MODELADO ANÁLISIS Y CONTROL DE UN EVAPORADOR DE DOBLE EFECTO

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1 XXV Jornada de Automática Ciudad Real, del 8 al de eptiembre de 4 MODELADO ANÁLISIS Y CONTROL DE UN EVAPORADOR DE DOBLE EFECTO Manuel Pérez Polo, Joé Ángel Berná Galiano, Javier Gil Chica Departamento de Fíica Ingeniería de Sitema y Teoría de la Señal. Univeridad de Alicante. Ecuela Politécnica Superior. Apartado 99, E-38. Alicante. ; Reumen En ete trabajo e preenta el dearrollo del modelo matemático y el itema de control de un evaporador de doble efecto utilizado para concentrar mezcla de trietilen-glicol en agua. A partir de lo balance de materia y energía e obtiene el modelo no lineal del proceo, formado por cinco variable de etado tre entrada de control y tre entrada de perturbación. El análii de la condicione de etado etacionario permite obtener el punto de equilibrio, a partir del cual e obtiene el modelo lineal del proceo, reultando un itema MIMO con fuerte interaccione entre lo bucle. Dado que la matriz tranferencia e 3x3, el dieño cláico baado en reguladore PI y controladore de no interacción reulta complejo, por lo que e propone una metodología de control por aignación de polo junto con el número de integradore neceario para coneguir la modificacione deeada en lo punto de conigna, y a la vez obtener un buen rechazo de perturbacione. La metodología propueta e comprueba a travé de imulación del modelo dearrollado uponiendo que toda la variable de etado etán diponible para medida. Palabra clave: Evaporador. Modelo matemático. Multivariable. Linealización. Sitema MIMO. Control. Aignación de polo. INTRODUCCIÓN El dearrollo de lo método de control baado en variable de etado, e un tema bien conocido dentro del campo de la ingeniería de control. Sin embargo dede el punto de vita del control de proceo, caracterizado por múltiple entrada y alida, recirculacione y fuerte no linealidade, tale método encuentran una aplicabilidad limitada []. Eto e debido a que el proceo de ajute del itema de control, baado en técnica matriciale, reulta meno intuitivo que la técnica ampliamente extendida, baada en una matriz tranferencia diagonal formada por reguladore PI o PID. La técnica cláica de ajute de eto reguladore, tale como la regla de Ziegler-Nichol, Cohen-Coom etc. [], [3] iempre que la interacción entre lo bucle ea moderada, uelen dar bueno reultado. Sin embargo, para itema lineale tipo MIMO con fuerte interaccione, eta técnica dan lugar a itema de control, que ademá de er difícile de ajutar, nunca e eta eguro de tener un buen itema de control que regula el proceo. Para paliar eto problema, e han propueto técnica de control no lineal baada en método geométrico [4], [5]. Eta técnica on difícile de aimilar para el mundo de la indutria de proceo, en el que el regulador PID etá fuertemente arraigado, con la dificultad añadida de la neceidad de manipulación imbóliconumérica de la eñale de control obtenida, que hacen muy compleja la interpretación de como la eñale de control afectan a la variable manipulada del proceo. En ete trabajo e formulan la ecuacione de etado de un evaporador de doble efecto para concentrar mezcla de trietilen-giclol y agua. [3], [5]. El modelo matemático del proceo e no lineal, y etá formado por cinco variable de etado, tre controle y tre poible entrada de perturbación. A partir del etado de equilibrio e calculan la matrice jacobiana y e obtiene el modelo lineal del proceo, reultando un itema MIMO [],[]. A partir de la técnica de aignación de polo, y uponiendo que toda la variable de etado etán diponible para medida, e etudian do poible alternativa de control. Por un lado, uponiendo que no hay entrada de perturbacione, e etudia como variar lo punto de conigna in que aparezca error en etado etacionario. Para ello e forma un itema MIMO ampliado formado por el número de integradore neceario [6], [7]. El efecto de la perturbacione e etudia coniderando el itema como regulador, o ea fijando lo punto de conigna y etudiando como afectan la perturbacione aociada a la corriente de entrada en el funcionamiento global del proceo. A efecto de verificar lo dieño obtenido e proponen comprobacione numérica.

2 MODELO MATEMÁTICO DEL SISTEMA El proceo, tal como e muetra en la figura, etá formado por un evaporador de doble efecto. El primer efecto e alimenta con una olución de trietilen-glicol y agua con un caudal máico F, una concentración de oluto C f y temperatura T f. La olución e concentra en el primer efecto por acción de un caudal de vapor S f, el cual genera un caudal de vapor O y un caudal de fondo de oluto concentrado B. La corriente de fondo B e alimentada al cambiador de calor del egundo efecto por el lado tubo, mientra que el caudal de cabeza O alimenta el cambiador del egundo efecto por el lado carcaa. La corriente de alida B, que e el producto deeado, abandona el egundo efecto con una concentración de oluto C (% en peo). El caudal producido en el egundo efecto O e condenado en el eparador de fae, que etá a una preión P y a una temperatura contante T por la acción del condenador barométrico. La cantidad máica de líquido retenido en el primer efecto y eparador de fae on W y W repectivamente, mientra que P, T y P, T on la preione y temperatura en cada uno de lo efecto. Para dearrollar el modelo matemático del itema e tienen en cuenta la iguiente upoicione [5]: La camia de almacenamiento de vapor, parede de lo tubo y carcaa tienen capacidade calorífica depreciable, y por tanto no e coniderarán en el balance de energía. El condenador barométrico de vacío mantiene la temperatura T del egundo efecto contante. No hay oluto en la corriente de vapor O, O que alen de cada uno de lo efecto. El vapor retenido en cada efecto e depreciable. Bajo la upoicione anteriore, lo balance de maa y de energía en cada efecto on: O, T, H v B -B +x PC VACIO FC P, T P O Agua de enfriamiento S f W LC W LC Condenador Barométrico x, C O Condenado B, C, T, h FC FC x B F, C f, h f C, h CC B, T, C PRODUCTO PRIMER EFECTO SEGUNDO EFECTO Fig.. Equema del proceo

3 . Balance total de maa en el primer efecto: dw F B O = (). Balance de oluto en el primer efecto: dwc ( ) = FC BC () f 3. Balance de energía en el primer efecto: dwc ( ) = Fh Bh OH + Q L (3) f v Siendo: Q el calor tranmitido por el vapor de calefacción, h la entalpía epecífica de la olución, H v la entalpía epecífica del vapor a la temperatura T y L la pérdida de calor en el primer efecto. Ete término puede depreciare i el itema etá bien ailado térmicamente. Eliminando dw / entre la ecuacione () y () y (3) e obtiene: dc W = F ( C C f ) + OC (4) dh W = F( h h ) O ( H h ) + Q L f (5) v 4. Balance total de maa en el egundo efecto: dw B B x O x = + (6) 5. Balance de oluto en el egundo efecto: dwc ( ) = B C + ( x B ) C xc (7) Eliminando dw / entre la ecuacione (6) y (7) e obtiene: dc W = B ( C C ) + C O (8) Pueto que la temperatura del egundo efecto e mantiene contante por la acción del condenador barométrico, no e neceario realizar el balance de energía en el egundo efecto. La ecuacione (), (4), (5), (6) y (8) contituyen el modelo matemático general del proceo. A efecto de particularizar, e upondrá que el calor uminitrado en el primer efecto e debido a la condenación total del caudal de vapor S f, o ea: Q = λ S (9) c f iendo λ el calor latente de condenación. En la ecuacione del modelo hay que epecificar lo caudale de vapor O, O que alen de cada efecto. El caudal O que ale del primer efecto e determina uponiendo que dicho vapor e condena por completo en el egundo efecto, para lo cual erá neceario diponer del área y del coeficiente global de tranmiión de calor en el cambiador de calor del egundo efecto, o ea: Q = U A ( T T ) = O ( H h ) () v c iendo H v y h c la entalpía epecífica del vapor y del condenado repectivamente, U e el coeficiente global de tranmiión de calor del egundo efecto, A el área de tranmiión de calor del egundo efecto. Lo valore de H v y h c pueden etimare a travé de correlacione termodinámica o empíricamente. Para el cao de la olución propueta e obtiene [3], [5]: H = T v h = T 3 c () Para determinar el valor de O hay que tener en cuenta que la temperatura en el eparador de fae, donde e encuentra la cantidad de liquido retenido W (ver figura ) e contante, por tanto la entalpía epecífica de la olución dependerá de la concentración de oluto C que hay en el eparador de fae: h = f(c ). Por otro lado en el egundo efecto e verifica: B h + ( x B ) h + Q = ( B B + x) H e () iendo H e la entalpía del vapor que ale del cambiador de calor del egundo efecto. Ademá, en el eparador de fae e cumplirá el iguiente balance de energía: dwh ( ) = ( B B + x) H L O H xh e v (3) Teniendo en cuenta que: h f( C ) dh h dc = = (4) C y coniderando la ecuación (), la ecuación (3) e puede dearrollar de la forma: 3

4 dw dh h + W = Bh + ( x B ) h + Q L O H xh v (5) Teniendo en cuenta la ecuacione (6) y (4), operando en la ecuación (5) e obtiene: dc h h ( B B O ) + W = Bh + C ( x B ) h + Q L O H xh v (6) Sutituyendo la ecuación (8) en la (6) e deduce la ecuación: h h ( B B O ) + B ( C C ) + O C = C Bh Bh + Q L OH v (7) Simplificando y reordenando la ecuación (7) e obtiene el valor bucado O : O h B ( h h ) + Q L B ( C C ) C = h + H h C v C (8) Por coniguiente el modelo matemático del proceo viene dado por la ecuacione (), (4), (5), (6), (8), (), () y (8), en la que olo e neceitan lo valore de la entalpía epecífica h, h de la olucione en cada efecto en función de la compoicione y temperatura. La entalpía epecifica del vapor en el egundo efecto e determina por una ecuación análoga a la (): = T (9) Hv Lo valore de h y h vienen dado por la correlacione empírica [3], [5]: h = T(.6 C ) 3 h = T (.6 C ) 3 () En el modelo anterior, como variable de etado e toman: T x W C h W C = () La eñale de control on lo caudale: T u S B B f () = La entrada de perturbación on: T d F C h f f = (3) y como eñale de alida e toman: T y W W C = (4) Como T = f(c, h ) y T e contante, lo caudale de vapor O, O vienen dado por ecuacione de la forma: O = f( C, h ) O = f( h, C, C (5) lo cual va a permitir facilitar el cálculo de la derivada parciale en el proceo de linealización, tal como e verá a continuación. Teniendo en cuenta la ecuacione (), () e deduce: UA( T T) h+ 3 O = ; T = 98.6T.6C (6) El cálculo de O e lleva a cabo de la iguiente forma: h =.6T C (7) H h = 98.6T +.6TC v Sutituyendo la ecuacione (7) en la (8) e obtiene: UA( T T) h T TC O = + B 98.6T 98.6T (8) E intereante realtar que el caudal de vapor O no depende de la concentración C, como parece deducire de la ecuación (8). Sutituyendo O y O en la ecuacione (), (3), (5), (6), (8) y () e obtienen la iguiente ecuacione de etado: dw U A ( T T ) = F B 98.6T (9) dc F C U A ( T T ) = ( C ) f C + W W 98.6T (3) Teniendo en cuenta que: H h = T h (3) v 4

5 dh F U A ( T T ) = ( h ) f h W W 98.6 T λ S f f L + W W (3) ( H h ) v dw U A ( T T ) L = + B B 98.6T (33) h T TC B 98.6T dc C U A ( T T ) L C C = B W T W C h T 3.6TC B W 98.6T (34) La ecuacione (9), (3), (3), (33) y (34) contituyen el modelo no lineal del proceo. Teniendo en cuenta la denominacione de variable de etado, control y perturbacione dada por la ecuacione (), (), (3) y (4), la ecuacione del itema e pueden ecribir de la forma general: x () t = f x (), t x (), t u (), t d () t 3 x () t = f x (), t x (), t x (), t d (), t d () t 3 x () t = f x (), t x (), t x (), t u (), t d (), t d () t x () t = f x (), t x (), t u (), t u () t x () t = f x (), t x (), t x (), t x (), t u () t (35) A partir de la ecuacione (35) e pueden obtener la ecuacione del itema lineal, que e ecriben de la forma: x () t = Ax() t + Bu() t +Γd() t (36) en donde la matrice A(5x5), B(5x), Γ(5x3) e calculan a partir de lo jacobiano: A= ; B = ; Γ = (37) u d El ubíndice indica etado etacionario o de equilibrio. Ante de realizar lo cálculo de la ecuacione (37) habrá que determinar el punto de equilibrio. 3 CONDICIONES DE ESTADO ESTACIONARIO El modelo matemático dearrollado en el apartado anterior e fuertemente no lineal, iendo neceario linealizarlo a travé de la ecuacione (37). Como conecuencia del dieño del proceo [5], lo parámetro y valore nominale en etado etacionario que definen al itema vienen dado en la tabla. Tabla Parámetro y valore nominale Variable Decripción Valor A Área egundo efecto (ft ) 4.6 U Coeficiente Tranmiión de calor (BTU/min.ft ºF) B Caudal máico fondo 3.3 primer efecto (lb/min) B Caudal máico fondo.7 egundo efecto (lb/min) C f Concentración de oluto 3. alimentación (% peo) F Caudal máico 5. alimentación (lb/min) h f Entalpía epecífica 6 alimentación (BTU/lb) h Entalpía epecífica liquido 94 primer efecto (BTU/lb) P Preión primer efecto < 5 (pia) P Preión egundo efecto 7.5 (pia) T f Temperatura vapor de 9 calefacción (ºF) T Temperatura primer efecto 5 (ºF) T Temperatura egundo 6 efecto (ºF) W Liquido retenido en el 3 primer efecto (lb) W Liquido retenido en el 35 egundo efecto (lb) λ Calor latente de condenación del vapor (BTU/lb) 948 Con lo valore de la tabla y con la ecuacione del balance de materia y energía en cada efecto e determinan lo valore de etado etacionario de O, O, C, C y S f. Tomando lo ubíndice correpondiente al etado etacionario de la ecuación () e deduce: 5

6 dw = F B O = O = =.7 ( lb/ min) (38) Con lo valore calculado anteriormente y lo de la tabla e pueden determinar la matrice jacobiana definida en la ecuacione (37). De la ecuación (4), en etado etacionario e deduce: dc = F ( C C ) O C S f W + = FC f 53. C = = = 4.85 (% peo) F + O 5+.7 (39) Suponiendo depreciable la pérdida de calor al exterior, de la ecuación (5) e calcula el valor de Q : dh = = F ( h h ) O ( H h ) + Q f v (4) Teniendo en cuenta la ecuación (3), en la ecuación (4) e conoce todo, por lo que: Q = O ( H h ) F ( h h ) v f =.7(56 94) 5(6 94) = ( BTU / lb) (4) Conocido el valor de Q, el caudal neceario de vapor e determina a partir del calor latente de condenación: Q Q = λ S S = f f f λ = =.9 ( lb / min) 948 f (4) De la ecuación (6) e obtiene el caudal de vapor en etado etacionario en el egundo efecto: dw = O = B B = =.6 ( lb / min) (43) La ecuación (6) particularizada en etado etacionario permite calcular C : dc = B ( C C ) + O C = (44) BC C = = = 9.4 % B + O CALCULO DE LAS MATRICES JACOBIANAS. MODELO LINEAL DEL PROCESO A partir del análii de etado etacionario realizado en el apartado anterior, e puede concluir que la derivada parciale de lo vectore campo f i repecto a la variable de etado x (ver ecuacione (35)) on nula: i e = ; i =,,3, 4,5 ; x W (45) ya que, por ejemplo, para la ecuación (4) e verifica: = F( C C ) + OC W f (46) y al particularizar en etado etacionario e obtiene la ecuación (39). De igual forma e puede razonar para la otra ecuacione. Por coniguiente, la primera columna de la matriz A e nula. Siguiendo un razonamiento imilar, de igual forma e puede comprobar que: i 4 e = ; i =,,3, 4, 5 ; x W 4 (47) De la ecuación (47) e deduce que lo elemento de la columna cuarta de la matriz A on nulo. El reto de lo elemento de la matriz A, calculado por fila on lo iguiente. Fila uno: T h + 3 = = ; T = C T C C (48).6 Operando e obtiene: 98.6T +.6( T T ) = U A T ( 98.6T ) = = (49) 6

7 T.6( h + 3) = = C 3 ( ) = = (5) (5) T T = = ; = h T h h.6c 3 =.66 = (5) El reto de lo término de la primera fila de la matriz A on nulo. Fila do: F C = = + f + C W W C UA( T T) f = n W 98.6T n n De la ecuacione (53) e deduce: (53) T n n = = C T C UA = (54) De la ecuacione (53) y (54) e deduce: =.985 (55) T T 3 3 = ; = T C C UA 98.6T T (66.4 ) 3 = + T + h W ( 98.6T ) (58) Operando la ecuación (58) e obtiene: 3 = (59) Para el iguiente término e obtiene: F T T = = + ; = h W T h h 3 UA 98.6T 3 = T W ( 98.6T ) (6) Operando la ecuación (6) e obtiene: 3 Fila cuatro de la matriz A: 3 = (6).6T T = = + C 98.6T T C U A 4 = T 98.6T Operando la ecuación (6) e obtiene: (6) T h + 3 = = ; T = h T h.6c 3 Operando la ecuación (56) e obtiene: =.877 (56) (57) 4 = 7.43 B T = = + h 98.6T T h T 4 = UA T ( 98.6T ) (63) (64) El reto de lo elemento de la fila do on cero, ya que la componente f del vector campo que definen la ecuacione del itema no dependen de la variable de etado x 4 y x 5.,e decir del liquido retenido en el egundo efecto y de la concentración de oluto en el mimo efecto. Fila tre: Operando la ecuación (64) e obtiene: 4 3 =.939 Fila cinco de la matriz A: (65) 7

8 .6T C B T = = + + C W ( 98.6T ) W T C 98.6T C 5 = UA T ( 98.6T ) W (65) Operando la ecuación (64) e obtiene: 5 = (66) f f B C f T = = + h W ( 98.6T ) T h T C 5 = UA T ( 98.6T ) W (67) Operando la ecuación (67) e obtiene: 5 3 =.378 (68) El cálculo de la última derivada e obtiene rápidamente de la ecuación (34), que da: 5 5 =.376 En reumen la matriz A queda de la forma: (69) A = (7) De forma imilar e calcula la matriz B. Lo término conflictivo on lo iguiente: f C h TC T C C = + B W 98.6T W (7) 5 Operando la ecuación (7) e obtiene: 5 B =.793 (7) f h TC T = B 98.6T 4 Operando la ecuación (7) e obtiene: 4 B =.8 Por coniguiente la matriz B e de la forma: B = (7) (73) (74) De forma imilar e obtiene para la matriz de perturbacione: CC f F W W Γ = h h f F = W W (75) E importante tener en cuenta que al haber calculado la matrice A, B, Γ a partir de la ecuacione no lineale del itema particularizando la derivada en lo valore correpondiente al punto de equilibrio, como conecuencia del dearrollo en erie de Taylor, la ecuacione lineale que e obtienen vienen expreada en término de variable incrementale o de deviación. O ea la ecuacione del itema lineal erán de la forma: x () t = Ax () t + Bu () t +Γd () t y ( t) = Cx ( t) (76) 8

9 en donde la variable de etado incrementale e definen de la forma: W () t = W () t W C () t = C () t C x () t h () t = h () t h W () t = W () t W C () t = C () t C (77) De forma imilar, la variable de control incrementale vienen expreada como: S () t = S () t S u () t B () t = B () t B B () t = B () t B f f f (78) e producirá un error en etado etacionario u offet. Para eliminarlo, erá neceario añadir un numero de integradore igual al de variable de referencia []. En tal cao, e obtiene una planta aumentada, cuyo equema general, para el itema que e etá coniderando, e muetra en la figura. B (t) B (t) S f(t) PERTURBACIONES F (t) C f (t) h f (t) PROCESO (A,B,C) W (t) W (t) C (t) La variable de perturbación incrementale aociada a la corriente de entrada e ecriben de la forma: C (t) h (t) F () t = F() t F d () t C () t = C () t C f f f h () t = h () t h f f f (79) En donde el ubíndice indica valore de etado etacionario, tal como e analizó en el apartado 3. 5 DISEÑO DEL SISTEMA DE CONTROL El dieño del itema de control e aborda a partir de la ecuacione (76), (77), (78) y (79). La variable de etado que e uponen medida on la cantidade de líquido retenida en el primer y egundo efecto W (t), W (t) y la concentración de oluto en la corriente de alida C (t), con lo cual la matriz C de alida erá: C = (8) A partir de la ecuacione (76) e poible dieñar una ley de control que lleve lo polo de lazo cerrado a uno valore determinado,por ejemplo un par de polo complejo conjugado para coneguir un tranitorio deeado y el reto uficientemente alejado como para que no influyan. Sin embargo, ete procedimiento tiene el inconveniente de que al cambiar la referencia REGULADOR K r (3x8) INTEGRADORES VARIABLES AUXILIARES Fig.. Equema del control realimentado W r W r C r En la etructura de la figura, e oberva que toda la variable de etado on medida, in embargo, i alguna de ella, por ejemplo h (t) y C`(t) no e pueden medir, en la etructura anterior habría que introducir un obervador del etado de orden reducido para etimar eta variable. El regulador etá formado por una matriz de contante K (3x8) recibiendo información de la cinco variable del proceo má la de la variable auxiliare debido a la preencia de integradore para generar la tre alida de control. El primer pao de dieño e verificar que en la matriz tranferencia del proceo (3x3) no aparecen cero en el origen, pueto que en tal cao habría cancelacione con lo polo en el origen de lo integradore, y por tanto la 9

10 correpondiente variable aociada al integrador que e cancela daría lugar a error en etado etacionario. Utilizando Matlab con lo valore de la matrice A, B, C dada por la ecuacione (7), (74), (8) y tomando D = zero(3), la matriz tranferencia e obtiene con lo comando: >> y = (A,B,C,D); >> y = zpk(y); G () = ( +.457) = (8) De la ecuación (8) e deduce que con el procedimiento de dieño propueto no habrá cancelacione polo-cero en el origen. En la figura, el bloque de integradore puede integrare en la ecuacione del proceo (67) introduciendo un nuevo conjunto de variable de etado auxiliare v(t). De eta forma la ecuacione del itema global e pueden ecribir de la forma: x () t = Ax () t + Bu () t +Γd () t y ( t) = Cx ( t) vt ( ) = r y ( t) (8) En ete cao la dimenione de lo vectore y la matrice on: A(5x5); B(5x3); Γ(5x3); C(3x5); x (t)(5x); u (t)(3x); d (t)(3x); v(t)(3x); r (3x); y (t)(3x). La ecuacione (8) e pueden ecribir en forma matricial: x () t A x () t r vt () = + C vt () I v B Γ + u ( t ) + d ( t ) y () t C x () t vt () = I v vt () (83) En la ecuacione (83), I v e la matriz identidad de dimenione (3x3) y lo cero on matrice nula de dimenione adecuada. De acuerdo con la técnica de colocación de polo [] e introduce la ley vectorial de realimentación del etado: x () t x () t u () t = [ K Kv] = Kr vt () vt () (84) Sutituyendo la ecuación (84) en la (83) e obtienen la ecuacione del itema en lazo cerrado: x () t x () t Γ = ( A B K ) + r + d () t a a r vt () vt () I v (85) iendo: A B A = ; B = a a C (86) El vector de entrada r on la entrada de referencia o punto de conigna. El propóito del dieño e coneguir que el proceo alcance lo valore fijado del punto de conigna cuando e alcance el etado etacionario, aún en preencia de la perturbacione d (t). Definiendo el vector de error dado por: x () t x et () = ; u() t u() t u r vt () v = r = r r = ; d () t = d () t d = r (87) en donde el ubíndice e refiere a condicione de etado etacionario. Teniendo en cuenta la ecuacione (83), (84) y (87) la ecuación dinámica del error viene dada por: et () = Aet () + Bu () t a a r et () = ( A BK ) et () a a r u ( t) = K e( t) r r (88) La matriz K r e puede determinar de forma univoca i el itema (88) e de etado completamente controlable, o ea i e verifica: 7 C= B AB AB... AB a a a a a a a rango = 8 ( C ) (89) Para verificar que lo cálculo on correcto, a partir de la ecuación (83) e puede definir una nueva ecuación matricial que relacione lo valore de la variable de etado y de la variable auxiliare en etado etacionario con la matrice anteriormente definida.

11 Para ello e forma la ecuación: A B x = + C u r x ; u = K r x A B u = u C r (9) La ecuacione (9) e pueden utilizar de forma independiente del proceo de imulación para verificar que lo valore de etado etacionario coinciden con lo del método de imulación utilizado. Nótee que la matriz ampliada de la ecuación (9) debe er invertible. Todo lo razonamiento anteriore e pueden implementar utilizando Matlab a travé de lo iguiente pao:. Verificar que la matriz tranferencia del proceo no tiene cero en el origen.. Comprobar que el rango de la matriz de controlabilidad e Elegir un conjunto de polo de lazo cerrado deeado. Por ejemplo, e puede fijar el coeficiente de amortiguamiento δ y la frecuencia natural no amortiguada ω n para tener un par de polo complejo conjugado dominante: δω ± jω δ con δ < n n y tomar reale el reto de lo polo alejado cinco o ei vece de la parte real poitiva de lo polo complejo. En ete cao e neceario epecificar 8 polo de lazo cerrado. 4. Determinar el valor de la matriz de ganancia del regulador K r a travé del comando place. 5. Simular la ecuacione del itema (83) con el comando lim. A continuación e etudian vario cao de dieño: 5.. Sin perturbacione y variacione en el punto de conigna Para un tiempo de etablecimiento de 4 minuto y un coeficiente de amortiguamiento de.5, con lo cual e obtienen lo polo complejo conjugado de: 3. t δω =.8 ; δ =.5 n δω,, n = δω ± jω δ n n =.8 ± j.385 Lo valore de lo polo de lazo cerrado on: P= [-.8±j ] E importante tener en cuenta que el orden de multiplicidad de lo polo eleccionado no puede er uperior al rango de la matriz B [6]. Una vez fijado p, e forman la matrice: >> Aa = [A zero(5,3); -C zero(3)]; >> Ba = [B; zero(3)]; A continuación e calcula el rango de la matriz de controlabilidad Co para verificar que u rango e 8: >> Co = ctrb(aa,ba); rank(co) Si el rango e el adecuado, e calcula la matriz de ganancia con el comando: >> Kr = place (Aa,Ba,p); K K r r K = K K r r r = = Conocida la matriz Kr e forman la matrice: >> Aaa = Aa Ba*Kr; >> Baa = [zero(5,3); eye(3)]; Caa = eye(8); >> Baaa = [Baa; W zero(3)]; >> Daa = zero(8,6); A continuación e forma la matriz de la eñale de entrada: >> t = [:.:] % tiempo de imulación. >> N = length(n); >> u = [.5*one(,N); -.5*one(,N);.*one(,N); zero(3,n) ]; La variación de lo punto de conigna no puede er arbitraria, ya que en tal cao la hipótei de linealidad deja de er válida. En tal cao lo reultado obtenido pueden carecer de ignificado, al obtenere variacione de la eñale de control (caudale) que durante el comportamiento tranitorio llegan a alcanzar valore negativo. La imulación e realiza con el comando: >> z = lim(aaa,baaa,caa,daa,u,t);

12 Lo reultado e muetran en la figura 3. Se oberva que lo etado etán expreado en variable de deviación repecto al valor cero (o ea cuando lo punto de conigna coinciden con lo valore de etado etacionario de la tabla y con lo valore deducido en el apartado 3) y tienden a lo nuevo valore de la conigna definido en la matriz u. La variable medida obre la que no actúan la referencia, toman lo valore de etado etacionario que le correponden. De igual forma la variable auxiliare alcanzan un valor de etado etacionario arbitrario. En la figura 4 e muetran la eñale de control calculada a partir de: >> uc = -Kr*z ; Fig. 3. Repueta del itema ante variación de lo punto de conigna. Obérvee como lo pico del tranitorio de lo caudale máico de alida de cada uno de lo efecto B (t) y B (t) no uperan lo valore de etado etacionario indicado en la tabla, lo cual ignifica que lo valore de lo caudale B (t) y B (t) nunca toman valore negativo, lo cual ignificaría que válvula de control permanecería cerrada durante cierto tiempo. Eta ituacione no on deeable dede el punto de vita de operación, ya que pueden dar lugar a la aparición de dinámica no modelada, fenómeno ocilatorio etc. 5.. Con perturbacione y in variacione en el punto de conigna Repitiendo lo razonamiento del cao anterior olo e neceario cambiar la matriz de la eñale de entrada: >> u = [zero(3,n);.5*one(,n); -.*one(,n); 5*one(,N)]; En ete cao e oberva que la tre primera eñale de entrada on nula. La imulación e lleva a cabo con el comando: >> z = lim(aaa,baaa,caa,daa,u,t); Lo reultado obtenido para la mima variable de etado del cao anterior e muetran en la figura 5. Fig. 4 Señale de control Se oberva como la variable de etado alcanzan un etado etacionario cero; o ea lo punto de conigna no quedan modificado por la acción de la perturbacione. La eñale de control e calculan a partir de: >> uc = -Kr*z ;

13 Lo reultado e muetran en la figura 6. del primero; reultado que no e intuitivo a la vita de la ecuacione que modelan el proceo Con perturbacione y variacione en el punto de conigna Repitiendo lo razonamiento del cao anterior olo e neceario cambiar la matriz de la eñale de entrada: >> u3 = [.5*one(,N); -.5*one(,N);.*one(,N); one(,n) -.*one(,n); one(,n)]; >> z3 = lim(aaa,baaa,caa,daa,u,t); Lo reultado obtenido para la mima variable de etado del cao anterior e muetran en la figura 7. Fig. 5. Repueta del itema ante entrada de perturbacione en la corriente de entrada Fig. 7. Repueta del itema ante entrada de perturbacione y variacione en el punto de conigna Fig. 6. Señale de control ante entrad de perturbacione y in variación en lo punto de conigna. Un apecto intereante de la gráfica anterior e que la perturbacione, tal como e han definido en la matriz u, afectan relativamente mucho má al caudal de alida del egundo efecto que En la figura 7 e han repreentado lo tranitorio de toda la variable de etado. Se oberva que la variable W (t), W (t) y C (t) evolucionan a lo valore de etado etacionario muy próximo a lo valore de.5, -.5 y. repectivamente, aún en preencia de perturbacione. El reto de la variable de etado h (t) y C (t) alcanzan el valor de etado etacionario que le correponde. Por coniguiente, e comprueba que el dieño del itema de control tiene un buen rechazo de perturbacione. 3

14 La eñale de control e calculan a partir de: >> uc3 = -Kr*z3 ; Lo reultado obtenido e muetran en la figura 8 >> xuinf = -inv(p)*[ ]; Lo valore obtenido on: xuinf = [ ] Se oberva que lo valore xuinf(:5) coinciden con lo valore de etado etacionario de la variable z (véae figura 3), mientra que el reto de lo valore xuinf(6:8) coinciden muy aproximadamente con lo de etado etacionario de la figura 4. En la figura 9 e muetra la evolución de la variable auxiliare aociada a lo integradore. Fig.8. Señale de control ante entrada de perturbación y variacione en el punto de conigna. Al igual que en el cao anterior, el caudal de alida B (t) del egundo efecto debe aumentare para coneguir que la variable de etado afectada por la referencia alcancen lo nuevo punto de conigna Comprobación de lo cálculo realizado De acuerdo con el procedimiento de dieño preentado, e poible obtener lo valore de etado etacionario, de forma independiente del método de integración, de toda la variable, incluida la aociada a lo integradore. Para ello, eligiendo uno de lo cao anteriore, por ejemplo el 5., e opera de la iguiente forma. Se forma la matriz P y e comprueba que el rango e 8: >> P = [A B; -C zero(3); rank(p) >> % rank(p) = 8 A partir de la ecuacione (9) e determina la variable auxiliar: Fig. 9. Valore de la variable auxiliare Lo valore de etado etacionario de la variable auxiliare e determinan de la iguiente forma: u u u.5.44 = K (:3,:5) r v K (: 3.6 : 8) v r v 3 3 4

15 A partir de la ecuación anterior e deduce: v v = { K (: 3,6 : 8) r } M v M =. K (: 3,: 5) r Lo valore obtenido on: v v e e.384 =.4.34 v3e Eto valore coinciden muy aproximadamente con lo de la figura 9. Por coniguiente el procedimiento de cálculo e puede coniderar correcto. 6 CONCLUSONES De lo reultado preentado en ete trabajo, e concluye que lo proceo continuo modelado a partir de balance de materia y energía, formado por unidade interconectada entre í, y con parámetro cuyo valore dependen de funcione no lineale del proceo, dan lugar a modelo matemático complejo. Para llevar a cabo el dieño del itema de control, e neceario linealizar el modelo en torno al punto de equilibrio para obtener un itema lineal tipo MIMO. A partir de lo etudio de imulación, y debido a la no linealidad del modelo, e ha comprobado que no e poible obtener un buen control cuando la deviacione de lo punto de conigna uperan un ± % del valor nominal. El método cláico de dieño de ete tipo de itema, conite en un control decentralizado baado en técnica SISO que utiliza una matriz diagonal de reguladore PID. El problema de ete dieño conite en ajutar la contante de acción proporcional derivada e integral para obtener el comportamiento deeado, in coniderar el efecto de la interacción entre bucle de control. El inconveniente reide en que no e fácil aber como reajutar lo parámetro de lo reguladore ante variacione en lo punto de conigna. Lo método de control avanzado baado en geometría diferencial tienen el inconveniente de dar eñale de control compleja, de forma que e difícil aber como el control afecta a la variable de etado. Lo método de dieño baado en obervador-aignación de polo han ido poco utilizado en la indutria de proceo. El inconveniente fundamental radica en que on poco intuitivo, y en que el ajute de la matriz de ganancia depende de lo polo deeado de lazo cerrado, cuya elección e arbitraria. De hecho, una elección no adecuada de dicho polo puede dar lugar a eñale de control muy grande, cuando e comparan con lo reguladore etándar del tipo PID. Por otro lado e neceario que toda la variable de etado etén diponible para medida, lo cual nunca e puede coneguir en la práctica. La ventaja del procedimiento propueto en ete trabajo e que da la poibilidad de familiarizar al dieñador con lo valore y tipo de tranitorio que e pueden eperar en un itema complejo como el etudiado. De eta forma e puede obtener información útil del funcionamiento de la planta controlada, que e puede utilizar como comparación para el dieño de otro itema de control. Otra ventaja e que e obtiene un itema de control centralizado, de forma que para planta compleja e obtiene una viión global del funcionamiento de la mima. Para el dieño del control de proceo má complejo, e de eperar que eta técnica, combinada con obervadore de orden reducido, tengan un campo de aplicación cada vez mayor. REFERENCIAS [] P. Alberto and A. Sala. Multivariable Control Sytem. Springer, 4. [] G.C. Goodwin, S.F. Graebe, M.E. Salgado. Control Sytem Deign. Prentice Hall. Englewood Cliff N.J.. [3] W.H. Ray. Advanced Proce Control. Mc- Graw-Hill. N.Y. 98 [4] Alberto Iidori. Nonlinear Control Sytem. Springer Verlag, 995. [5] P. Daoutidi, A. Kumar. Structural Analyi and Output Feddback Control of Nonlinear Multivariable Procee. AIChE. Vol. 4 No. 4. pp [6] P.J. Antakli, A.N. Michel. Linear Sytem. McGraw-Hill, N.Y [7] T. E. Marlin. Proce Control McGraw- Hill. N.Y.. 5

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