Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

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Domingo Nicolás Molina Cabrera
hace 7 años
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1 INECUACIONES. Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:, se lee" menor que",se lee" menor o igual que",se lee" mayor que",se lee " mayor o igual que" ej : 3x 1 10 ej : 2x 1 0 ej : 3x 1 2 ej : 3x Intervalos e inecuaciones lineales Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta. Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados en los que se incluyen los extremos, y por último aquellos en que se combinan ambos. Para representarlos se utiliza una circunferencia vacía en el extremo, si este no se incluye, o rellena si se incluye. La simbología o notación que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo < o >; y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo (mayor o igual, o menor o igual). Por otra parte, los intervalos se pueden representar como vimos en clase, o en forma de conjunto o con Corchetes: Ejemplo: a,b a,b x IR / a x b Todos los reales comprendidos entre a y b, sin incluir a, ni b. a, x IR / a x Todos los reales mayores que a, sin incluir a. m,n x IR / m x n Todos los reales entre m y n, incluyendo a m y no incluyendo a n.

2 Observe el esquema: 1.1 Propiedades de las desigualdades 1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados: a < b (sumo o resto ± c en cada lado C/L) a ± c < b ± c Ejemplo 2 + x > 16 (resto 2 en C/L) x > Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo: Ejemplo a < b a c < b c (multiplico por c (c > 0) en C/L) a > b a c > b c 3 5 x (divido por 5 en C/L), 3 x 5 (multiplico por c (c > 0) en C/L) Esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5. Que gráficamente es

3 3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo: a < b a c > b c (multiplico por c (c < 0) en C/L) la desigualdad se invierte. a > b a c < b c (multiplico por c (c < 0) en C/L) Ejemplo 15 3x 39 3x x 3. Esto es (resto 15 en C/L), (Divido por (-3) en C/L), x 8 Todos los reales menores o iguales que -8. Resumen: Resolución de inecuaciones de primer grado 1. Quitar paréntesis. 2. Quitar denominadores. 3. Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro. 4. Efectuar las operaciones 5. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por de la desigualdad. 6. Despejamos la incógnita. Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla: De forma gráfica, Como un intervalo a b 2. Inecuaciones de primer grado Las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven aplicando inversos aditivos (opuestos) o inversos multiplicativos (recíprocos) para despejar la incógnita. Conviene dejar positivo el coeficiente de la incógnita. A continuación veremos cómo se aplican las propiedades anteriores en la resolución de inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.

4 Ejemplo: Resolver la inecuación: x 2 < 3x 6 Método 1: Primero sumemos 3x a ambos lados: : : x 3x 2 < 6 sumemos 2 en ambos lados x 3x < 2 6-2x < -4 multipliquemos por -1/2 a ambos lados. La desigualdad cambia en virtud de la propiedad 3 x > 2 Observa que el signo cambió pues se multiplicó por un número negativo. (En clase reforzaremos estos procesos). Método 2: x 2 < 3x 6 Conviene dejar la incógnita positiva, por tanto restaremos x a ambos lados: -2 < 3x x 6 ; Sumamos 6 en ambos lados 4 < 2x, dividimos por 2 en cada lado y tenemos: 2< x que es lo mismo que x > 2 Mapa de contenidos tratados con las inecuaciones. Ejercicios de selección múltiple: marque la respuesta correcta. Justifique en su cuaderno 1. a b en n unidades si: a. n b b. a b n c. a n d. a n e. a nb

5 2. Cuál de las siguientes expresiones es siempre mayor que 10 si 5 < a < 10? a. a b. a 1 c. 20 a d. 10 a e. a Si n < 0, cuál de las siguientes expresiones es negativa? a. n b. 2n c. n2 d. n e. n n 4. Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) si a = b, c = d y d < e < a? I) c < b II) b = d III) d < b a. Sólo I b. Sólo II c. Sólo III d. I y II e. I y III 5. Si > n n Z, entonces n no puede ser mayor que: a. 5 b. 5 c. 4 d. 4 e En enero la temperatura máxima no superó los 34 ºC. Si la temperatura máxima fue tº, entonces es correcta la relación: a. tº > 34º b. tº 34º c. tº 34º d. tº < 34º e. tº 33º 7. Qué inecuación no puede resolverse con a = 5? a. 3 a 2 > 10 b. 2 a + 3 < 15 c. 6 a < 30 d. 4 a > 20 e. Ninguna de las anteriores 8. Fernando tiene más edad que Álvaro. Jorge es menor que Claudio y Álvaro es mayor que Claudio. Cuál es el menor? a. Claudio b. Álvaro c. Jorge d. Fernando e. No se puede determinar 9. Un alumno obtuvo las siguientes calificaciones en tres pruebas: 4,8; 4,7 y n. Qué valor debe tener n para que el promedio de las tres pruebas sea con toda seguridad cinco o superior a 5? a. n > 5 b. n 5 c. > 5,2 d. n 5,4 e. n 5,5 Inecuaciones de segundo grado. Proceso: 1. Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado. 2. Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo 3. La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

6 Consideremos la inecuación: x 2 6x + 8 > 0 La resolveremos aplicando los pasos detallados anteriormente, veamos: 1. Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado. x 2 6x + 8 = 0 x 2 + x +1 0 x 2 + x +1 > 0 x 2 + x +1 0 x 2 + x +1 < 0 Solución 6 x x x º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: P(0) = > 0 P(3) = = < 0 P(5) = = > 0 3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio., 2 S 4, Veamos otro ejemplo: x 2 + 2x +1 0 si lo miramos como una ecuación de segundo grado es: x 2 + 2x +1 = 0 que solo tiene una única respuesta: Inecuaciones racionales Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero. x 2 0 x 4 veamos el proceso a seguir:

7 . Hallamos las raíces del numerador y del denominador. x 2 = 0 x = 2 x 4 = 0 x = 4 2. Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas. 3. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: x 2 0 x 4 x Si x 0,tenemos : 0 Si x 3,tenemos : 0 Si x 5,tenemos : La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) qu e tengan el mismo signo que la fracción polinómica. (Esto usando el método del cementerio), 2 S 4, x 3 Veamos otro ejemplo. Halle el conjunto solución para: 2 restamos 2 a cada lado y x 2 x 3 x 7 ponemos a común denominador Hallamos las raíces x 2 x 2 del numerador y del denominador. x + 7 = 0, x = 7, x 2 = 0, x = 2, Evaluamos el signo: Si x 0,tenemos : 0, Si x 3,tenemos : , Si x - 8,tenemos : , 2 S 7, Así la solución es el conjunto S:

8 Resumen de Inecuaciones racionales Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero. a. Hallamos las raíces del numerador y del denominador. b. Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas. c. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo. d. La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) qu e tengan el mismo signo que la fracción polinómica. Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones. 1. 2x x 2 1 2x 2x -2 x -1 x x -3 x 3 Así la solución es el conjunto S: S 1,3 2. 2x x 2 1 2x 2x -2 x -1 x x -3 x 3

9 Así la solución es el conjunto S: S 3, 3. 2x x 2 3 2x 2x -2 x -1 x x -3 x 3 No tiene solución. La solución a este sistema es la intersección de las regiones que corresponden a solución de cada inecuación. la 4. 2x y 3 x y 1 Representamos la región solución de la primera inecuación. Transformamos la desigualdad en igualdad. 2x + y = 3 Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos. x = 0; y = 3; y = 3; (0, 3) x = 1; y = 3; y = 1; (1, 1) Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta. Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), lo sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano. 2x + y Sí

10 Representamos la región solución de la segunda inecuación. x + y = 1 x = 0; 0 + y = 1; y = 1; (0, 1) x = 1; 1 + y = 1; y = 0; (1, 0) ; x + y No La solución es la intersección de las regiones soluciones.

11 Bibliografía Walter Fleming, Dale Varberg (1991). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Delta Publicaciones. ISBN Eva María del Pozo García (2004). Matemáticas fundamentales para estudios universitarios. Pearson Educación. ISBN José Manuel Casteleiro Villalba (2008). La matemática es fácil. Esic. ISBN Carlos González García (2008). Matemáticas 1 Bachillerato. Editex.

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