Cálculo de primitivas

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1 Cálculo de primitivs Cmbio de vrible Cálculo de primitivs Utilizremos l notción f (x) pr denotr un primitiv de l función f. Además, busndo del lenguje, menudo hblremos de integrl de l función cundo deberímos decir primitiv de l función. Los métodos que vmos comentr son sólo unos pocos y brcn l myorí de ls funciones usules pero no debes olvidr que hy muchos más. Pero lo más importnte es mnejr con soltur ls derivds y ls primitivs de ls funciones elementles. En el Apéndice?? puedes encontrr un pr de tbls con lguns de ls derivds y primitivs usules.. Cmbio de vrible Medinte un cmbio de vrible es posible trnsformr l integrl en otr más sencill. Si hcemos y φ(x), dy φ (x), se tiene f (φ(x))φ (x) f (y) dy. Pr terminr sólo tenemos que deshcer el cmbio. Ejemplo.. Clculr e x +3e x +e. x e x + 3e x + e x y ex y + 3y dy e x + y + 3y y dy + y dy ( 3 5 ) dy + y 3y 5 log y + 3e x 5 log ( e x + ).. Integrción por prtes Si u y v son dos funciones, teniendo en cuent que (u v) u v + v u, obtenemos que u(x)v (x) u(x)v(x) v(x)u (x). Est fórmul prece escrit en muchs ocsiones de l form udv uv vdu El teorem especific con un poco más de rigurosidd ls condiciones necesris. y vu son integrbles en [, b] y b b u(x)v (x) u(b)v(b) u()v() v(x)u (x). Teorem.. Sen u, v: [, b] R funciones derivbles con derivd continu. Entonces uv Integrción por prtes

2 Integrción de funciones rcionles Cálculo de primitivs Ejemplo.3. Clculr x e x. [ ] x e x u x, du dv e x, v e x x e x e x x e x e x e x (x ). Ejemplo.. Clculr sen(x) e x. sen(x)e x u sen(x), du cos(x) sen(x)e x dv e x, v e x cos(x)e x u cos(x), du sen(x) dv e x, v e x sen(x)e x cos(x)e x sen(x)e x, con lo que despejndo tenemos sen(x)e x (sen(x)ex cos(x)e x )..3 Integrción de funciones rcionles Sen y Q(x) dos polinomios, y queremos clculr Q(x). Si el grdo de P es myor o igul que el de Q, podemos dividir los dos polinomios obteniendo G(x) H(x) + Q(x) Q(x), donde H(x) y G(x) son polinomios y el grdo de G es menor que el grdo de Q. Por tnto, supondremos siempre que el grdo de P es menor que el grdo de Q..3. Integrles del tipo (x+b) n P(y) El cmbio de vrible y x +b l trnsform en un integrl inmedit de l form y dy. n Ejemplo.5. 3x + 5x + (x ) 3 [ y x, dy ] 3y + y + 0 dy.3. Integrles del tipo 3 y 3 dy y + dy dy y + 0 y 3 3 log x x 5 (x ). 3(y + ) + 5(y + ) + y 3 dy Mx+N x +bx+c, donde el denomindor no tiene ríces reles Siempre se puede escribir x + bx + c (x d) + k, con lo que descomponemos nuestr integrl en dos: Mx + N x + bx + c Mx + N M(x d) + N + Md (x d) + k (x d) + k M(x d) (x d) + k + N + Md (x d) + k M log (x d) + k + (N + Md) (x d) + k

3 Cálculo de primitivs Integrción de funciones rcionles y l últim integrl es inmedit (del tipo rcotngente) si hcemos el cmbio de vrible y x d k. x+3 Ejemplo.6. Clculr x +x+. Como x + x + (x + ) +, hcemos el cmbio y x + x + 3 (y ) + 3 x + x + y y dy + y + dy + dy y + log(y + ) + rctn(y) log(x + x + ) + rctn(x + )..3.3 Ríces reles y/o complejs simples En este cso Q(x) (x )(x )... (x n )(x + b x + c )(x + b x + c )... (x + b m x + c m ). Lo que vmos hcer es descomponer de nuevo en frcciones más sencills de l siguiente mner: Q(x) A + A + + A n x x x n + B x + C x + B x + C B m x + C m + b x + c x + + b x + c x, + b m x + c m donde A, A,..., A n, B, B,..., C m son constntes determinr. Pr clculrls desrrollmos e igulmos los coeficientes del mismo grdo. Observción.7. Si el polinomio Q(x) sólo tiene ríces reles se pueden clculr ls constntes A,...,A n dndo l vrible x los vlores,..., n. Ejemplo.8. Cálculo de x : Como x (x )(x + )(x + ), l descomposición nos quedrí: x Si desrrollmos e igulmos coeficientes: A x + B x + + Cx + D x + x A(x + )(x + ) + B(x )(x + ) + (Cx + D)(x ) x (A + B + C)x 3 + (A B + D)x + (A + B C)x + (A B D) A + B + C 0 A / A B + D 0 B / A + B C 0 C 0 A B D D / Por tnto, x x x + x + log x log x + rctn(x)..3. Ríces reles múltiples En este cso el denomindor tiene l form Q(x) (x ) r (x ) r... (x n ) r n, y podemos descomponer l frcción Q(x) en frcciones simples 3

4 Integrción de funciones rcionles Cálculo de primitivs Q(x) A x + A (x ) + + A r (x ) r + B x + B (x ) + C rn (x n ) r n Cd un de ests frcciones pertenecen lguno de los csos y estudidos. Ejemplo.9. Clculr (x )(x+) 3 (x )(x + ) 3 A x + B x + + C (x + ) + D (x + ) 3 A(x + )3 + B(x )(x + ) + C(x )(x + ) + D(x ) (x )(x + ) 3 (x )(x + ) 3 Igulndo coeficientes: A + B 0 3A + B + C 0 3A B + D 0 A B C D A 8 B 8 C D. L integrl nos qued (x )(x + ) 3 8 x 8 x + (x + ) (x + ) 3 8 log x 8 log x + + (x + ) + (x + )..3.5 Ríces reles y complejs múltiples. Método de Hermite Pso El método que vmos estudir, conocido como Método de Hermite, consiste en descomponer Q(x) como sum de frcciones más simples de un form muy prticulr. Psos seguir: Descomponemos el denomindor, Q(x), como producto de fctores de grdo y fctores de grdo irreducibles: Q(x) (x ) α (x n ) α n (x + b x + c ) β (x + b m x + c m ) β m. Pso Pso 3 Escribimos el cociente Q(x) de l siguiente form: Q(x) A + + x ( + d A n x n + M x + N x + b x + c + + M mx + N m x + b m x + c m + F(x) (x ) α (x n ) α n (x + b x + c ) β (x + b m x + c m ) β m donde A,..., A n, M,..., M m, N,..., N m son coeficientes que tenemos que determinr, y en l frcción que prece con un derivd F(x) es un polinomio genérico de grdo uno menos que el denomindor. En resumen, se trt de escribir Q(x) como sum de frcciones simples, un por cd fctor, más l derivd de un cociente que tiene por denomindor lo que qued de Q(x). Cómo determinmos todos los coeficientes? Bst efectur l derivd, reducir tods ls frcciones común denomindor (que será Q(x)), e igulr l numerdor resultnte. Esto nos producirá un sistem de ecuciones cuy resolución nos drá el vlor de todos los coeficientes. Un vez escrit l función rcionl Q(x) de l form nterior, es fácil clculr su integrl: Q(x) A x + + M x + N x + b x + c + F(x) + (x ) α (x n ) αn (x + b x + c ) β (x + b m x + c m ) β m )

5 Cálculo de primitivs Integrción de funciones trigonométrics Ejemplo.0. Cálculo de x (x +9). x (x + 9) Mx + N x d ( ) x + b x + 9 (Mx + N)(x + 9) (x + 9) + (x + 9) x(x + b) (x + 9) Mx3 + (N )x + (9M b)x + (9 + 9N) (x + 9) Igulndo los numerdores coeficiente coeficiente, obtenemos el sistem de ecuciones: M 0 { + N M 0 b 0 b + 9M 0 N / / 9 + 9N 0 De est form se tiene x (x + 9) x x x + 9, y l últim integrl vle x + 9 /9 ( ) x ( x 3 rctn ). En resumen, Ejemplo.. Clculr x (x + 9) x (x + 9) + ( ) x 6 rctn. 3 x x 3 (x +). x x 3 (x + ) A x + Mx + N x + + d ( ) x 3 + bx + cx + d x (x. + ) Relizndo l derivd y reduciendo común denomindor, obtenemos un sistem de ecuciones cuy solución es 0, b 5/, c 0, d, A 5, M 5 y N 0; por lo tnto x x 3 (x + ) (5/)x + x (x + ) + 5 log(x) 5 log(x + ).. Integrción de funciones trigonométrics.. Integrles de l form sen(x) cos(bx), sen(x) sen(bx), cos(x) cos(bx) Se resuelven usndo ls identiddes sen(x) sen(y) [cos(x y) cos(x + y)], cos(x) cos(y) [cos(x y) + cos(x + y)], sen(x) cos(y) [sen(x + y) + sen(x y)]. 5

6 Integrción de funciones trigonométrics Cálculo de primitivs Ejemplo.. sen(3x) cos(x) sen(5x) + sen(x) 0 cos(5x) cos(x)... Integrles de l form tn n (x), cotn n (x) Se reducen un con grdo inferior seprndo tn (x) o cotn (x) y sustituyéndolo por sec (x) y cosec (x). Ejemplo.3. Clculr tn 5 (x). ( ) tn 5 (x) tn 3 (x) tn (x) tn 3 (x) sec (x) tn 3 (x) sec (x) tn 3 (x). Acbmos por seprdo cd integrl: tn 3 (x) sec (x) tn (x) (utilizndo el cmbio y tn(x)) tn 3 (x) tn(x) tn (x) tn(x)(sec (x) ) tn(x) sec (x) tn(x) tn (x) + log cos(x)...3 Integrles de l form sen m (x) cos n (x), con n o m enteros impres Se trnsformn en un integrl rcionl con el cmbio y cos(x) (si m es impr) o y sen(x) (si n es impr). Ejemplo.. Clculr cos 3 (x) sen (x). cos 3 (x) ( sen (x)) cos(x) sen (x) sen (x) y y sen(x) sen(x). y sen(x) y dy cos(x) y dy.. Integrles de l form sen m (x) cos n (x), con n y m enteros pres Se resuelven usndo ls identiddes cos (x) ( + cos(x)), y sen (x) ( cos(x)). Ejemplo.5. Clculr cos (x). + cos(x) cos(x) cos (x) + x + sen(x)...5 Integrles de l form R (sen(x), cos(x)), R un función rcionl pr. Diremos que R es un función rcionl pr si R(sen(x), cos(x)) R( sen(x), cos(x)). Se resuelven utilizndo el cmbio y tn(x) 6

7 Cálculo de primitivs Integrción de funciones hiperbólics Ejemplo.6. Clculr sen 3 (x) cos 5 (x) sen 3 (x) cos 5 (x) y tn(x) ( + y ) 3 dy sec x y 3 dy cotn (x) + 3 log tn(x) + 3 tn (x) + tn (x)...6 Integrles de l form R (sen(x), cos(x)), R un función rcionl Se trt de clculr primitivs de funciones rcionles en sen(x) y cos(x), es decir, funciones que sen( cociente ) de dos polinomios en sen(x) y cos(x). En generl, se hce el cmbio de vrible t tn x, con lo que sen(x) t +t, cos(x) t +t, y dt +t. Con este cmbio convertimos l integrl en l integrl de un función rcionl, que y hemos estudido. Ejemplo.7. Clculr sen(x) tn(x) sen(x) tn(x) [ cos(x) sen(x) cos(x) sen(x) tn t + log t tn ( x ) + log tn ( ) ] x t t t 3 ( ) x. dt.5 Integrción de funciones hiperbólics.5. Integrles de l form R (senh(x), cosh(x)), R un función rcionl Se trt de clculr primitivs de funciones rcionles en senh(x) y cosh(x), es decir, funciones que sen cociente de dos polinomios en senh(x) y cosh(x). En generl, se hce el cmbio de vrible e x t, con lo que l integrl en un rcionl, que y hemos estudido. Ejemplo.8. Clculr + senh(x)+3 cosh(x) + senh(x) + 3 cosh(x) + 5 ex + ex t e x dt/t dt 5t + t + ( ) 5 t + rctn ( ) 5t rctn ( 5 e x ) rctn + rctn ( 5e x En lgunos csos, utilizr un método similr l que usmos pr clculr primitivs de funciones trigonométrics puede simplificr los cálculos. El siguiente método es un ejemplo de ello. ). 7

8 Integrción de funciones irrcionles Cálculo de primitivs.5. Integrles de l form senh(x) cosh(bx), senh(x) senh(bx) o cosh(x) cosh(bx) Se resuelven usndo ls identiddes senh(x) senh(y) ( ) cosh(x + y) senh(x y) cosh(x) cosh(y) ( ) cosh(x + y) + senh(x y) senh(x) cosh(y) ( ) senh(x + y) + senh(x y). Ejemplo.9. senh(3x) cosh(x) senh(x) + senh(x) 8 cosh(x) cosh(x)..6 Integrción de funciones irrcionles (.6. Integrles de l form R x, ( ) p x+b cx+d q, ( x+b cx+d ) ( ) pn q,..., x+b qn cx+d ) p Se resuelven utilizndo el cmbio de vrible y q x+b cx+d, donde q es el mínimo común múltiplo de q, q,..., q n. Ejemplo.0. Clculr Hciendo el cmbio x y 6, x + 3 x.6. Integrles de l form x+ 3 x 6y 5 y 3 + y dy 6 y 3 y + dy y 3 3y + y log y + x 3 3 x + 6 x log 6 x +. R (x, ) x Se trnsformn en un integrl trigonométric con el cmbio x sen(t) o x cos(t). Tmbién se puede relizr el cmbio x tnh(t) y se trnsform en un integrl hiperbólic. Ejemplo.. Cálculo de x x : Hcemos el cmbio x sen(t), con lo que cos(t)dt y x sen (t) cos(t). Sustituyendo: x ( cos(t))( cos(t)) x sen (t) dt cotn (t) dt (cosec (t) ) dt cotn(t) t usndo que cotn(t) cos(t) sen(t) x x, se tiene que x ( ) x rcsen. x 8

9 Cálculo de primitivs Aplicciones de l integrl.6.3 Integrles de l form R (x, ) + x Se trnsformn en un integrl trigonométric usndo el cmbio x tn(t). Tmbién se pueden resolver utilizndo el cmbio x senh(t). Ejemplo.. Clculr x +x. Hcemos el cmbio x tn(t), sec (t)dt, x + x sec ( ) (t) tn(t) sec(t) dt dt sen(t) log t cos + log Ejemplo.3. Clculr x +x. sen ( ) t. Hcemos el cmbio x senh(t), x senh (t) dt (cosh(t) ) dt + x senh(t) t..6. Integrles de l form R (x, ) x Se resuelven utilizndo los cmbios x sec(t) o x cosh(t). Ejemplo.. Clculr x. x tn(t) sen(t) sen cos (t) dt (t) cos 3 (t) dt, que se resuelve plicndo los métodos y vistos. Tmbién podrímos hber utilizdo el cmbio x cosh(t) y, en ese cso, se tiene que x senh cosh(t) (t) dt.6.5 Integrles de l form ( R x, ) x + bx + c dt... x x rccosh(x) Se reducen uno de los csos nteriores completndo cudrdos, esto es, escribiendo x + bx + c de l form (x + α) + β. Ejemplo.5. Clculr. 8x x Trnsformmos el integrndo: ( ( ) ) x 8x x (x 8x + 6) + 6 (x ) y hcemos el cmbio de vrible y (x )/: y (x )/ 8x x ( ( ) ) 6 x dy / ( ) dy dy x rcsen(y) rcsen. y y..7 Aplicciones de l integrl 9

10 Cálculo de áres Cálculo de primitivs.8 Cálculo de áres El áre entre dos funciones f, g: [, b] R se define como b Áre f (x) g(x). Hst hor no hemos visto ningún metodo que nos permit clculr primitivs en ls que precen vlores bsolutos. Por eso, ntes de comenzr integrr, es necesrio estudir cuánto vle f g o, dicho de otr form, verigur cuál de ls dos funciones es l myor. Ejemplo.6. undefined Clculr el áre entre l función f (x) x(x )(x ) y el eje OX en el intervlo [0, 3]. Dividimos en intervlos donde sepmos el signo de l función e integrmos: 3 f (x) f (x) + f (x) + f (x) x(x )(x ) 3 + x(x )(x ) x(x )(x ).9 Longitudes de curvs Se f un función derivble con derivd continu en el intervlo [, b]. L longitud del rco de l curv y f (x) entre x y x b es b longitud + f (x). Ejemplo.7. Clculr l longitud de un circunferenci de rdio. L ecución de un circunferenci de rdio es x + y. Podemos despejr y en l prte positiv: y f (x) x con x [, ]. Así, l longitud de medi circunferenci será: [ ] l + f (x) rcsen(x) π x + π π..0 Áre de sólidos de revolución Se f : [, b] R un función derivble con derivd continu en [, b]. Entonces el áre de l superficie generd hciendo girr lrededor del eje OX el rco de curv y f (x) en [, b] es b Superficie π f (x) + f (x). Ejemplo.8. Clculr l superficie de un esfer de rdio. Podemos generr un esfer girndo respecto del eje OX l curv del ejemplo nterior y f (x) x x [, ] De est form, l superficie será: 0

11 Cálculo de primitivs Volúmenes de sólidos de revolución x S π f (x) + f (x) π π π π. x. Volúmenes de sólidos de revolución Se f : [, b] R un función continu. El volumen del sólido generdo l girr el áre bjo l curv y f (x) respecto del eje OX es b V OX π f (x) y el volumen del sólido generdo l girr dich áre respecto l eje OY es b V OY π xf (x). En este segundo cso, l función f tiene que ser positiv. undefined Figur. Volumen l girr respecto l eje OX Ejemplo.9. Clculr el volumen de un esfer de rdio. Podemos generr un esfer rotndo respecto del eje OX el áre bjo l curv y f (x) x x [, ] Con ello, el volumen será V π π f (x) π ( x ) π (( 3 ) ( + 3 ) ) π 3. [ x x3 3 ]

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