3.5. Breve introducción a la lógica de predicados. Una vez más, comencemos con un ejemplo:

Transcripción

1 3.5. Breve introducción a la lógica de predicados Una vez más, comencemos con un ejemplo: Todo hombre es un ser racional Todo ser racional tiene dudas Todo hombre tiene dudas Este argumento es claramente correcto, puesto que la conclusión se sigue de las premisas. Ahora bien, cómo formalizaríamos este argumento en lógica de enunciados? Puesto que no aparecen conectores lógicos dentro de los enunciados, tendríamos que formalizarlo de la siguiente manera: p q r Es evidente que este argumento, en la lógica de enunciados, no es correcto. De p q no se puede obtener r. Pero sabemos que el argumento es correcto. Por lo tanto, el problema tendrá que estar en el lenguaje que hemos elegido para formalizarlo. El lenguaje de la lógica de enunciados es demasiado débil, porque no nos permite reconocer como correcto un argumento que sabemos que es correcto. Parece, pues, que necesitamos un lenguaje lógico más potente, un lenguaje lógico que nos permita explicar por qué el argumento que hemos puesto de ejemplo es correcto. Tenemos que ir más allá de la lógica de enunciados. Cuál será y cómo será ese nuevo lenguaje? Ya hemos visto también que a la lógica de enunciados corresponde un análisis lingüístico que distingue solamente dos tipos de elementos: los enunciados atómicos y los conectores lógicos. Esto es todo lo que la lógica de enunciados ve en las frases. Vamos a pasar ahora a ese nuevo punto de vista más potente, el punto de vista de la lógica de predicados. Qué es lo que este nuevo punto de vista encuentra como lógicamente relevante dentro de los enunciados? Qué es lo que este nuevo punto de vista ve en las frases? Aparte de ver todo lo que ve la lógica de enunciados (puesto que la incluye en su interior), la lógica de predicados distingue dos tipos de elementos: a) expresiones que se refieren a individuos (y que se simbolizan mediante letras minúsculas: a, b, c, etc ). Nótese que por individuo se entiende cualquier cosa que pueda tener lo que la gramática llamaba un nombre propio. a) expresiones que designan propiedades o relaciones entre individuos. A estas expresiones las llamaremos predicados y las simbolizaremos mediante letras mayúsculas (P, Q, R, etc ). Dentro de los predicados la lógica distingue dos grandes grupos de expresiones: 1) las expresiones en las que aparece un predicado con un solo nombre de individuo (como por ejemplo las que corresponderían a suicidarse, escribir el Quijote, etc.). 11

2 2) las expresiones en las que aparece un predicado seguido de dos o más nombres de individuo (como por ejemplo las que corresponderían a ser padre de, amar, preferir, etc.). A los primeros se les llama predicados monádicos (pues sólo admiten un nombre de individuo), y a los segundos predicados poliádicos (pues admiten más de un nombre de individuo). Veamos algunos ejemplos: Velázquez pintó las Meninas se convertiría en Pa, donde a es el nombre de Velázquez y P simboliza pintar las Meninas. 2 es menor que 7 se podría formalizar como Rab, donde R representa a la relación ser menor que y a representa a 2 y b a 7. R, en este caso, sería un predicado diádico (de dos lugares). Juan prefiere el helado de chocolate al helado de fresa se transformaría en Qabc, donde a simbolizaría a Juan, b al helado de chocolate, c al de fresa y Q representaría al predicado triádico preferir. Nótese que para indicar cuántos lugares necesita llenar un predicado se escribe también a menudo Px, Rxy, o Qxyz (donde x, y y z son variables de individuo). Evidentemente, las expresiones Px, Rxy, Qxyz no tienen un valor de verdad, porque no podemos saber si x pintó las Meninas es verdadero o falso hasta que no sepamos quién es x. A las expresiones del tipo Px, Rx, Qxy, etc. (que se denominan enunciados abiertos) les falta algo para poder ser evaluadas desde el punto de vista de su verdad o falsedad. Veamos cómo podemos cerrar estos enunciados abiertos. Un manera de hacerlo es sustituyendo las variables (x, y, z, etc.) por constantes (a, b, c, etc.), es decir, por nombres de individuo. En efecto, cuando llenamos el lugar vacío que hay en el predicado pintar las Meninas con el nombre de individuo Velázquez obtenemos una oración verdadera, puesto que Velázquez pintó efectivamente las Meninas. Sin embargo, si en vez de con Velázquez (simbolizado por a) llenásemos el predicado pintar las Meninas con otros individuos (Góngora, Quevedo, o cualquier otro), entonces la frase correspondiente (Pb, Pc, o cualquier otra) sería falsa, porque ninguno de ellos pintó las Meninas. Así sucede, de hecho, con todos los predicados: dependiendo de cuáles sean los individuos con los que llenamos sus huecos obtendremos oraciones verdaderas o falsas. Si, por ejemplo, cambiásemos el orden de las letras en el segundo ejemplo que acabamos de poner, pasaríamos de una oración verdadera a una falsa, porque Rba significaría que 7 es menor que 2 y es claro que 7 no es menor que 2. Ya conocemos, pues, un modo de llenar predicados (o, lo que es igual, de cerrar enunciados abiertos). Pero hay otro modo de llenar predicados que también nos permitirá evaluar si una oración en la que hay expresiones como Px o Rxy es verdadera o falsa. Se trata de la cuantificación. Cuantificar es determinar la cantidad de individuos de los que se predica algo en particular. Para cuantificar en lógica de predicados se utilizan los cuantificadores: El símbolo denota el cuantificador universal, y se lee para todo. 12

3 El símbolo denota el cuantificador existencial, y se lee existe al menos un. Volvamos al ejemplo anterior. La expresión Px (interpretada como x pintó las Meninas ) no tiene valor de verdad, pues, como ya hemos dicho, sin saber quién es x no podemos establecer si es o no verdad. Ahora bien, podemos cuantificar esta expresión y entonces obtendremos enunciados verdaderos o falsos, es decir, enunciados con valor de verdad: a) Si cuantificamos la expresión Px con el cuantificador universal obtendremos el enunciado xpx, que en nuestro caso significaría para todo x, x pintó las Meninas, es decir, que todo el mundo es el autor de las Meninas. El enunciado es claramente falso. b) Si cuantificamos la expresión Px con el cuantificador existencial obtendremos el enunciado xpx, que en nuestro caso significaría existe al menos un x, tal que x pintó las Meninas, es decir, que las Meninas tienen un autor, no se pintaron solas. El enunciado es ahora, evidentemente, verdadero. Vemos pues que al cuantificar enunciados abiertos (que no tienen valor de verdad) obtenemos enunciados cerrados (que sí tienen valor de verdad), y esto era lo que queríamos mostrar. Enunciados universales y enunciados particulares Una vez que conocemos los dos modos fundamentales de cerrar enunciados abiertos, y antes de terminar este brevísimo recorrido por la lógica de predicados, veamos cómo se formalizan algunos tipos de enunciados básicos. Para ello nos servimos del cuadro siguiente: Enunciado universal afirmativo x(px Rx) Enunciado universal negativo x(px Rx) Enunciado particular afirmativo x(px Rx) Enunciado particular negativo x(px Rx) Para entender lo que esto significa conviene hacer al menos las siguientes consideraciones. a) Los enunciados universales, pese a lo que pueda parecer, no son enunciados sobre los individuos a los que se refieren. Cuando se afirma que todo hombre es racional no está afirmando que tal persona y tal persona y tal otra persona son racionales, sino que se está afirmando que la racionalidad pertenece al concepto de hombre, es decir, que la nota racionalidad está incluida dentro 13

4 del predicado hombre. Y precisamente porque se establece tal cosa podemos afirmar con toda seguridad que si algo es un hombre, entonces ese hombre es racional. No tenemos que esperar a nada más: si es un hombre, es racional. Los enunciados universales negativos, por su parte, expresan la repugnancia o incompatibilidad entre dos predicados. Cuando afirmamos ningún soltero está casado no estamos afirmando que todos los solteros conocidos siguen, por el momento, sin pasar por la iglesia, sino que estamos afirmando esto otro: si algo es un soltero, entonces necesariamente (por definición) ese algo no está casado, sin tener que esperar a saber nada más. En definitiva, los enunciados universales expresan conexiones o incompatibilidades entre predicados. Importa mucho, en este punto, saber cómo se pasa de un enunciado universal afirmativo a un enunciado universal negativo. b) Por su lado, los enunciados particulares sí afirman cosas sobre los individuos a los que se refieren. Y lo que afirman es precisamente que hay determinados individuos en los que coinciden (o no coinciden) determinados predicados. El enunciado algunos cisnes son negros no significa que dentro del concepto cisne esté el ser negro, y tampoco significa que dentro del concepto cisne esté el no ser negro. Solamente significa que existe al menos un algo en el mundo que es un cisne y además es negro. Los enunciados particulares expresan, pues, una coincidencia o no coincidencia de predicados Las falacias en la lógica Definimos una falacia como una maniobra verbal destinada a conseguir que alguien acepte una afirmación u obedezca una orden por motivos que no son buenas razones. Una falacia, por tanto, es algo así como un razonamiento psicológicamente convincente pero lógicamente defectuoso. Se ha escrito mucho sobre las falacias y se ha intentado clasificarlas de muchas maneras. Nosotros sólo vamos a estudiar tres tipos de falacias: La falacia del argumento ad hominem: esta es una de las falacias más poderosas, y consiste en intentar refutar una afirmación mediante la crítica y desacreditación de la persona que la afirma. Es falaz porque, evidentemente, la verdad o falsedad de una oración en general no depende de quién sea la persona que las enuncia. Juan de Mairena, el personaje de Antonio Machado lo expresaba así: La verdad es la verdad, la diga Agamenón o su porquero. La falacia de la apelación a la ignorancia (argumento ad ignorantiam). Hay dos maneras básicas de cometer esta falacia, que se corresponden con los siguientes esquemas: o No se ha demostrado que A es falsa. Luego A es verdadera (ej. nadie ha podido demostrar que Dios existe, por lo tanto, Dios no existe). o No se ha demostrado que A es verdadera. Luego es A falsa (ej. nadie ha demostrado que Dios no existe, por lo tanto, Dios existe). La falacia de la petición de principio: son aquellos supuestos argumentos en los que se incluye como premisa aquello que se quiere demostrar. Si, por 14

5 ejemplo, se está discutiendo sobre el si aborto es o no un crimen, el siguiente razonamiento cometería petición de principio : todos los asesinatos son criticables. El aborto es un asesinato. Por lo tanto, el aborto es criticable. Bibliografía En la elaboración de estos materiales se han tenido en cuenta especialmente las siguientes obras: Iniciación a la filosofía. Felipe Martínez Marzoa, Istmo, Introducción a la lógica formal. Alfredo Deaño, Alianza, Lógica informal. Falacias y argumentos filosóficos. Juan Manuel Comesaña, Eudeba,