Inecuaciones con valor absoluto

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1 Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: n 4. n L noción de vlor soluto surge de un mner nturl en prolems de distnci. En un rect coordend, sen A y B puntos con coordends y. Deido que l distnci es siempre no negtiv, l distnci d entre A y B es d cundo B está l derech de A (figur 1), y d cundo B está l izquierd de A (figur ). En el primer cso, es positiv, de modo que puede escriirse: d en el segundo cso, es negtiv, de modo que puede escriirse: d Por lo tnto, independientemente de si B está l derech o l izquierd de A, l distnci d entre A y B es: puede escriirse: 0 d Pr culquier número rel Por lo tnto, el vlor soluto de un número pude interpretrse geométricmente como su distnci desde el origen sore un rect coordend. Por ejemplo, si 9, entonces está 9 uniddes del origen, es decir 9 ó 9. y 1

2 Ejemplo 1: Resolver x 3 4 L solución desde el punto de vist geométrico const de tods ls x que están 4 uniddes del punto 3. Hy dos de estos vlores de x, x 7 y x 1. Desde el punto de vist lgerico, dependiendo de si x 3 es positiv o negtiv, l ecución puede escriirse: x 3 4 ó x 3 4. Resolviendo ests dos ecuciones se otiene, x 7 y x 1 que concuerd con l solución otenid geométricmente. Ejemplo : Resolver x 3 4 L solución const de tods ls x cuys distncis l punto 3 sen menores que 4 uniddes, es decir, de tods ls x que stisfcen: 1 x 7. Este es el intervlo 1,7 que se muestr en l siguiente figur: Ejemplo 3: Resolver x 4 L desiguldd dd puede escriirse: x ( 4 ), Por lo tnto, l solución const de tods ls x cuys distncis de 4 sen myores que uniddes. Este es el conjunto:, 6,, que se muestr en l figur. Propieddes Pr culquier número rel x y culquier número positivo k se cumple: 1. x k - k x k. x k x k x k Ejercicios: Hllr en, el conjunto solución de cd un de ls siguientes inecuciones. Representr gráficmente el conjunto solución

3 Inecuciones polinómics de orden superior Ls inecuciones polinómics de segundo grdo con un incógnit son desigulddes de l form: P(x) 0 ó P(x) 0 P(x) 0 ó P(x) 0 Siendo P(x) un polinomio de segundo grdo. Vemos cómo se puede encontrr el conjunto solución de est clse de inecuciones. Ejemplo 1: encontrr el conjunto solución pr x x 6 0 Encontrmos ls ríces del polinomio: x x 6 que son. x 3,, x - Fctorizmos el trinomio: x x 6 x 3 x. L inecución puede expresrse: x 3 x 0 Pr que este producto se myor que cero (positivo) mos fctores deen tener el mismo signo. Así que: x 3 0,, x 0 x 3,, x - x 3 0,, x 0 x 3,, x - L solución de este sistem es el conjunto de vlores que cumplen ls dos condiciones, es decir el conjunto intersección de cd cso y luego l unión de ess dos intersecciones. 3, ; pr l situción l Pr l primer situción, l intersección es el intervlo 3

4 solución es el intervlo -, luego l unión de estos dos produce l solución generl -, 3, que en l gráfic se ve como: que es: Ejemplo : Ahor, encontrr el conjunto solución pr x x 6 0 Igul que en el cso nterior, encontrmos ls ríces del polinomio y lo Fctorizmos hst llegr : x 3 x 0 Pr que este producto se menor que cero (negtivo) uno de los fctores es positivo y el otro negtivo. x 3 0,, x 0 x 3,, x - x 3 0,, x 0 x 3,, x - L solución del sistem es: l unión de ls intersecciones dd en cd cso. Como se oserv en l 1 grfic l intersección es vcí, mientrs que en l segund es el intervlo,3 lo que gener l solución finl:, 3, 3 Ejercicios: Hllr en, el conjunto solución de cd un de ls siguientes inecuciones. Expresr el resultdo en form de intervlo. Representr gráficmente el conjunto solución. 4

5 Inecuciones rcionles Ls inecuciones rcionles son desigulddes de l form: P(x) 0 ó P(x) 0 P(x) 0 ó P(x) 0 Siendo P(x) un función rcionl. Vemos cómo se puede encontrr el conjunto solución de est clse de inecuciones. x 3 Ejemplo: encontrr el conjunto solución pr 0 x Pr que este cociente se myor que cero (positivo) el numerdor y el denomindor deen tener el mismo signo. x 3 0,, x 0 x 3,, x x 3 0,, x 0 x 3,, x L solución de este sistem es el conjunto de vlores que cumplen ls dos condiciones, es, 3, decir el conjunto intersección de cd gráfico. Ejercicios: Hllr en, el conjunto solución de cd un de ls siguientes inecuciones. Expresr el resultdo en form de intervlo. Representr gráficmente el conjunto solución 5

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