TEMA 6. INTEGRALES INDEFINIDAS
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- Blanca Campos Jiménez
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1 TEM. INTEGRLES INDEFINIDS. Dfinición d Ingrl. Primiiv d un función.. Propidds d ls ingrls.. Ingrls inmdis. Méodos d ingrción.. Obnción d ingrls inmdis.. Cmbio d vribl.. Por prs.. Funcions rcionls
2 Cono con l P..U. En csi odos los ámns d l PU n un opción, incluso vcs n ls, ndrmos qu rlizr un ingrl, bin s indfinid o bin dfinid pr clculr un ár. L ingrción prc como un cusión d puno o un prdo dl problm d funcions. Pr l cálculo d árs y l d ingrls dfinids qu vrmos n l siguin m s ncsrio l cálculo ns d ingrls indfinids. Por lo gnrl si nos pidn clculr un ár l ingrl clculr srá más sncill qu si nos pidn clculr dircmn l ingrl indfinid. Por lo gnrl l lumno l rlizción d ingrls l rsul cososo l principio. Pro un vz qu l lumno mpic cogr solur y rlizr los jrcicios, comprndrá l méodo d ingrción plicr y no l rsulrá csivmn complicdo puns d Mmáics II ºBchillro pr prprr l mn d l PU LOE
3 . Dfinición d ingrl. Primiiv d un función. L ingrl s l oprción conrri d l drivd. sí si f noncs g s su drivd; d igul form l ingrl d g s f. drivd f ingrl g Dfinición: un función F s un primiiv d or función f dd, si l drivd d F s f: F primiiv d f F f El procso mdin l cul obnmos un primiiv d un función f s dnomin ingrción. sí como dd un función f su función drivd s únic, isn infinis primiivs d un función. Tods ls primiivs s difrncin por un consn. sí si F s un primiiv d f od función d l form GFK s mbién primiiv, y qu G Fk F f. Dfinición: l ingrl dfinid d un función f s l conjuno d ods ls primiivs d f, y s rprsn por: f d F C dond F s un primiiv d f y C s un consn consn d ingrción. El símbolo ingrl simpr v compñdo dl difrncil, d, qu nos indic sobr qu vribl s rliz l ingrl.. Propidds d l ingrl Vmos ls siguins propidds básics pr rlizr ls ingrls: P: l ingrl d un númro rl por un función s igul l númro por l ingrl d l función, s dcir ls consns s pudn scr fur d l ingrl: k f d k f d P.: L ingrl d l sum o difrnci d dos funcions s igul l sum o difrnci d ls ingrls d dichs funcions: g d f d f ± ± g d
4 . Ingrls inmdis l igul qu ls drivds nmos un bl d ingrls inmdis, s fácil d sudirls y qu s l plicción invrs l drivd. En s bl dmás d ls ingrls inmdis vrmos l primiiv compus, dond n vz d prcrá f y n vz d d prc f d. T B L D E I N T E G R L E S I N M E D I T S PRIMITIV SIMPLE PRIMITIV COMPUEST EJEMPLO d C sn f f f ' d C sn cos d C d C f f f ' d C d C f f d C ln f ' d C ln n n d C cos ln d ln C f ' d ln f C d ln C f sn d cos C sn f f ' d cos f C sn d cos C cosln cos d sn C cos f f ' d sn f C d snln C g f f d g f C g d g C g d g C d g C cos f ' d g f C d g C cos f cog d cog C cog f f ' dcog f C cos cog dcog C d co g C sn f ' sn f d co g f C cog dcog C d f ' d d rcsn C rcsn f C rcsnln C f ln d f d d rcg C rcg f C f rcg C puns d Mmáics II ºBchillro pr prprr l mn d l PU LOE
5 . Méodo d Ingrción.. Obnción d ingrls inmdis El méodo consis n dsrrollr ls funcions, inroducir fcors, o mnipulr ls funcions plicndo ls dos propidds d ls ingrls visos n l prdo pr obnr un ingrl inmdi fácilmn clculbl: Vmos lgunos jmplos: 7 d d C 7 sn 7 d 7 sn7 d cos7 C 7 7 ln d d C d d C g g d d g C sn sn g C lncos cos cos 7 sn d sn d cos C 8 d d d d d rcsn C rcsn C
6 9 d d d d rcg C d 0 d C. Cmbio d Vribl El méodo d cmbio vribl consis n susiuir l vribl por un función g g. D s form dg d. l rlizr s susiución l función solo db dpndr d, y l objivo s qu l función obnid s más sncill qu l originl. Un vz rlizd l ingrl n, s dshc l cmbio d vribl g -. Es méodo nos prmi rsolvr ingrls smjns ls clculds n l prdo nrior, pro d form más sismáic. Vmos lgunos jmplos: g g d d g d g C g C d d d d d d sn d sn d sn cos C cos C d dd d d d d d rcg C rcg C d d d d d d d ln C lnln C ln ln d d dd d puns d Mmáics II ºBchillro pr prprr l mn d l PU LOE
7 . Ingrl por Prs El méodo d ingrl por prs s bs n l uilizción d l siguin iguldd: u dv u v v du En l prácic s uiliz cundo n un ingrl g f d u dv, dond l función fddv y gu s cumpl:. f s fácil d ingrl pr obnr sí v f d F b. l drivr g, obnmos dug d cumpliéndos qu l ingrl v du F g' d s más sncill qu l originl. Mdin s méodo s clculn los siguins ipos d ingrls: Tipo : P d, llmndo uppolinomio y dv d s cumpl los rquisios:. L ingrl v d s inmdi b. dup bj un grdo l polinomio, con lo qu P' d s más sncill d clculr. Dbrmos rlizr l ingrl por prs ns vcs como l grdo d P hs qu qu mbién s inmdi l úlim ingrl rlizr s v du k d Ejmplo: d u dud dv - d v u dud dv - d v d d C 7 d 9 C Hcr por l lumno 7
8 Tipo : cumpl los rquisios:. L ingrl v P sn d o P cos d, llmndo up y dvsn s cos sn d o sn v cos d s inmdi sn b. dup d bj un grdo l polinomio, con lo qu P' d o cos P' d s más sncill d clculr qu l nrior. Dbrmos rlizr l ingrl por prs ns vcs como l grdo d P hs qu l úlim ingrl rlizr s v du k sn d o k cos d qu mbién s inmdi. Ejmplo: 7 sn d u dud cos dvsn v cos cos d cos sn C 9 8 cos d cos sn 8 lumno hcr por Tipo : sn b d o cos b, podmos llmr u y dvsnb. En s cso podmos llmr u y dv l rvés. S in qu hcr dos vcs l ingrción por prs, d form qu volvmos obnr l ingrl inicil. Dspjndo l ingrl obnmos l rsuldo d l mism. S llm sí vulgrmn l pscdill qu s murd l col. 9 I sn d u - du- - d cos dvsn v cos cos u - du- - d sn dvcos v d * 8 puns d Mmáics II ºBchillro pr prprr l mn d l PU LOE
9 cos sn * sn cos sn sn I cos sn I I cos sn I I sn d cos sn sn cos C 0 0 I cos d cos sn hcr por l lumno Tipo : P ln d, llmndo dvp y uln s cumpl los rquisios:. L ingrl v P d s inmdi ingrl d un polinomio b. du d con lo qu liminmos l logrimo d l ingrl y ndrmos qu clculr l ingrr d oro polinomio. Ejmplo: 7 ln uln du d 8 7 dv v ln- d 8 ln d ln 9 0 ln ln C hcr 7 por l lumno 9
10 0 puns d Mmáics II ºBchillro pr prprr l mn d l PU LOE. Ingrls rcionls El méodo d ingrls rcionls consis n dscomponr un frcción polinómic n frccions simpls cuys ingrls son o logrimos nprinos o rcongns. Ls ingrls qu dsmos rsolvr son dl ipo: I d Q P Cso : grdop grdoq hcmos l división d form qu ndrmos qu ingrl l cocin qu s un polinomio y obnmos or función rcionl pro dond hor grdop<grdoq y por no smos n l cso. Ejmplo: I d I d d d I d I d d d
11 Cso : grdop<grdoq. Disinguimos nr csos: El dnomindor s pud dscomponr por produco d fcors simpls disinos: Q- - - n d d P d Q P n n n Ejmplo: coninumos ls ingrl dl jmplo nrior: I d C B. Clculo d, B, C: C B C B -- - si 0: si -: B0 B0 - si -: -C- C I C C d d d ln ln ln I C d ln ln hcr por l lumno b El dnomindor s pud dscomponr por produco d fcors, lguno d llos no simpl: Q- n - - n d d P d Q P n n n n Ejmplo: 7 d I C B C B - C B
12 - si : B- B-/ - si -: C C/8 - si 0: 0-BC C B d d d I C ln ln I d ln ln C hcr por l lumno c El dnomindor s pud dscomponr por produco d fcors, lguno d llos s un fcor d sgundo grdo: Q- - bc P P C D d d... d Q... b c b c Ejmplo: 9 d C D - CD - si 0: si : -8CD CD - si -: -8C-D -C-D Rsolvindo l sism C, D C D d C D d d ln 0 d 8 d d d d puns d Mmáics II ºBchillro pr prprr l mn d l PU LOE
13 ln ln I ln d ln / d ln ln rcg C d rcg C rcg 0 d ln ln C I I B C BC- / 0 -C C-/ 9BC B-/ d d d I ln I d d d d d ln d I d d d d d d d I d d r co g r co g d ln ln r co g C
14 Problms Clculr ls ingrls d d C b d 7 7 / d ln C c d d ln C 8 d d 8 d d C ln d d / / d d C f sn cos d sn cos d sn cos d sn C 8 g d 9 d d 9 lndd d d ln d ln ln cg ln cg C puns d Mmáics II ºBchillro pr prprr l mn d l PU LOE
15 h d d d d d d d d C ln ln sn i cos d d cos -9sndd d 9sn sn sn d 9sn / / d d d cos 9 7 / cos C j rcg d rcg d rcg d rcg C ln u rcg du d dvd v k d u du8 dv - d v d d u du dv - d v d d d C C C sn cos l cos d C
16 puns d Mmáics II ºBchillro pr prprr l mn d l PU LOE Por l pscdill m d { C d d ln n d C B -BC B B - - C-8 C BC- C d d d d ln ln o d { d d d d B B- - / - - B/
17 / / d d d ln ln I ln ln C ln ln C p d rcsn C d d d d d d d rcsn ln ln q d C lnln r d ln d d d d lnln d d d d C ln ln ln ln ln lnln ln uln du d dvd v 7
18 PU Junio 00. Prub C-.- D ods ls primiivs d l función fg sc, hálls l qu ps por l puno Pπ/, sn sn F g sc d d d d cos cos cos C C cos cos sn d d d d sn d π Vmos l vlor d C pr qu ps por P,. Fπ/C C- F cos Oro méodo F g sc d sc cos d g d d d cos d cos π Vmos l vlor d C pr qu ps por P,. Fπ/C C0 F g No: Ls dos funcions son l mism, pus sc g g C Junio 00. Prub B C-.- Clcúls d d C d / C 8 puns d Mmáics II ºBchillro pr prprr l mn d l PU LOE
19 Junio 008. Prub- PR-- b Clculr ln ln ln d d ln u d du d dv v d ln d C Spimbr 00. Prub-B PR-.- b Dd l función f:[,] R dfinid por f/ln. Clcúls un función primiiv d f qu ps por l puno P,. F I ln d ln d ln u ln du d dv d v d d ln d ln I ln ln ln C Clculmos C : F-C C. F ln ln Spimbr 00. Prub-B C-.- Clcúls. d d d d rcg C rcg C d d d d 9
20 Spimbr 008 Prub- C-. Clculr d B B 0 d d ln ln C ln C B B Spimbr 008 Prub-B C-. Clculr d 9 d d d d rcsn C rcsn C 0 puns d Mmáics II ºBchillro pr prprr l mn d l PU LOE
Integrales 4.1. Tema 4. Integrales
Ingrls. Tm. Ingrls Si f() s un función conocid, l cálculo difrncil sudi l mnr d drminr or función f '() qu llmmos función drivd d f(). En l m nrior sudimos ls rgls d drivción, sí como lguns d sus pliccions.
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