DESIGUALDADES < d < En el campo de los números reales tenemos una. Un momento de reflexión muestra que una

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1 DESIGUALDADES 7 60 < d < 7 70 En el cmpo de los números reles tenemos un propiedd de orden que se costumbr designr con el símbolo (<). Estudintes de Trilce pr elementos culesquier ; b R y sólo un de ls siguientes es válid. < b; = b; > b Est firmción se llm ley de tricotomí. Un momento de refleión muestr que un medición bsolutmente ect de culquier cntidd físic tl como un distnci, un peso, un velocidd, etc., es completmente imposible; precisión depende de los instrumentos de medid y tles instrumentos pueden hcer totlmente pr medir dentro de cierts tolerncis especificds, nunc ectmente. Tmbién veremos después que ls desigulddes Ls desigulddes son quizá tn importntes en ls plicciones de ls mtemátics como ls ecuciones. En efecto, en el grdo en que nuestro conocimiento del mundo físico se obtiene midiendo (no mermente contndo), ese conocimiento se son esenciles pr clrr conceptos fundmentles como el límite, sobre el cul se construye todo el cálculo. Por ests rzones es necesrio un buen entendimiento básico de ls desigulddes. describe por desigulddes. Si decimos que el diámetro d del plnet Venus es de mills, queremos decir: 1

2

3 3

4 4

5 INECUACIONES DE PRIMER GRADO Son quells que presentn l siguiente form: Trnsponiendo términos: > < < 19 + b 0; ( 0) Pr obtener el intervlo l que pertenece l incógnit de tl mner que verifique l desiguldd propuest será suficiente despejr l incógnit plicndo los teorems de desigulddes. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Resolver: > < 3 Finlmente: <- ; 3> 3. Resolver: Solución: Efectundo l multiplicción indicd: Solución: > 3 - reduciendo términos se tiene: 0 > 0 M.C.M.(3; ; 6) = 6 lo cul es flso, en consecuenci l inecución es incomptible: > 1 4. Resolver: 3 <; + > Solución:. Resolver: (3 + )( - ) (1-76) > 3( + 7)( - 1) 4 Solución: > > > Efectundo l multiplicción indicd: Reduciendo: 1 3 lo cul es verddero, implic que l desiguldd no v depender de que siempre se llegrá es conclusión entonces: R

6 BLOQUE I 1. Pr los pres de intervlos mostrdos, grficr y dr el intervlo solución de: A B; A B; A B; B - A A = <3; 6> B = <; 1] A = [1; 9] B = [6; 1] A = <-3; 0> B = <-1; 0>. Resolver: ( - 3) + 3( - ) > 4( - 1) Indicndo el menor vlor entero que dopt ( + 1) > 7( - 1) Si: < b;, b R + Resolver: b b b b ) 1 b) > 1 c) 1 d) e) 7. Hllr el mínimo vlor entero de en cd un de ls siguientes inecuciones. ( + )( + ) ( + 4)( + ) 10 ) 1 b) 8 c) 7 d) 10 e) 9 ( + )( - ) ( + 1) 13 ( - ) < 4( - 3) Resolver: 6 3 indicndo el intervlo solución. ) [7; + > b) [1; + > c) [-1; 1] d) R e) Resolver: 3 7 indicndo el intervlo no solución < 1 8. Resolver: ( + 1)( + b) > + b Si: + b < 0 b ) > 1 b) > b b d) e) N.A. b c) < b b ) <4; + > b) <1; 4> c) <-1; 1> d) <- ; 4> e) N.A.. Resolver e indicr el intervlo solución de: 1 3 ( 1) ( 1) ( + ) ( - ) 16 10( + ) > 9( + 6) Resolver: ( + 1)( + )( + 3) ) 10 b) 4 c) 6 d) 6 e) Resolver: 3 4 Hllr el myor vlor que stisfce l desiguldd. ) b) 1 c) 0 d) -1 e) En un tiend, 4 pnetones cuestn l quint prte del triple de 40 soles; mientrs que en otr tiend 9 pnetones tienen un costo de los dos tercios del triple de 7 soles. En qué tiend cuest más un pnetón? 93

7 1. Un vendedor tiene 180 chocoltes y 10 crmelos; en l mñn vende los /6 de chocoltes y 3/4 de crmelos, de lo que qued, por l trde vende l quint prte de chocoltes y l set prte de crmelos. Qué vendió más, chocoltes o crmelos? 13. Dos ms de cs reciben S/. 600 y S/. 00 de mensulidd pr gstos. L primer debe gstr los 3/10 en lquiler de cs y los 3/ del sldo en comid, mientrs que l segund debe gstr los 9/ en lquiler y los 3/4 del sldo en comid. Cuál de ells gst más en comid? 14. L cntidd de lumnos en un ul es tl que dich cntidd disminuid en, dividid luego por 4, es myor que 6, cuál es l menor cntidd de lumnos que puede tener dicho slón? 1. El número de bols de un rbolito de nvidd, disminuido en 1, y luego est diferenci dividid por 7 result myor que 3. Cuál es el menor número de bols que puede hber en dicho rbolito? 16. L docev prte del número de libros que hy en un estnte más 7, es más que 13. Puede hber 10 libros por lo menos en dicho estnte? 17. L edd de mi buelo es tl que sumd con 3, y dividid por 13, ecede 8. Cuál es l menor edd que puede tener mi buelo? 18. L quint prte de diez, más el triple de l edd ctul de mi profesor de mtemátic, ecede 9. Indicr l menor edd que puede tener mi profesor. 19. L edd de uno de mis hermnos es tl que su doble umentdo en es menor que 19, y su triple umentdo en 7 es myor que. Clculr l edd de mi hermno. BLOQUE II 3 1. Resolver: 4 ) <- ; 7> b) <7; + > c) <- ; -7> d) <-7; + > e) <1; + >. Resolver: ) <- ; 10> b) <- ; -10> c) <-10; + > d) <10; + > e) <- ; 13> (3 b) (3b ) 3. Resolver: 7b 7 ( < b) ) <- ; 7] b) <- ; ] c) [; + > d) [7; + > e) [; 7] BLOQUE III 1. Resolver: ( + 1)( + ) > ( + 1)( + )( + 3) ) <- ; -1> b) <- ; 1> c) <-1; + > d) <1; + > e) <-1; 1>. Resolver: ( - 1)( + ) ( + 1) ) <- ; -1] b) <- ; 1] c) [-1; 1] d) <-1; + ] e) [1; + ] 3. Resolver, si n N y dr el mínimo vlor de n 6 1 n(n 1) ) n 1 n d) e) b) (n + 1) c) (n 1) 4. Sen m, n, p R + que verificn: (m + n + p)(m -1 + n -1 + p -1 ) (n 1) Hllr el myor vlor de e indique como respuest: 3 1 ) 1 b) c) 3 d) 6 e) 9. Indique el máimo vlor de A que stisfce l siguiente desiguldd: y y z w A y z y w ; y; z; w R + ) 6 b) c) 3 d) 4 e) 94

8 6. Se: T entonces: ) T < ; + > b) T <+ ; > c) T <- ; + > d) T <- 004 ; 004 > e) T <-; > 7. Cuántos números enteros stisfcen el siguiente sistem de inecuciones? < 7 ) 1 b) 3 c) 4 d) e) 6 8. Uno de los números pres que stisfcen el siguiente sistem de inecuciones: 3 1 ) - b) 3 c) 4 d) e) 6 9. Hllr el conjunto solución correspondiente l siguiente sistem de inecuciones: ) ]-3; -[ b) ] ; [ c) ] ; 6[ 7 7 d) ] ; [ e) ] ; 3[ 3 1. Pr los pres de intervlos mostrdos grficr y dr el intervlo solución de: A B; A B; A B; B - A A = <- ; > B = <0; + > A = [-0; > B = [ 3 ; + > A = <-10; > B = [-3; 6>. Resolver: [4 ( - 1) + ( - 3)] [ 3] ) 1 b) 1 c) 0 d) 4 e) N.A. 3. Resolver e indicr el intervlo solución de los siguientes problems pr ( + 9) 10 > ( + ) Resolver: ) 1 b) c) 3 d) e) N.A. 4. Resolver: 6 3 indicndo su intervlo solución. ) [11; + > d) R b) [-11; 11] e) c) [; 3] 6. Hllr los vlores enteros máimos de cd un de ls siguientes inecuciones. 3 4 < + ( + ) 18 ( + 3) ( + ) 9 9

9 7. Hllr el mínimo vlor entero de en cd un de ls siguientes inecuciones. 3 7 > 4 + > 3( + ) ( + ) < 6( - 1) + 4 ( + )( + 6) ( + 4) + 8. Si: > b;, b R + Resolver: b b b b ) > 1 b) < 1 c) d) R e) 1 9. Si: [-; 3] que intervlo pertenece: A = 3 + 1, indicr el máimo vlor de A. ) 9 b) 8 c) 10 d) -8 e) Si: ( - 1) [-; 4> entonces. A qué intervlo pertenece (3 )? ) b) <1, 4> c) <-19/; 13] d) <1, > e) <, 8> 11. Resolver: ) <- ; -3] b) [-3; + > c) <- ; 3] d) [3; + > e) [37; + > 1. Resolver: ) <- ; 10] b) [10; + > c) <- ; -10] d) [-10; + > e) [-10; 10] 13. Resolver: ( - 1)( - 3) ( - 1) ( - ) e indicr el myor vlor entero que lo verific 14. L cntidd de pelots que hy en mi cs es tl que, uno más el triple de dicho número en menos de 46, y uno más su cuádruplo, es más que 3. Si se me etrví un, cuánts pelots me quedn? 1. Mi buelo fue un grn profesor de mtemátic; cundo le pregunto su edd me dice: el doble de mi edd umentdo en uno es menor que 161; mientrs que el triple disminuido en es más que 3. Cuál será l edd de mi buelo dentro de dos ños? 16. El quíntuplo del número de hermnos que tengo, disminuido en 1, es menor que el cudrdo de 7; y siete veces dicho número, umentdo en 8, ecede l cudrdo de 8. Cuántos hermnos somos en totl? 17. L mitd de, más el triple de un cierto número, es menor que 19; mientrs que l tercer prte de el cuádruple de dicho número, disminuido en 4 ecede 1. Clculr dicho número. 18. L quint prte del doble de l edd de mi pdre menos uno, es menos que 17; mientrs que l quint prte del triple de l edd de mi pdre umentdo en, ecede. Indicr l edd de mi pdre. 19. El número de libros que tengo es tl que, 1 más los tres medios de dich cntidd, no ecede 1, y más los cinco curtos de l cntidd de libros es myor que 18. Clculr l cntidd de libros que tendré. 0. Un número nturl es tl, que l curt prte del número nturl nterior, es menor que 10; demás, l curt prte del número nturl siguiente es más que 10. Cuál será l octv prte de dicho número? ) b) 1 c) -3 d) -1 e) - 96

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