Identificación experimental de sistemas

Transcripción

1 Sistemas de Cotrol Automático Idetificació experimetal de sistemas Agel Martíez Bueo GITE IEA - -

2 ÍNDICE. Itroducció.. Tipos de respuestas.. Métodos de idetificació experimetal.. Idetificació mediate respuesta ate etrada escaló. Respuestas Sobreamortiguadas. o er orde puro. o er orde co retardo. o Polos reales múltiples. o Polos reales múltiples co retardo. o Polos reales distitos. Sistemas iestables. Respuestas Subamortiguadas. o º orde estádar. o º orde estádar co retardo. o º orde estádar co polo adicioal. o º orde estádar co cero adicioal.. Idetificació mediate respuesta e frecuecia..3 Idetificació mediate Míimos cuadrados..3. Propiedades del estimador de míimos cuadrados. o Modelo ARX. o Modelo OE. o Modelo ARMAX. o Modelo BJ. 3. Ejemplos.

3 . Itroducció. Mediate el proceso de idetificació se pretede obteer u modelo matemático del proceso. Para ello se debe teer e cueta las siguietes cosideracioes sobre la señal de etrada: - Relació señal ruido: Etrada lo suficietemete grade. - Liealidad restrigida a puto de fucioamieto: etrada o demasiado grade. - Señal de etrada excitate : que aporte iformació suficiete. Señales más utilizadas.. Tipos de respuestas. Existe tipos de respuestas, subamortiguadas y sobreamortiguadas. Geeralmete las respuestas subamortiguadas implica u proceso co mayor velocidad de respuesta, si embargo preseta como icoveiete la sobreoscilació. Pag.

4 . Métodos de idetificació experimetal. El cotrol de u proceso implica la utilizació de ua serie de sesores, segú la variable a cotrolar, para poder obteer iformació del proceso e tiempo real. De esta forma, se puede obteer u valor del error existete etre la señal de referecia o cosiga y el valor real de la variable, este tipo de cofiguració se deomia cotrol e bucle cerrado. Figura: Diagrama de bloques bucle cerrado. Actualmete, existe dispositivos compactos para cotrolar procesos idustriales, por ejemplo: cotroladores de temperatura, cotrol de velocidad de u motor, etc. Además estos dispositivos de cotrol dispoe de u autoajuste ua vez isertados e el proceso, que permite ajustar los parámetros del cotrolador de forma automática. Si embargo, o siempre se obtiee u correcto fucioamieto del proceso co este autoajuste, este es el mometo de diseñar el cotrolador de forma aalítica. Previamete al diseño del cotrolador, es ecesario idetificar el proceso, para ello se puede aplicar varios métodos experimetales de idetificació. Pag.

5 . Idetificació mediate respuesta ate etrada escaló. Este método cosiste e aplicar sobre u sistema e equilibrio, ua etrada e forma de escaló y observar la respuesta del mismo. Posteriormete se aaliza esta respuesta, obteiedo u poliomio deomiado fució de trasferecia que pretede ser u fiel reflejo del comportamieto del proceso. Básicamete todos los procesos existetes e la aturaleza puede clasificarse e dos tipos, sistemas de primer orde y sistemas de segudo orde. Detro de los cuales existe variates, tal como se especificará posteriormete. Respuestas sobreamortiguadas. o er orde Puro. La respuesta típica de estos sistemas o preseta sobreoscilació, esto quiere decir que uca llega al valor exacto de la cosiga y por lo tato, so sistemas relativamete letos. Por ejemplo: el caletamieto de u horo. Figura : Sistema de er orde puro. La fució de trasferecia de u sistema de er orde es la siguiete. K Gs () = + τ s Dode: K: Gaacia del sistema. τ : Costate de tiempo Señal salida Δy K = = Señal etrada Δu Pag.3

6 El valor de la costate de tiempo se obtiee sobre la gráfica, para ello se observa de tiempo correspodiete a u valor del 63% Δ y. Normalmete se trabaja co u factor deomiado tiempo de establecimieto, que suele estar compredido etre u %. Este factor determia el tiempo e el cual la respuesta se estabiliza etre los límites idicados a ese porcetaje. o er orde co retardo. La respuesta típica de este tipo de sistemas, preseta la misma cofiguració que u sistema de er orde puro, e el cual la respuesta preseta u desfase o retardo respecto a la señal de etrada. Figura 3: Sistema de er orde co retardo. La fució de trasferecia de u sistema de er orde co retardo es la siguiete. K Gs () = e + τ s Ts Dode: Δy K: Gaacia del sistema. K = Δ u τ : Costate de tiempo T : Retardo. Pag.4

7 o Polos reales múltiples. La respuesta de este tipo de sistemas varía segú la catidad de polos existetes, coforme aumeta el úmero de polos la respuesta es más rápida, pero aparece al iicio u arraque co mayor suavidad. Figura 4: Sistema de polos reales múltiples. La fució de trasferecia de u sistema de polos reales múltiples es la siguiete. Gs () = K ( + τ s) Dode: Δy K: Gaacia del sistema. K = Δ u τ : Costate de tiempo : Número de polos del sistema. Pag.5

8 Método de Strejc. Este método se emplea para la idetificació de sistemas de polos múltiples, mediate los parámetros Tu y Ta obteidos sobre la respuesta del sistema. Emplea ua líea recta de pediete máxima superpuesta sobre la zoa de pediete, de modo que el valor del parámetro Tu se obtiee co el corte del eje de abscisas y el valor del parámetro Ta se obtiee co el corte de ua paralela al eje de abscisas e el puto dode la respuesta está estable. Figura 5: Parámetros de Strejc. Tras obteer el valor de las variables Tu y Ta, se obtiee el valor de Tu/Ta. Co este valor se va a la tabla de Strejc y se toma el valor más próximo, que determia el úmero de polos múltiples. Tabla : Número de polos múltiples. Ta Se toma los parámetros τ y Tu y se despeja e cada ecuació τ, si los τ valores o coicide sigifica que el sistema o se ajusta bie a polos múltiples. Si por el valor obteido es muy próximo al de la tabla se tedrá u sistema de orde. Pag.6

9 o Polos reales múltiples co retardo. La respuesta es del mismo tipo que para polos reales múltiples, e la cual al comiezo preseta u retardo. Figura 6: Parámetros de Strejc co retardo. La fució de trasferecia de u sistema polos reales múltiples co retardo es la siguiete. K Gs () = e ( + τ s) Ts Dode: Δy K: Gaacia del sistema. K = Δ u τ : Costate de tiempo T : Retardo puro. : Número de polos del sistema. Ua vez obteidos los parámetros, se vuelve a cosultar la tabla para Ta valores de Strejc para los parámetros τ y Tu, y de igual modo al τ aterior se calcula los valores de τ para saber si se ajusta bie a u sistema de polos reales múltiples. Pag.7

10 o Polos reales distitos. Si la respuesta es subamortiguada y o se ajusta a igú sistema visto Tu hasta ahora y <.4 (=) se puede aproximar co polos reales T distitos. a Figura 7: Ejemplos respuestas polos distitos. La fució de trasferecia de u sistema de polos reales distitos es la siguiete. Dode: Gs () = K ( + τ s) ( + τ s) K: Gaacia del sistema. τ, τ : Costates de tiempo Δy K = Δ u Existe 3 proceso de ajuste, el primero cosiste e ajustar a ojo tras realizar Strejc hasta que el ajuste sea lo suficietemete preciso. El segudo cosiste e aproximar el retardo por u polo, obteiedo la siguiete ecuació. K K K K Gs () = e = = Ts Ts + τ s ( + τ se ) ( + τ s)( + Ts+ T s / + ) ( + τ s)( + Ts) Pag.8

11 Por último, se puede hacer u ajuste por graficas logarítmicas, dode las ecuacioes correspodietes so: K K G( s) = = ( + τs)( + τ s) s s ( + )( + ) α β La respuesta ate escaló es: Δ y ( t) = Δy ( ) Ae + Be αt β t Restado el valor fial: Δ y( ) Δy( t) = Ae Be αt βt Si el polo α es mucho meor que el β, para t grades se aproxima: Δ y( ) Δy( t) Ae αt Se dibuja e ua gráfica el logaritmo de esta expresió respecto del tiempo: l( Δ y( ) Δy( t)) l( A) αt Figura 8: Represetació ec. l( Δ y( ) Δy( t)) l( A) αt. Pag.9

12 Para obteer la posició del otro polo se procede de forma similar. Δy( ) + Δy( t) + Ae = Be αt βt Se represeta e ua grafica el logaritmo eperiao de la ecuació aterior. α Figura 9: Represetació l( y( ) yt ( ) Ae t β Δ + Δ + ) = B e t. Sistemas iestables. U tipo de sistema iestable es u sistema de er orde co itegrador, cuya fució de trasferecia es la siguiete. G( s) = K s( +τ s) : Sistema co respuesta iestable. Pag.

13 Respuestas subamortiguadas. Como se cometo al comiezo de este documeto, este tipo de respuestas preseta sobreoscilacio y u periodo trasitorio co oscilació. o º orde estádar. La mayoría de los sistemas idustriales se comporta como u sistema de este tipo, e el cual posteriormete el cotrol pretede limitar parámetros como la sobreoscilacio, tiempo de establecimieto y error e régime permaete. Figura : Respuesta º orde estádar. La fució de trasferecia de u sistema de º orde estádar es la siguiete. Dode: G( s) = s kω + ξω s + ω K: Gaacia del sistema. Δy K = Δ u W : Frecuecia atural del sistema. ξ : Amortiguamieto. Pag.

14 Los parámetros que defie este tipo de respuesta so: Δy max Δy( ) ξ - Sobreoscilacio: δ = = e Obteer ξ Δy( ) ξπ - Tiempo de pico: t p Tosc π = = Obteerω ω ξ o º orde estádar co retardo. La fució de trasferecia de u sistema de º orde estádar co retardo es la siguiete. kω Gs () = e s + ξωs+ ω Ts : Respuesta º orde estádar co retardo. o º orde estádar co polo adicioal. Se puede idetificar u sistema de º orde co polo adicioal si el valor T de t p > osc. Por tato, so sistemas que evolucioa más letamete que los de º orde estádar. Pag.

15 La fució de trasferecia de u sistema de º orde estádar co polo adicioal es la siguiete. G kω + ξω s + ω )( + τs) ( s) = ( s 3: Respuesta º orde co polo adicioal. Los parámetros que defie este tipo de respuesta so: Δy max Δy( ) ξ - Sobreoscilacio: δ = < e Obteerξ Δy( ) ξπ - Tiempo de pico: t p Tosc π > = Obteerω ω ξ o º orde estádar co cero adicioal. Detro de este grupo se puede difereciar situacioes distitas, e primer lugar si τ >, obteemos u sistema que preseta u tiempo de Tosc pico t p >, siedo u sistema más rápido que uo de º orde estádar. E segudo lugar, si τ < τ >, obteemos u sistema que Tosc preseta u tiempo de pico t p <, siedo u sistema más leto que uo de º orde estádar, por presetar al iicio ua respuesta cotraria a lo esperado. Pag.3

16 La fució de trasferecia de u sistema de º orde estádar co cero adicioal es la siguiete. G( s) = s kω ( + τs) + ξω s + ω 3: Respuesta º orde co cero adicioal y τ >. Los parámetros que defie este tipo de respuesta so: Δy max Δy( ) ξ - Sobreoscilacio: δ = > e Obteer ξ Δy( ) ξπ - Tiempo de pico: t p Tosc π < = Obteerω ω ξ 4: Respuesta º orde co cero adicioal y τ <. Pag.4

17 Los parámetros que defie este tipo de respuesta so: Δy max Δy( ) ξ - Sobreoscilacio: δ = > e Obteer ξ Δy( ) ξπ - Tiempo de pico: t p Tosc π > = Obteerω ω ξ. Idetificació mediate respuesta e frecuecia. Dado u sistema de f.d.t G(s), se defie la respuesta e frecuecia como la fució de ω : G( jω ) = G( s) s = j ω Si u(t) es seoidal pura de frecuecia ω : u( t) = U se( ωt) Etoces y(t) cuado pasa el trasitorio es seoidal pura de la misma frecuecia ω : ( ) yt () = U G( jω) seωt+ arg( G( jω)) La represetació de la respuesta e frecuecia mediate los diagramas de Bode, cotempla gráficas. E la primera se represeta e el eje de abscisas la frecuecia e escala logarítmica la frecuecia y e el eje de ordeadas la amplitud e decibelios. E la seguda se represeta e el eje de abscisas la frecuecia e escala logarítmica la frecuecia y e el eje de ordeadas el argumeto o desfase e grados. Figura 5: Represetació Amplitud / Frecuecia. Pag.5

18 Figura 6: Represetació Desfase / Frecuecia. El método empleado para la idetificació de sistemas mediate la respuesta e frecuecia es la aproximació asitótica de líeas rectas sobre la gráfica de amplitud / frecuecia. Las cosideracioes a teer e cueta para la aplicació de este método so: Para el diagrama de amplitud. - Térmio costate k: añade u valor costate log(k). - U polo simple añade pediete de - db/década a partir del valor del polo. - U cero simple añade pediete de + db/década a partir del valor del cero. - U par de polos complejos, añade ua pediete de - 4 db/década a partir del valor del módulo de los polos. Si x es pequeño, hay pico de resoacia. - U par de ceros complejos, añade ua pediete de +4 db/década a partir del valor del módulo de los ceros. Si x es pequeño, hay pico de resoacia. - U polo e el orige (/s) añade ua pediete de - db/década e todas las frecuecias. - U cero e el orige (s) añade co ua pediete de + db/década e todas las frecuecias. Pag.6

19 Para el diagrama de fase. - Térmio costate k: o cotribuye - U polo simple: º para w=, -9º para w=. - U cero simple: º para w=, +9º para w=. - U par de polos complejos: º para w=, -8º para w=. - U par de ceros complejos: º para w=, +8º para w=. - U polo e el orige (/s): -9º e todas las frecuecias. - U cero e el orige (s): +9º e todas las frecuecias. - U cero simple positivo: º para w=, -9º para w=. - U retardo puro (e-st): fase = -wt Si se emplea la respuesta e frecuecia para la idetificació de u sistema hay que teer presete la zoa de idetificació posible, esto quiere decir, que o toda la gráfica obteida es válida para la idetificació. A cotiuació se muestra ua gráfica e la cual al fial se obtiee ua oscilació iesperada, que idica que el sistema preseta retardo. Figura 7: Comprobació Magitud, oscilació a partir de.5 Hz. Pag.7

20 Figura 8: Comprobació Fase. Aplicado retardo, se obtiee ua gráfica e la cual se ajusta casi perfectamete la fase esperada. Gs () = ( + s )( + s )..94 e 5.5s Figura 9: Comprobació Fase tras itroducir retardo. Pag.8

21 .3 Idetificació mediate míimos cuadrados. Este método de idetificació cosiste e obteer el equivalete discreto de u sistema cotiuo lieal. Para ello se debe especificar el periodo de muestreo y el itervalo de valores cotiuos que equivale a u mismo valor discreto. Figura : Proceso de muestreo. Aplicado la trasformada Z se obtiee la fució discreta del sistema. b z + bz G( z) = + a z + a z Δ yk + aδyk El problema de idetificació se basa e obteer los valores a, a, b, b coocido os Δu, Δu + a Δ y k = bδ uk + b Δ... un uk Δ y Δy, Δy... Δ yn. Pag.9

22 Realizació del experimeto. - Se aplica ua etrada costate hasta que el sistema llega al equilibrio. Figura : Señales de etrada usuales. - Se produce el cambio de la etrada para obteer variació de la salida. - Restado el valor del puto de equilibrio se obtiee la secuecia de etrada y salida, es decir, Δu, Δu... Δ un y Δy, Δy... Δ yn. - Se platea el sistema de ecuacioes a resolver (o tiee solució, porque tiee más ecuacioes que icógitas). - Se defie los errores de las ecuacioes como: e =Δy ( aδy aδ y + bδ u+ bδu) e3 =Δy3 ( aδy aδ y+ bδ u + bδu) en =ΔyN ( aδyn aδ yn + bδ un + bδun ) - Se reorgaiza de la siguiete forma matricial: Pag.

23 - Fialmete se resuelve el sistema de forma que se miimiza la suma de errores al cuadrado, es decir, miimiza: T E E e i = ˆ T T Solució: θ = ( X X) X Y.3. Propiedades del estimador de míimos cuadrados. Modelo ARX. Equivale a itroducir a la salida limpia ua perturbació que es u ruido blaco e previamete filtrado por /A(z): e A( z) Δu B( z) A( z) + + Δy Esta situació o es cierta, puesto que supoe que el valor esperado de los parámetros o tiee sesgo. Pag.

24 Modelo OE (Output Error). bz + bz B Δ y( z) = Δ u( z) + e( z) = Δ u+ e + az + az A Es decir, que a la salida limpia se le suma ua perturbació que es directamete u ruido blaco e. e Δu B( z) A( z) + + Δy Este modelo represeta bie la presecia de u ruido de medida idepediete e el sesor. Modelo ARMAX. bz + bz c + c z + c z B C Δ y( z) = Δ u( z) + e( z) = Δ u+ e + az + az + az + az A A Es decir, que a la salida limpia se le suma ua perturbació que es u ruido blaco e previamete filtrado por C(z)/A(z). e C( z) A( z) Δu B( z) A( z) + + Δy Modelo BJ (Box Jekis). bz + bz c + c z + c z B C Δ y( z) = Δ u( z) + e( z) = Δ u+ e + az + az + dz + d z A D Es decir, que a la salida limpia se le suma ua perturbació que es u ruido blaco e previamete filtrado por C(z)/D(z). Pag.

25 e C( z) D( z) Δu B( z) A( z) + + Δy Cada modelo de perturbació lleva asociado u algoritmo de resolució si sesgo para obteer q. Estos algoritmos esta dispoibles e MATLAB (fucioes arx, oe, armax, bj). 3. Ejemplos. A cotiuació se muestra varios ejemplos para facilitar la compresió de los distitos sistemas vistos e este documeto. Se muestra para cada uo de ellos, la idetificació sucesiva y simulació, hasta obteer el resultado deseado. Pag.3

26 Sistemas Automáticos. Tema. Idetificació experimetal. Ejemplos. Máster e Automática y Robótica EJEMPLO. Obteer la fució de trasferecia de u sistema cuya respuesta ate u escaló de valor u= es: G.5 y Si supoemos que el sistema es de orde, se tiee: K= y/ u=.5, τ.5. La respuesta de este sistema sería: Luego el sistema o es de orde. Por el método de Strejc: G.5 y Se obtiee T u.7, T a.65, es decir, T u /T a.8. Etrado e la tabla de Strejc: Pag.4

27 Sistemas Automáticos. Tema. Idetificació experimetal. Ejemplos. Máster e Automática y Robótica Ta/τ Tu/τ Tu/Ta se observa que la mejor aproximació es =, T u /τ=.8, T a /τ=.7. Se obtiee dos valores: τ=.5, τ=.4. Se puede cosiderar lo suficietemete próximos y tomar el valor: τ=.4. El sistema quedaría etoces: 5. Gs () = ( + 4. s) La simulació de la respuesta da e este caso: La aproximació del método hace que el sistema obteido sea ligeramete más leto que el real. Se puede mejorar el ajuste reduciedo ligeramete el valor de τ: 5. Gs () = ( +. s) quedado ua respuesta: EJEMPLO Obteer la fució de trasferecia de u sistema cuya respuesta ate u escaló de valor u=.3 es: Pag.5 3

28 Sistemas Automáticos. Tema. Idetificació experimetal. Ejemplos. Máster e Automática y Robótica y La gaacia estática es K= y/ u=3/.3=. Como la respuesta es muy plaa al pricipio, se podría tratar de aproximar a u sistema de er orde co retardo: Ts e G ()= s + τs G 3.5 G.89.5 y.5 T τ Midiedo se tiee aprox. T=.9 seg., τ=.5 seg. Simulado la respuesta de este modelo se tiee: La aproximació podría ser suficiete si o se requiere ua precisió elevada. Se podría aplicar el método de Strejc para obteer u modelo mejor: Pag.6 4

29 Sistemas Automáticos. Tema. Idetificació experimetal. Ejemplos. Máster e Automática y Robótica y Midiedo T u.8, T a 3.3, T u /T a.4. Etrado e la tabla de Strejc se observa que la mejor aproximació es =3, T u /τ=.8, T a /τ=3.7. Se obtiee dos valores: τ=, τ=.89. Tomado el valor medio τ=.95, se tedría el modelo: Gs () = ( s) 3 cuya respuesta simulada es: T ime (secs) Se observa e este caso que el modelo obteido o es mejor que el de primer orde co retardo. Se podría utilizar el método de Strejc co u retardo adicioal: G y.5 T Fijado el retardo de forma que T u /T a.4 se tiee T.46, T u.34, T a 3.3, T u /T a.3. Etrado e la tabla de Strejc se observa que la mejor aproximació es =, T u /τ=.8, T a /τ=.7. Se obtiee dos valores: τ=.6, τ=.. Tomado el valor medio τ=.4, se tedría el modelo: G Pag.7 5

30 Sistemas Automáticos. Tema. Idetificació experimetal. Ejemplos. Máster e Automática y Robótica cuya respuesta simulada es: s e Gs () = ( + 4. s) Se observa que tampoco se mejora el modelo de er orde co retardo. Pag.8 6

31 Sistemas Automáticos. Tema. Idetificació experimetal. Ejemplos. Máster e Automática y Robótica EJEMPLO 3 Se ha medido el icremeto de la salida de u sistema ate u icremeto escaló de la etrada de valor. Obteer u modelo aproximado. G3 4 3 y La gaacia estática es de K=. Aproximado a u sistema de er orde co retardo se tiee aprox. T.5 seg., τ 3.. La respuesta simulada es: Se observa ua discrepacia importate. Se puede mejorar el modelo mediate el método de Strejc co retardo: G3 4 3 y T u T Se tiee que T+T u.47, y T a 4.8. Ajustado para que T u /T a =.4 se tiee T.97, T u.5, obteiedo de la tabla =, T u /τ=.8, T a /τ=.7. Se obtiee dos valores: τ=.78, τ=.78. Se tedría el modelo: Pag.9 7

32 Sistemas Automáticos. Tema. Idetificació experimetal. Ejemplos. Máster e Automática y Robótica cuya respuesta simulada es: s e Gs () = ( s) Nota: La respuesta real del sistema G3 se ha obteido mediate el sistema: G = ( +.43 s)( + s)( +. s) Se observa que el modelo obteido o se parece demasiado al real. Si embargo es u modelo adecuado, pues tiee ua respuesta ate escaló muy similar. EJEMPLO 4 La respuesta ate escaló de valor 4 de u sistema se ha medido, siedo: G4.8.6 y Aproximado u sistema de er orde se tiee K=/4=.5, τ.7. La respuesta simulada es: Pag.3 8

33 Sistemas Automáticos. Tema. Idetificació experimetal. Ejemplos. Máster e Automática y Robótica La aproximació o es demasiado buea. El método de Strejc da: G4.8.6 y T u.8, T a.85, T u / T a.94. La etrada de la tabla más próxima es la de =, obteiédose: τ=.86 y τ=.35. Tomado el valor medio se tiee τ=.3, co lo que la respuesta simulada es: T ime (secs) E este caso la aproximació tampoco es buea. Eso sigifica que el sistema o se puede aproximar a u modelo de polos múltiples. Se podría itetar ajustar u modelo co dos polos reales distitos: 5. Gs () = ( + τs)( + τs) La respuesta de este modelo ate el escaló de valor 4 es t t t t τ τ τ τ τ τ ym()= t + Ae + Be = e + e τ τ τ τ El problema a resolver sería ahora obteer los valores de τ y τ que miimiza la diferecia de la fució aterior y de los valores medidos. Para ello habría que tomar ua serie de putos de la gráfica, y platear el problema de miimizació, que se resuelve de forma umérica, por ejemplo mediate la fució fmiu de MATLAB. Lo ormal es miimizar la suma de los cuadrados de los errores ( y m (t)- y(t)) e los putos e los que se tiee la medida. Ua alterativa para idetificar u modelo co varios polos reales y diferetes es la realizació de gráficas logarítmicas de la respuesta. Este método es válido si los polos so bastate diferetes etre sí. E este caso, si se supoe que el modelo tiee polos reales y diferetes, es decir, la fució de trasferecia es:.5.5 G( s) = = ( + τs)( + τ s) s s ( + )( + ) La respuesta de este modelo ate el escaló de valor 4 tiee la forma: α β Pag.3 9

34 Sistemas Automáticos. Tema. Idetificació experimetal. Ejemplos. Máster e Automática y Robótica Despejado el térmio de valor fial se tiee: y ( t) = + Ae m y ( t) = Ae m + Be αt βt Be αt βt Si el polo α es mucho meor que el β, la expoecial e -βt se hace despreciable frete a e -αt e cuato pasa u tiempo, por lo que y ( t) Ae m para t suficietemete grade. Si se dibuja e ua gráfica el logaritmo de la expresió aterior se tiee: l( ( t)) l( A) αt y m es decir, se tiee para t grade ua recta cuya pediete es el polo y cuyo valor e t= es el l(-a). Trazado la recta tagete para tiempos altos se obtiee: l(- y) αt l(-a)= α=8/4= t es decir, A=-e.4 =-.5, α=. Para obteer el otro polo se pasa a la izquierda el térmio del polo leto que ya es coocido: αt t βt + y ( t) Ae = + y ( t) +.5e = Be m dode se ha cambiado de sigo a toda la expresió para poder tomar logaritmos: t l( + y ( t) +.5e ) = l( B) t Dibujado esta gráfica logarítmica se tiee: l(-+ y+.5e -t ) m m β β=4/4= Es decir, la pediete es β=6 (el otro polo). Se observa que la gráfica es prácticamete ua líea recta (o solo para tiempos grades). Esto se debe a que el sistema o tiee igú otro polo e este caso. E u Pag.3

35 Sistemas Automáticos. Tema. Idetificació experimetal. Ejemplos. Máster e Automática y Robótica caso real lo habitual es que la gráfica solo se aproxime a ua líea recta para tiempos grades, por lo que se tedría que trazar la tagete, tal y como se ha hecho ates. E este caso la ordeada e el orige me daría el l(b), pero o hace falta, pues o es ecesaria para el modelo. Si hubiera u tercer polo sí tedríamos que medir el valor de B, y volver a dibujar ua ueva gráfica logarítmica para el uevo polo (pasado a la izquierda los térmios coocidos de los polos ya calculados). Otra alterativa al método aterior es el método de míimos cuadrados. E este método se platea la obteció de ua fució de trasferecia discreta: bz + bz Gz ()= + az + az de dode se obtedrá la fució de trasferecia cotiua mediate el método del equivalete discreto. Este método solo es válido si las medidas de y(t) está igualmete espaciadas e el tiempo (ha sido tomadas co u periodo costate). Por ejemplo se tedría los valores medidos y(-.)= y()=, y(.), y(.),..., y(). Además se cooce los valores de la etrada e esos istates u(-.)=, u()= u(.)=...= u()=4. Las ecuacioes que se puede platear so: y.) = a y() a y(.) + b u() + b u(.) y y ( (.) = a y(.) a y() + b u(.) + b u (.3) = a y(.) a y(.) + b u(.) + b u () (.) M y( ) = a y(.9) a y(.8) + b u(.9) + b u(.8) La solució a este sistema icompatible de 9 ecuacioes y 4 icógitas se obtiee por míimos cuadrados: llamado y() y(.) u() u(.) y(.) y(.) y() u(.) u() X = ; y(.) Y = M M M M M y(.9) y(.8) u(.9) u(.8) y() la ecuació se expresa e forma matricial: Y = X [ a a b b ] T la solució que miimiza el error cuadrático es: T T T [ a a b b ] = ( X X ) X Y Es ecesario icluir la ecuació e la que aparece u(-.) porque e caso cotrario la matriz X sería sigular (por ser iguales la tercera y cuarta columa) y o se podría ivertir. El cálculo se tiee que hacer, evidetemete, mediate u programa de ordeador, por ejemplo el MATLAB. Bastaría costruir la matriz X y el vector Y, y resolver la ecuació. E este caso se obtiee a =-.368, a =.45, b =.4, b =. La fució de trasferecia cotiua G(s) se obtedría sabiedo que la G(z) obteida es el equivalete discreto para etrada costate. El cálculo de G(s) a partir del equivalete discreto se puede realizar de forma imediata utilizado la fució dcm de MATLAB. E este caso se obtiee: 3 G ( s) = ( s + )( s + 6) por lo que τ =/6, τ =/. Pag.33

36 Sistemas Automáticos. Tema. Idetificació experimetal. Ejemplos. Máster e Automática y Robótica EJEMPLO 5 Obteer la f.d.t. del sistema cuya respuesta ate escaló de valor u=.4 es: G y E primer lugar supodremos que es u sistema de º orde estádar. La gaacia estática es: K=./.4=.5. La sobreoscilació es: ξπ 5.. ξ δ = = 5. = e ξ =.4. El periodo de oscilació es: T=.9 seg ω p =π/t=.7 rad/s. El tiempo de pico es: t p =.4 seg ω p =π/t p =. rad/s. Como los dos valores so muy similares se cocluye que el modelo de º orde estádar puede ser correcto. Utilizado el valor medio se tiee: ω p = 9. = ω ξ ω = 39. rad / s La respuesta del modelo simulada es: Pag.34

37 Sistemas Automáticos. Tema. Idetificació experimetal. Ejemplos. Máster e Automática y Robótica EJEMPLO 6 Obteer la f.d.t. aproximada del sistema cuya respuesta ate ua etrada escaló de valor 3 es: y T/ t (seg ) Supodremos e primer lugar que es u sistema de º orde estádar. Midiedo sobre la gráfica la sobreoscilació, el tiempo de pico y la frecuecia de oscilació se tiee datos suficietes para obteer ξ y ω. La gaacia estática se obtiee si más que leer el valor e el que se estabiliza la etrada, teiedo e cueta que la etrada es u escaló de 3 uidades: 5. K = = ξ δ = = 47. = e 5. (l( 47. )) l(. 47) = ξπ ( ξ ) = π ξ ξ = =.46 ξ (l(. 47)) π + (l( 47. )) π π tp = 65. = ω p = = 483. = ω ξ ω = 59. rad / s ω p 65. Por otra parte teemos que el periodo de oscilació vale T=*T/=*.9=.8 seg. Luego se tiee: π T = 8. ω p = = 3.49 rad / s T Evidetemete las dos frecuecias calculadas o coicide, luego el sistema o es de º orde estádar, y las fórmulas utilizadas para calcular δ y t p o so válidas. El valor real de ω p siempre coicide co la frecuecia de oscilació, luego sabemos que ω p =3.49 rad/s. Co este valor, si el sistema fuera de º orde estádar se tedría u tiempo de pico de t p =π/ω p =.9 seg. Ahora bie, el sistema real tiee u tiempo de pico de.65<.9. Al ser meor que el correspodiete al sistema de º orde estádar, se puede supoer que es u sistema de º orde co u cero adicioal de valor τ>, es decir: Kω ( + τs) Gs () = s + ξω s+ ω De este sistema coocemos la gaacia K=.5, y ω p =3.49 rad/s. Falta calcular ξ, τ y ω. Para obteerlos dispoemos de las ecuacioes para el sistema de º orde co cero adicioal: ω ξ π arctg τ ξω (I) t p = 65. = ω ξ (II) δ = 47= ξω τ + ω τ e. (III) ω = 3.49 = ω ξ p ξω t p Estas 3 ecuacioes co 3 icógitas se puede resolver iterado o co cualquier programa (MATEMATICA o MATLAB por ejemplo). Los valores iiciales se tomaría de forma que: ξ>.46 y ω >3.8 (ya que la sobreoscilació real es mayor que la del sistema de º orde estádar) y τ>. Partiedo de valores iiciales ξ=.5, ω =4 y τ= y utilizado la fució fsolve de MATLAB se obtiee:. ξ=.56, ω =4.34 y τ=.. La respuesta simulada se ajusta perfectamete a la respuesta real: ξπ Pag.35 3

38 Sistemas Automáticos. Tema. Idetificació experimetal. Ejemplos. Máster e Automática y Robótica U método alterativo es el de calcular u modelo discreto de º orde por míimos cuadrados, calculado después el modelo cotiuo. El modelo discreto sería de la misma forma que e el ejemplo de polos reales diferetes. EJEMPLO 7 La respuesta de u sistema ate u icremeto escaló de valor. e la etrada es: G y Supoiedo que fuera u sistema de º orde estádar se tiee: 3. K = = ξ δ = =. 67 = e ξ = Por otra parte teemos que el periodo de oscilació vale T=.4 seg. Luego se tiee: π T =.4 ω p = = 6. rad / s T Si fuera estádar, el tiempo de pico debería valer: t p =π/ω p =. seg. Si embargo e la gráfica se mide u valor de t p =.6 seg. Eso sigifica que el sistema o es estádar. Tampoco se puede modelizar co u cero adicioal, pues el tiempo de pico es mayor, y o hay respuesta egativa iicial. Ua posibilidad es cosiderar u sistema de 3er orde, es decir, u polo adicioal, de la forma: Kω Gs () = ( s + ξω s+ ω )( + τs) este polo adicioal podría justificar el aumeto del tiempo de pico. Tambié produce u efecto de dismiució de la sobreoscilació. Eso implica que e el sistema real ξ<.495 y ω <3. Además, τ>, porque el sistema es estable. Del sistema aterior sabemos además que K=.5 y que ω p = ω ξ = 6. rad / s. El cálculo de los parámetros ξ, ω y τ se podría hacer bie utilizado míimos cuadrados co u modelo discreto de 3er orde, calculado después el modelo cotiuo. El modelo discreto sería de la forma: ξπ Pag.36 4

39 Sistemas Automáticos. Tema. Idetificació experimetal. Ejemplos ) ( = z a z a z a z b z b b z z G Otra posibilidad es ajustar los parámetros (ξ, ω y τ ) por tateo, simulado la repuesta y comparádola co la real. Máster e Automática y Robótica Pag.37