1 Álgebra Lineal Taller N o 1 con matlab

Transcripción

1 Álger Linel Tller N o con mtl Tem: Vectores en R n : Sistems de m ecuciones con n incógnits. Suespcio generdo. Operciones con mtrices, independenci linel en R n : Suespcios fundmentles socidos con un mtri. ses dimensión. Diseñdo por: Ros Frnco reláe. Ejercicio Un industri emple tres compuestos que comin pr formr cutro tipos de fertilintes. El número de kilogrmos de cd compuesto que requiere un pquete de fertilinte de cd tipo está ddo en l siguiente tl. ompuesto ompuesto ompuesto D Fertilinte 2 Fertilinte Fertilinte 3 3 Fertilinte 4 2 L industri dispone de 6 kilogrmos del compuesto, 2 kilogrmos del compuesto 6 kilogrmos del compuesto D. Si se utili todo el mteril químico disponile se quiere producir l menos 25 pquetes de fertilinte 2 l menos pquetes de fertilinte 4. Encuentre el número de pquetes de cd tipo de fertilinte que se pueden producir. Pr los siguientes ejercicios, generr 6 números letorios ; ; c; d; m; n utilirlos pr resolver cd uno de ellos con l ud de Mtl. Ejercicio 2 onsidere los vectores v = v 3 = c d ; v 4 = d m 3n 2m + 3n h = 2cm 3cn m + 3n 3dm : Hlle: 3m + dm 3dn c d ; v 2 = v 5 = 2 c 2 + d 2d 3 3 3c 3 3d ; el vector

2 ) El vector tl que v mv 2 + n = v 4 v 3 : ) L proección ortogonl de v 3 sore v : c) El ángulo, proimdo, medido en grdos, entre los vectores v v 3 : d) L distnci de v 5 v : e) Determine si lguno de los vectores v ; v 3 ; v 5 es un cominción linel de los otros dos en tl cso, elij uno de ellos epréselo en términos de los otros dos. De cuánts mners puede hcerlo? f) Hlle el suespcio generdo por los vectores v ; v 2 ; v 3 ; v 4 ; v 5 : g) Encuentre tods ls forms de epresr el vector h como cominción linel de los vectores v ; v 2 ; v 3 ; v 4 ; v 5 : Ejercicio 3 En cd literl, considere ls mtrices = = c c 4 3d c 5 3c c d = 2c d 2 c 4 8 4c c ) Hlle l mtri X tl que T ( m + n) T + dx = ) Determine si l mtri T es invertile en cso rmtivo, encuentre su invers. Ejercicio 4 onsidere l mtri M = : c 2c m nc m n m 2nc m n m + n d mc d m d 2mc d m d + m Encuentre: ) El suespcio de R 5 formdo por tods ls soluciones del sistem homogéneo MX = ) L dimensión de espcio generdo por ls ls de l mtri M c) L dimensión de espcio nulo de l mtri M. d) El máimo número de elementos de un conjunto L.I. formdo por soluciones del sistem M T X =. e) Un se pr el suespcio generdo por ls ls de l mtri M. f) Un se pr el espcio nulo de l mtri M. g) Un se pr el espcio column de l mtri M. h) Un se pr el espcio nulo iquierdo de l mtri M. ; 2

3 Ejercicio 5 8 Se H = ) Un se pr H. 2 R4 : + c = ) El vector de coordends del vector v = respecto l se descrit en el literl ). Encuentre ( + n c + cm) n + m con Solución con Mtl Solución de ejercicio : En primer lugr de nimos ls incógnits del prolem: Pr i 2 f; 2; 3; 4g se i el número de pquetes del fertlilinte de tipo i que se pueden producir con todo el mteril químico diponile. Teniendo en cuent el totl de kilogrmos disponiles de cd compuesto cculndo cd totl en términos de ls incógnits, se otiene el siguiente sistem de ecuciones: = = = 6 Pr determinr l solución generl de este sistem, relimos ls siguientes instrucciones: Formmos l mtri umentd del sistem: >> M=[ ] M = Llevmos l mtri umentd su form esclond reducid: >> rref(m) ns = 6 5-3

4 De donde podemos concluir que l solución generl del sistem plntedo es: = ; 4 2 R 4 4 Pero no tods ls soluciones del sitem son soluciones del prolem. Vemos cuáles son ls condiciones que el prolem impone sore ls incógnits: omo cd incógnit represent un número de pquetes, dee ser un número entero no negtivo, por lo tnto, = 4 Luego, 4 5 De donde se desprende que: 6; 2 5; 3 5 hor si tenemos en cuent que se requiere producir l menos 25 pquetes del fertilinte de tipo 2 l menos pquetes del fertilinte de tipo 4, tenemos ; de donde se deduce que 4 25: Luego ls posiles soluciones pr el prolem son ls siguientes: Producir 37 pquetes de fertilinte de tipo, 27 pquetes de fertilinte de tipo 2 pquetes de cd uno de los otros dos tipos. Producir 36 pquetes de fertilinte de tipo, 26 pquetes de fertilinte de tipo 2 24 pquetes de cd uno de los otros dos tipos. Producir 35 pquetes de fertilinte de tipo, 25 pquetes de cd uno de los otros tipos de fertilinte. Solución de los ejercicios 2-5 En primer lugr, genermos letorimente 6 números ; ; c; d; m; n; pr utilirlos en todos los ejercicios siguientes, medinte l función >> u= (*rnd(,6)) u = Nomrmos estos números sí: 4

5 >> =u(); =u(2); c=u(3); d=u(4); m=u(5); n=u(6); Solución de ejercicio 2: remos los vectores v ; v 2 ; v 3; v, v2, v3, v4 v5, sí: >> v=[ - c - d] v = >> v2=[-3* 3* -3*c 3* -3+d] v2 = >> v3=[ - c d ] v3 = >> v4=[ - d] v4 = - 4 >> v5=[-2* -c 2*+d -2*d] v5 = v 4 ; v 5 los nomrmos, repectivmente, ) El vector tl que v mv 2 + n = v 4 v 3 está ddo por = n (v 4 v 3 v + mv 2 ) podemos hllrlo, con Mtl, medinte l instrucción: >> formt rt >> (/n)*(*v4-*v3-*v+m*v2) ns = [ -27/7,, -2/7, 28/7, -4/7] 27=7 luego = 2=7 28=7 4=7 ) L proección de v 3 sore v está dd por v3:v v :v v l podemos clculr sí: >> (dot(v3,v)/dot(v,v))*v ns = [ 8/, -4/, 2/, -8/, 8/] Luego l proección de v 3 sore v es:

6 c) El ángulo entre los vectores v v 3 està ddo por cos v T v3 kv kkv 3k : Pr clculrlo, medido en grdos, procedemos sí: >> (8/pi)*cos(dot(v,v3)/(norm(v)*norm(v3))) ns = Luego, el ángulo entre v v 3 es de proimdmente 76:67 d) L distnci entre los vectores v v 5 está dd por kv v 5 k l podemos clculr medinte l instrucción: >> norm(v-v5) ns = 43.6 e) Pr determinr si lguno de los vectores v ; v 3 ; v 5 es un cominción linel de los otros dos es su ciente determinr si estos vectores son L.I., pr ello formmos l mtri cus columns son los vectores v ; v 3 ; v 5 sí: >> =trnspose([v;v3;v5]) = >> R=rref() R = -2 De donde podemos concluir que los vectores v ; v 3 ; v 5 son linelmente dependientes por lo tnto, l menos uno de ellos es un cominción linel de los otros dos. Pr epresr uno de estos vectores como comincón linel de los otros dos hllmos primero tods ls posiles cominciones lineles de los tres vectores que producen el vector cero luego vemos cuál ( o cuáles) de ellos se puede despejr. Pr tl n resolvemos el sistem homogéneo X = ; sí: De l mtri esclond reducid R, correspondiente l mtri se deduce que l solución generl del sistem X = es = t 2 ; t 2 R: Luego, ls posiles cominciones lineles de v ; v 3 ; v 5 que producen el vector cero de R 5 son 6

7 2tv tv 3 + tv 5 = ; pr cd t 2 R: Por lo tnto, v 5 se puede epresr de in nits mners como cominción linel de v v 3; podemos escriir, por ejemplo: v 5 = 2v + v 3 f) Pr hllr el suespcio generdo por los vectores v ; v 2 ; v 3 ; v 4 ; v 5 ; formmos l mtri M cus columns son los vectores ddos sí: >> M=trnspose([v; v2; v3; v4; v5]) M = Hllmos un se pr el espcio nulo iquierdo de M medinte l instrucción: >> null(trnspose(m)) ns = [ -5/4, 7/36] [ -57/8, 7/8] [, ] [, ] [ -/4, /4] Hllmos ls restricciones pr el espcio column teniendo en cuent que cd vector que es cominción linel de ls columns de M es ortogonl v cd un de los elementos de un se pr el espcio nulo iquierdo de M. Luego, = gen fv ; v 2 ; v 3 ; v 4 ; v 5 g R5 : v = ; v = v 7

8 h) Pr encontrr tods ls forms de epresr el vector h como cominción linel de los vectores v ; v 2 ; v 3 ; v 4 ; v 5 ; entrmos el vector h resolvemos el sistem M X = h; medinte ls instrucciones: >> h=[*m-3**n; 2**m+3**n; -2*c*m-3*c*n; -*m+3**n-3*d*m; -3**m+d*m-3*d*n] h = >> N=[M h] N = >> R2=rref(N) R2 = Por lo tnto, el conjunto solución del sistem X = h está ddo por = t ; ; t 2 R t Luego, ls diferentes forms de epresr el vector h como cominción linel de los vectores v ; v 2 ; v 3 ; v 4 ; v 5 están dds por: h = ( t)v + v 2 + ( 24 t)v 3 + v 4 + tv 5 ; ; t 2 R Solución de ejercicio 3: remos ls mtrices ; : 8

9 >> =[ -2* c -; 4* -8* 4*c 5*; -3* 6* -c -] = >> =[c -c 4*; -3*d c 5* -3*c; -c d] = >> =[- ; 2*c 3*; 5* -2*; - d] = ) L mtri X tl que T ( m + n) T + dx = está dd por X = d T ( m + n) T l podemos clculr medinte ls siguientes inctrucciones: >> formt rt >> H=-(/d)*trnspose() H = [ /2, -3, -45/4, /4] [ -/4, -27/4,, -] >> F=trnspose(-m*+n*) F = >> H*F ns = [ /4, -263/4, 47] [ -74, 57/2, -44/4] Luego, X = =4 263= =2 44=4 ) Pr determinr si l mtri T es invertile, es su ciente con conocer su rngo pr ésto utilimos l instrucciòn:

10 >> rnk(*(trnspose())) ns = 3 omo l mtri T es de orden 3 tiene rngo igul 3, entonces dich mtri sí es invertile. Pr clculr su invers ejecutmos l instrucción: >> inv(*trnspose()) ns = Luego, T = Veri cción: >> ns**trnspose() ns = Solución de ejercicio 4: :2 :34 :2 :34 : :28 :2 :28 :5 remos l mtri M medinte l siguiente instrucción: >> M=[ - - ; -c - -2*c - ; m*-n*c m*-n* -m*- 2*n*c -m*-n* m*+n*; d*-m*c d*-m* -*d-2*m*c -*d-*m *d+m*] M = ) El suespcio S de R 5 formdo por tods ls soluciones del sistem homogéneo MX = ; podemos hllrlo sí: >> formt rt >> rref(m) ns = [,, -35/, -2/, 85/6] [,, 54/, 3/, -24/] [,,,, ]

11 [,,,, ] Luego, 8 S = 8 = t t 2 R5 35 : 2 R5 : t 2 = t = ; t = t ) L dimensión de espcio generdo por ls ls de l mtri M; es igul l rngo de M; el cul podemos leer de l mtri esclond hlld en el literl ) es igul 2: c) L dimensión de espcio nulo de l mtri M es el # de columns de M menos el rngo de M;sí que dich dimensión es 3. d) El máimo número de elementos de un conjunto L.I. formdo por soluciones del sistem M T X = es l dimensión del espcio nulo iquierdo de M; l cul es igul l número de ls de M menos el rngo de M; luego, dicho número es 2. e) Un se pr el suespcio generdo por ls ls de l mtri M es el conjunto formdo por los vectores que precen como ls ls no nuls de l mtri esclond reducid de M. Es se es: ; f) Un se pr el espcio nulo de l mtri M; se otiene de l solución generl del sistem homogéneo MX = ; descrit en ). Es se es: ; ; g) Un se pr el espcio column de l mtri M; es el conjunto formdo por ls columns de M correspondientes columns con un principl en l form esclond reducid. Es decir, el conjunto:

12 ; h) Un se pr el espcio nulo iquierdo de l mtri M; lo otenemos resolviendo el sistem M T X = ; medinte ls siguientes instrucciones: >> N=trnspose(M) N = >> U=rref(N) U = De donde se deduce que l solución generl del sistem M T X = está dd por: = = ; ; 2 R Luego, un se pr el espcio nulo iquierdo de M es: ; 8 Solución de ejercicio 5: 8 H = 2 R4 : + c = 2

13 ) Pr hllr un se pr H, resolvemos l ecución + c = : Y que 6= teniendo en cuent que ; ; son vriles lires, despejndo se otiene: = + c Luego = 2 H si sólo si + c = + c + Luego, un se pr H es 8 = ; c ; 8 = ) El vector de coordends del vector v = 2 ; respecto l se hlld en ) está ddo por [v] = v = + 2 c ; ( + n c + cm) n + m 2 3 si sólo si con por lo tnto, lo podemos hllr resolviendo el siguiente sistem de ecuciones lineles: c 2 3 = ( + n c + cm) n + m 3

14 Pr ello procedemos con mtl como sigue: >>formt rt >> E=[-/ c/ ; ; ; ] E = [ -2/, 2/3, ] [,, ] [,, ] [,, ] >> v=[(-/)*(-c+*n+c*m); n+; -m; ] v = -56/ 7-7 hor hllmos l únic solución del sistem, medinte l instruccióm: >> Env ns = 7-7 Luego, el vector de coordends del vector v con respecto l se hlld 7 en ) es [v] = 7 Veri cción: >>formt rt >> 7*[-2/ ]-7*[2/3 ]+*[ ] ns = [ -56/, 7, -7, ] Es decir, =