TEMA 3 Elementos de la teoría de los conjuntos. *
|
|
- José Carlos Rojo Paz
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 TEM 3 Elementos de la teoría de los conjuntos. * Conjuntos. Un conjunto es cualquier colección, bien definida, de objetos llamadas elementos o miembros del conjunto. Una manera de describir un conjunto es poner los elementos entre llaves en forma de lista (no importa el orden). sí, el conjunto de las tres primeras letras del alfabeto se puede escribir: {a, b, c}. Esta forma de descripción se llama por extensión. Cuando el conjunto tiene infinitos elementos o no es conveniente describirlo enumerando cada uno de ellos, se suele describir especificando una propiedad de los elementos del mismo (por comprensión). Por ejemplo, el conjunto que contiene todas las letras de la palabra acceso puede indicarse por: {x x es una letra en la palabra acceso }. O el conjunto de los números reales menores que 3 se puede escribir así: {x R x < 3}. El símbolo denota la expresión, tal que. Se utilizan las letras mayúsculas, como,, C,... para representar conjuntos, y minúsculas para los elementos. Dado un conjunto, se escribe x, si x es un elemento de ; se lee x pertenece a ; y x, indica que x no pertenece a. Sean y dos conjuntos se dice que es un subconjunto de o que esta contenido en si todos los elementos de son también elementos de, esto es: Si x entonces x, y se escribe: ( o bien ) En una acepción más amplia se admite que un conjunto está incluido en otro, siempre que no tenga elementos que no tenga. Evidentemente todo conjunto es subconjunto de sí mismo ( ) Dos conjuntos y son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Propiedad: = y Dos conjuntos que carecen de elementos comunes se llaman disjuntos. Los conjuntos se representan graficamente por medio de lineas curvas cerradas, llamados diagramas de Venn. Se denomina conjunto vacío aquel que no contiene ningún elemento y se denota por φ. Evidentemente φ para todo (puesto que el conjunto φ no tiene ningún elemento que no tenga ) Un conjunto es finito si tiene n elementos distintos para algún número natural n o dicho de otra forma si sus elementos se pueden contar. En este caso, a n se le llama el cardinal de y se denota por. Por ejemplo, si ={3, 4, 5, 7, 8}, entonces =5. Cuando se trabaja con una familia de conjuntos, hay que tener en cuenta que existe un conjunto universal U (que puede variar en cada familia), tal que cualquier otro conjunto que se mencione, se puede considerar, si no se dice otra cosa, que es subconjunto de U. Por ejemplo, en el caso de estar trabajando con números naturales el conjunto universal es N. Si es un conjunto, entonces al conjunto de todos los subconjuntos de se le denomina conjunto de partes de y se indica por P(). Por ejemplo, si ={a,b, c}, entonces el conjunto de partes de es el conjunto P()= {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Luego el cardinal de, = 3, y el de partes de, P() = 3 =8. La forma de no olvidar ninguno es empezar por los subconjuntos de 0 elementos, luego los de uno, los de dos, etc. Para formar los de dos se toma cada subconjunto de un elemento y se les van añadiendo sucesivamente cada uno de los que le siguen. El cardinal de P(), P() es siempre. 1
2 Operaciones con conjuntos. Si y son dos subconjuntos de un conjunto universal U, se define su unión como el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a, a o a ambos y se indica por. ={x x o x } Si y son dos conjuntos de un conjunto universal U, se define su intersección como el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen tanto a como a y se indica por. ={x x y x } El cardinal de la unión viene dado por la fórmula siguiente: = + Ej. Dados los conjuntos = {, 4,6,8} y = { 1,, 3, 4}. Halla y. Comprueba que se cumple la fórmula anterior relativa al cardinal de la unión. = { 1,,3, 4,6,8} = {, 4} Como se ve claramente = 6 y =, por lo que se cumple la igualdad: = + ya que 6 = Gráficamente con diagramas de Venn: En la página siguiente se representan gráficamente las operaciones anteriores, por medio de diagramas de Venn. Si y son dos conjuntos se define el complementario de con respecto a, como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a pero no a y se indica por -. Es decir: = {x x y x }, 4,6,8 = 1,, 3, 4. Halla { 6,8} Ej. Dados los conjuntos = { } y { } = Gráficamente con diagramas de Venn:
3 - Si es el conjunto universal U, entonces a U- se le llama el complemento de y se indica por c. Es decir c = {x x } ( No hace falta especificar que x U ya que todos los elementos pertenecen a U por ser el conjunto universal). Por ejemplo el complemento o complementario de los números pares es el de los impares. Evidentemente ( ) c ( ) C = Gráficamente con diagramas de Venn: c U Hacer el ejercicio de la página 61 del libro. Dados dos conjuntos y, los pares ordenados de la forma (x, y) con x e y forman un tercer conjunto que se designa por x y se denomina producto cartesiano de por (en este orden). Por ejemplo, si ={1,, 3} y ={a, b}, entonces x={(1, a), (1, b), (, a), (, b), (3, a), (3, c)} Se puede hallar el producto cartesiano de tres o más conjuntos. Igualmente se puede hallar el producto cartesiano de un conjunto por sí mismo, en cuyo caso se representa por: x =. sí se puede hablar de R, R 3, o R n. Evidentemente el cardinal de x es: x =. plicaciones. Dados dos conjuntos y se llama aplicación o función a la terna f = (C,, ), donde C es un subconjunto de x tal que para cada x existe un único y, tal que (x,y) C. Por ejemplo, si = {a,e,i,o,u} y ={1,,3,4,...,8,9}, podemos definir una aplicación tomando un subconjunto C que cumpla lo dicho anteriormente, por ejemplo: C={(a,),(e,1),(i,),(o,3),(u,9)}. (he seleccionado 5 elementos de los 45 que tiene x. En este caso se dice que al elemento a se le hace corresponder el, al e el 1, al i el, al o el 3 y al u el 9. También se dice que es la imagen de a, que 1 es la imagen de e, que es también la imagen de i, que 3 es la imagen de o y que 9 es la imagen de u. Esta notación no es práctica por ello se utiliza la siguiente: 3
4 f : x y = f (x) y = f(x) equivale a (x,y) C se lee y es la imagen de x por f. sí pues y se dice que es la imagen de x y que x es el original o antiimagen de y. sí en el ejemplo anterior se expresaría f(a)=, f(e)=1, f(i)=, f(o)=3 y f(u)=9 Graficamente, con diagramas de Venn (diagrama de flechas o sagital): f 1=f(e) =f(a)=f(i) a 3=f(o) e 4 i 5 o 6 u 7 8 9=f(u) l conjunto se le suele llamar conjunto inicial, mientras que al se le llama conjunto final. La x se conoce como variable independiente y la y como variable dependiente. Resumiendo: Una aplicación es una relación (o correspondencia) entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo. Por ejemplo si a cada habitante del planeta le hacemos corresponder su edad, estamos estableciendo una aplicación, entre el conjunto de los habitantes del planeta y el conjunto de los números naturales. Habitualmente, los conjuntos y, serán numéricos y a menudo ambos serán subconjuntos del conjunto de los números reales. La aplicación así establecida le llamaremos función. Igualdad de aplicaciones: Sean f y g dos aplicaciones de en, f, g :, diremos que f es igual a g y escribiremos f=g f(x)=g(x) para todo x de. Ejemplos de aplicaciones: 1) Sea un conjunto; llamaremos aplicación identidad de, a la aplicación de en que asigna a cada elemento de el mismo elemento; normalmente se suele denotar por Id, así se podrá definir la aplicación identidad como Id (x)=x para todo x de. ) Se llama aplicación constante a la aplicación que a todos los elementos del conjunto les hace corresponder el mismo elemento de. Por ejemplo, si a todos los números reales, les hago corresponder el número 7, estoy estableciendo una aplicación constante. Se escribe así: f(x) = 7 para todo x R. También así: y = 7 4
5 3) La aplicación entre el conjunto N y él mismo, en que a cada elemento le hace corresponder su cuadrado, es otra aplicación. Se escribiría así: f(x) = x o bien y = x para todo x N 4) La correspondencia entre el conjunto Z y él mismo, que a cada elemento le hace corresponder su mitad, no es una aplicación, pues habría elementos como los impares, que no tendrían imagen, pues la mitad de un impar no es entero. Sin embargo si la misma relación (regla o aplicación) se establece entre el conjunto Z y Q (racionales), si que se trata de una aplicación o función, puesto que la mitad de cada entero siempre es un número racional. Se expresaría así: f(x) = x para todo x Z Imagen de un conjunto por una aplicación. Imagen inversa. (Este apartado no es importante): Sea f una aplicación de en y sea X un subconjunto de. Se denomina imagen de X por f y se designa por f(x) al subconjunto de definido por f(x)= {f(x) x X}. Con otras palabras, f(x) es el conjunto de las imágenes de los elementos de X por la aplicación f. Por ejemplo: Sea la aplicación de los reales en los reales definida por f ( x) = x + 1 Sea = {-3,,0,,,5} Entonces f() = {19,3,1,5,9,51} = {1,3,5,9,19,51} Sea Y un subconjunto de. Se denomina imagen inversa de Y por f y se designa por f - (Y) al subconjunto de definido por f - (Y)= {x f(x) Y }. En otras palabras, es el conjunto de elementos de, cuya imagen cae dentro de Y. Resolver el siguiente ejercicio de examen (no ha vuelto a salir desde 1995 y sólo lo han puesto una vez): Septiembre 95 (10º): Sea la función f definida de Z en Z por f ( z) = z 8 1 Hallar f ({ 0, 8} ) Tenemos que encontrar los valores de x que cumplan que f(x) = 0 y que f(x) = -8 De la primera igualdad se deduce que z 8 = 0 y resolviendo salen y De la segunda se deduce que z 8 = 8 y resolviendo sale 0. 1 Por tanto f ({ 0, 8} ) = {, 0, } Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva Se dice que una aplicación f: es inyectiva cuando a cada dos elementos distintos de le hace corresponder dos elementos distintos de, es decir, cuando para x, y f(x)=f(y) implica que x = y Esto equivale a: x y f(x) f(y) Gráficamente para ser inyectiva, no debe suceder lo siguiente: x y z Ejemplos: 5
6 La aplicación f: R R definida por f(x) = 4x + 7 es una aplicación inyectiva puesto que si f(x)=f(y), entonces 4x + 7 = 4y + 7, luego x = y. La aplicación de R en R definida por f ( x) = x no es inyectiva ya que y son distintos y sin embargo tienen la misma imagen (4) Se dice que una aplicación f: es sobreyectiva (o suprayectiva) cuando todo elemento de tiene al menos un original en, es decir, cuando para cada y existe al menos un x tal que f(x)= y. Es decir, para que sea suprayectiva, todos los elementos del conjunto final, deben ser imagen de alguno del conjunto inicial ( todos les llega flecha) Ejemplo: La aplicación de R en R definida por f ( x) = 4 x + 7 si que es suprayectiva puesto que si tomo un y R, veamos que existe un x R, tal que f(x) = y 7 En efecto, ya que tendremos 4 x + 7 = y y despejando x, queda x = y que es un número real. 4 Sin embargo la aplicación de R en R definida por f ( x) = x no es suprayectiva puesto que si tomo un y R, y buscamos un x R, tal que f(x) = y llegamos a x = y y despejando x, queda x =± y que para ciertos números, como son -, -3, -4, -5, etc. y en general los netativos, no pertenece a R, por lo que los números citados no tienen ningún elemento en R cuya imagen sean ellos. Se dice que una aplicación f: es biyectiva cuando es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva. La aplicación de R en R definida por f ( x) = 4 x + 7 es a la vez inyectiva y suprayectiva como ya hemos visto, por lo que es biyectiva. Propiedad: Para poder establecer una aplicación biyectiva entre dos conjunto finitos y, se tiene que cumplir que ambos tengan el mismo cardinal ( es decir el mismo número de elementos) Composición de aplicaciones (Importante): Sea f :, g : C, se define la aplicación compuesta, (composición de f y g) denotada por g f : C, como la aplicación definida por g f(x)= g(f(x)) para cada x. Ej: Sean f : R R y g : R R las aplicaciones definidas por f(x) = x, g(x) = x + 5. Entonces: g f(x) = g(f(x)) = g(x ) = x + 5 También podemos hallar la composición de g y f (f g): f g(x) = f(g(x)) = f(x +5) = (x + 5) = x + 10x + 5 Como es se puede observar no coincide el resultado de (g f)(x) y el de (f g)(x) Hacer aquí el ejercicio de examen de Junio 97 (t) 7º= Junio 00 (t) 5º Nota: El concepto de composición de funciones es fundamental en matemáticas, pues a partir de dos funciones (o más) se pueden obtener otras muchas funciones. (El equipo docente es consciente de esta importancia y por ello sale a menudo en exámenes) 6
7 También es posible componer tres o más funciones, con una definición similar. sí la composición de f(x), g(x) y h(x) es otra función que se define de la forma siguiente: h g f (x) = h (g(f(x))) Veamos el ejemplo de examen de Junio 0 (t) 4º, en el que se pide la composición de tres funciones: 1 Hallar la composición g f g( x), siendo f ( x) = y g( x) = x 5 x + 1 g f g( x) = g( f( g( x))), es decir, primero actúa g (x), por lo que hay que hallar su valor, después actúa f(x) sobre g(x), luego habrá que calcular su valor y finalmente actúa g(x) sobre lo hallado. Por tanto: 1 1 g f g( x) = g( f( g( x))) = g( f(x 5)) = g g (x 5) 1 = = + x 4 1 5(x 4) 10x+ 0 10x+ 5x+ 11 =. 5 = 5 = = = = x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x Resolver los siguientes ejercicios de examen: Junio 96 (t) 6º Junio 97 (m) 7º Junio 98 (m) 6º Septiembre 00 5º = Septiembre 04 10º Septiembre 0 5º Junio 03 (t) 9º= Junio 0 (t) 4º Junio 05 (m) 5º Septiembre 05 7º Función inversa (importante) El concepto de función inversa, lo introduzco aquí, de forma completamente diferente al planteamiento del libro de texto que seguimos. Después veremos que lo que en el libro se da como definición, aquí es una propiedad. Dada la función biyectiva: f : x y = f (x) se llama función inversa de f y se representa por f a la función: f : y x = f (y) Es decir es una función que cambia el conjunto inicial por el final y el final por el inicial y que actua de la siguiente manera. Si la función f hace corresponder al elemento x el elemento y, la inversa f 1 hace corresponder al elemento y el elemento x. Por ejemplo: Sea la función de R en R definida por f(x) = x + 5 La inversa se halla cambiando f(x) por y y despejando la variable x: 7
8 y-5 y = x + 5 x = y quedaría poniendo f (y) en lugar de x : y-5 f (y)= Finalmente se cambia el papel de la x y la y puesto que la variable independiente suele llamarse x y la dependiente y quedando: x - 5 f (x)= que es la función inversa de f(x) = x + 5 Propiedad: Dada la aplicación f :, se dice que f es invertible si existe su aplicación inversa. En ese caso se cumple que (f f)(x)=id (x)=x y (f f )(x)=id (x)=x Veamos con el ejemplo anterior que la inversa cumple estas dos últimas propiedades: x - 5 Tenemos que f(x) = x + 5 y f (x)= Hallemos (f f)(x)=id (x)=x ( x ) ( f f )( x) = f ( f ( x) ) = f ( x+ 5) = = x Como se ve la composición de una función y de su inversa dan la identidad. Se deja como ejercicio opcional el comprobar con las mismas funciones, que (f f )(x)=id (x)=x Resolver los siguientes ejercicios de examen: Septiembre 99 9º Junio 0 (m) 10º Junio 05 (t) 10º Septiembre 06 5º * Este tema ha sido pasado a soporte informático por los alumnos José Miguel Sánchez y Jesús Ramil, basándose en el libro Matemáticas Especiales, de E. ujalance y otros, editado por la editorial Sanz y Torres y en las explicaciones dadas en las tutorías presenciales, por el profesor tutor del Centro de la Uned lzira-valencia Francisco Tomás y Valiente, José Luis Lombillo, que los ha corregido, completado y ampliado. 8
SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES
SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES BINARIAS PAR ORDENADO Es un arreglo de dos elementos que tienen un orden determinado donde a es llamada al primera componente y b es llamada la
Más detallesRecordemos que utilizaremos, como es habitual, la siguiente notación para algunos conjuntos de números que son básicos.
Capítulo 1 Preliminares Vamos a ver en este primer capítulo de preliminares algunos conceptos, ideas y propiedades que serán muy útiles para el desarrollo de la asignatura. Se trata de resultados sobre
Más detallesTerminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales.
TEMA 5. CARDINALES 241 Tema 5. Cardinales Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. Definición A.5.1. Diremos que el conjunto X tiene el mismo cardinal que el conjunto
Más detallesEstructuras Algebraicas
Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos
Más detallesUnidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.
Unidad II Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Función En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio)
Más detallesNOCIONES PRELIMINARES (*) 1
CONJUNTOS NOCIONES PRELIMINARES (*) 1 Conjunto no es un término definible, pero da idea de una reunión de cosas ( elementos ) que tienen algo en común. En matemática los conjuntos se designan con letras
Más detallesConjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu
Susana Puddu 1. Repaso sobre la teoría de conjuntos. Denotaremos por IN al conjunto de los números naturales y por ZZ al de los enteros. Dados dos conjuntos A y B decimos que A está contenido en B o también
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS. Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño
MATEMÁTICAS BÁSICAS Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2014 Universidad Nacional de Colombia
Más detallesSISTEMA DE NUMEROS REALES
SISTEMA DE NUMEROS REALES 1.1 Conjuntos Es una agrupación de objetos distintos (pero con algunas características en común), los que reciben el nombre de elementos. Generalmente se nombra a un conjunto
Más detallesFUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se denota por : A B A
Más detallesConjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación.
NÚMEROS REALES Conjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación. Un conjunto es una colección bien definida
Más detallesSobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa
Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Cuando en matemáticas hablamos de funciones pocas veces nos paramos a pensar en la definición rigurosa de función real
Más detallesUnidad II. Conjuntos. 2.1 Características de los conjuntos.
Unidad II Conjuntos 2.1 Características de los conjuntos. Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en el la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS. Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano
MATEMÁTICAS BÁSICAS Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2015 Universidad
Más detallesLA FUNCIÓN INVERSA. Si R es una relación, la relación R definida por la proposiciones. (a, b) R (b, a) R. (a, b) R (c, b) R a = c
LA FUNCIÓN INVERSA Existen diferentes definiciones de función inversa, aunque el concepto matemático es el mismo. Expondremos aquí tres de ellas, para efectos formales, ya que para hallar la inversa de
Más detallesSemana03[1/17] Funciones. 16 de marzo de Funciones
Semana03[1/17] 16 de marzo de 2007 Introducción Semana03[2/17] Ya que conocemos el producto cartesiano A B entre dos conjuntos A y B, podemos definir entre ellos algún tipo de correspondencia. Es decir,
Más detalles4 E.M. Curso: Unidad: Estadísticas Inferencial. Colegio SSCC Concepción. Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Unidad de Aprendizaje: FUNCIONES
Colegio SSCC Concepción Depto. de Matemáticas Unidad de Aprendizaje: FUNCIONES Capacidades/Destreza/Habilidad: Racionamiento Matemático/Calcular/ Resolver Valores/ Actitudes: Curso: E.M. 10 Respeto, Solidaridad,
Más detallesUn conjunto es un grupo, una colección de objetos; a estos objetos se les llama miembros o elementos del conjunto.
TEORÍ DE CONJUNTOS. Un conjunto es un grupo, una colección de objetos; a estos objetos se les llama miembros o elementos del conjunto. Ejemplos: Los libros de una biblioteca. Los alumnos de una escuela.
Más detalles1.2 Si a y b son enteros impares, entonces a + b es par. 1.4 Si el producto de enteros a y b es par, entonces alguno de ellos es par.
Sesión 1 Demostraciones Demostración directa 1.1 Si n es un número entero impar, entonces n 2 es impar. 1.2 Si a y b son enteros impares, entonces a + b es par. Demostración indirecta 1.3 Si n 2 es par,
Más detallesCOLEGIO NUESTRO SEÑOR DE LA BUENA ESPERANZA
COLEGIO NUESTRO SEÑOR DE L UEN ESPERNZ signatura: NÁLISIS MTEMÁTICO 11º Profesor: Lic. EDURDO DURTE SUESCÚN TLLER OPERCIONES CON CONJUNTOS OPERCIONES CON CONJUNTOS En aritmética se suma, resta y multiplica,
Más detallesFunciones reales de variable real
Tema Funciones reales de variable real Introducción El objetivo fundamental de este tema es recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real.. Conceptos Generales Definición.
Más detallesINTRODUCCIÓN. Para las siguientes dos actividades necesitaras: regla, lápiz, tijeras, calculadora.
CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Construcción con tijeras y papel Para las siguientes dos actividades necesitaras: regla, lápiz, tijeras, calculadora. La caja1. De una hoja de papel vamos a recortar un cuadrito
Más detallesLenguajes, Gramáticas y Autómatas Conceptos
Lenguajes, Gramáticas y Autómatas Conceptos Departamento de Informática e Ingeniería de Sistemas C.P.S. Universidad de Zaragoza Última revisión: Febrero. 2004 11/02/2004 1 Índice Alfabetos, palabras y
Más detallesFUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO
FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO 2007-2008 Funciones reales Definición Clasificación Igual de funciones Dominio Propiedades Monotonía Extremos relativos Acotación. Extremos absolutos Simetría
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 2. Operaciones con Conjuntos
Apuntes de Matemática Discreta 2. Operaciones con Conjuntos Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 2 Operaciones con Conjuntos
Más detallesb) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A
APENDICE Relaciones y Operaciones Compatibles 1 Definición: a) Sea A un conjunto y una relación entre elementos de A. Decimos que es una relación de equivalencia si es: i Reflexiva: a A, a a. ii Simétrica:
Más detallesTEORIA DE CONJUNTOS. 2.-Subconjunto: A es subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B.
TEORI DE CONJUNTOS Definiciones: 1.- Conjunto: es una lista, clase o colección de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos
Más detallesJohn Venn Matemático y filósofo británico creador de los diagramas de Venn
Georg Cantor Matemático Alemán creador de la teoría de conjuntos John Venn Matemático y filósofo británico creador de los diagramas de Venn August De Morgan Matemático ingles creador de leyes que llevan
Más detallesTeoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo.
1 Tema 5.-. Teoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo. 5.1. Anillos y cuerpos Definición 5.1.1. Un anillo es una terna (A, +, ) formada por un conjunto A
Más detallesEn una recta numérica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen.
1. Conjuntos numéricos Los conjuntos numéricos con los que has trabajado tanto en Enseñanza Básica como en Enseñanza Media, se van ampliando a medida que se necesita resolver ciertas problemáticas de la
Más detallesProbabilidad y Estadística
Probabilidad y Estadística Probabilidad Conceptos como probabilidad, azar, aleatorio son tan viejos como la misma civilización. Y es que a diario utilizamos el concepto de probabilidad: Quizá llueva mañana
Más detalles7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el
Más detallesGuía de Ejercicios: Funciones
Guía de Ejercicios: Funciones Área Matemática Resultados de aprendizaje Determinar dominio y recorrido de una función. Analizar funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Determinar la función
Más detallesCAPÍTULO II TEORÍA DE CONJUNTOS
TEORÍ DE ONJUNTOS 25 PÍTULO II TEORÍ DE ONJUNTOS 2.2 INTRODUIÓN Denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas, si un elemento p pertenece a un conjunto escribiremos
Más detallesTEMA II: CONJUNTOS Y RELACIONES DE ORDEN. Álgebra II García Muñoz, M.A.
TEMA II: CONJUNTOS Y RELACIONES DE ORDEN OBJETIVOS GENERALES 1. Hacer que el alumno asimile el concepto de conjunto como la estructura algebraica más simple en la que se ambientarán el resto de las estructuras
Más detallesLímites y continuidad de funciones reales de variable real
Límites y continuidad de funciones reales de variable real Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M. a M. salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es Índice 1. Definiciones 3 2. Herramientas 10 2.1. Funciones
Más detallesGIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano UNIDAD I FUNCIONES
UNIDAD I FUNCIONES Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, que asocia a cada elemento del primer conjunto exactamente un elemento del otro conjunto. Una función f definida entre dos conjuntos
Más detallesEl subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.
Concepto de función Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real (uno y sólo uno).
Más detallesf: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).
TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:
Más detallesSESIÓN 11 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
SESIÓN 11 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS I. CONTENIDOS: 1. Función inversa, conceptos y definiciones 2. Derivación de funciones trigonométricas inversas 3. Ejercicios resueltos 4. Estrategias
Más detalles50 CAP. I. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES. Ejercicio. 8.1. Dados los conjuntos: Determinar los siguientes conjuntos: Se tiene:
50 CAP. I. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES Ejercicio. 8.1. Dados los conjuntos: Determinar los siguientes conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {e, f, g, h}, C = {a, e, i, o, u} A B C, A B C, A \ B,
Más detallesGUÍAS DE ESTUDIO. Programa de alfabetización, educación básica y media para jóvenes y adultos
GUÍAS DE ESTUDIO Código PGA-02-R02 1 INSTITUCIÓN EDUCATIVA CASD Programa de alfabetización, educación básica y media para jóvenes y adultos UNIDAD DE TRABAJO Nº 1 PERIODO 1 1. ÁREA INTEGRADA: MATEMÁTICAS
Más detallesTema 2. Grupos. 3. El conjunto de matrices de orden 2 con coeficientes enteros (o reales) con la suma es un grupo conmutativo.
Tema 2. Grupos. 1 Grupos Definición 1 Un grupo es una estructura algebraica (G, ) tal que la operación binaria verifica: 1. * es asociativa 2. * tiene elemento neutro 3. todo elemento de G tiene simétrico.
Más detallesCarlos A. Rivera-Morales. Precálculo I
Carlos A. Rivera-Morales Precálculo I Tabla de Contenido Contenido : Contenido Discutiremos: función inversa : Contenido Discutiremos: función inversa construcción de la función inversa : Contenido Discutiremos:
Más detallesTEMA 2: TEORÍA DE CONJUNTOS Y CONJUNTOS NUMÉRICOS.
TEMA 2: TEORÍA DE CONJUNTOS Y CONJUNTOS NUMÉRICOS. TEORÍA DE CONJUNTOS. Definiciones. Se define un conjunto como una colección de objetos o cosas, se nombran con letras mayúsculas (A, B...). Cada uno de
Más detallesTEORÍA DE CONJUNTOS A ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
TEORÍA DE CONJUNTOS CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas; Además de proporcionar
Más detallesConjuntos Un conjunto es una colección de objetos. A cada uno de esos objetos se llama elemento del conjunto.
1 TEORÍA DE CONJUNTOS: IDEAS BÁSICAS Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos. A cada uno de esos objetos se llama elemento del conjunto. Un conjunto puede darse enumerando todos y cada uno de
Más detallesƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.
SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa de otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la derivada de una función inversa. f
Más detallesNo es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.
FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesINTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES.
INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES. Este capítulo puede considerarse como una prolongación y extensión del anterior, límite de sucesiones, al campo de las funciones. Se inicia recordando el concepto de función
Más detallesConcepto de función. Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B
Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función
Más detallesTema 2. Fundamentos de la Teoría de Lenguajes Formales
Departamento de Tecnologías de la Información Tema 2. Fundamentos de la Teoría de Lenguajes Formales Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Índice 2.1. Alfabeto 2.2. Palabra 2.3. Operaciones
Más detallesÍndice Proposiciones y Conectores Lógicos Tablas de Verdad Lógica de Predicados Inducción
Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 5. Lógica y Formalismo Matemático Leandro Marín Dpto. de Matemática Aplicada Universidad de Murcia 2012 1 Proposiciones y Conectores Lógicos 2 Tablas de Verdad
Más detallesGrupos libres. Presentaciones.
S _ Tema 12.- Grupos libres. Presentaciones. 12.1 Grupos libres. En el grupo Z de los enteros vimos una propiedad (cf. ejemplos.5), que lo caracteriza como grupo libre. Lo enunciamos al modo de una Propiedad
Más detallesEn general, un conjunto A se define seleccionando los elementos de un cierto conjunto U de referencia que cumplen una determinada propiedad.
nidad 3: Conjuntos 3.1 Introducción Georg Cantor [1845-1918] formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas
Más detallesINSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO TEORÍA DE CONJUNTOS CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
TEORÍA DE CONJUNTOS CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas; Además de proporcionar
Más detallesTEMA II TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS
TEMA II TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS Policarpo Abascal Fuentes TEMA II Teoría intuitiva de conjuntos p. 1/4 TEMA II 2. TEORÍA INTUITIVA DE CONJUNTOS 2.1 CONJUNTOS 2.1.1 Operaciones con conjuntos 2.2 RELACIONES
Más detallesTema 7: Geometría Analítica. Rectas.
Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos
Más detallesEnteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales.
Tema 1: Números Reales 1.1 Conjunto de los números Naturales (N): 0, 1, 2, 3. Números positivos sin decimales. Sirven para contar. Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos
Más detallesEjemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios }
La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas
Más detallesTema 3: Conjuntos y Funciones
Tema 3: Conjuntos y Funciones Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Lógica y Computabilidad Curso 2008 09 LC, 2008 09 Conjuntos y Funciones 3.1 Conjuntos Escribimos
Más detallesCONJUNTOS. Consideremos, por ejemplo, los siguientes conjuntos:
CONJUNTOS En una Teoría Intuitiva de Conjuntos, los conceptos de conjunto y pertenencia son considerados primitivos, es decir, no se definen de un modo formal; se les acepta como existentes de manera axiomática,
Más detallesDefinición matemática de Relación y de Función
Fecha: 05/0 Versión: DOCENTE: ANTONIO ELI CASTILLA Definición matemática de Relación de Función En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto,
Más detallesFUNCIONES EN R. Agosto 2007
FUNCIONES EN R Alexis Vera Pérez Instituto de Estadística & Sistemas Computarizados de Información Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río Piedras Agosto 2007 1 Definición y notación Definición 1 Una
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 4 Inversas, exponenciales y logarítmicas
Álgebra y Trigonometría Clase 4 Inversas, exponenciales y logarítmicas CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesEn la notación C(3) se indica el valor de la cuenta para 3 kilowatts-hora: C(3) = 60 (3) = 1.253
Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Operatoria con expresiones algebraicas Nivel: 2 Medio Funciones 1. Funciones En la vida diaria encontramos situaciones en las que aparecen valores que varían
Más detallesTeoría Tema 2 Concepto de función
página 1/7 Teoría Tema Concepto de función Índice de contenido Función, dominio e imagen... Función inyectiva...4 Función sobreyectiva...6 Función biyectiva...7 página /7 Función, dominio e imagen Una
Más detallesCardinalidad. Teorema 0.3 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.
Cardinalidad Dados dos conjuntos A y B, decimos que A es equivalente a B, o que A y B tienen la misma potencia, y lo notamos A B, si existe una biyección de A en B Es fácil probar que es una relación de
Más detallesNotas de Álgebra Básica I
Notas de Álgebra Básica I Carlos Ruiz de Velasco y Bellas Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación Facultad de Ciencias Universidad de Cantabria 14 de septiembre de 2006 2 Capítulo 1 Conjuntos,
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesCapitulo IV - Inecuaciones
Capitulo IV - Inecuaciones Definición: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o
Más detallesCONJUNTO: Colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie.
RESUMEN DE MATEMATICAS I PARTE I CONJUNTOS CONJUNTO: Colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie. A= {números pares} B= { banda de rock} ELEMENTO: Son las ideas u objetos cualesquiera
Más detallesMATEMÁTICA CPU MÓDULO 1. Números reales Ecuaciones e inecuaciones. Representaciones en la recta y en el plano.
MATEMÁTICA CPU MÓDULO Números reales. Ecuaciones e inecuaciones. Representaciones en la recta y en el plano.. Marcar con una cruz los conjuntos a los cuales pertenecen los siguientes números: N Z Q R 8
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesCapítulo 6. Relaciones. Continuar
Capítulo 6. Relaciones Continuar Introducción Una relación es una correspondencia entre dos elementos de dos conjuntos con ciertas propiedades. En computación las relaciones se utilizan en base de datos,
Más detallesDERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.
DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto
Más detallesTema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES
Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos
Más detallesSemana05[1/14] Relaciones. 28 de marzo de Relaciones
Semana05[1/14] 28 de marzo de 2007 Introducción Semana05[2/14] Ya en los capítulos anteriores nos acercamos al concepto de relación. Relación Dados un par de conjuntos no vacíos A y B, llamaremos relación
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre
Más detallesTeoría de conjuntos. Tema 1: Teoría de Conjuntos.
Tema 1: Teoría de Conjuntos. La teoría de Conjuntos es actualmente una de las más importantes dentro de la matemática. Muchos de los problemas que se le han presentado a esta disciplina en los últimos
Más detallesEjercicios Tema 1. Profesora: Carmen López Esteban. Curso: 1ª Magisterio. Esp. Educación Infantil. Grupo: A.
Profesora: Carmen López Esteban Curso: 1ª Magisterio. Esp. Educación Infantil Grupo: A. Ejercicios de CONJUNTOS Ejercicio 1: 1.1) A = {x/x es país fronterizo con Perú} El conjunto esta por... 1.2) B =
Más detallesPor ser f continua y R compacto, existen x 0, y 0 en R tales que f(x 0 ) = sup{f(t) : t R} y f(y 0 ) = inf{f(t) : t R}
Proposición. Sea un rectángulo en R n, y sea f : R una función continua. Entonces f es integrable en. Conjuntos de Demostración: Como f es continua en, y es compacto, f es acotada en, y uniformemente continua.
Más detallesCONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS
UNIVERSIDAD CATÓLICA ANDRÉS BELLO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA INFORMÁTICA CÁTEDRA DE LÓGICA COMPUTACIONAL CONJUNTOS Y RELACIONES BINARIAS INTRODUCCIÓN Intuitivamente, un conjunto es una
Más detallesCONJUNTOS NUMÉRICOS. La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver situaciones de la vida diaria.
CONJUNTOS NUMÉRICOS La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para contar una determinada cantidad
Más detallesUniversidad Abierta y a Distancia de México. Licenciatura en matemáticas. Primer Semestre. Introducción al álgebra superior
Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en matemáticas Primer Semestre Introducción al álgebra superior Unidad 1 Conjuntos, relaciones y funciones Clave: 05141106/06141106 Índice 1 Unidad
Más detallesBLOQUE 1. LOS NÚMEROS
BLOQUE 1. LOS NÚMEROS Números naturales, enteros y racionales. El número real. Intervalos. Valor absoluto. Tanto el Cálculo como el Álgebra que estudiaremos en esta asignatura, descansan en los números
Más detallesDERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 2 El procedimiento mediante el cuál se obtiene la derivada de una función se conoce como derivación. Llamaremos funciones elementales a las funciones polinómicas,
Más detallesPRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS
PRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS Producto Cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un
Más detallesPropiedades del producto cartesiano Producto cartesiano. 64 Aritmética Und. 1 Teoría de Conjuntos
La forma de construir todos los pares ordenados posibles es escribiendo la 1ra componente, digamos «h» del conjunto con cada uno de los elementos del conjunto, luego la 2da componente «t» = {(h; ), (h;
Más detallesCBC. Matemática (51) universoexacto.com 1
CBC Matemática (51) universoexacto.com 1 PROGRAMA ANALÍTICO 1 :: UNIDAD 1 Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta
Más detallesMatemáticas de 2º de bachillerato página 1 Integral indefinida. Integral indefinida
Matemáticas de º de bachillerato página Integral indefinida Integral indefinida.introducción.- La integración es el proceso recíproco de la derivación, es decir, en la derivación se trata de hallar la
Más detallesFunciones. Domf = {x R f(x) B} Ranf = {f(x) x Domf} x (, 4) (4, ) 4y + 1 y. 4y + 1. > 4 = y y. > 0 = y
Funciones Una función real de variable real es una aplicación f : A B donde A,B son conjuntos de números reales. Domf = x R f(x) B Rango: El rango o imagen de la función f es un conjunto que se define
Más detallesGrupos y Subgrupos El concepto de grupo Sea G un conjunto no vacío y sea G G G
Capítulo 1 Grupos y Subgrupos 001. El concepto de grupo Sea G un conjunto no vacío y sea G G G una operación interna en G para la cual denotaremos a la imagen de un par (x, y) mediante xy. Supongamos que
Más detallesEspacios topológicos. 3.1 Espacio topológico
Capítulo 3 Espacios topológicos 3.1 Espacio topológico Definición 3.1.1. Un espacio topológico es un par (X, τ), donde X es un conjunto, y τ es una familia de subconjuntos de X que verifica las siguientes
Más detalles. De R (Reales) a C (Complejos)
INTRODUCCIÓN Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de números negativos. Así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo
Más detallesCaracterización de los números reales
Grado 11 Matematicas - Unidad 1 Operando en el conjunto de los números reales Tema Caracterización de los números reales Nombre: Curso: Breve historia de los reales A continuación se da una brevísima historia
Más detallesax 2 + bx + c = 0, con a 0
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones de segundo grado son de la forma: a + bx + c = 0, con a 0 1. Identificación de coeficientes: Al empezar con las ecuaciones de segundo grado, resulta
Más detallesCompetencia específica. Conceptos básicos. Función. f : X Y
Funcio nes inplícit as FUNCI ONES Cncept os iniciale s Sucesio nes Grafica ción Operaci ones Clasific ación Competencia específica Comprender el concepto de función real e identificar los tipos de funciones,
Más detallesUn conjunto se considera como una colección de objetos, llamados miembros o elementos del conjunto. Existen dos formas de expresar un conjunto:
I.- Teoría de conjuntos Definición de conjunto Un conjunto se considera como una colección de objetos, llamados miembros o elementos del conjunto. Existen dos formas de expresar un conjunto: a) Por extensión
Más detalles