Objetivos formativos de Matemática Discreta. Tema 1: Conjuntos, aplicaciones y relaciones

Transcripción

1 Objetivos formativos de Matemática Discreta Para cada uno de los temas el alumno debe ser capaz de hacer lo que se indica en cada bloque. Además de los objetivos que se señalan en cada tema, se considera como objetivo elaborado la resolución de problemas en los que se mezclan los conceptos, métodos y algoritmos vistos en todos los temas del programa. Tema 1: Conjuntos, aplicaciones y relaciones 1. Identificar subconjuntos de un conjunto y utilizar los símbolos de las relaciones de pertenencia y contenido. 2. Definir las operaciones básicas: unión, intersección y complementario, y hallarlas en casos sencillos. 3. Definir producto cartesiano de dos conjuntos y obtener el producto cartesiano de dos conjuntos finitos. 4. Definir aplicación (función) y aplicación inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. 5. Identificar aplicaciones definidas sobre conjuntos finitos de cardinal pequeño y sus propiedades: inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. 6. Determinar el conjunto imagen de aplicaciones de características semejantes a las del punto anterior. 7. Evaluar aplicaciones y composiciones de aplicaciones. 8. Definir aplicación inversa y comprobar que dos aplicaciones dadas son inversas una de la otra. 9. Definir relación sobre un conjunto y relación reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva, de orden y de equivalencia. 10. Reconocer gráficamente si una relación es reflexiva, simétrica y antisimétrica y, en casos sencillos, transitiva, de orden y de equivalencia. 11. Definir clase de equivalencia de un elemento y conjunto cociente. 12. Obtener el representante canónico de un elemento y calcular su clase de equivalencia. 13. Describir los conjuntos cociente Zn y los elementos de cada una de sus clases. 14. Definir orden total, orden parcial y distinguir estos conceptos sobre diagramas sagitales. 15. Obtener el diagrama de Hasse de una relación de orden sobre un conjunto finito. 16. Obtener los elementos máximo/maximal y mínimo/minimal para una relación de orden sobre un conjunto finito o un diagrama de Hasse. 1. Obtener el conjunto de las partes de un conjunto finito. 2. Determinar si una aplicación dada es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. 3. Obtener explícitamente la inversa de una aplicación dada. 4. Determinar si una relación dada es de equivalencia o de orden. 5. Obtener el conjunto cociente de una relación de equivalencia. 6. Construir el diagrama de Hasse de una relación de orden dada por comprensión.

2 Tema 2: Lógica de proposiciones 1. Formalizar enunciados usando lógica de proposiciones. 2. Determinar el conectivo principal de una fórmula y obtener su árbol estructural. 3. Evaluar funciones definidas usando el principio de recursión estructural. 4. Calcular el valor veritativo de una fórmula para una valoración dada. 5. Definir con precisión modelo y no modelo de una fórmula. 6. Obtener modelos de una fórmula dada. 7. Definir con precisión tautología, contradicción y fórmula contingente. 8. Determinar si una fórmula es tautología, contradicción o contingente. 9. Definir con precisión fórmulas equivalentes y saber aplicar las equivalencias básicas. 10. Definir con precisión conjunto satisfactible e insatisfactible. 11. Decidir si un conjunto de fórmulas es satisfactible usando el método del tableau. 12. Definir con precisión estructura deductiva correcta. 13. Definir con precisión contraejemplo. 14. Enunciar correctamente las reglas de inferencia básicas. 15. Decidir si una estructura deductiva es correcta usando el método del tableau. 16. Demostrar que una estructura deductiva sencilla es correcta usando reglas de inferencia. 17. Demostrar que una estructura deductiva es incorrecta. 1. Formalizar un razonamiento dado en lenguaje natural y determinar si la estructura deductiva asociada es correcta. 2. Definir funciones usando el principio de recursión estructural. 3. Determinar si un conjunto de fórmulas cumple algunas condiciones de satisfactibilidad dadas. 4. Usar la caracterización de estructura deductiva correcta vía conjuntos insatisfactibles para estudiar propiedades de conjuntos de fórmulas. 5. Probar que una estructura deductiva es correcta usando reglas de inferencia.

3 Tema 3: Inducción y recursividad 1. Enunciar de modo preciso distintas versiones del principio de inducción. 2. Probar por inducción la igualdad entre dos expresiones que dependen de un número natural o entre dos funciones definidas sobre el conjunto de los naturales, una de forma recursiva y otra de forma explícita. 3. Operar con las funciones primitivas (cabeza, resto, concatenar) definidas sobre listas. 4. Probar por inducción la igualdad entre dos funciones, una explícita y otra recursiva, cuyo argumento o imagen sea una lista plana. 5. Definir conjunto de partida, reglas básicas y reglas recursivas de una función recursiva. 6. Calcular el conjunto de partida de una función recursiva. 7. Evaluar una función recursiva en un punto y hallar su árbol de dependencia. 8. Definir funciones recursivas sencillas sobre números naturales y listas planas. 1. Conjeturar una expresión general en función del número natural n y probar por inducción su veracidad, en problemas de dificultad semejante a lo visto en clase. 2. Enunciar con precisión el principio fuerte de inducción. 3. Definir funciones recursivas sobre números naturales y listas, de una dificultad semejante a las tratadas en la hoja de problemas. 4. Reconocer el conjunto obtenido mediante una definición recursiva. 5. Describir la acción de una función definida de manera recursiva. 6. Dada una regla recursiva, proponer reglas básicas, si es posible, para obtener una función recursiva.

4 Tema 4.1: Grafos 1. Modelizar un determinado problema eligiendo el tipo de grafo más adecuado. 2. Definir grafo regular, bipartito y determinar si un grafo lo es. 3. Hallar el número de vértices y aristas de los grafos de familias destacadas: K n, K n,m, Q n, C n y P n. 4. Reconocer las propiedades de estas familias: regular, euleriano, bipartito, hamiltoniano, 5. Enunciar y aplicar la fórmula de Euler que relaciona grados con número de aristas. 6. Hallar el subgrafo inducido por un conjunto de vértices y el subgrafo obtenido al quitar vértices o aristas. 7. Distinguir los términos recorrido/camino, circuito/ciclo. 8. Definir con precisión grafo euleriano y semieuleriano. 9. Aplicar el teorema de Euler para determinar si un grafo es euleriano/semieuleriano o no. 10. Construir un circuito o recorrido euleriano en un grafo en caso de que exista. 11. Definir con precisión grafo hamiltoniano. 12. Definir grafos isomorfos y enunciar propiedades invariantes por isomorfismos. 13. Establecer un isomorfismo entre dos grafos en casos sencillos. 14. Justificar que dos grafos no son isomorfos en casos sencillos. 15. Reconocer gráficamente aristas puente, puntos de corte y componentes conexas de un grafo. 16. Reconocer un árbol vía cualquiera de sus caracterizaciones. 17. Aplicar la fórmula que relaciona el número de vértices y el de componentes conexas de un grafo acíclico. 18. Hallar un árbol recubridor de un grafo conexo. 19. Describir brevemente los pasos del algoritmo de Kruskal. 20. Aplicar el algoritmo de Kruskal para hallar un árbol recubridor de peso mínimo en un grafo ponderado. 21. Aplicar el algoritmo de Dijkstra para hallar la distancia desde un vértice a todos los demás y un árbol de caminos mínimos. 22. Distinguir los conceptos: árbol recubridor de peso mínimo y árbol de caminos mínimos. 23. Definir y distinguir qué es un centro y una mediana. 24. Calcular centros y medianas con y sin ayuda de Ahmes. 1. Determinar si un grafo es hamiltoniano. 2. Determinar si dos grafos dados son isomorfos. 3. Aplicar la relación entre número mínimo y máximo de vértices y el número de componentes conexas de un grafo. 4. Resolver cuestiones relativas a distancias entre vértices en un grafo ponderado usando el algoritmo de Dijkstra y las propiedades de los caminos mínimos. 5. Reconocer en un problema de optimización en un grafo ponderado el objeto de cálculo: árbol recubridor de peso mínimo, camino mínimo, árbol de caminos mínimos, centro/mediana del grafo, o vértices tipo centro/mediana restringidos. 6. Construir ejemplos de grafos que verifiquen propiedades dadas o justificar que no pueden existir.

5 Tema 4.2: Digrafos 1. Distinguir los conceptos máximo/maximal y mínimo/minimal y reconocer estos elementos en un digrafo acíclico. 2. Describir el algoritmo que permite detectar si un digrafo finito es acíclico y aplicarlo para hallar un orden topológico de un digrafo acíclico dado. 3. Hallar órdenes topológicos compatibles con ciertas condiciones o justificar que no pueden existir. 4. Modelizar mediante un digrafo la relación de dependencia entre unas tareas dadas y averiguar si el conjunto de tareas es realizable. 5. Hallar en un digrafo con tareas ponderadas, el tiempo mínimo de realización. 1. Determinar si una planificación es correcta para acometer un conjunto de tareas dado y hallar su tiempo mínimo de realización. 2. Hallar la cota inferior del número de equipos para realizar unas tareas dadas en tiempo óptimo. 3. Usar el algoritmo heurístico visto en clase para obtener una aproximación a una planificación con el mínimo número de equipos. 4. Obtener las tareas críticas en un digrafo con tareas ponderadas. Tema 5: Combinatoria y probabilidad 1. Enunciar los principios básicos de combinatoria: adición, multiplicación e inclusiónexclusión. 2. Definir las selecciones básicas: variaciones, combinaciones y permutaciones con y sin repetición. 3. Resolver problemas de combinatoria donde los objetos a contar son directamente selecciones especiales: variaciones, permutaciones y combinaciones, con y sin repetición. 4. Aplicar, en casos sencillos, los principios básicos de combinatoria. 5. Conocer y aplicar la fórmula del binomio de Newton. 6. Construir el triángulo de Pascal y manejar su relación con las propiedades de los números combinatorios. 7. Aplicar la regla de Laplace para resolver problemas sencillos de probabilidad. 1. Resolver problemas de dificultad semejante a los vistos en clase, en los que las herramientas a utilizar son los principios básicos de combinatoria y las fórmulas de las selecciones especiales. 2. Usar técnicas recursivas para contar los elementos de un conjunto. 3. Resolver problemas de probabilidad de dificultad semejante a los vistos en clase usando la regla de Laplace y técnicas combinatorias.