y ATS Marzo 5-9, of 71

2 Presentación Teoria de colas y otros métodos de predicción de demoras Principios matemáticos Definiciones de un sistema de colas Ejemplos 2 of 71

3 Teoria de Colas y Otros Métodos para Estimar Niveles de Servicio Modelos análiticos - Representa al sistema en forma exacta (por ejemplo teoria de colas) Simulación Monte Carlo - Descripcion de un sistema complejo con variables aleatorias (por lo general ignora el paso del tiempo) Modelos de simulación continua - Uso de ecuaciones diferenciales para estimar cambios del sistema aeroportuario Simulación discreta - Descipción de un sistema utilizando relaciones logicas para estimar cambios en el estado del sistema (cambios discretos) 3 of 71

4 Teoria de Colas (Idea Basica) Teoria de colas puede ser usada para el calculo rapido de niveles de servicio y demoras en subsitemas aeroportuarios Clientes que llegan Cola Servidor Clientes que parten Fuente Potencial Sistema de la Cola (queueing system) Patron de Espera (Cola - queue) Pista (Servidor) 4 of 71

5 Razón #1 Razones por la Manifestacion de Colas Llegadas an un aerodromo (tanto aviones como pasajeros) es un fenomeno aleatorio (random) Este proceso aleatorio se analiza usando modelos estocásticos de colas Razón # 2 Durante ciertos periodos de poca duracion, la demanda excede la capacidad del aerodromo Este proceso se analiza usando modelos deterministicos de colas 5 of 71

6 Manifestacion de Colas en el Espacio Aereo (Atlanta TMA) Area!de!Colas!en!Fijo! 6 of 71

7 Colas se Manifiestan con Gran Numero de Aviones Recibiendo Vectores antes the Entrar en al Area Terminal 7 of 71

8 Colas en Periodos Pico de Uso de Pistas (DFW) Prediction!and!Control!of!Departure!Runway!Balancing!at!Dallas/Fort!Worth!Airport Stephen!Atkins!and!Deborah!Walton NASA!Ames!Research!Center,!Moffett!Field,!CA! ! 8 of 71

9 Modelos Estocásticos de Teoria de Colas 9 of 71

10 Modelos Usados en Teoria de Colas Dependiendo de las distribuciones de llegada y de servicio usadas, los modelos de colas se clasifican de la siguiente manera: M = Distribucion exponencial (Markovianos) D = Degenerados (tiempos constantes) E(k) = Distribuciones tipo Erlang G = Distribucion general En 1953 David G. Kendall introdujo la nomenclatura A/B/C usada en la Teoria de Colas hoy en dia 10 of 71

11 Notacion de Kendall Un sistema se colas se designa: A/B/C en donde, A = funcion de llegada de clientes (aviones, pasajeros, etc.) B = funcion de servicio de clientes (aviones, pasajeros,etc.) C = Numero de servidores en el sistema de cola Por ejemplo: un sistema de colas M/M/2 Se traduce como llegadas Poisson (i.e., tiempos entre llegadas exponenciales), tiempos de servicio exponenciales y el sistema tiene dos servidores 11 of 71

12 Definiciones Specificacion de una cola Fuente de entrada (input population) Disciplina de llegada (arrival discipline) Mecanismo de servicio (service discipline) Configuracion de la cola (service facility configuration) Capacidad de la cola (queueing system capacity) Clientes o entidades que reciben servicio (entities/clients) 12 of 71

13 Definicion de Parametros en Teoria de Colas Parametro! µ s L P n Significado Taza media de llegadas y servicios (clientes o entidades por unidad de tiempo) Taza media de servicio (clientes o entidades por unidad de tiempo) Numero de servidores en el sistema Numero promedio esperado de clientes en el sistema de colas Probabilidad de que exactamente n clientes esten en el sistema de colas 13 of 71

14 Parametro " W q W Significado Factor de uso del sistema de colas Tiempo promedio en la cola Tiempo promedio en el sistema de colas 14 of 71

15 Ecuaciones Fundamentales (derivadas por J.D. Little) Cuando! is constante, se sabe que, L =!W L q =!W q 1 W = W q + -- µ (1) (2) (3) Estas son tres ecuaciones fundamentales que explican el comportamiento de un cola en estado estable Estado estable = cuando la cola alcanza un comportamiento estatico (despues de un lago tiempo) 15 of 71

16 Modelo Basico M/M/s (Servidores Multiples) Asumamos una poblacion infinita con tiempos de llagada y servicio constantes! and µ Llegadas Poisson (aleatorias) con parametro Probabilidad de la funcion de tiempos de servicio es exponentiacial negativa con parametro µ n Solo una llegada o servicio por periodo! n Para mayor informacion sobre la teoria de colas consulta el libro: Operations Research (i.e., Hillier and Lieberman, 1996) o equivalente 16 of 71

17 Ecuaciones con Servidores Multiples (I) Factor de uso del sistema de cola " =! sµ Probabilidades que existan zero y n entidades/clientes en el sistema de cola P 0 = 1 s 1 ' n = 0 % (! µ ) n (! µ ) s n! s! # % 1 (! sµ ) $ & & ( ) # $ (4) % ( (! µ ) P n 0 P n! n = ( ( ( (! µ ) P n s!s n s 0 # 0 * n * s n + s (5) 17 of 71

18 Ecuaciones con Servidores Multiples (II) Numero promedio de entidades en el sistema de cola L =! "P 0 -- # % µ $ & s s! ( 1 ") 2! + -- µ (6) Numero promedio de entidades en la cola! "P 0 -- # % µ $ & s L q = s! ( 1 ") 2 (7) 18 of 71

19 Ecuaciones con Servidores Multiples (III) Tiempo promedio en la cola W q = L ---- q! (8) Tiempo promedio en el sistema de colas (W) es, W = L --! (9) 19 of 71

20 Multi-server Queueing Equations (III) Funcion de probabilidad de tiempos de servicio P( W > t) = e µt 1 +! P 0 -- # % µ $ & s s! e µt( s 1! µ ) ( 1 ")# % s 1! µ $ & (10) si s 1! µ = 0 entonces usemos, e µt( s 1! µ ) = s 1! µ µt 20 of 71

21 Ejemplo # 1 Assumamos condiciones de operacion IFR a un aerodromo Llegadas aleatorias (random) a un fijo comun es de 45 aviones/ hr Tiempo de servicio definido por separacion de llegadas (120 s) (exponencial negativa) Runway 09L-27R 1525 m Fijo comun de llegadas Runway 09R-27L 21 of 71

22 Resultados del Sistema de Colas Parametro! µ P o " L W q W 45 aviones/hr Valor Numerico 30 aviones por pista por hora (promedio) aviones (incluye los que estan en servicio) 2.57 minutos por operacion 4.57 minutos por operacion 22 of 71

23 Análisis de Sensibilidad del Sistema Variando la taza media de llegadas (!) de 20 to 55 por hora se puede apreciar la variación (no lineal) en las demoras. Promedio de Tiempo de Demora Waiting (minutos/avion) Time (min) Taza Media Arrival de Rate Llegadas (Aircraft/hr) (aviones/hora) 23 of 71

24 Variación del Parametro L q en Función de la Demanda El diagrama muestra la variación del numero de aviones esperando en la cola en contra de la función demanda Numero de Aviones Esperando en Holding la Cola Aircraft (aviones) Taza Media Arrival de Llegadas Rate (Aircraft/hr) (aviones/hora) 24 of 71

25 Ejemplo # 2: Nivel de Servicio en una Terminal del Aeropuerto (Area de Seguridad) El aeropuerto que se muestra en las siguientes figuras tiene dos sistemas de rayos-x. Un muestreo revela que en promedio, a un pasajero le toma 45 segundos pasar por el area de seguridad (asumamos que la función de distribución de servicio es exponencial negativa) Los pasajeros llegan al area de seguridad en forma aleatoria (desorganizada) (esto equivale a una función Poisson de llegadas). En promedio, un pasajero llega cada 25 segundos al area de seguridad. En el futuro (2010), se espera que la función demanda aumente en un 60% con respecto a la demanda actual. 25 of 71

26 Preguntas Tipicas en Teoria de Colas a) Cual es el factor de utlización de las maquinas rayos-x hoy en dia? b) Cuantas maquinas de rayos-x se deben disponer en el futuro (2010) para dar un nivel de servicio tal que el pasajero promedio no espere mas de 2 minutos en la cola? c) Cual es el numero de pasajeros en area de seguridad (incluyendo aquellos pasajeros que estan en los servidores) en ano 2010? d) Usando la solucion (b) cual es la utilización de las maquinas de rayos-x? e) Cual es la probabilidad que en al ano 2010 mas the 4 pasajeros esperen el la cola? 26 of 71

27 Terminal Aeroportuaria (Ejemplo # 2) 27 of 71

28 Diagrama del Area de Seguridad Q i S t S i F ilit 28 of 71

29 Solución a la Parte (a) a) La utilización se denota, ". Usando las ecuaciones anteriores para ". " =! / (sµ) = 140/(2*80) = 0.90 Los otros parametros del sistema de colas se pueden calcular usando ecuaciones 1-6. Probabilidad que el sistema esta vacio (P 0 ) = Número de pasajeros (promedio) en la cola (Lq) = 7.67 Número de pasajeros (promedio) en el sistema (L) = Tiempo promedio en la cola = 192 segundos Tiempo promedio en el sistema de colas = 237 segundos 29 of 71

30 b) La solución para encontrar el numero de máquinas de rayos-x con un determinado tiempo de servicio no se puede encontrar algebraicamente. Las ecuaciones (7) y (8)! "P 0 -- # % µ $ & s L L q = y W q s! ( 1 ") 2 q = ----! No tienen una solucion analítica si se conoce el tiempo de espera en la cola (W q ). Sin embargo podemos resolver dichas ecuaciones asumiendo valores de s hasta que el nivel de servicio requerido sea obtenido. Come primera alternativa, asumamos que el numero de máquinas de rayos-x sea 3 (s=3). 30 of 71

31 Encontramos primero Po, s 1 ' (! µ ) P 2 0 = n! n = 0 + (! µ ) s s! # % 1 (! sµ ) $ & Po =.0097 o bien, menos del 1% del tiempo el area de seguridad estara vacia (sin ningun cliente). resolviendo para el tiempo de espera en la cola, Wq = 332 segundos Esta demora excede el maximo establecido de 2 minutos (120 segundos). Por lo tanto es necesario incrementar el numero de servidores en el sistema. Las figuras que se muestran a continuación demuestran que los tiempos de demora aumentan de una manera súbita cuando el numero de servidores es bajo. 31 of 71

32 Variación de Probabilidad de Sistema Vacio (Po) con s Probabilidad del Sistema Vacio Numero de Servidores 32 of 71

33 Variación de L con s 30 Numero de Pasajeros en Area de Seguridada Numero de Servidores 33 of 71

34 Variación de Lq con s 25 Numero de Pasajeros en la Cola Numero de Servidores 34 of 71

35 Variación de Tiempo Promedio en Cola (Wq) con s Tiempo Promedio en la Cola (segundos) Limite de Tiempo de Espera Numero de Servidores El resultado demuestra que 4 máquinas de rayos-x son necesarias para satisfacer el nivel de servicio deseado. 35 of 71

36 Variación de Tiempo en el Sistema (W) con s Tiempo en el Sistema de Colas (segundos) Numero de Servidores 36 of 71

37 Resultados para Partes (c) y (d) c) El número promedio de pasajeros en el sistema con 4 servidores (s = 4) es, L =! "P 0 -- # % µ $ & s s! ( 1 ") 2! + -- µ L = 4.04 pasajeros en el dia tipico de 2010 d) La utilización del sistema es (4 máquinas de rayos-x) " =! / (sµ) = (1/25)/ (4*(1/45)) = of 71

38 e) La probabilidad de mas de cuatro pasajeros que esperan servicio es la probabilidad de mas de ocho en el sistema P( n > 8) = 1 ' P n 8 n = 0 donde, (! µ ) P n = P n 0 if n * s n! (! µ ) P n = P n if s!s n s 0 n > s calculando, P n > 8 is of 71

39 Modelo Básico M/G/1 (Un solo servidor) Este model es parecido al descrito anteriormente Notese que la distribucion de servicios es General (G) y por tanto se necesitan dos parametros para definir la media y desviación estandard del proceso de servicio Definamos µ la taza media de servicios (entidades/tiempo) y la desviación estandard de los servicios (unidad es tiempo). Entonces el modelo para estimar los tiempos en la cola es,![( 1 µ ) W 2 +, 2 ] q = ( 1! µ ), (11) 39 of 71

40 Uso de las Ecuaciones de Little Una vez encontrado el valor del tiempo promedio en la cola (W q ) podemos usar las ecuaciones de Little para encontrar otros parametros de interes, 1 W = W q + -- µ L =!W L q =!W q El siguiente ejemplo illustra el uso de estas ecuaciones. (12) (13) (14) 40 of 71

41 Ejemplo Ilustrativo # 3 Assumamos condiciones de operacion IFR a un aeródromo Llegadas aleatorias (random) a la pista 24 operaciones/hr Tiempo de servicio definido por separación de llegadas (120 s) con desviación estandard de 20 segundos Distribucion General Pista 05R-23L 41 of 71

42 Resultados del Sistema de Colas Parametro! µ " W q L q W L 24 aviones/hr Valor Numérico 30 aviones por hora (promedio) ya que 120 segundos promedio entre servicios resulta en 30 operaciones/hr minutos por operacion 1.64 aviones en la cola 6.11 minutos por operacion 2.44 aviones en el sistema de cola 42 of 71

43 Análisis de Sensibilidad del Sistema Variando la taza media de llegadas (!) de 1 a 26 operaciones por hora se puede apreciar la variación las demoras (Wq) 43 of 71

44 Análisis de Sensibilidad del Sistema Variando la desviación estandard del servicio (,) de 20 a 100 segundos se puede apreciar el cambio en el tiempo en cola (Wq), = 100 segundos, = 20 segundos 44 of 71

45 Implicaciones Para Uso Práctico Los parametros de la cola varian de acuerdo a situaciones practicas de cada problema a) Cuando la poblacion de aviones es homogenea y con control radar, se espera un valor de, bajo (tal vez de segundos) b) Cuando la poblacion de aviones no es homogenea y con control radar se espera un valor alto de, (tal vez de 60 segundos o mas) c) La teoria de colas implica que cuando la capacidad ( µ ) es cercana a la demanda (!) los tiempos de espera son muy altos Cuando el factor de utilizacion de cola (! µ = ") se acerca a es necesario aumentar la capacidad del sistema 45 of 71

46 Implicaciones Para Uso Practico (II) El nivel de servicio de un sistema se puede medir en funcion de los parametros basicos derivados en teoria de colas. Principalmente, " =! -- µ utilización del sistema W q L q tiempo en la cola (demoras en la cola) número de entidades en la cola (estable) Cada usuario puede especificar los valores de estos tres parametros para proporcionar un nivel de servicio adecuado. Diferentes paises utilizan diversos valores de,, y. " W q L q 46 of 71

47 Modelos Determinísticos de Teoria de Colas 47 of 71

48 Teoria de Colas Cuando la Demanda Excede la Capacidad Las ecuaciones presentadas anteriormente no funcionan cuando la demanda (!) excede la capacidad ( µ ) debido a que el factor de utilización, " =! -- µ es mayor que 1 Notese que todas las ecuaciones (4-9) requiren que funcionar correctamente. " < 1 para En aeródromos con suficiente demanda, es probable que durante periodos cortos, el valor de demanda (!) exceda el valor de la capacidad ( µ ) de un subsistema. Entonces, es necesario usar otro criterio en teoria de colas para calcular las demoras. 48 of 71

49 Diagrama de Colas Determinísticas Flujos Capacidad Deficit de Capacidad Demanda Flujo Acumulado Demanda Acumulada W t L t Capacidad Acumulada t 1 t 2 Tiempo 49 of 71

50 Parametros de Colas Determinísticas La longitud de la cola, L t, (i.e., estado del sistema) corresponde a la distancia vertical entre las lineas de demand y capacidad acumuladas El tiempo de espera (o demora), W t, es la distancia horizontal entre las lineas de demand y capacidad acumuladas para una entidad (avión o pasajero) que llega al tiempo t 1 La demora total es el area comprendida entre las lineas de demand y capacidad acumuladas El tiempo promedio de demora per entidad (Wq) es el cociente de la demora total y el numero de entidades servidas o procesadas 50 of 71

51 Definición de la Ecuacion Basica de Cola Definamos el estado de la cola L t como la integral, L t = (! t µ t ) dt 0 t - L t! t µ t es el número de unidades en la cola (instantaneamente) es la función de demanda (entidades por unidad de tiempo) es la capacidad del sistema (entidades por unidad de tiempo) 51 of 71

52 Representacion para Analizar el Modelo Deterministico La razon de cambio de la cola L t se puede expresar, dl t = (! t µ t ) dt (15) Esta ecuación se puede resolver integrando la derivada función de tiempo. Para hacer el proceso mas facil, expresamos la ecuación (15) en forma diferencial finita, L t = L t 1! t µ t + ( ).t dl t Esta ecuación es facil de estimar usando una hoja de cálculo como Excel. dt en 52 of 71

53 Manifestacion de Colas Determinísticas (I) Configuración del aerodromo de San Francisco (SFO) 53 of 71

54 Manifestación de Colas Determinísticas (II) Capacidad del aerodromo SFO bajo condiciones IFR grafico de: FAA 2001 Benchmark report 54 of 71

55 Manifestación de Colas Determinísticas (III) Capacidad y demanda de SFO bajo condiciones IFR (15 minutos) Capacidad = 72 operaciones/hr (18 ops/ 15-min) grafico de: FAA 2001 Benchmark report 55 of 71

56 Observemos De la figura enterior para el aeródromo de SFO, se observa que hay 11 intervalos de tiempo con periodos demanda mayor que la capacidad bajo condiciones IFR Estos intervalos de tiempo son cortos pero propician la fomacion de colas en las pistas y en el area terminal Usaremos un modelo de teoria de colas determinístico para estimar las demoras en este caso 56 of 71

57 Ejemplo 4 - Aeródromo Regional Este ejemplo pronostica colas determinísticas para un aeródromo regional en donde se cierra pracialmente la terminal por un periodo de 2 horas (por una renovación) Renovation 57 of 71

58 Descripción del Problema! = 1500 para 0 < t < 1 (tiempo en horas)! = 500 para t > 1 En donde,! es la función demanda y t es el tiempo en horas. La capacidad de la terminal (µ) es, µ = 1000 para t < 2 µ = 1500 para t > 2 Un gráfico de! y!µ!de!en!función!de!tiempo!ayudan!a!entender!el! problema 58 of 71

59 Gráfico del Problema 4 Demanda y capacidad para el problema 4 Flujo horario (pasajeros/hr) 1500 capacidad (µ) demanda (!) Tiempo (hr) 59 of 71

60 Solución Numérica Tabulación numérica usando hoja de cálculo Simulation Time (hr) State Variable (L t ) Rate Variable (! t ) Rate Variable (µ t ) Sum of Rates (! t -µ t ) (Sum of Rates).t of 71

61 Simulation Time (hr) State Variable (L t ) Rate Variable (! t ) Rate Variable (µ t ) Sum of Rates (! t -µ t ) (Sum of Rates).t Los valores de! t and µ t se asumen constantes entre cada intervalo de integración. 61 of 71

62 Solución al Problem 4 (I) Gráfico de flujos acumulados para entender el problema 1: Passengers In 2: Passengers Served 1 : 2 : Tiempo de Espera (W t ) Estado de la Cola (L t ) : 2 : : 2 : Time 12:57 PM 7/7/93 62 of 71

63 Solución al Problem 4 (II) La demora total (T d ) es el area comprendida entre las lineas de demand y capacidad acumuladas T d = 2 [(1/2)( )] = 500 pasajeros-hora a) El maximo numero de pasajeros, L(t) max es, L(t) max = = 500 pasajeros at tiempo t=1.0 hora 63 of 71

64 Solución al Problem 4 (III) La demora promedio es la demora total (T d ) dividida por el número de pasajeros afectados por la cola (N d ) W = T d ---- N d = 15 minutos El promedio de pasajeros en cola se calcula como la demora total (T d ) dividida por el tiempo de duración de la cola (t d ) L T ---- d t q = = 500pasajeros-hora horas = 250 pasajeros 64 of 71

65 Ejemplo 5 - Chicago O Hare Cola Determinística El ejemplo illustra el uso de colas determinísticas para calcular demoras en el aerodromo internatcional de Chicago (O Hare Intl. Airport - ORD). Los datos de demanda fueron extraidos de un dia típico de operaciones en ORD. Se uso el sistema ETMS (Enhanced Traffic Management System) para extraer dichos datos. La capacidad de 75 operaciones por hora se usa como valor de referencia. 65 of 71

66 ORD Cola Determinística a) La capacidad ( µ t ) se asume constante durante todo el dia para este problema. Su valor es 75 operaciones pro hora. b) La demanda! t es variable a traves del dia. La figura siguiente illustra el problema. 66 of 71

67 ORD Funciones de Demand y Capacidad 100 Capacity (Supply) Demand Demand or Capacity (Entities/time) TextEnd Time (hours) 67 of 71

68 Solución Numérica Demand or Capacity (Entities/time) TextEnd Time (hours) 40 Entities in Queue TextEnd Time 68 of 71

69 Soluciones para L t y la Integral de L t Entities in Queue TextEnd L t Function Total Delay (Entities-time) Time Integral of L t Function TextEnd Time 69 of 71

70 Conclusiones Teoria de colas es una herramienta útil para evaluar niveles de servicio, utilizacion y demoras en varias componentes del aerodromo Teoria de colas puede estimar demoras causadas por dos fenomenos: a) Llegadas an un aeródromo (tanto aviones como pasajeros) es un fenomeno aleatorio (random) b) Durante ciertos periodos de poca duración, la demanda excede la capacidad del aeródromo 70 of 71

71 Referencias (I) 1) Law, A.M. and W.D. Kelton, Simulation Modeling and Analysis: Second Edition, McGraw Hill, New York, ) Hill, D.R., Object Oriented Analysis and Simulation, Addison- Wesley, Harlow, England ) Hillier, M. and J. Lieberman, Introduction to Operations Research: 6th Edition, McGraw Hill, New York, of 71

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