LECCIÓN 5: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN DE VARIABLES SEPARABLES

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1 96 LECCIÓN 5: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN DE VARIABLES SEPARABLES JUSTIFICACIÓN: En sta Lcción s cntrará la atnción n l studio d aqullas cuacions difrncials ordinarias d primr ordn las cuals pudn transformars n cuacions difrncials ordinarias d primr ordn d variabls sparadas, mdiant la aplicación d opracions lmntals ntr sus términos o por mdio d algún cambio d variabl. En stos casos s dirá qu las cuacions dadas son cuacions difrncials ordinarias d primr ordn d variabls sparabls. Estudiarmos trs casos: Caso: La cuación difrncial tin la forma P () d + Q () d = 0 Caso : La cuación difrncial tin la forma P () Q () d + P () Q () d = 0 Caso 3: La cuación difrncial tin la forma F (.) d + G (.) d = 0 OBJETIVOS: El studiant podrá: - Idntificar si la cuación difrncial dada s una cuación difrncial ordinaria d primr ordn d variabls sparabls.

2 97 - Transformar la cuación difrncial dada n una cuación difrncial d variabls sparadas. 3- Obtnr la solución gnral d una cuación difrncial ordinaria d primr ordn d variabls sparabls. PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE En la Lcción 4 qué studiamos? Estudiamos las cuacions difrncials ordinarias d primr ordn d variabls sparadas. Cuál s la caractrística sncial d st tipo d cuación difrncial? S caractrizan por tnr la forma P () d + Q () d = 0 Mu bin. Podrían darm algún jmplo d cuación difrncial ordinaria d primr ordn d variabl sparada? Por jmplo: - d + d = 0-3 d + d = 0 Corrcto. Qué pasos sguimos para obtnr la solución gnral?

3 98 Intgramos cada término d la cuación difrncial. Sumamos solo una constant arbitraria n los casos n los cuals fu posibl dspjamos la variabl dpndint, para dar la solución n forma plícita. Eactamnt. Si o ls pidira la solución gnral d la cuación difrncial dl jmplo qu acabamos d anotar qué obtnmos? Si tomamos la cuación difrncial 3 d + d = 0 intgrando s obtin d d 3 C Al rsolvr las intgrals, las cuals son inmdiatas rsulta C Ya qu d aquí s pud dspjar "" s tndrá ntoncs qu la solución gnral d la cuación difrncial 3 d + d = 0 s = k 8 Corrcto. En sta Lcción s studiarán trs casos d cuacions difrncials, las cuals mdiant la aplicación d cirtas opracions fundamntals o cirtos cambios d variabl s pudn transformar n cuacions difrncials d variabls sparadas. A st nuvo tipo d cuación difrncial s ls dnomina cuacions difrncials ordinarias d primr ordn d variabls sparabls.

4 99 Ecuacions difrncials ordinarias d primr ordn d variabls sparabls: Caso : Ecuacions difrncials d la forma Q () d + P () d = 0 Considrmos la cuación difrncial d + d = 0 s sta una cuación difrncial d variabls sparadas? No. Podrían dcirm por qué? Porqu la difrncial d stá multiplicada por una función qu dpnd d la variabl "", la difrncial d stá multiplicada por una función qu dpnd d la variabl "". Eactamnt. Obsrvn la cuación difrncial. Qué opración o qué opracions sugirn s fctún n la cuación difrncial a fin d transformarla n una cuación difrncial d variabls sparadas? S db multiplicar la cuación difrncial dada por l factor ; así la cuación s transforma n la cuación difrncial d d 0 n la cual las variabls stán sparadas. Corrcto. Ya qu las variabls stán sparadas qué s db hacr ahora? Ahora s db intgrar d d k

5 00 Mu bin Qué tipo d intgrals son stas? Son intgrals inmdiatas. Rsolviéndolas s obtin d ln, d ln Eacto. Cómo quda la solución gnral? La solución gnral quda ln + ln = K, o quivalntmnt ln = K Srá posibl dspjar ""? Sí. Dspjando "" rsulta = C Mu bin. Vamos otro jmplo. Considrmos la cuación difrncial ( + ) d - 3 d = 0 Es una cuación difrncial ordinaria d primr ordn d variabls sparadas? No. Por qué? Porqu la función qu multiplica a la difrncial d dpnd d la variabl mintras qu la función qu multiplica a la difrncial d dpnd d la variabl.

6 0 variabls? Eactamnt. Qué sugirn ntoncs qu hagamos para sparar las Dbmos multiplicar la cuación por l factor 3 ( ) Corrcto. Qué obtnmos al multiplicar la cuación difrncial dada por s factor? Obtnmos d d 0 3 Eacto. Obsrvn qu ahora las variabls si stán sparadas. Cuál s l siguint paso? El siguint paso consist n intgrar cada término d la cuación difrncial d d 0 d lo cual s obtin: 3 3 d d K Cómo rsulvn stas intgrals? Estas intgrals son inmdiatas d ; d ln 3 Cómo quda la solución gnral?

7 0 La solución gnral quda ln K S pud dspjar la variabl "" d st rsultado? Sí. Al dspjar la variabl "" rsulta qu la solución gnral s C Mu bin. Obsrvmos nuvamnt las dos cuacions difrncials qu acabamos d rsolvr d + d = 0 ( + ) d + (- 3 ) d = 0 Qué caractrística común tinn stas dos cuacions, n cuanto a su forma? Ambas stán scritas como una función qu dpnd d la variabl "" por la difrncial d más una función qu dpnd d la variabl "" por la difrncial d. Corrcto. Eso podríamos scribirlo n forma gnral dicindo qu sas cuacions difrncials tinn la forma Q () d + P () d = 0 Por qué factor multiplicamos cada función a fin d sparar las variabls? Multiplicamos cada cuación difrncial por un factor igual al invrso dl producto ntr la función qu multiplica la difrncial d con la función qu multiplica la difrncial d

8 03 Eactamnt. Podmos ntoncs scribir qu l factor por l cual multiplicamos las cuacions difrncials para sparar las variabls tin la forma P () Q () Abran sus guías n la página 0 lamos la información qu allí aparc. CASO : ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA FORMA Q () d + P () d = 0 Una cuación difrncial d la forma Q () d + P () d = 0 s dic qu s una cuación difrncial ordinaria d primr ordn d variabls sparabls. Para transformar dicha cuación difrncial n una d variabls sparadas basta con multiplicar la cuación dada por l factor, obtnindo P() Q() P() d Q() d 0 Rsulvan l Problma qu aparc n la página 0 d sus guías. Tinn trs minutos. Trabajn n forma individual. PROBLEMA : Obtnga la solución gnral d la cuación difrncial ( - ) d + ( - - 3) d = 0 Rvismos como rsolviron l Problma.

9 04 Cuál s l factor por l cual dbmos multiplicar la cuación difrncial dada para transformarla n una cuación difrncial d variabls sparadas? El factor por l cual dbmos multiplicar la cuación difrncial dada s ( ) ( 3) s factor? Mu bin. Cómo quda ntoncs la cuación difrncial al multiplicarla por La cuación difrncial quda d 3 d 0 Corrcto. Ya stán sparadas las variabls. Qué dbn hacr ahora? Ahora lo qu tnmos qu hacr s intgrar d 3 d K Por cual método d intgración s rsulv d? 3 Para rsolvr sa intgral ha qu aplicar fraccions simpls Eacto. Si s factoriza l polinómio cómo quda? Al factorizar l polinómio quda ( - 3) ( + )

10 05 Qué dbn hacr ahora? Lo qu s db hacr s scribir la fracción A B A ( ) B ( 3) (A B) (A 3B) 3 3 ( 3) ( ) ( 3) ( ) Mu bin. Si comparas los polinomios qu aparcn n los numradors d las dos fraccions a los trmos d sta cadna d igualdads qué rsulta? Rsulta l sistma d cuacions A B 0 A 3B Eactamnt. Al rsolvr l sistma d cuacions qué valors tinn las constants A B? Los valors d las constants son A = B = 5 5 Qué hacn con stos valors qu obtuviron d las constants A B? A B Estos valors los sustituimos n 3 3 ntoncs qu d d d rsulta Ambas intgrals son inmdiatas, por lo cual d 3 ln 5 3 ln 5 ln 3 5

11 06 Corrcto. Ahora db rsolvrs la otra intgral. Por cuál método d intgración rsolvmos la intgral d? Esta intgral s rsulv por sustitución trigonométrica. Eacto. Cuál s l cambio trigonométrico qu s aplica n st caso? En st caso l cambio trigonométrico qu corrspond s = sc d = sc tg d Qué rsulta al hacr l cambio trigonométrico? Al hacr l cambio trigonométrico rsulta qu d sc tg = sc tg d d sc tg = sc d d ln cosc cot g tg sn = ln = 4 ln Ahora qu a stán rsultas las dos intgrals Cuál s ntoncs la solución gnral d la cuación difrncial ( - ) d + ( - - 3) d = 0? La solución gnral d la cuación difrncial plantada s

12 07 ln 3 5 ln 4 K solución? Si s aplican las propidads dl logaritmo Cómo quda simplificada la La solución quda ln ( ) 5 ( 3) 5 ( ( ) ) 4 4 K o quivalntmnt ( ) ( ) K ( 3) ( ) 4 Es posibl dspjar la variabl? implícita. No. En st jrcicio no s posibl. La función solución quda n forma Mu bin. El Problma ls quda como asignación a fin d qu consolidn los aspctos tratados hasta st momnto. PROBLEMA : Obtnga la solución gnral d cada una d las siguints cuacions difrncials ordinarias d primr ordn d variabls sparabls d la forma Q () d + P () d = 0 - ( - ) d + (4 - ) d = 0 - d - d = 0

13 08 3- cotg d + d = 0 4- tg d + ( - ) d = 0 5- cotg d + ( + - ) d = 0 6- ( + ) d - ( + ) d = 0 7- sc d + cosc d = 0 8- ( + ) - d + ( + ) 3 - d = 0 9- ( + ) d - ( + ) d = 0 0- d - 4 ( + ) d = d d Caso : Ecuacions difrncials d la forma P () Q () d + P () Q () d = 0 Considrmos ahora la siguint cuación difrncial 4 d + ( + ) -3 d = 0 Es sta una cuación difrncial d variabls sparadas, s dcir tin la forma P () d + Q () d = 0? No. Por qué? Porqu la función qu multiplica a la difrncial d no dpnd solo d la variabl ""; d igual forma la función qu multiplica a la difrncial d no dpnd solo d la variabl "".

14 09 Es sta una cuación difrncial d variabls sparabls d la forma Q () d + P () d = 0? No. Por qué? Porqu la función qu multiplica a la difrncial d no dpnd solo d la variabls ""; d igual forma la función qu multiplica a la difrncial d no dpnd solo d la variabl "". Podrían ustds dtrminar algún factor por l cual multiplicar la cuación d sta forma sparar las variabls? Sí. Multiplicando la cuación difrncial por l factor las variabls qudan sparadas. Mu bin. Cómo quda ntoncs transformada la cuación difrncial? La cuación difrncial s transforma n 3 d + 4 d = 0 Ahora qu a stán sparadas las variabls qué db hacrs a continuación? Lo qu db hacrs s intgrar cada término

15 0 3 d d 4 K 3 Por qué método d intgración s rsulv la intgral d? Esta intgral s rsulv por l método d intgración por parts Mu bin. Cómo hacn para aplicar l método? Hacmos u 3 dv d du d v 3 3 d dond s tin qu 3 d d (3 ) Mu bin. Ahora cómo s rsulv la intgral d? 4 S spara n dos intgrals qu son inmdiatas d 4 = d d Quién s ntoncs la solución gnral d la cuación difrncial dada? La solución gnral s:

16 3 9 (3 ) 3 3 C Corrcto. Analicmos otro jmplo. sn d + ( - ) cos d = 0 Es sta una cuación difrncial d variabls sparadas? No, a qu las funcions qu multiplican a las difrncials d d dpndn tanto d la variabl "" como d la variabl "". Eacto. Podmos consguir algún factor por l cual multiplicar la cuación difrncial d tal forma qu las variabls qudn sparadas? Si multiplicamos la cuación difrncial por l factor las variabls cos qudarán sparadas. Mu bin. Cómo s transforma ntoncs la cuación difrncial al multiplicarla por? cos La cuación difrncial quda sn cos d d 0 Ahora qu a stán sparadas las variabls qué dbn hacr?

17 S db intgrar cada término d la cuación difrncial sn cos d d K sn Qué método d intgración dbn utilizar para rsolvr d? cos Usamos la intgración d funcions trigonométricas aplicando la idntidad trigonométrica sn = cos sn. Así, la intgral s transforma n una intgral inmdiata. sn cos d sn cos d cos sn d cos Mu bin. Qué método usamos para rsolvr d? Sparamos n difrncia d cocints intgramos cada cocint d d d d d Es para todos claro qu d s inmdiata d = Cómo rsulvn d?

18 3 S rsulv usando l método d intgración por parts Eacto. Rsolvámosla. d u du d dv v d d ( ) Cuál s ntoncs la solución gnral d la cuación difrncial plantada? s La solución gnral d la cuación difrncial sn d + ( - ) cos d = 0 - cos (+) = C S pud dspjar la variabl ""d sta solución? No Por qué? Porqu la variabl "" aparc n un polinomio, pro también aparc como argumnto d la función ponncial. Corrcto. Obsrvmos nuvamnt las dos cuacions qu acabamos d rsolvr: 4 d + ( + ) -3 d = 0 sn d + ( - ) cos d = 0

19 4 Qué caractrística común, n cuanto a la forma n qu stán scritas, pud obsrvars n ambas cuacions difrncials? Tanto la difrncial d como la difrncial "d" stán multiplicadas por l producto d dos funcions, una qu dpnd sólo d la variabl "" otra qu dpnd sólo d la variabl "". Eacto. Podríamos dcir ntoncs qu n gnral ambas cuacions difrncials tinn la forma P () Q () d + P () Q () d = 0 Qué fu lo qu hiciron n ambos casos para sparar las variabls? Multiplicamos la cuación difrncial por un factor igual al invrso dl producto ntr la función Q () la función P (), s dcir, s multiplica la cuación difrncial por l factor Q () P () Corrcto. Abran ahora sus guías n la página lamos la información qu allí aparc acrca dl Caso CASO : ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA FORMA P () Q () d + P () Q () d = 0 Una cuación difrncial d la forma P () Q () d + P () Q () d = 0 s una cuación difrncial ordinaria d primr ordn d variabls sparabls. Para transformar dicha cuación difrncial n una d variabls sparadas

20 5 basta con multiplicar por l factor P () Q () obtnindo P () Q() d d P () Q () 0 Rsulvan l Problma 3 qu aparc n la página d sus guías. Trabajn n forma individual. Disponn d 5 minutos para llo. PROBLEMA 3: Obtnga la solución gnral d la cuación difrncial (4 + ) d - ( + ) d = 0 Rvismos qu procdiminto siguiron para rsolvr l Problma 3 Cómo hacn para scribir la cuación difrncial d la forma P () Q () d + P () Q () d = 0? Dbmos sacar "" factor común n la función qu multiplica a d sacar "" factor común n la función qu multiplica a d Corrcto. Cómo quda ntoncs scrita la cuación difrncial? La cuación difrncial quda d la forma (4 + )d - ( + )d = 0 Qué dbn hacr ahora para sparar las variabls?

21 6 Dbmos multiplicar la cuación difrncial por l factor producto Eactamnt. Escribamos como quda la cuación difrncial al fctuar l 4 d d 0 Ahora qu a stán sparadas las variabls qué dbn hacr? S db intgrar 4 d d C Cómo hacn para rsolvr las intgrals? Cada una d llas s spara n dos intgrals, las cuals rsultan sr intgrals inmdiatas. Mu bin, rsolvamos las intgrals 4 d 4 d d 4ln d d d ln Cuál s ntoncs la solución gnral d la cuación difrncial? La solución gnral d la cuación difrncial (4+ )d - (+ )d = 0 s

22 7 4 ln+ - ln - = C S pud dspjar "" No S podrá simplificar la solución Sí. Si s aplican las propidads dl logaritmo s tndrá ln 4 C Si ahora aplican "" a ambos lados d la última igualdad, Qué obtinn? S obtin 4 K hasta ahora El Problma 4 ls quda como asignación, a fin d qu consolidn lo tratado PROBLEMA 4: Obtnga la solución gnral d cada una d las siguints cuacions difrncials ordinarias d primr ordn d variabls sparabls d la forma P () Q () d + P () Q () d = 0

23 8 - ( + ) d + (3 + ) d = 0 - d + ( ) d = 0 3- d - (8 + 3) d = 0 4- r (3 + cos) dr - sn ( + r ) d = 0 5- (+) d + (-) d = 0 6- d + ( + ) d = 0 7- ( 4 + ) d + ( 3 + ) d = 0 8- ( ) d - d = 0 9- ( ) d - ( ) d = 0 0- ( ) d - ( ) d = 0 - ( ) d + d = 0 - ( + ) d - ( + ) d = 0 3- sc tg d + (sc + ) d = 0 Caso 3: Ecuacions difrncials d la forma P(.) d + Q(.) d = 0 Obsrvn las siguints funcions: A) F(,) = - B) G(,) = + C) H(,) = - + D) I(,) = - E) J(,) = + F) K(,) = - Qué caractrística común obsrvan n las sis funcions scritas antriormnt? En todas aparc l producto.

24 9 Mu bién. Si para cada una d sas funcions, hacn l cambio d variabl v =. Cómo s transforman cada una d llas? S transforman n: A) F(,) = - v B) G(,) = + v C) H(,) = - v - v D) I(,) = v - v E) J(,) = + v F) K(,) = - v D quién qudaron dpndindo ahora cada una d sas funcions? Qudaron dpndindo sólo d la variabl v Eacto. Abran sus guías n la página lamos la dfinición qu allí aparc. DEFINICIÓN: S dic qu la función F(,) dpnd d., si l cambio d variabl. = v transforma la función F(,) n una función qu sólo dpnd d v. Rsulvan l Problma 5 qu aparc n sus guías n la página. Tinn 3 minutos para llo. PROBLEMA 5: Vrifiqu cual d las funcions dadas a continuación dpnd d.

25 0 - F(,) = + - G(,) = 3 + Rvismos los pasos qu siguiron n la rsolución dl Problma 5. Tommos la primra función F(,) = + vrificar si F dpnd d.? Qué dbn hacr para S db sustituir. = v n la función Qué s obtin? v S obtin F(,) = v + Qudó F dpndindo solo d v? Sí. Qué s pud ntoncs concluir? S pud concluir qu F dpnd d. Mu bin. Tommos ahora la función G(,) = 3 + Qué dbn hacr para vrificar si G dpnd d.? S db sustituir. = v n la función.

26 Qué s obtin? S obtin G(,) = v + v Qudó G dpndindo solo d v? No, también aparc Qu s pud ntoncs concluir? S pud concluir qu la función G no dpnd d. Mu bin. Obsrvn ahora las siguints cuacions difrncials a) ( - ) d - ( + ) d = 0 b) ( - + ) d + ( ) d = 0 c) ( + ) d + ( - ) d = 0 d) ( + ) d + ( - ) d = 0 Qué caractrística común pudn obsrvar n la función qu multiplica a la difrncial d n los cuatro jmplos? En todos los jmplos la función qu multiplica a la difrncial d tin la forma " F(,)"

27 Corrcto. Qué caractrística común pudn obsrvar n la función qu multiplica a la difrncial d n los cuatro jmplos? En todos los jmplos la función qu multiplica a la difrncial d tin la forma " G(,)" Eactamnt. Qué caractrística sncial tinn tanto la función F(,) como la función G(,) n cada uno d los cuatro jmplos? Tanto F(,) como G(,) n cada uno d sos jmplos dpndn d "." Mu bin. Cómo podríamos ntoncs gnralizar, n cuanto a la forma n qu stán scritas, las cuacions difrncials d los cuatro jmplos? forma: Podmos dcir qu n gnral las cuacions d los cuatro jmplos tinn la F(.) d + G(.) d = 0 Eclnt. Para rsolvr st tipo d cuación difrncial s sugir ralizar l cambio d variabl v =., para así transformar la cuación difrncial dada n otra qu dpnda d las variabls, v Al hacr l cambio d variabl v =. dbrá dspjars una d las dos variabls ( o ) buscar su difrncial corrspondint Al dspjar quda

28 3 v dv v d d v o también v dv v d d v Mu bin. Cómo s transforma ntoncs la cuación difrncial d la forma F(.) d + G(.) d = 0? S transforma n: v dv v d F(v) d G(v) 0 Si multiplica por toda la cuación Cómo quda? Quda o quivalntmnt v F(v) d + G(v) ( dv - v d) = 0 v [F(v) - G(v)] d + G(v) dv = 0 Qué dbn hacr para sparar las variabls? S db multiplicar por l factor v F(v) G(v) Cómo quda la cuación difrncial? La cuación difrncial quda

29 4 d G(v) v F(v) G(v) dv 0 Está última cuación difrncial s d variabls sparadas, la cual a sabmos qu s rsulv intgrando cada término. Abran sus guías n la página 3 lamos la información qu allí aparc. CASO 3: La cuación difrncial d la forma F (.) d + G(.) d = 0 s una cuación difrncial ordinaria d primr ordn d variabls sparabls. Para transformar dicha cuación difrncial n una d variabls sparadas basta con fctuar l cambio d variabl v. dv v d d v Rsulvan ahora l Problma 6 qu aparc n sus guías n la página 3 Disponn d 5 minutos para llo. Trabajn n forma individual. PROBLEMA 6: Obtnga la solución gnral d la cuación difrncial ( - + ) d + ( - ) d = 0 Pasmos ahora a rvisar cómo rsolviron l Problma 6.

30 5 Si hacn l cambio d variabl v. dv v d d v Cómo s transforma la cuación difrncial dada? La cuación difrncial dada quda: v ( v) d ( v) dv v d 0 Al multiplicar la cuación por Cómo quda? Quda: v ( - v) d - ( + v) ( dv - v d) = 0 Eacto. Si ahora agrupan los términos n la difrncial d Qué obtinn? S obtin (v - v + v + v ) d - ( + v) dv = 0 o quivalntmnt v d - ( + v) dv = 0 Cómo hacn para sparar las variabls? Para sparar las variabls multiplicamos por l factor.v

31 6 Al multiplicar por s factor, Cómo quda la cuación difrncial? La cuación difrncial quda: v d dv 0 v Qu dbn hacr ahora qu a stán sparadas las variabls? Dbmos intgrar v d dv C v Cómo rsulvn las intgrals? La primra s una intgral inmdiata la sgunda s spara n dos intgrals qu también son inmdiatas. Mu bin Cuál s ntoncs n rsultado, lugo d intgrar? Al intgrar rsulta o quivalntmnt ln - ln v - v = C ln v C v Es sta la solución d la cuación difrncial plantada? No.

32 7 Por qué? Por qu falta qu s dvulva l cambio d variabl. Qué obtinn l dvolvr l cambio d variabl? S obtin ln C o quivalntmnt, al aplicar "" a ambos lados K Como pudn obsrvar no s pud dspjar "" cuál s ntoncs la solución d la cuación difrncial plantada? s La solución gnral d la cuación difrncial ( - + ) d + ( - ) d = 0 = K El Problma 7 ls quda como asignación a fin d qu consolidn los aspctos aquí studiados PROBLEMA 7: Obtnga la solución gnral d cada una d las siguints cuacions difrncials ordinarias d primr ordn d variabls sparabls d la forma

33 8 F(.) d + G(.) d = 0 - ( + ) d + ( - ) d = 0 - sn() d + sn () d = 0 3- (3 + ) d + d = 0 4- (7 + 4) d - ( + 0) d = 0 5- d - d = 0 6- ln() d - d = d + ( ) d = 0 8- ( + ) d + ( - ) d = 0 9- ( ) d + ( ) d = 0 0- (3 3 + ) d + ( 3 + ) d = 0 - ( ) d + ( + ) d = 0 CIERRE: Qué hmos studiado n sta lcción? Hmos studiado las cuacions difrncials d variabls sparabls. Cuántos casos d cuacions difrncials d variabls sparabls studiamos? Estudiamos trs casos. Cómo idntificamos l Caso? Lo idntificamos porqu la cuación difrncial tin la forma

34 9 Q() d + P() d = 0 Qué db hacrs para sparar las variabls? S db multiplicar toda la cuación difrncial por l factor P() Q() Cómo idntificamos l Caso? Lo idntificamos porqu la cuación difrncial tin la forma P () Q () d + P () Q () d = 0 Qué db hacrs para sparar las variabls? S db multiplicar toda la cuación difrncial por l factor P () Q () Cómo idntificamos l Caso 3? Lo idntificamos porqu la cuación difrncial tin la forma P(.) d + Q(.) d = 0 Qué db hacrs para sparar las variabls?

35 30 S db hacr l cambio d variabl v dv v d d v variabl? Qué tipo d cuación difrncial rsulta lugo d ralizar l cambio d Rsulta una cuación difrncial d variabl sparabl dl Caso.

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