Matemáticas Discretas Tc1003 Conjuntos. Conjuntos

Transcripción

1 OJETIVOS Unidad Tema Subtema Objetivos III 3.1 efiniciones 3. Numerabilidad 3.3 Tipos de conjuntos numéricos 3.4 Operaciones con conjuntos 3.5 Propiedades con los conjuntos 3.1 Reconocer, entender y aplicar los conceptos de conjunto, elemento, universo, cardinalidad, subconjunto, conjunto vacío y conjunto potencia. 3. Expresar por enumeración y comprensión un conjunto Entender y definir conjunto finito y conjunto infinito Entender y aplicar conjuntos homogéneos vs. heterogéneos plicar conjuntos ordenables y no ordenables. 3.3 efinir y manejar los conjuntos numéricos de enteros, naturales, racionales, irracionales, reales y complejos. 3.4 Entender, aprender y aplicar las operaciones con conjuntos: complemento, unión, intersección, resta, diferencia y producto cartesiano. 3.5 prender y aplicar las leyes de los conjuntos para las operaciones y simplificaciones de estos: Ley del doble complement0, leyes de Morgan, propiedades conmutativa, asociativa, distributiva, del neutro y del inverso y las propiedades IEM potentes, dominación y absorción

2 3.1 efiniciones onjunto 6 : colección de objetos bien definidos, de tal manera que se pueda decir siempre que si un objeto pertenece o no al conjunto al cual nos referimos. Nomenclatura: Se determinan entre llaves {} Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas. onjunto,,,., Z Ejemplos: {vocales} Los conjuntos también se representan por medio de iagramas de Venn iagramas de Venn-Euler: formas gráficas de representar conjuntos Elemento: que pertenece a un conjunto. Ejemplo: a, e, i, o u son los elementos del conjunto de las vocales. Universo: U : onjunto que determina un marco de referencia. Ejemplo: U{letras del alfabeto} es el universo del conjunto {vocales} ardinalidad: etermina el número de elementos de un conjunto. Ejemplo: La cardinalidad del conjunto {vocales} es 5 y se representa 5 Subconjunto: Si cada elemento de es un elemento de y tiene igual o más elementos que, esto es la cardinalidad de es mayor o igual que la cardinalidad de, se dice que es un subconjunto de. Entonces, subconjunto de pueden ser iguales o no los conjuntos onjunto vacío: φ es aquel conjunto que no contiene elementos. Si {} φ 0. Si { 0 } φ 1 onjunto potencia, P(): es la colección de todos los subconjuntos de. Esto es, si {1,,3,4} entonces P() { {0}, {1}, {}, {3}, {4}, {1,}, {1,3}, {1,4}, {,3}, {,4}, {3,4}, {1,,3}, {1,,4}, {1,3,4}, {,3,4}, {1,,3,4} }. n P ( Α) 16. En general, Si n n 0 P( ). Nota: significa y de conjunción, significa por lo tanto 6 Fuenlabra, ritmética y Álgebra, McGraw Hill, México,

3 3. Numerabilidad de conjuntos Un conjunto esta descrito por enumeración si se han dado explícitamente todos los elementos. Un conjunto esta descrito por comprensión si se ha dado en forma implícita mediante una frase que lo describe. Ejemplos: {, 4, 6, 8} {pares mayores que cero y menores que diez} {anadá, Estados Unidos, México} {Países del Tratado de Libre omercio} {Presidentes de México} {-3, -, -1, 0, 1,, 3} E {Matemáticas I, Matemáticas II, Matemáticas III} Un conjunto es homogéneo 7 cuando los elementos que lo integran son de la misma especie. Un conjunto es heterogéneo cuando los elementos que lo componen no son de la misma especie. El concepto de especie debe de fijarse claramente, un concepto puede ser que tienen algo en común. Siempre que en un conjunto pueda fijarse un criterio de ordenación tal que permita determinar la posición de un elemento con respecto a los demás, se dice que es ordenable. Ejemplo, el conjunto de los nombres de los alumnos de una clase se puede enumerar por orden alfabético. onjunto no ordenable es aquel en el cual no se puede fijar tal criterio. Las moléculas de un gas constituyen un conjunto no ordenable debido al constante movimiento que realizan. uando todos los elementos de un conjunto ordenable pueden ser considerados uno por uno, real o imaginarios, se dice que el conjunto es finito. El conjunto de las naciones que forman el continente americano es un conjunto finito. Son infinitos los conjuntos en los cuales no se puede considerar uno por uno sus elementos. Son infinitos los puntos de una recta, los números comprendidos entre el 0 y el 1, etc. os conjuntos son iguales si y solo si contienen el mismo número de elementos en cualquier orden. 7 aldor, ritmética 3. 85

4 3.3 Tipos de conjuntos numéricos onjunto escripción Representación Naturales onjunto de números enteros positivos incluyendo el cero N {0,1,,3,4,...} Enteros onjunto de números enteros positivos y Z {... 3,,,0,1,,3,...} negativos onjunto de números enteros positivos Z { 1,,3,...} { x Z x > 0} (no incluye el cero) Z n { n Z Z n 0,1,,3,..., n 1} Racionales onjunto de aquellos números que se pueden representar por medio de una fracción b a onjunto de números racionales positivos onjunto de números racionales distintos de cero Q { a a b Z b 0} Q Q * b { r r Q r > 0} { r r Q r 0} Reales Números enteros o fracción, positivos o negativos incluyendo el cero Números reales positivos Reales distintos de cero R { x x R x > 0} R * { x x R x 0} omplejos Intervalos onjunto de números que son reales e imaginarios errado Semicerrado Semiabierto bierto { x yi x, y R i * 1} { x yi x, y R x, y 0} [a,b] { x R / a x b } intervalo cerrado [a,b) { x R / a x < b } intervalo semiabierto (a,b] { x R / a < x b } intervalo semiabierto (a,b) { x R / a < x < b } intervalo abierto Irracionales Un número irracional no puede expresarse de la forma a/b siendo a y b enteros. Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo. ebido a ello, los más celebres números irracionales son identificados mediante símbolos. lgunos de éstos son: π (pi): relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro. I { π, e, φ} e: Φ (número áureo): 3. 86

5 3. 87

6 3.4 Operaciones con conjuntos Unión: { x / x x } Intersección: { x / x x } iferencia sintética: omplemento: { x / x } Δ / { x ( x x ) x } { x x } ( ) ( ) ( ) ( ) omplemento relativo de en (resta): / { x x x } 3. 88

7 Producto cartesiano Para el producto cartesiano de dos conjuntos y : (en este orden), es el conjunto de todos los posibles pares ordenados, tales que la primer componente del par ordenado es un elemento de y el segundo componente es un elemento de. La expresión se le cruz y se expresa por descripción: {( x, y) x y } que se lee: el producto cruz es el conjunto de parejas ordenadas ( x, y) tal que x pertenece a y pertenece a. e tal forma que para {1,,3 } y { a, b, c, d} {( 1, a),(1, b),(1, c),(1, d),(, a),(, b),(, c),(, d),(3, a),(3, b),(3, c),(3, d)} en donde en la pareja ( 1, a ) 1, es la primer componente y a es la segunda componente. Si los elementos de los conjuntos y son números reales, se acostumbra llamar a las componentes ( x, y) como (abscisa y ordenada)

8 3.5 Propiedades de la teoría de conjuntos Para cualquier conjunto, y tomados de un universo U: 1. Ley del doble complemento. Leyes de Morgan 3. Propiedades conmutativas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Propiedades asociativas Propiedades distributivas 6. Propiedades idempotentes φ U U φ U U φ φ ( ) ( ) Propiedades del neutro Propiedades del inverso Propiedades de dominación Propiedades de absorción 11. efinición de resta Δ efinición de diferencia 1. ( ) ( ) 3. 90

9 3.6 Historia 8 El álgebra de la teoría de conjuntos se desarrolló durante los siglos diecinueve y veinte. En Inglaterra, George Peacock ( ) fue un pionero en reformas matemáticas y uno de los primeros en revolucionar el concepto del álgebra y la aritmética. Sus ideas fueron desarrolladas más tarde por uncan Gregory ( ), William Rowan Hamilton ( ) y ugustus de Morgan ( ), quien intentó eliminar la ambigüedad del álgebra elemental para ponerla en forma de postulados estrictos. Sin embargo fue en 1845, año en que oole logró formalizar el álgebra de conjuntos y la lógica y se extendió el trabajo de Peacock y sus contemporáneos. El enfoque intuitivo de la teoría de conjuntos se realizó en tiempos del matemático ruso Geroge antor ( ), quien definió un conjunto, en 1895, en forma intuitiva. En la década de 1870, cuando antor estaba estudiando las series trigonométricas y las series de números reales, necesitaba una forma para comparar el tamaño de los conjuntos infinitos de números. Su estudio de lo infinito como una realidad, que está en el mismo nivel de lo infinito, fue en su momento revolucionario. Parte de su trabajo fue rechazado ya que resultó ser más abstracto de lo acostumbrado por muchos matemáticos de su tiempo. Pero con el tiempo, ganó aceptación para que en 1890 la teoría de conjuntos, tanto finita como infinita, fuera considerada una rama de las matemáticas como derecho propio. l terminar el siglo XIX la teoría era aceptada. Sin embargo, en 1901 Russell mostró que esta teoría de conjuntos, propuesta originalmente, tenía una inconsistencia interna: la falta de restricción para definir los conjuntos (paradoja de Russell). Los matemáticos británicos Lord ertrand rthur William Russell ( ) y lfred North Whitehead ( ) desarrollaron una jerarquía en la teoría de conjuntos conocida como la teoría de tipos. on esta teoría, se definían los conjuntos. El descubrimiento de la paradoja de Russell aun cuando se pudo remediar, tuvo un profundo impacto en la comunidad matemática, ya que muchos comenzaron a preguntarse si había otras contradicciones ocultas. En 1931, el matemático austriaco Kart Göel ( ) formuló la idea de que en una condición de consistencia dada, cualquier sistema axiomático formal suficientemente fuerte debe de contener una proposición tal que ni ésta ni su negación sea demostrable y tal que cualquier demostración de consistencia del sistema debe usar ideas de métodos que están más allá de los propios del sistema en sí. Esto quiere decir que no podemos establecer que no existen contradicciones en matemáticas. La importancia del papel de la teoría de conjuntos en el desarrollo de las matemáticas del siglo XX la define el matemático alemán avid Hilbert ( ) al decir: Nadie podrá expulsarnos del paraíso que antor ha creado para nosotros. 8 [Grimaldi, 176] 3. 91

10 George antor ugustus e Morgan rthur William Russell ( ) ( ) 3. 9

11 ctividades de 1. Representa en un iagrama de Venn: U {0,1,,3,4,5,6,7,8,9 }, {,4,5,6}, {4,5,7,8}, {1,3,4,5 }.. escribe dos Universos del conjunto de los números naturales (N). 3. uál es el conjunto potencia de {,4,6}? 4. uáles de los siguientes conjuntos son vacíos y cuáles no? a. { x x N,x 7 3} b. { x Z 3x 5 9} c. { x x Q, x 4 6} d. { x R x 4 6} e. { x x R, x 5 4} f. { x R x 3x 3 0} g. { x x, x 3x 3 0} 5. Escribe tres ejemplos de conjuntos numéricos descritos por enumeración y tres ejemplos descritos por comprensión. 6. Para U {1,,3,....,9,10} sean {1,,3,4,5}, {1,,4,8}, {1,,3,5,7} y {,4,6,8}. etermina: a) b) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) g) h) i) j) ( ) k) ( ) 3. 93

12 7. Sea U un universo finito con, U. Ordena la siguiente lista:,, φ, Δ,, U en orden creciente de acuerdo con el tamaño (cardinalidad). 8. Usando los diagramas de Venn, analiza la verdad o falsedad de ( Δ) ( ) Δ( ), para los conjuntos,, U. 9. Mediante las leyes de la teoría de conjuntos, simplifica las siguientes expresiones escribiendo en cada paso la ley que se utilizó a. ( ) b. ( ) ( ) 10. uáles de los siguientes conjuntos son iguales? a. {1,,3} b. {3,,1,3} c. {3,1,,3} d. {1,,,3} 11. Para {1,, {}}. uáles de siguientes proposiciones son verdaderas? a. 1 b. { } c. { 1} d. {{ 1}} e. { } f. {{ }} 1. etermina los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos: n a. { 1 ( 1) n N} b. { n ( 1 ) n {1,,3,5,7 }} n 3 c. { n n n {0,1,,3,4} } d. { 1 n es un numero positivo impar y n 11} ( n n) 13. Si [-3,6), [0,8) y U R, determina: a. b. c. d. Δ e

13 14. Sean,,,, E Z y { n n Z}, { 3n n Z}, { 4n n Z}, { 6n n Z}, E { 8n n Z}. a. uáles de las siguientes aseveraciones son verdaderas y cuáles falsas? i. E ii. E iii. iv. v. vi. b. etermina cada uno de los siguientes conjuntos: i. E ii. iii. iv. v. vi. E c. Establece quien es subconjunto de quien 15. etermina cuales de las siguientes aseveraciones son verdaderas: a. Z Q b. Z Q c. Q R d. R Q e. Q R Q f. Z R R g. R R h. R R i. Q Z Z 16. Utilizando los iagramas de Venn, determina si son falsas o verdaderas las siguientes igualdades para los conjuntos,,, U: a. Δ ( ) ( Δ) ( Δ) b. Δ ( ) ( Δ) ( Δ) c. ( ) ( ) ( ) 3. 95

14 ctividades de Solución 1. Representa en un iagrama de Venn: U {0,1,,3,4,5,6,7,8,9 }, {,4,5,6}, {4,5,7,8}, {1,3,4,5 }.. escribe dos Universos del conjunto de los números naturales (N). 3. U { Enteros } y U { Reales } 4. uál es el conjunto potencia de {,4,6}? 5. P() { {},{4},{6},{,4},{,6},{4,6},{,4,6},φ } 6. uáles de los siguientes conjuntos son vacíos y cuáles no? a. { x x N,x 7 3} φ b. { x Z 3x 5 9} φ c. { x x Q, x 4 6} φ d. { x R x 4 6} no vacío e. { x x R, x 5 4} φ f. { x R x 3x 3 0} φ g. { x x, x 3x 3 0} no vacío 7. Escribe tres ejemplos de conjuntos numéricos descritos por enumeración y tres ejemplos descritos por comprensión. Enumeración omprensión {0,1,,3,4,5,6,7,8,9} {dígitos} {1,, 3, 4, 5} {Naturales menores que 6} {-,-1,-0,1,} {enteros mayores que -3 y menores que 3} 3. 96

15 8. Para U {1,,3,....,9,10} sean {1,,3,4,5}, {1,,4,8}, {1,,3,5,7} y {,4,6,8}. etermina: {3,5} ( ) {4,8} ( ) {1} ( ) ( ) {3,5,8} ( ) ( ) {3,5,8} {1,3,5,7} {6,7,9,10} {1,3,5,6,7,8,9,10} {8} ( ) {6,9,10} ( ) {1} Solución 9. Sea U un universo finito con, U. Ordena la siguiente lista:,, φ, Δ,, U en orden creciente de acuerdo con el tamaño (cardinalidad). φ < < Δ < < < U 10. Usando los diagramas de Venn, analiza la verdad o falsedad de ( Δ) ( ) Δ( ), para los conjuntos,, U. Δ I ( Δ) ( ) Δ ( ) 3. 97

16 3. 98 Matemáticas iscretas 11. Mediante las leyes de la teoría de conjuntos, simplifica las siguientes expresiones escribiendo en cada paso la ley que se utilizó a. ( ) Solución ( ) ( ) ación do inverso asociativa resta de definición min ) ( φ φ b. ( ) ( ) Solución ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] absorción absorción distributiva asociativa absorción asociativa absorción neutro inverso U distributiva distributiva asociativa 1. uáles de los siguientes conjuntos son iguales? a. {1,,3} b. {3,,1,3} bc c. {3,1,,3} d. {1,,,3}

17 13. Para {1,, {}}. uáles de siguientes proposiciones son verdaderas? a. 1 b. { } c. { 1} d. {{ 1}} a, b, e, f e. { } f. {{ }} 14. etermina los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos: n a. { 1 ( 1) n N} {0,} b. { n ( 1 ) n {1,,3,5,7}} {, 5, 10, 6, } n 3 c. { n n n {0,1,,3,4}} {0,,1,36,80} d. { 1 n es un numero positivoimpar y n 11} {,,,, , } ( n n) Si [-3,6), [0,8) y U R, determina: a. [0,6) b. [3,8) c. (,3) [6, ) d. Δ [ 3,0] [6,8) e. [ 3,0) 16. Sean,,,, E Z y { n n Z}, { 3n n Z}, { 4n n Z}, { 6n n Z}, E { 8n n Z}. a. uáles de las siguientes aseveraciones son verdaderas y cuáles falsas? i. E V ii. E F iii. F iv. V v. V vi. F 3. 99

18 b. etermina cada uno de los siguientes conjuntos: i. E E ii. iii. { 6n n Z} iv. v. { n 1n Z} vi. E E c. Establece quien es subconjunto de quien E 17. etermina cuales de las siguientes aseveraciones son verdaderas: a. Z Q V b. Z Q c. Q R V V d. R Q F e. Q R Q V f. Z R R V g. R R V h. R R F i. Q Z Z V

19 18. Utilizando los iagramas de Venn, determina si son falsas o verdaderas las siguientes igualdades para los conjuntos,,, U: a. Δ ( ) ( Δ) ( Δ) Δ ( ) Δ b. Δ ( ) ( Δ) ( Δ) Δ ( Δ) ( Δ) Δ ( ) Δ Δ ( Δ ) ( Δ)

20 c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3. 10