V 0 = K Q r. Solución: a) Aplicando la expresión del módulo del campo y la del potencial: 400 V 100 N C -1 = 4 m

Transcripción

1 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03. A una distancia r de una carga puntual Q, fija en un punto O, el potencial eléctrico es V = 400 V y la intensidad de campo eléctrico es E = 00 N C. Si el medio considerado es el vacío, determine: a) los valores de la carga Q y de la distancia r; b) el trabajo realizado por la fuerza del campo al desplazarse una carga de µc desde la posición que dista de O el valor r calculado, hasta una posición que diste de O el doble de la distancia anterior. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = 9, N m C. Colocamos tres cargas iguales de valor µc en los puntos (, 0), (, 0) y (0, ) m. a) Calcule el vector campo eléctrico en el punto (0, 0). b) Cuál es el trabajo necesario para trasladar una carga eléctrica puntual de valor µc desde el punto (0, 0) al punto (0, ) m? Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) =,9 0 9 N m C ; Solución: a) Aplicando la expresión del módulo del campo y la del potencial: V = K Q r K Q = V r E = K Q r K Q = E r V = E r r = V E = 400 V 00 N C - = 4 m Q = V r K = V V E K = V K E = (400 V) 9,0 0 9 N m C - 00 N C - =, 0- C. b) El trabajo realizado por la fuerza es igual a: W = E p = q (V f V 0 ). Por tanto: V 0 = K Q r V f = K Q r = V W = -q V V 0 = q V 0 = 0- C 400 V = 0-4 J. Solución: a) Podemos comprobar, por ser las cargas iguales y encontrarse a la misma distancia pero en sitios opuestos que el efecto de las dos primeras cargas se contrarresta por lo que sólo tenemos que tener en cuenta el de la tercera. E 0 = K q 3 d = 9,0 09 N m C - 0- C 3 ( m) =, 04 N C dirigido en el sentido Oy negativo. b) Para calcular el trabajo, primero hemos de calcular el potencial en ambos puntos: V 0 = V 0 + V 0 + V 30 = 3 K q r = 3 9,0 09 N m C - 0 C m = 5,4 04 V V f = V f + V f + V 3f = 9,0 0 9 N m C - 0 C + + = 3,4 04 V El trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga es igual a: W = E p = q (V f V 0 ) = 0 C (3,4 0 4 V 5,4 0 4 V) =,0 0 J. Sería con signo positivo si fuera el trabajo que hace la fuerza eléctrica (el campo eléctrico).

2 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03 3. Considere dos cargas eléctricas puntuales q =,0 0 C y q = 4,0 0 C separadas 0,00 m. a) Determine el valor del campo eléctrico en el punto medio del segmento que une ambas cargas. Puede ser nulo el campo en algún punto de la recta que las une? Conteste razonadamente con ayuda de un esquema. b) Razone si es posible que el potencial eléctrico se anule en algún punto de dicha recta y, en su caso, calcule la distancia de ese punto a las cargas. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C 4. Dos bloques idénticos situados sobre una superficie horizontal y sin rozamiento, se unen entre sí mediante un resorte de constante k = 00 N m. Al cargar los bloques con la misma carga Q, se separan una distancia x = 0,4 m. a) Calcule el valor de la carga Q que se suministró a cada bloque. b) Discuta que ocurriría si existiera rozamiento. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C Solución: a) Debemos sumar vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas que son: E = K q r = 9 09 N m C -,0 0 C (5,0 0 m) =, 0 N C dirigido hacia q. E = K q r = 9 09 N m C - 4,0 0 C (5,0 0 m) =,4 0 N C dirigido hacia q. (el signo implica que se dirige hacia la carga que lo crea). E = E + E =, 0 N C +,4 0 N C =, 0 N C dirigido hacia q. Entre ellas nunca. El campo creado por ambas cargas entre ellas siempre se dirige hacia la negativa, por tener ambos campos siempre el mismo sentido. Alejándose de ambas por el lado de la negativa, tampoco, ya que el numerador siempre será mayor (la carga negativa es mayor que la positiva) y el denominador menor (por ser menor la distancia a la carga negativa). Por el lado de la positiva sí puede ser en el punto en el que: q q x (d + x) x = d q = 0,00 m,0 0 C = 0,4 m. q - q 4,0 0 C -,0 0 C b) Debemos sumar escalarmente los potenciales eléctricos que crean en el punto cada una de las cargas. Al ser una suma escalar y si situamos el punto entre las cargas: V = 0 = V + V = K q x + K q d - x q x = q x d q (x-d) = q d q x x = q - q 0,00 m,0 0 C x =,0 0 C -(-4,0 0 C) = 3,3 0- m (de la primera carga). Alejándose de ambas, por el lado de la positiva: V = 0 = V + V = K q x + K q d + x q x = -q x + d q (x+d) = -q d q x x = - q + q 0,00 m,0 0 C x = -,0 0 C +(-4,0 0 C) =,0 0- m (de la primera carga). Solución: a) Aplicando los conceptos de fuerza y teniendo en cuenta que el alargamiento es x, los bloques se separarán hasta que las dos fuerzas se igualen: F e = K Q Q x F e = k x F e = F g = K Q x = k x Q = k x3 K Q = 00 N m- (0,4 m) 3 9,0 0 9 N m C - =, 0-5 C. b) Si hubiera rozamiento, al principio, la fuerza eléctrica sería mayor que la fuerza elástica por lo que los bloques se alejan apareciendo la fuerza de rozamiento que sumaría su efecto con la elástica para intentar igualar la eléctrica. Al no conseguirlo, los bloques se irían alejando hasta que, al aumentar la fuerza elástica y disminuir la eléctrica los cuerpos se pararan en el punto donde la fuerza eléctrica fuera igual a la suma de la fuerza elástica más el valor máximo de la fuerza de rozamiento. En ese momento los bloques estarían en equilibrio. En la realidad, al tener una determinada velocidad los bloques seguirían alejándose un poco más llegando a un punto algo más alejado y más cercano al punto donde llegan cuando no hay rozamiento.

3 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03 5. Dos cargas de,0 nc y de,0 nc están situadas en reposo en los puntos (0, 0) y (0 cm, 0), respectivamente. a) Determine las componentes del campo eléctrico en el punto (0 cm, 0 cm). b) Una vez obtenidas esas componentes, sin hacer más cálculos, cuáles son las componentes del campo eléctrico en el punto (0 cm, 0 cm)?. Dos cargas eléctricas de,0 µc y +,0 µc se encuentran separadas una distancia de 0 cm. a) Determine, en la recta que une a las dos cargas, la posición de un punto para el cual el potencial es nulo. Calcule el valor de la intensidad de campo eléctrico en ese punto. b) Demuestre que no existe ningún punto en la recta que une las dos cargas dadas en el que la intensidad del campo eléctrico es nula. Solución: a) Calculamos el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto P. Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos de cada carga y el punto P. (0,0 0, 0,0 0) 0,0 = (0,0 0) + (0,0 0) 0,0, 0,0 = 0,0, (0,0 0,0, 0,0 0) 0,0 u r = = (0,0 0,0) + (0,0 0) 0,0500, 0,0 0,0500 = 5, = 5 5 5, 5 5 Hallamos los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E P = K q r u 9,0 0 9 N m C -,0 0 9 C r = (0,0 0) + (0,0 0) m, = (,0 0,,0 0 ) N C - E P = K q r u r = 9,0 09 N m C - (-,0 0 9 C) (0,0 0,0) + (0,0 0) m 5 5, 5 5 =(-, 0, -3, 0 ) N C - E P = E P + E P = (- 0, -,4 0 ) N C -. b) Como no hay componente vertical en las coordenadas de los puntos donde se encuentran las dos cargas, y sólo hay un cambio de signo en la segunda componente del punto donde queremos calcular el campo, lo único que cambiaría sería el signo de esta segunda coordenada de los vectores campo eléctrico, tanto individual como conjunto. Por tanto el valor del campo sería: E P = E P + E P = (- 0,,4 0 ) N C -. Solución: a) Debemos sumar escalarmente los potenciales eléctricos que crean en el punto cada una de las cargas. Al ser una suma escalar y si situamos el punto entre las cargas: V = 0 = V + V = K q x + K q d - x q x = q x d q (x-d) = q d q x x = q - q 0,0 m (-,0 0 C) x = -,0 0 C -,0 0 = 0,40 m (en medio de las dos cargas). C En ningún otro punto de la recta lo sería al ser el valor absoluto de las cargas el mismo y las distancias diferentes. Para hallar el campo total debemos sumar vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E = K q r = 9 09 N m C - -,0 0 C (4,0 0 m) = 3,9 05 N C dirigido hacia q. E = K q r = 9 09 N m C -,0 0 C (4,0 0 m) = 3,9 05 N C dirigido hacia q. (el signo implica que se dirige hacia la carga que lo crea). E = E + E = 3,9 0 5 N C + 3,9 0 5 N C =, 0 5 N C dirigido hacia q. b) No puede haber ningún punto en la recta que las une donde el campo sea nulo porque entre ambas, los dos campos individuales se dirigen hacia la negativa y en la parte externa a las cargas siempre serán diferentes los módulos al ser las distancias a cada carga diferentes y el valor absoluto de las dos cargas el mismo.

4 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03. Dos cargas eléctricas de valor q y signos opuestos se sitúan en el eje Ox, a ambos lados del origen de coordenadas y a una misma distancia, a. La carga positiva está en el punto A (a, 0) y la negativa en el B ( a, 0). Calcule el módulo, la dirección y el sentido de la intensidad del campo eléctrico E y el potencial electrostático V: a) en el punto C (0, a) del eje Oy; b) en el origen O (0, 0). Cuál es la dirección de E en cualquier punto del eje Oy? c) Cuánto vale el trabajo necesario para trasladar una carga q positiva desde C hasta O? Solución: a) Calculamos el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto C. Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos A y B y el punto C. (0 a, a 0) - = (0 a) + (a 0), ; u [0-( a), a 0] r= [0-( a)] + (a 0) =, Hallamos los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E C = K Q r u K Q - r = (0 a) + (a 0), -K Q = a, K Q a E C = K Q r u r = -K Q [0-( a)] + (a 0), -K Q = a, -K Q a E C = E C + E C = -K Q a, 0 El potencial electrostático, al ser una magnitud escalar, es nulo por ser iguales las distancias y opuestas las cargas. V C = 0. b) El planteamiento para el origen es similar. Calculamos los vector u r desde las dos cargas: (0 a, 0 0) (0 a) + (0 0) = (-, 0) ; u [0-( a), 0 0] r= = (, 0) [0-( a)] + (0 0) Hallamos los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E O = K Q r E O = K Q r u r = K Q K Q (0 a) + (0 0) (-, 0) = a, 0 -K Q K Q [0-( a)] + (a 0) (, 0) = a, 0 E O = E O + E O = - K Q, 0 El potencial electrostático, por la misma razón de antes, es nulo. V O = 0. La dirección del campo en cualquier punto del eje Oy es según el eje Ox y sentido negativo. c) El trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga es nulo ya que: W = E p = q (V O V C ) = q (0 0) = 0. a

5 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03. Dos cargas eléctricas en reposo de valores q = µc y q = µc, están situadas en los puntos (0, ) y (0, ) respectivamente, estando las distancias en metros. Determine: a) el campo eléctrico creado por esta distribución de cargas en el punto A de coordenadas (3, 0); b) el potencial en el citado punto A y el trabajo necesario para llevar una carga de 3 µc desde dicho punto hasta el origen de coordenadas. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C Solución: a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular el vector u r desde las dos cargas que nos dan en el punto A. Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos en los que está cada carga y el punto A. (3 0, 0 ) (3 0) + (0 ) = 3 3, 3 ; u 3 0, 0 ( ) 3 r = = 3 (3 0) + (0 ) 3, 3 3 Debemos sumar vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto A por cada una de las cargas que son: E = K q r 9, N m C - 0 C 3 m 3 3 3, 3 3 = (,5 03,, 0 )N C E = K q r u r = 9, N m C - 0 C m 3, 3 3 = (,5 03,, 0 )N C E = E + E = (,5 0 3,, 0 ) N C + (,5 0 3,, 0 ) N C = (0,, ) N C b) Debemos sumar escalarmente los potenciales eléctricos que crean en el punto A cada una de las cargas. Al ser una suma escalar y ser las cargas iguales pero de signo contrario y las distancias al punto A iguales para ambas, los potenciales son opuestos, por lo que el resultado será que el potencial es nulo. Lo mismo se puede decir para el origen de coordenadas, que también tiene un potencial nulo por lo que, al no haber variación de potencial, y ser el trabajo igual a W = E p = q V, el trabajo es nulo.

6 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03 9. Dos cargas eléctricas puntuales de valor,0 µc y,0 µc, se encuentran situadas en el plano Oxy, en los puntos (0, 3) y (0, 3) respectivamente, estando las distancias expresadas en m. a) Cuáles son los valores de la intensidad de campo en el punto (0, ) y en el punto (4, 0)? b) Cuál es el trabajo realizado por el campo sobre un protón cuando se desplaza desde el punto (0, ) hasta el punto (4, 0)? Datos: Valor absoluto de la carga del electrón e =,0 0 9 C ; Permitividad del vacío: ε 0 =,5 0 N m C Solución: Previamente debemos obtener el valor de K ya que nos dan ε 0. K = (4 π ε 0 ) = (4 π,5 0 C N m ) =, N m C. a) Calculamos el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto A, (0, ). Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con las cargas y el punto A. (0 0, 3) (0 0) + ( 3) = (0, ) ; u [0 0, -( 3)] r= = (0, ) (0 0) + [-( 3)] Hallamos los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E A = K Q r,99 09 N m C -,0 0 - C (0 0) + ( 3) (0, ) = (0,,0 0 3 ) N C - E A = K Q r u r =,99 09 N m C - (,0 0 C) (0 0) + [-( 3)] (0, ) = (0, -, 0 ) N C - E A = E A + E A = (0,, 0 3 ) N C - Ahora calculamos el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto B, (4, 0). (4 0, 0 3) (4 0) + (0 3) = 4 5, -3 5 ; u [4 0, 0-( 3)] r= (4 0) + [0-( 3)] = 4 5, 3 5 Hallamos los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E B = K Q r,99 09 N m C -,0 0 - C (4 0) + (0 3) 4 5, -3 5 = (5, 0, -4,3 0 ) N C - E B = K Q r u r =,99 09 N m C - (,0 0 C) (4 0) + [0-( 3)] 4 5, 3 5 = (-5, 0, -4,3 0 ) N C - E B = E B + E B = (0, -, 0 ) N C - b) Para calcular el trabajo, primero hemos de calcular el potencial en los puntos A y B: V A = K Q + Q =, N m C -,0 0- C r r 3 m + -,0 0- C 9 m = 4,0 03 V V B = K Q + Q =, N m C -,0 0- C r' r' 5 m + -,0 0- C 5 m = 0 El trabajo que hace la fuerza eléctrica (el campo eléctrico) sobre la carga es igual a: W = E p = q (V B V A ) =, 0 9 C ( V) =,4 0 J. Sería con signo negativo si fuera el trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga. El trabajo es a favor del campo, por lo que no debemos aportar energía externa.

7 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03 0. Dos cargas eléctricas puntuales q = 40 µc y q = µc están sobre dos vértices de un cuadrado de mm de lado (vea la figura). Cuánto valen los campos eléctricos generados en el punto P por q y q, y el campo suma de ambos?. Dos cargas eléctricas, de 9,0 0 C y 3,0 0 C, están situadas en el vacío a una distancia de 4,0 m una de la otra. Sabiendo que la constante de la Ley de Coulomb vale 9,0 0 9 N m C, averigüe: a) el potencial electrostático que crean en el punto medio del segmento que las une; b) en qué punto de dicho segmento se anula el campo eléctrico. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C. Dos cargas estáticas e idénticas se ejercen mutuamente una fuerza de N cuando están separadas m. Cuánto valdrá la fuerza si la distancia entre ellas pasa a ser de km? Solución: a) Calculamos el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto P. Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos de cada carga y el punto P. (0 0, 0) (0 0) + ( 0) = (0, ) ; u (0, 0) r = (0 ) + ( 0) = -, Hallamos los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E P = K q r 9,0 09 N m C - (-40 0 C) (0, ) = (0, m -,5 09) N C- mm 0 3 mm E P = K q r u r = 9,0 09 N m C - 0 C (-0,, 0,) = m (-,4 09,,4 09) N C- mm 0 3 mm E P = E P + E P = (-,4 0 9, -, 0 9 ) N C -. Solución: a) Por el Principio de superposición, al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: V P = V P + V P = K q + q = 9,0 0 9 N m C - -9,0 0 C r r,0 m + -3,0 0 C,0 m = -5,4 04 V. b) Debemos sumar vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto correspondiente del segmento que las une (por tanto siempre se restarán, al ser siempre sentidos opuestos) e igualar el resultado a cero. Equivale, por tanto, a hallar el punto donde el módulo del campo eléctrico creado por ambas es igual: E = K q r = E = K q r q r = q (d r ) q = r q (d r ) = r d r d r = r q q r = d + q = q 4,0 m + -3,0 0 C -9,0 0 C =,5 m. Solución: Aplicando la Ley de Coulomb (sólo como módulo ya que no nos hablan de dirección y sentido) obtenemos que: F' = K q q d' = K q q d d d = F d' d' = N ( m) km 000 m = 0 N. km

8 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03 3. Dos cargas puntuales de +,0 µc y +0 µc se encuentran separadas una distancia de m. a) Calcule el punto, situado entre las dos cargas, en el que el campo eléctrico es nulo. b) Halle el potencial eléctrico en un punto situado entre las dos cargas y a 0 cm de la carga menor. c) Determine la energía potencial eléctrica del sistema formado por las dos cargas. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C 4. Dos cargas puntuales de + µc y µc están situadas en el eje Ox, en dos puntos A y B distantes entre sí cm. Determine: a) el vector campo eléctrico en el punto P de la línea AB, si AP = 4 cm y PB = cm; b) el potencial eléctrico en el punto C perteneciente a la mediatriz del segmento AB y distante cm de dicho segmento. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C Solución: Si tenemos dos cargas positivas, el campo sólo puede ser nulo en un punto que se encuentre entre ambas, puesto que por fuera de ellas, y por ser el campo eléctrico un vector, nunca se anularían (en la línea en que están se sumarían hacia afuera y fuera de la línea siempre habría una componente que tendría la dirección perpendicular a la línea de ambas cargas). A su vez sólo son iguales donde sus módulos sean iguales por lo que ha de cumplirse que: E A = K q A r = E B = K q B A r B r A + r B = m K q A r A = K q B (d r A ) q A q B = r A (d r A ) q A r A d q A m,0 0 - C = r q B d r A = = = 0,4 m. A q A + q B,0 0 - C +,0 0-5 C b) Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: V P = V AP + V BP = K q A + q B = 9,0 0 9 N m C -,0 0 C r r 0,0 m +,0 0 5 C,0 m =,9 05 V c) La energía potencial eléctrica entre dos cargas es: E p = K q A q B = N m C,0 0 C,0 0 5 C =, 0 - J. d AB m Solución: a) Debemos sumar vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto P por cada una de las cargas que son: E P = K q r = 9,0 09 N m C 0 C (4 0 m) = 3,3 0 N C dirigido hacia B. E P = K q r = 9,0 09 N m C 0 C ( 0 m) =,44 0 N C dirigido hacia B. (el signo implica que se dirige hacia la carga que lo crea). E P = E P + E P = 3,3 0 N C +,44 0 N C = 4, 0 N C dirigido hacia B. b) Debemos sumar escalarmente los potenciales eléctricos que crean en el punto C cada una de las cargas. Al ser una suma escalar y ser las cargas iguales pero de signo contrario y las distancias al punto C iguales para ambas, los potenciales son opuestos, por lo que el resultado será que el potencial es nulo.

9 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03 5. Dos cargas puntuales de 3 µc y +3 µc se encuentran situadas en el plano Oxy, en los puntos (, 0) y (, 0) respectivamente. Determine el vector campo eléctrico: a) en el punto de coordenadas (0, 0); b) en el punto de coordenadas (0, 0). Datos: Todas las coordenadas están expresadas en metros ; Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C. Dos cargas puntuales de 5 µc cada una, pero de signos opuestos, se encuentran separadas una distancia de m. Calcule en el punto medio de la línea que une las dos cargas: a) el potencial eléctrico; b) el campo eléctrico (exprese el módulo, la dirección y el sentido). Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C ; µc = 0 C Solución: a) Este primer apartado se puede hacer de forma no vectorial ya que las cargas y el punto están en la misma línea. Los módulos de los campos serían: E P = K Q r = 9,0 09 N m C C () =, 0 N C - E P = K Q r = 9,0 09 N m C C (9) = 3,3 0 N C - E P = - E P + E P =, 0 N C - Como el punto se encuentra a la derecha de ambas cargas, los campos tienen sentidos contrarios (el de la carga negativa hacia ella y el de la positiva hacia el otro lado) por lo que los restamos. El vector campo resultante se aleja de la positiva (por ser mayor su efecto) por lo que se dirige en sentido positivo del eje Ox. b) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto P. Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos en los que está cada carga y el punto P. [0 ( ), 0 0] [0 ( )] + (0 0) = 0 0, (0, 0 0) u r = (0 ) + (0 0) = 0 0 0, 0 0 Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E P' = K q r 9,0 0 9 N m C - (-3 0- C) 0 m 0 0, 0 = (-, -0) N C- 0 E P' = K q r u r = 9,0 0 9 N m C C - 0 m 0, 0 = (-, 0) N C- 0 E P' = E P' + E P' = (-54, 0) N C - Solución: a) Por el Principio de superposición, y como el potencial es una magnitud escalar que depende directamente de la carga (que es igual pero de signo contrario) e inversamente de la distancia (que es igual para ambas), los dos potenciales son iguales y de signo contrario por lo que se anulan entre sí. V = 0. b) Por la misma razón anterior, los campos son iguales pero, al ser vectores, tienen el mismo sentido, ya que el campo creado por la carga positiva se aleja de ella y el creado por la negativa se acerca a ella. Por tanto coinciden sus sentidos y se suman (el doble de una individual): E T = E = K q d = 9,0 09 N m C C ( m) = 9,0 04 N C -. La dirección es la de la recta que las une y sentido hacia la negativa.

10 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03. Dos cargas puntuales de valores Q = C y Q =,0 C y vectores de posición r = 4 i y r = i (en m) ejercen una fuerza total F =, 0 9 i (en N) sobre una carga positiva situada en el origen de coordenadas. Calcule el valor de esta carga. Datos: Constante de la Ley de Coulomb K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C. Dos cargas puntuales iguales de 3 µc están situadas sobre el eje Oy, una se encuentra en el punto (0, d) y la otra en el punto (0, d), siendo d = m. Una tercera carga de µc se sitúa sobre el eje Ox en x = m. Encuentre la fuerza ejercida sobre esta última carga. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C Solución: Debemos aplicar el Principio de superposición pero, antes de calcular la fuerza eléctrica, tenemos que calcular el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto (O) donde se encuentra la tercera. Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos en los que está cada carga y el punto O. [0 ( 4), 0 0] [0 ( 4)] + (0 0) = 4 4, 0 = (, 0) 4 (0, 0 0) u r = (0 ) + (0 0) =, 0 = (-, 0) Sumamos vectorialmente las fuerzas eléctricas entre cada par de cargas (siendo q la tercera): F O = K Q q r 9,0 0 N 9 m C - C q (4 m) (, 0) = (-9,0 09 q, 0) N C F O = K Q q r u r = 9,0 0 9 N m C,0 C q ( m) (-, 0) = (- 09 q, 0) N C F = F O + F O = (- 0 9 q, 0) N =(, 0 9, 0) N. de donde se deduce que q vale 0,0 C. Solución: Debemos aplicar el Principio de superposición pero, antes de calcular la fuerza eléctrica, tenemos que calcular el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto (P) donde se encuentra la tercera. Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos en los que está cada carga y el punto P. [ 0, 0 (-)] ( 0) + [0 (-)] = 4 5, 3 = (0,, 0,) 5 ( 0, 0 ) u r = ( 0) + (0 ) = 4 5, - 3 = (0,, -0,) 5 Sumamos vectorialmente las fuerzas eléctricas entre cada par de cargas (siendo una la tercera): F P = K Q q r 9,0 0 N 9 m C 3 0- C 0 - C (0 m) (0,, 0,) = (4,3 0-4, 3, 0-4 ) N F P = K Q q r u r = 9,0 0 N 9 m C 3 0- C 0 - C (0 m) (0,,-0,) = (4,3 0-4,-3, 0-4 ) N F P = F P + F P = (, 0-4, 0) N.

11 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03 9. Dos cargas puntuales iguales, de, 0 C cada una, están situadas en los puntos A (0, ) m y B (, 0) m. Una tercera carga, de,5 0 C, se sitúa en el punto P (3, 4) m. a) Represente en un esquema las fuerzas que se ejercen entre las cargas y calcule la resultante sobre la tercera carga. b) Calcule la energía potencial de dicha carga. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C 0. Dos cargas puntuales positivas de 0 μc cada una se encuentran a 4,0 metros de distancia la una de la otra. Calcule: a) el potencial eléctrico en el punto medio que las separa; b) la fuerza que ejerce una carga sobre la otra; c) el campo eléctrico en el punto medio que las separa; d) qué trabajo costaría traer una carga de 5,0 μc desde el infinito y colocarla en el punto medio de estas cargas. Datos: Constante de la Ley de Coulomb K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C ; Valor absoluto de la carga del electrón: e =,0 0 9 C Solución: Debemos aplicar el Principio de superposición pero, antes de calcular la fuerza eléctrica, tenemos que calcular el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto P. Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos A y B y el punto P. (3 0, 4 ) (3 0) + (4 ) = 3 5, - 4 = (0,, 0,) 5 (3, 4 0) u r = (3 ) + (4 0) = 3 5, 4 = ( 0,, 0,) 5 Sumamos vectorialmente las fuerzas eléctricas entre cada par de cargas (siendo una la tercera): F P = K Q q r 9,0 0 9 N m C (-, 0- C ) (-,5 0 - C ) (5 m) (0,, -0,) F P = (3,9 0-4, 5, 0-4 ) N F P = K Q q r u r = 9,0 0 9 N m C (-, 0- C ) (-,5 0 - C ) (5 m) (-0,, 0,) F P = ( 3,9 0-4, 5, 0-4 ) N F P = F P + F P = 0. b) La energía potencial (escalar) que se debe a la tercera carga es la suma de las energías potenciales que tiene dicha carga con las demás presentes en el campo (que son iguales y están a la misma distancia) por lo que: E p = E p,q + E p,q = K Q q + K Q q K Q q = r r r E p = 9,0 09 N m C - (-, 0 - C ) (-,5 0 - C ) =,5 0-3 J. 5 m Solución: a) Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: V P = V AP + V BP = K q A + q B = 9,0 0 9 N m C C r r,0 m C,0 m =9,0 04 V b) La fuerza, de repulsión por ser ambas positivas, es igual a: F = K Q Q d u r = 9,0 0 N 9 m C 0 0 C 0 0 C (4,0 m) u r = 5, 0 u r N c) Para hallar el campo total debemos sumar vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E = K Q r = 9,0 09 N m C C (,0 m) =,5 04 N C dirigido hacia Q. E = K Q r = 9,0 09 N m C C (,0 m) =,5 04 N C dirigido hacia Q. El campo, por tanto, es nulo en el punto medio entre ambas. d) El trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga es igual a: W = E p = q (V P V ) = (5,0 0 C) [9,0 0 4 V 0 V] = 4,5 0 J. Sería con signo negativo si fuera el trabajo que hace la fuerza eléctrica (el campo eléctrico). Se necesita, por tanto, aporte de energía externa: se realiza en contra del campo.

12 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03. Dos cargas puntuales positivas iguales de,0 0 3 μc se encuentran en el plano Oxy en los puntos (0, 0) y (0, 0) donde las coordenadas están expresadas en centímetros. En el punto ( 50, 0) (en cm) se coloca una tercera partícula puntual de carga,0 0 3 μc y,0 g de masa. Calcule: a) el campo y el potencial eléctrico creado por las dos primeras cargas en la posición de la tercera; b) la velocidad mínima de la tercera carga para poder llegar al origen de coordenadas. Datos: Constante de la Ley de Coulomb K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C Solución: a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto P. Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos en los que está cada carga y el punto P. ( 0,50 0, 0 0,0) 5 = ( 0,50 0) + (0 0,0), = ( 0,9, -0,0) [ 0,50 0, 0 - ( 0,0)] 5 u r = = ( 0,50 0) + [0 - ( 0,0)], = ( 0,9, 0,0) Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E P = K q r 9,0 0 9 N m C -,0 0 9 C ( 0,9, -0,0) = (-34, -,) N C- 0, m E P = K q r u r = 9,0 0 9 N m C -,0 0 9 C ( 0,9, 0,0) = (-34,,) N C- 0, m E P = E P + E P = (-, 0) N C - Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: V P = V P + V P = K q + q = 9,0 0 9 N m C -,0 0 9 C r r 0, m +,0 0 9 C = 35 V 0, m b) Para hallar la velocidad primero tenemos que calcular el potencial en el origen: V O = V O + V O = K q + q = 9,0 0 9 N m C -,0 0 9 C r r 0,0 m +,0 0 9 C 0,0 m =, 0 V Ahora, hemos de aplicar el Principio de conservación de la energía donde la disminución de energía cinética (hasta v f = 0) provoca un aumento de la potencial: W = E p = E c q (V O V T ) = mv f mv 0 q (V O V T ) = mv 0 v 0 q (V O V T ) m =,0 0 9 C (, 0 V 35 V),0 0 3 kg =,0 0 m s.

13 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03. Dos cargas puntuales q = C y q = C se encuentran situadas en los vértices del triángulo rectángulo de la figura. Calcule: a) la intensidad del campo eléctrico en el vértice A; b) el potencial en el vértice A y en el punto B situado en el punto medio de las cargas q y q ; c) el trabajo que realizan las fuerzas eléctricas cuando un electrón se desplaza desde A hacia B. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón: e =,0 0 9 C ; Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C 3. Dos cargas puntuales q = 4 C y q = C se encuentran en los puntos (0, 0) y (, 0) m, respectivamente. a) Determine el valor del campo eléctrico en el punto (0, 3) m. b) Razone qué trabajo hay que realizar para trasladar una carga q 3 = 5 C desde el infinito hasta el punto (0, 3) m e interprete el signo del resultado. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C Solución: a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto A. Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos en los que está cada carga y el punto A. (3 0, 0 0) = (, 0) (3 0) + (0 0) (3 0, 0 4) u r = (3 0) + (0 4) = 3 5, - 4 = (0,, -0,) 5 Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E A = K q r 9,0 0 9 N m C C (, 0) = (, 0) N C- (3 m) E A = K q r u r = 9,0 0 9 N m C C (5 m) (0,, -0,) = (-5,4,,) N C - E A = E A + E A = (-3,4,,) N C - b) Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: V A = V A + V A = K q + q = 9,0 0 9 N m C C r r 3 m C = -39 V 5 m V B = V B + V B = K q + q = 9,0 0 9 N m C C r r m C m = -,0 0 V c) El trabajo que hacen las fuerzas eléctricas (el campo eléctrico) es igual a: W = E p = q e (V B V A ) = (,0 0 9 C) [,0 0 V ( 39 V)] =,0 0 J. Es por tanto, ya que es negativo, un trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga. Se necesita, por tanto, aporte de energía externa: se realiza en contra del campo. Solución: a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto P. Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos en los que está cada carga y el punto P. (0 0, 3 0) = (0, ) (0 0) + (3 0) (0, 3 0) u r = (0 ) + (3 0) = 0 0, 3 0 = ( 0,3, 0,95) 0 Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E P = K q r 9,0 0 9 N m C - -4 C (3 m) (0, ) = (0, ) N C - E P = K q r u r = 9,0 0 9 N m C - C 0 m ( 0,3, 0,95) = (-5, 0,, 0 9 ) N C - E P = E P + E P = (-5, 0, -,3 0 9 ) N C - b) Primero debemos calcular el potencial en el punto P. Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: V P = V P + V P = K q + q = 9,0 0 9 N m C - -4 C r r 3 m + C 0 m = -,3 09 V El trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga es igual a: W = E p = q 3 (V P V ) = 5 C (,3 0 9 V 0) = 3,5 0 0 J. Sería con signo positivo si fuera el trabajo que hace la fuerza eléctrica (el campo eléctrico). No se necesita, por tanto, aporte de energía externa: se realiza a favor del campo.

14 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03 4. Dos cargas puntuales, q = 3 0 C y q = 0 C, están situadas, respectivamente, en los puntos A y B de una recta horizontal, separados 0 cm. a) Razone cómo varía el campo electrostático entre los puntos A y B y represente gráficamente dicha variación en función de la distancia al punto A. b) Existe algún punto de la recta que contiene a las cargas en el que el campo sea cero? En caso afirmativo, calcule su posición. Datos: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C Solución: Debemos sumar vectorialmente los campos eléctricos creados en cada punto del segmento que las une (por tanto siempre se restarán, al ser siempre sentidos opuestos): E = K q r = 9,00 09 N m C C x =, 04 x N C dirigido hacia B. E = K q r = 9,00 09 N m C - 0 C (0, x) =,0 05 (0, x) N C dirigido hacia A. E (SI) = E E =, 04 x,0 05 (0, x) =, 04 x 4 (0, x), dirigido hacia B. Es una función que primero decrece desde el valor infinito (campo dirigido hacia B), se anula para /x = /(0, x) [x = 0,0 m], y luego crece como valor negativo hasta infinito (campo dirigido hacia A) b) El campo se anula para: x 4 (0, x) =0 x = 4 (0, x) x = 0, x = x 0, x x = 0, m =, 0 m. 3 Por los lados exteriores del segmento AB no puede anularse, ya que el campo creado por una de las cargas en cualquiera de esos puntos tiene el mismo sentido que el creado por la otra.

15 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03 5. Dos cargas Q =,0 0 C y Q = 4,0 0 C están fijas en los puntos P (0, ) m y P (, 0) m, respectivamente. a) Dibuje el campo eléctrico producido por cada una de las cargas en el punto O (0, 0) m y en el punto P (, ) m y calcule el campo eléctrico total en el punto P. b) Calcule el trabajo necesario para desplazar una carga Q = 3,0 0 C desde el punto O hasta el punto P y explique el significado físico de dicho trabajo. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C Solución: a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular el vector u r desde los puntos P y P a los puntos O y P. Para ello, aplicamos los cosenos directores: (0 0, 0 ) (0 0) + (0 ) = (0, -) ; u (0, 0 0) r = = (-, 0) (0 ) + (0 0) u ( 0, ) r = = (, 0) ; u (, 0) r = = (0, ) ( 0) + ( ) ( ) + ( 0) Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E O = K Q r 9,0 0 9 N m C - 0 C ( m) (0, -) = (0, -4,5 03 ) N C - E O = K Q r u r = 9,0 0 9 N m C C ( m) (-, 0) = (3, 04, 0) N C - E P = K Q r u r = 9,0 0 9 N m C - 0 C ( m) (, 0) = (, 04, 0) N C - E P = K Q r u r = 9,0 0 9 N m C C ( m) (0, ) = (0, -9,0 03 ) N C - E P = E P + E P = (, 0 4, -9,0 0 3 ) N C - b) Primero debemos calcular el potencial en los puntos O y P: V O = V O + V O = K Q + Q = 9,0 0 9 N m C - 0 C r r m C m = -, 04 V V P = V P + V P = K Q + Q = 9,0 0 9 N m C - 0 C r r m C m = 0 El trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga es igual a: W = E p = Q (V P V O ) = ( 3,0 0 C) [0 (, 0 4 V)] =, 0 J. Sería con signo positivo si fuera el trabajo que hace la fuerza eléctrica (el campo eléctrico). No se necesita, por tanto, aporte de energía externa: se realiza a favor del campo. El sentido físico es que es un trabajo negativo porque no hay que hacerlo, sino que el propio sistema de cargas hace que la carga se mueva desprendiendo esa cantidad de energía en forma de energía cinética, etc.

16 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03. Dos esferas conductoras de 5 y 0 cm de radio, se encuentran en una zona del espacio vacío y están cargadas de modo que sus potenciales respecto al infinito son 9 V y V, respectivamente. Dichas esferas se encuentran con sus centros separados 4 m. a) Halle la carga de cada esfera, teniendo en cuenta que están tan alejadas entre sí que se pueden considerar aisladas. b) Qué fuerza se ejercen entre sí ambas esferas? c) Si ambas esferas se unen con un cable conductor de capacidad despreciable, halle la carga y el potencial de cada esfera cuando se alcance el equilibrio. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C Solución: a) Aplicando la definición de potencial: V = K q q r = V r K = 9 V 5 cm m 00 cm 9,0 0 9 N m C - = C V = K q q r = V m r V 0 cm = 00 cm K 9,0 0 9 N m C - = 0-0 C b) La fuerza que aparece entre ambas esferas viene dada por la Ley de Coulomb: F = K q q r = K V r V r K K r = V r V r K r F = 9 V 5 cm m 00 cm V 0 cm m 00 cm 9,0 0 9 N m C - (4 m) = 4, 0-3 N. Es repulsiva por ser las dos positivas luego les hace tender a separarse. c) Cuando dos objetos cargados se unen, se trasladan carga hasta que el potencial en ambos alcanza el mismo valor. Por lo tanto: V' = K q' r = V' = K q' r q' r = q' r q' + q' = q + q r q' = r (q + q - q' ) q' = r (q + q ) = 5 cm (5 0- C C) =,3 0 - C r + r 5 cm + 0 cm q' = r (q + q ) = 0 cm (5 0- C C) =, 0-0 C r + r 5 cm + 0 cm Y el potencial será: V' = V' = K q' = K (q + q ) = 9,0 09 N m C - (5 0 - C C) = 5 V. r r + r m (5 cm + 0 cm) 00 cm

17 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03. Dos esferas conductoras de radios 9,0 y 4,5 cm, están cargadas a un potencial de 0 y 0 V, respectivamente. Las esferas se encuentran en el vacío y sus centros están separados una distancia de 0 m. Determine: a) la carga de cada esfera; b) la fuerza que se ejercen entre sí ambas esferas y si es repulsiva o atractiva; c) la carga que adquirirá cada esfera si ambas se unen con un cable conductor de capacidad despreciable. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C. Dos pequeñas bolitas, de 0 g cada una, están sujetas por hilos de,0 m de longitud suspendidas de un punto común. Cuando ambas se cargan con la misma carga eléctrica, los hilos se separan hasta formar un ángulo de 5º. Suponga que se encuentran en el vacío, próximas a la superficie de la Tierra. a) Calcule la carga eléctrica comunicada a cada bolita. b) Se duplica la carga eléctrica de la bolita de la derecha. Dibuje en un esquema las dos situaciones (antes y después de duplicar la carga de una de las bolitas) e indique todas las fuerzas que actúan sobre ambas bolitas en la nueva situación de equilibrio. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C ; Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g 0 = 0 m s Solución: a) Aplicando la definición de potencial: V = K q q r = V m r 0 V 9,0 cm = 00 cm K 9,0 0 9 N m C - =,0 0-0 C V = K q q r = V m r 0 V 4,5 cm = 00 cm K 9,0 0 9 N m C - =,0 0-0 C b) La fuerza que aparece entre ambas esferas viene dada por la Ley de Coulomb: F = K q q r = K V r V r K K r = V r V r K r m 0 V 9,0 cm F = 00 cm 0 V 4,5 cm m 00 cm 9,0 0 9 N m C - (0 m) = 9,0 0-3 N. Es repulsiva por ser las dos positivas luego les hace tender a separarse. c) Cuando dos objetos cargados se unen, se trasladan carga hasta que el potencial en ambos alcanza el mismo valor. Por lo tanto: V' = K q' r = V' = K q' r q' r = q' r q' + q' = q + q r q' = r (q + q - q' ) q' = r (q + q ) = 9,0 cm (,0 0-0 C +,0 0-0 C) =,3 0-0 C r + r 9,0 cm + 4,5 cm q' = r (q + q ) = 4,5 cm (,0 0-0 C +,0 0-0 C) =, 0 - C r + r 9,0 cm + 4,5 cm Solución: a) Las bolitas se mantienen en equilibrio porque para cada una de ellas la suma de fuerza eléctrica de repulsión entre ellas y su peso forma un ángulo de,5º desde la vertical (la mitad de los 5º que forman entre ellas), por lo que se anula con la tensión ejercida por el hilo que la sujeta. Ello implica que al ser la fuerza eléctrica horizontal y el peso vertical se cumple: tg α = F e P = K q q d m g = K q m g (l sen α) q = l m g tg α sen α K m g sen α = l K q =,0 m 0 g kg 000 g 0 m s sen 5 0 9,0 0 9 N m C = 3,39 0 C. b) Al duplicar la carga de una de las bolitas, y no variar la masa, aumenta la repulsión por lo que el ángulo aumenta. Como el peso es igual para ambas, y la fuerza eléctrica también es igual para ambas, al ser una interacción, las dos se sitúan formando un ángulo igual para cada una de ellas. tg β = F q q K e P = d m g = K q m g(l sen β) tg β sen β K q 4 K q sen β = = sen β = m g l m g l 4 K arc sen N m C (3,39 0 C) q kg arc sen m g l β = 0 g 000 g 0 m s ( m) = =5 o 34'. En cada bola actúan 3 fuerzas: la eléctrica de repulsión, el peso y la tensión del hilo.

18 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03 9. Dos pequeñas esferas conductoras de radios r =,00 cm y r =,00 cm se encuentran cargadas con cargas q =,0 nc y q = 5,0 nc respectivamente. a) Si la distancia que separa sus centros es, m determine el módulo de la fuerza electrostática que ejerce una esfera sobre la otra. b) Si las esferas se unen con un hilo conductor de capacidad despreciable calcule la carga y el potencial que adquiere cada esfera. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C ; nc = 0 9 C 30. El campo eléctrico en un punto P, creado por una carga Q situada en el origen, es de 000 N C y el potencial eléctrico en P es de 000 V. a) Determine el valor de Q y la distancia del punto P al origen. b) Calcule el trabajo realizado al desplazar otra carga Q =, 0 C desde el punto (3, 0) m al punto (0, 3) m. Explique por qué no hay que especificar la trayectoria seguida. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C Solución: a) Aplicando la Ley de Coulomb: F e = K q q d = 9,0 0 9 N m C -,0 0-9 C (-5,0 0-9 C) (, m) =,3 0 - N. b) Cuando dos objetos cargados se unen, se trasladan carga hasta que el potencial en ambos alcanza el mismo valor. Por lo tanto: Y el potencial será: V' = K q' r = V' = K q' r q' r = q' r q' + q' = q + q r q' = r (q + q - q' ) q' = r (q + q ) r + r q' = r (q + q ) r + r,00 cm [,0 nc + (-5,0 nc)] =,00 cm +,00 cm,00 cm [,0 nc + (-5,0 nc)] =,00 cm +,00 cm = -,0 nc = -,0 nc V' = V' = K q' = K (q + q ) = 9,0 09 N m C - [,0 nc + (-5,0 nc)] = -9,0 0 r r + r m V. (,00 cm +,00 cm) 00 cm Solución: a) Aplicando la expresión del módulo del campo y la del potencial: V = K Q r K Q = V r E = K Q r K Q = E r V = E r r = V E = 000 V 000 N C - = 3 m Q = V r K = V V E K = V K E = (000 V) 9,0 0 9 N m C N C - =,0 0- C. b) El trabajo realizado por la fuerza es igual a: W = E p = q (V f V 0 ). Como la distancia de los dos puntos (3, 0) y (0, 3) al origen, que es donde se encuentra la carga, es la misma, el potencial es el mismo en ambos puntos por lo que el trabajo es nulo. No es necesario especificar la trayectoria seguida porque en un campo conservativo la energía potencial no depende nada más que de la posición inicial y la final y no del camino recorrido.

19 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03 3. En dos de los vértices de un triángulo equilátero de 3 m de lado se sitúan dos cargas puntuales iguales, q = q = +3 µc como se indica en la figura. Determine: a) el campo electrostático en el vértice libre S; b) el potencial electrostático en el vértice libre S y en el punto T situado en el punto medio entre las cargas; c) el trabajo realizado por las fuerzas eléctricas cuando desplazamos una carga puntual de valor,0 µc desde punto S hasta el punto T. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C ; µc = 0 C Solución: Considerando el origen en el punto T de la figura las coordenadas de las cargas son: q = (,5, 0); q = (,5, 0) y las del punto S se hallan triangulando: h = 3 -,5 =,5 3,0 S = (0,,0) a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto S. Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos en los que está cada carga y el punto S. [0-(-,5),,0 0] = (0,5, 0,) [0-(-,5)] + (,0 0) (0,5,,0-0) u r = = (-0,5, 0,) (0,5) + (,0 0) Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E S = K q r 9,0 0 9 N m C C (3 m) (0,5, 0,) = (,5 03,,0 0 3 ) N C - E S = K q r u r = 9,0 0 9 N m C C (3 m) (-0,5, 0,) = (-,5 03,,0 0 3 ) N C - E S = E S + E S = (0, 5,0 0 3 ) N C - b) Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: V S = V S + V S = K q + q = 9,0 0 9 N m C C r r 3 m C 3 m =, 04 V V T = V T + V T = K q + q = 9,0 0 9 N m C C r r,5 m C,5 m = 3, 04 V c) El trabajo que hace la fuerza eléctrica (el campo eléctrico) es igual a: W = E p = q (V T V S ) = (,0 0 C) (3, 0 4 V, 0 4 V) = 3, 0 J. Sería con signo negativo si fuera el trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga. No se necesita, por tanto, aporte de energía externa: se realiza a favor del campo.

20 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/03 3. En dos vértices consecutivos de un cuadrado de 3 cm de lado, se sitúan dos cargas puntuales de Q = nc y Q = + nc, respectivamente. Determine: a) el campo eléctrico creado en el vértice S; b) el potencial eléctrico en los vértices libres, S y R; c) el trabajo realizado por el campo cuando otra carga de nc se desplaza entre dichos vértices, desde S hacia R. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C ; nc = 0 9 C 33. En dos vértices consecutivos del rectángulo de la figura, se sitúan fijas dos cargas puntuales q = 50,0 nc y q = 3,0 nc. Determine: a) el campo eléctrico creado en el vértice T; b) el potencial eléctrico en los vértices S y T; c) el trabajo realizado por el campo cuando otra carga q =,0 nc se desplaza desde el vértice S hasta el T. Datos: Constante de la Ley de Coulomb: K = (4 π ε 0 ) = 9,0 0 9 N m C ; nc = 0 9 C Solución: a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto S. Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos en los que está cada carga y el punto S. (3 3, 3 0) = (0, ) (3 3) + (3 0) (3 0, 3 0) u r = (3 0) + (3 0) =, = (0,, 0,) Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E S = K Q r 9,0 0 9 N m C C (0,03 m) (0, ) = (0, - 04 ) N C - E S = K Q r u r = 9,0 0 9 N m C C 0,03 m (0,, 0,) = (, 04,, 0 4 ) N C - E S = E S + E S = (, 0 4,, 0 3 ) N C - b) Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: V S = V S + V S = K Q + Q = 9,0 0 9 N m C C r r 0,03 m C 0,03 m =, 0 V V R = V R + V R = K Q + Q = 9,0 0 9 N m C C r' r' 0,03 m C 0,03 m =,4 03 V c) El trabajo que hace la fuerza eléctrica (el campo eléctrico) es igual a: W = E p = Q 3 (V R V S ) = ( 0 9 C) (,4 0 3 V, 0 V) = 5, 0 J. Sería con signo negativo si fuera el trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga. No se necesita, por tanto, aporte de energía externa: se realiza a favor del campo. Solución: a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular el vector u r desde las dos cargas que nos dan al punto T (0,0, 0,0). Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos en los que está cada carga y el punto T. (0,0 0, 0,0 0) (0,0 0) + (0,0 0) = (0,, 0,) ; u (0,0-0,0, 0,0 0) r= = (0, ) (0,0-0,0) + (0,0 0) Sumamos vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: E T = K q r 9,0 0 9 N m C C (0,0 m) (0,, 0,) = (3, 04,, 0 4 ) N C - E T = K q r u r = 9,0 0 9 N m C C (0,0 m) (0, ) = (0, 9,0 04 ) N C - E T = E T + E T = 3, 0 4,, 0 5 N C - b) Al ser el potencial una magnitud escalar, no hay que calcular vectores por lo que: V S = V S + V S = K q + q = 9,0 0 9 N m C C r r 0,0 m C 0,0 m =, 04 V V T = V T + V T = K q + q = 9,0 0 9 N m C C r' r' 0,0 m C 0,0 m = 9,9 03 V El trabajo que hace la fuerza eléctrica (el campo eléctrico) es igual a: W = E p = q (V T V S ) = (,0 0 9 C) (9,9 0 3 V, 0 4 V) = 0 J. Sería con signo positivo si fuera el trabajo que es necesario hacer para trasladar la carga.

21 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO Campos eléctrico y magnético /0/ En el punto de coordenadas (0, 3) se encuentra situada una carga, q =, 0 9 C y en el punto de coordenadas (4, 0) se encuentra situada otra carga, q = 3,0 0 9 C. Las coordenadas están expresadas en metros. a) Calcule la expresión vectorial de la intensidad del campo eléctrico en el punto (4, 3). b) Calcule el valor del potencial eléctrico en el punto (4, 3). c) Indique el valor y el signo de la carga q 3 que hay que situar en el origen para que el potencial eléctrico en el punto (4, 3) se anule. d) Indique el valor y el signo de la carga q 4 que hay que situar en el origen de coordenadas para que la intensidad del campo en el punto de coordenadas (4, 3) sea 0. Datos: Constante de la Ley de Coulomb K = (4 π ε 0 ) = 9, N m C Aclaración: No es necesario, pero si se desea que en el punto (4, 3) el campo eléctrico en el último apartado sea un cero exacto, hay que considerar el valor de q como un número periódico, q = (4/9) 0 9 C. Solución: a) Antes de calcular el campo eléctrico, tenemos que calcular el vector u r desde las dos cargas que nos dan hasta el punto (4, 3). Para ello, aplicamos los cosenos directores al vector que se forma con los puntos en los que está cada carga y el punto. (4 0, 3 3) =(, 0) ; (4 0) +(3 3) (4 4, 3 0) ur = = (0, ) (4 4) +(3 0) Sumando vectorialmente los campos eléctricos creados en el punto por cada una de las cargas: C (4 m) (, 0) = (4,0, 0) N C - E = K q r 9,0 0 9 N m C - E = K q r u r = 9,0 0 9 N m C - 3,0 0 9 C (3 m) (0, ) = (0, 3,0) N C - E = E + E = (4,0, 0) N C - + (0, 3,0) N C - = (4,0, 3,0) N C -. b) El potencial (magnitud escalar) en dicho punto vale: V = K q + q 4 = 9,0 0 9 N m C C r r 4 m + 3,0 0 9 C = 5 V. 3 m c) Procedemos como en el apartado b): 0 V q 3 = 5 m 9,0 0 9 N m C - V = K q r + q r + q 3 r 3 q 3 = r 3 V K q r q r C 4 m 3,0 0 9 C 5 = - 3 m C = -,4 0 C. d) Aplicando la suma de los campos creados: E = E + E + E 4 E 4 = (0, 0) - (4,0, 0) (0, 3,0) = ( 4,0, -3, 0) N C -. Comprobamos que el vector director que se forma entre el origen de coordenadas y el punto tiene la misma dirección que el campo obtenido (si no fuera así, sería imposible crear dicho campo con una carga): (4 0, 3 0) u r4 = (4 0) +(3 0) = 4 5, 3 = (0,, 0,) 5 Como son proporcionales las componentes, sí lo son. Aplicando el módulo: E 4 = K q 4 r q 4 = E 4 r 4 4 K = ( 4,0) + ( 3,0) N C - (4 m) 9,0 0 9 N m C - =, 0 C. Además, tiene signo negativo, puesto que el campo se dirige hacia la carga.