TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 Profesor: Rf Gozález Jiméez Istituto St Eulli TEM 2: SISTEMS DE ECUCIONES LINELES ÍNDICE 2..- Sistems de Ecucioes Lieles. Geerliddes Sistems equivletes Resolució de S.E.L. por mtriz ivers Mtrices esclods. Método de Guss Discusió de u S.E.L. por le método de Guss Regl de Crmer Sistems Lieles Homogéeos Sistems de ecucioes lieles. Geerliddes. El objetivo de este tem es estudir los sistems de ecucioes lieles. U sistem de m ecucioes lieles e ls icógits x, x 2,..., x es u cojuto de igulddes de l form: x + 2 x x b 2 x + x x b2... m x + m2 x m x b NOT: () Los ij R, so los coeficietes del sistem y los b i R so los térmios idepedietes. Los elemetos x, x 2,..., x represet úmeros reles descoocidos, úmeros que puede o o existir como veremos más delte; recibe el ombre de icógits. (2) E este curso os vmos iteresr, básicmete, pro los sistems de 2 ecucioes co 2 icógits y los sistems de 3 ecucioes co 3 icógits (e especil éstos últimos). R Llmremos solució del sistem terior todo cojuto de vlores reles s, s 2,..., s que verifique simultáemete ls igulddes del sistem, es decir, tl que: s + 2 s s b 2 s + s s b2... m s + m2 s m s b Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II Tem 6,

2 Profesor: Rf Gozález Jiméez Istituto St Eulli CLSIFICCIÓN DE LOS S.E.L.: Los sistems de ecucioes lieles, segú el úmero de solucioes, se clsific e sistems icomptibles, sistems comptibles idetermidos y sistems comptibles determidos tediedo l siguiete esquem: DETERMINDOS Tiee u úic solució COMPTIBLES Tiee solució S. E. L. INDETERMINDOS Tiee ifiits solucioes INCOMPTIBLES ( S.I. ) No tiee solució ( S.C.D. ) ( S.C.I. ) EXPRESIÓN MTRICIL DE UN S.E.L.: U sistem de ecucioes lieles de l form y + 3 y + y Se puede expresr e form mtricil de l form X B, dode l mtriz recibe el ombre de mtriz de los coeficietes (o mtriz del sistem), X es l mtriz de ls icógits y B es l mtriz de los térmios idepedietes. So ls siguietes: X x y z B b b2 b 3 Si relizmos el producto mtrices del tem terior X B utilizdo los coocimietos sobre opercioes co x y z b b2 b3 obtedremos el sistem de ecucioes lieles de prtid. Eso quiere decir que prtir de hor os podrá presetr u S.E.L. e form de mtrices, por ejemplo: x y z es el S.E.L. x z 0 x + y 2 y + z 0 Otr mtriz que se puede defiir prtir de ese sistem de ecucioes lieles es l deomid mtriz mplid, que se deot por * y es l siguiete: Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II Tem 6, 2

3 Profesor: Rf Gozález Jiméez Istituto St Eulli Sistems equivletes. Dos sistems de ecucioes lieles so equivletes si tiee ls misms solucioes, es decir, si tod solució de uo lo es del otro y vicevers. OBSERVCION: Si e u sistem de ecucioes se suprime u ecució que se combició liel de ls resttes, el sistem obteido es equivlete l ddo. EJEMPLO: E el siguiete sistem de 4 ecucioes co 3 icógits: x z 0 x + y 2 y + z 0 2x y z 2 L ecució 4ª es el resultdo de restrle l ecució 2ª l ª. Se podrí por tto elimir, es decir, resolver ese sistem serí lo mismo que resolver el sistem: x z 0 x + y 2 y + z 0 TRNSFORMCIONES ELEMENTLES: Se llm trsformcioes elemetles quells que permite psr de u sistem de ecucioes otro equivlete. So ls siguietes: Permutr dos ecucioes etre si. Se simbolizrá F i Fj Multiplicr u ecució del sistem por u úmero distito de cero. Se simbolizrá F i k Fi Sustituir u ecució por l que result de sumrl, previmete multiplicd por u úmero o ulo, otr culquier. Se simbolizrá F i λ Fi + µ Fj. Ests trsformcioes o so uevs, y preciero e el tem terior l estudir el método de Guss-Jord pr el cálculo de l ivers de u mtriz. demás, tmbié se puede: Itercmbir dos colums etre sí, siempre que ésts correspod ls icógits. E igú se podrá itercmbir l colum correspodiete los térmios idepedietes. Elimir del sistem l ecució 0 x + 0 y + 0 z 0 Elimir culquier ecució del sistem que se ecuetre repetid e el mismo. Elimir culquier ecució del sistem que se combició liel de ls resttes Resolució de S.E.L. por mtriz ivers. Y cooces por º de Bchillerto que dispoes de 3 métodos distitos pr resolver u sistem de 3 ecucioes co 3 icógits (tmbié evidetemete pr 2 ecucioes co 2 icógits): Reducció, sustitució e igulció. Este curso prederás otros 2 métodos más potetes; este es uo de ellos. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II Tem 6, 3

4 Profesor: Rf Gozález Jiméez Istituto St Eulli L expresió mtricil de u S.E.L. es X B. Esto quiere decir que u sistem de ecucioes puede ser etedido como u ecució mtricil detro del mudo de ls mtrices. Si itetmos resolver es ecució mtricil: X X X Luego l solució del sistem es X B. Este método de resolució recibe el ombre de método de l mtriz ivers o método directo. B B B Mtrices esclods. Método de Guss. Los sistems de l form: 2x + y z 2y + z 2z 3 Result muy fáciles de resolver, bst co despejr z de l últim ecució. Después sustituir este vlor e l 2ª ecució y despejr sí y pr, por último, sustituir los vlores de z e y e l ª ecució y obteer sí x. Este método se cooce co el ombre de gus rrib. Llmremos sistem de ecucioes lieles esclodo quél cuy mtriz de coeficietes se u mtriz esclod. Sirv como ejemplo el terior. Guss observó que este tipo de sistems er muy secillo de resolver, de bjo rrib, y diseñó u método que llev su ombre pr l resolució de los S.E.L. MÉTODO DE GUSS: Prtiedo de l mtriz mplid del S.E.L. resolver y utilizdo ls trsformcioes elemetles descrits e el prtdo terior, psremos u uevo S.E.L. co l mtriz de coeficietes del tipo esclodo, mucho ms fácil de resolver. Ls solucioes de este último sistem será ls que buscábmos pr el de prtid. E form de esquem: Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II Tem 6, 4

5 Profesor: Rf Gozález Jiméez Istituto St Eulli EJEMPLO: S.E.L. co prámetros. Discusió de u S.E.L. por le método de Guss. cbmos de estudir el método de Guss pr l resolució de u S.E.L., pero hy ejercicios e los que l resolució o es t imedit; fíjte e este ejemplo: x + y z 2x λ y + z λ y z 0 Este tipo de S.E.L. tiee l peculiridd de que lguo de los coeficietes o so úmeros, sio letrs (λ, δ, α, k, ) que recibe el ombre de prámetros. E los S.E.L. co prámetros es muy itereste coocer cómo se comport pr los distitos vlores del prámetro: pr qué vlores es comptible determido, pr cules será comptible idetermido y pr los que será icomptible. esto se le cooce co el ombre de discusió del sistem. DISCUSIÓN DE UN S.E.L. CON PRÁMETROS POR GUSS: Pr utilizr el método de Guss e l discusió de S.E.L. hy que seguir los siguietes psos: º. plicr Guss hst coseguir u sistem esclodo, elimido pr ellos tods ls fils uls o que se C.L. de ls teriores. 2º- teder l siguiete esquem: Si es el úmero de icógits y k es el úmero de ecucioes que qued o uls: Si Si > Si l últim fil es de l form (0 0 0 b) (co b 0) S.I. k Si l últim fil es de l form (0 0 b) (co 0) S.C.D. k, será ecesrio tomr - k icógits como prámetros pr resolver S.C.I. EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE UN S.C.I.: Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II Tem 6, 5

6 Profesor: Rf Gozález Jiméez Istituto St Eulli Regl de Crmer. Existe uos S.E.L. que dmite otr form de resolució. Lo que veremos cotiució sólo es válido pr sistems de 2 ecucioes co 2 icógits, sistems de 3 ecucioes co 3 icógits U sistem se dice que es de Crmer si 0, siedo l mtriz de los coeficietes del sistem. Ls solucioes de u sistem de Crmer se obtiee fácilmete medite ls expresioes que prece cotiució. Ddo el S.E.L.: y + 3 y + y L solució de dicho sistem es: x y 2 z 3 Dode es el determite de l mtriz de coeficietes del sistem y i deot l determite de l mtriz que se obtiee l cmbir l colum i de por l colum de los térmios idepedietes del sistem Sistems Lieles Homogéeos. U sistem de ecucioes lieles es homogéeo si los térmios idepedietes de tods ls ecucioes del sistem so ulos. Será pues, de l form: y + 3 y + y + z 0 z 0 z 0 IMPORTNTE: u sistem homogéeo siempre tiee solució, es decir, siempre es comptible. Suele ser los ms fáciles de resolver. FIN TEM Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II Tem 6, 6