1. Hallar la derivada por definición de f ( x) x x 1. Solución: para resolver la derivada aplicaremos la definición de la derivada: f '( x)
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- Clara Guzmán Castellanos
- hace 7 años
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1 . Hallar la erivaa por efinición e f ( ) Solución: para resolver la erivaa aplicaremos la efinición e la erivaa: f '( ) lim 0 f ( ) f ( ) f ( ) f '( ) lim 0 ara allar la erivaa meiante efinición ebemos levantar la ineterminación, multiplicao y iviieno por la conjugaa el numeraor, se tiene. f '( ) lim lim 0 0 f '( ) lim lim 0 0 Cancelano y simplificano términos semejantes se tiene: f '( ) lim lim 0 0 Evaluano el límite: f '( ) f '( ). Hallar la erivaa e f( ) por efinición si f ( ) sec( ) f ( ) f ( ) Solución: para resolver la erivaa aplicaremos la efinición e la erivaa: f '( ) lim 0 sec( ) sec( ) f ( ) sec( ) f '( ) lim 0 Aplicano ientiaes trigonométricas sec( ) cos( ) cos cos sin sin, el problema se lo cos puee escribir e la siguiente manera. cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos cos sin sin f '( ) lim lim lim 0 0 cos( )cos( ) 0 cos( )cos( ) Repartieno el enominaor e la siguiente manera y aplicano propieaes e límites. cos( ) cos( )cos( ) sin sin cos( ) cos( ) sin sin f '( ) lim lim 0 cos( )cos( ) cos( )cos( ) 0 cos( )cos( ) cos( )cos( ) cos( ) sin( ) sin f '( ) lim lim 0 cos( ) cos( ) 0 cos( ) cos( ) sin( ) Aplicano los siguientes limites conocios: lim 0 lim jny_c@otmail.com
2 sin( ) sin( ) f '( ) 0 f '( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos ( ). Hallar por efinición la erivaa e f ( ) log Solución: para resolver la erivaa aplicaremos la efinición e la erivaa: f '( ) lim log( ) log f '( ) log f '( ) lim 0 Aplicano la propiea e resta e logaritmos. 0 f ( ) f ( ) log( ) log f '( ) lim lim log lim log lim log Recorano el límite conocio lim 0 ey acieno la analogía para nuestro problema. f '( ) limlog log e log e f '( ) log e 0 ln0 ln0. Demostrar por efinición la erivaa e y f( ), es g ( ) y f '( ) g( ) f ( ) g '( ) g ( ) Solución: aplicano la efinición e la erivaa para el cociente e funciones (mantenieno la notación e las funciones). f ( ) f ( ) y g( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) lim lim 0 0 g( ) g( ) Sumano y restano f ( ) g( ) en el numeraor y factorizano funciones, se tiene: y f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) g( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim lim 0 g( ) g( ) 0 g( ) g( ) Repartieno el enominaor para caa término y orenano e manera conveniente. y g( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim 0 g( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) y g( ) f ( ) lim lim 0 g( ) g( ) 0 g( ) g( ) Repartieno los límites para caa proucto. y g( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim lim lim lim 0 g( ) g( ) 0 0 g( ) g( ) 0 Notemos para caa termino aparece la efinición e la erivaa. Reemplazano y evaluano los límites. f ( ) f ( ) lim f '( ) 0 g( ) g( ) lim g'( ) 0 jny_c@otmail.com
3 y g ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) f '( ) f g f g f g g( ) g( ) g( ) g( ) g ( ) 5. Encontrar la erivaa por efinición: f( ) Solución: empleano la eriva por efinición, se tiene: y f '( ) g( ) f ( ) g '( ) g ( ) f ( ) f ( ) f '( ) lim f '( ) lim 0 0 Sacano mínimo común enominaor y esarrollano los binomios, se tiene: f '( ) lim lim lim lim Factorizano el numeraor y simplificano, se tiene: f '( ) lim lim 0 0 Evaluano el límite y simplificano se tiene: f '( ) f '( ) 6. Hallar por efinición la eriva e: f ( ) Solución: empleano la fórmula para allar la erivaa por efinición e la función: f ( ) f ( ) f '( ) lim f '( ) lim 0 0 La manera más conveniente e levantar la ineterminación es racionalizar las raíces cubicas e numeraor, para ello nos valemos el siguiente artificio matemático: f '( ) lim lim 0 0 Simplificano las raíces cuaraas, esarrollano los binomios y restano términos semejantes. f '( ) lim lim lim jny_c@otmail.com
4 Simplificano y evaluano el límite: f '( ) lim f '( ) 0 7. Derivar y simplificar al máimo la siguiente epresión ( ) ln arctan f Solución: aplicano propieaes e logaritmos y erivano en one aplicaremos regla e la caena. f ( ) ln ln arctan f '( ) f '( ) Simplificano, se puee observar que en los primeros términos tenemos iferencia e cuaraos en el enominaor y en el ultimo termino ay términos que se simplifican. f '( ) f '( ) f '( ) f '( ) b 8. Derivar y simplificar al máimo: f( ) arcsin b a Solución: Antes e comenzar a erivar poemos escribir la función e la siguiente manera. b b b f ( ) arcsin arcsin f ( ) arcsin b a b a b a Derivano y aplicano regla e la caena, se tiene. jny_c@otmail.com
5 b b b b f '( ) arcsin a a a b b b b b b a b a a b a a a De one el resultao será: f '( ) a b 9. Hallar la erivaa e la función: f ( ) ln cos cos Solución: Si erivamos tal como esta la función esta se ace mas compleja, por lo que se ebe acer un cambio e variable, si es posible. Si u cos f ( u) ln u u Como poemos ver aora tenemos una composición e funciones, proceemos a erivar aplicano erivaa e un logaritmo y regla e la caena: f ln u u u u u u u u u u f u u u u u Aora se añae a nuestro problema u por la epenencia que se a en el cambio e variable, proceieno a simplificar. f u u u u u u f u u u u u u u u u u cos f u f u sin u cos ( sin ) sin cos sin cos f sin cos 0. Hallar la erivaa e la función: f ( ) arctan ln Solución: Si erivamos tal como esta la función esta se ace mas compleja, por lo que se ebe acer un cambio e variable, si u es posible. Si u f ( ) arctan u ln u Como poemos ver aora tenemos una composición e funciones, proceemos a erivar (Se procee a añair u a causa e la epenencia que eiste en el cambio e variable). jny_c@otmail.com 5
6 f u u u u arctan u ln arctan u ln u u u u u u u u f u u u u u u u u u u u u u u u u f u f f u 9. Derivar y simplificar: f( ) arctan Solución: aplicano la erivaa: f 9 9 arctan arctan Aplicano reglas e erivación regla e la caena y tablas e erivaas se tiene: 9 9 f 9 arctan f 9 9 Simplificano al máimo, se tiene: 9 9 f f 9 Entonces la erivaa quea: 9 cos. Aplicano la regla e la caena erivar y simplificar: y ln tan sin Solución: erivano respecto e, se tiene: y cos cos ln tan ln tan sin sin Aplicano reglas e erivación, erivaa por tablas y regla e la caena, se tiene: jny_c@otmail.com 6
7 sin cos cos sin y tan tan sin sin sin cos sin sin y sec tan sin cos f sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos sin f sin cos sin cos f sin sin sin sin y. Hallar la ecuación e la recta tangente a la curva e e en el punto one la abscisa es =. y y y y peniente Solución: ara resolver el problema emplearemos la ecuación punto peniente., one (, y) curva ara allar recta tangente a la curva primero ebemos eterminar y e nuestra función, para ello emplearemos lo que es erivación implícita. y y y e e e e e y e e y e Aora eterminamos el punto que pertenece a la curva, esto con la ayua e la abscisa. y y e e ln e ln e ln e y ln e y y 0 (, 0) Reemplazano el punto (,0) en la peniente y e e e e y 0 e e Reemplazano el punto y la peniente en la ecuación punto peniente e la curva, se tiene. y 0 y. Determinar las ecuaciones e la recta tangente y normal a la parábola peniente e la recta es. y 6 7, en el punto one la jny_c@otmail.com 7
8 y y y y y Solución: la ecuación e la recta tangente y la recta normal son respectivamente, one y y peniente, erivano la función e igualano a, se tiene. y y Reemplazano = en la parábola para allar la orenaa. y 6 7 y (,) Tenemos el punto y tenemos la peniente, aora proceemos a allar la curva tangente y normal. y y... LT y y... L N 5. Hallar las ecuaciones e las rectas tangente a la curva y y y y Solución: ara resolver el problema emplearemos la ecuación punto peniente. ara allar la peniente e la recta ebemos erivar implícitamente. y y y 9 y 0 y Aora eterminemos la abscisa, para ello reemplazamos la orenaa en la función. y (0,) ( ) 0 (,) ara caa punto nos ará una recta tenremos un peniente istinta y por ene os rectas tangentes istintas. y 0 y (0,) y... L 0 y y (,) 0 y... L 9en el punto one la orenaa es y=., one y peniente (, y) curva 6. Encontrar la recta tangente a la curva y 6, que se paralela a la recta y 0. jny_c@otmail.com 8
9 y y y Solución: ara resolver el problema emplearemos la ecuación punto peniente. Despejano y erivano. 6 y y y ara que la recta tangente sea paralela a la recta y 0, estas eben tener penientes iguales. m y 0 y 0y m ara caa abscisa eterminemos su respectiva orenaa, reemplazano en la curva y y (0, ) 6 y y (, ) ara caa punto obtenremos una recta istinta pero con la misma peniente. y y (0, ) y... LT 0 y y (,) y... LT 7. Graficar analizano máimos, mínimos, intervalos e crecimiento, ecrecimiento, puntos e infleión, intervalos e concavia e: f ( ) 6 5 Solución: Derivaa e primer oren f ( ) 6 5 f '( ) Determinano los puntos críticos, para ello f '( ) 0. f '( ) 0 0,, Determinano los intervalos e crecimiento, para ello f '( ) 0 f '( ) ( )( ) 0 Derivaa e seguno oren f '( ) f ''( ) 6 Determinano los puntos e infleión f ''( ) 0 f ''( ) 0, Determinano los intervalos e concavia, para ello f ''( ) 0, f ''( ) 0 Determinano los máimos y mínimos (utilizano el criterio e la seguna erivaa). f ''( ) 0 f ''(0) 0, entonces eiste un máimo. f ''() 0, entonces eiste un mínimo. jny_c@otmail.com 9
10 f ''( ) 0, entonces eiste un mínimo. 8. Graficar analizano máimos, mínimos, intervalos e crecimiento, ecrecimiento, puntos e infleión, intervalos e Solución: concavia e: f( ) ( ) Derivaa e primer oren f ( ) ( ) f '( ) Determinano los puntos críticos, para ello f '( ) 0. f '( ) 0, Determinano los intervalos e crecimiento, para ello f '( ) 0 f '( ) 0 Derivaa e seguno oren f '( ) f ''( ) Determinano los puntos e infleión f ''( ) 0 f ''( ) 0 0 Determinano los intervalos e concavia, para ello f ''( ) 0, f ''( ) 0 Determinano los máimos y mínimos (utilizano el criterio e la seguna erivaa). f ''( ) f ''() 0, entonces eiste un mínimo. f ''( ) 0, entonces eiste un máimo Graficar realizano un análisis completo f( ) 5 Solución: Derivaa e primer oren f ( ) f '( ) Determinano los puntos críticos, para ello f '( ) 0. 5 f '( ) 0 5, 5, 0 5 Determinano los intervalos e crecimiento, para ello f '( ) 0 5 f '( ) 0 5 Derivaa e seguno jny_c@otmail.com 0
11 5 0 oren f '( ) f ''( ) 5 Determinano los puntos e infleión f ''( ) 0 0 f ''( ) 0 Intervalos e concavia Determinano los máimos y mínimos (utilizano el criterio e la seguna 0 erivaa). f ''( ) 5 f ''(5) 0, entonces eiste un mínimo. 5 5 f ''( 5) 0, entonces eiste un máimo Graficar realizano un análisis completo Solución: f ( ) e Derivaa e primer oren ( ) f e f '( ) e Determinano los puntos críticos, para ello f '( ) 0. f '( ) e 0 0 Determinano los intervalos e crecimiento, para ello f '( ) 0 '( ) 0 f e f '( ) e f ''( ) e e e Derivaa e seguno oren Determinano los puntos e infleión f ''( ) 0 f ''( ) e 0, Determinano los intervalos e concavia, para ello f ''( ) 0, f ''( ) e 0 Determinano los máimos y mínimos (utilizano el criterio e la seguna erivaa). f ''( ) e 0 f ''(0) e 0, entonces eiste un máimo.. Hallar las imensiones el triángulo rectangular e área máima cuya ipotenusa es. Solución: como en el problema se ace referencia a que es un triangulo rectángulo poemos utilizar el teorema e itágoras, según la grafica y y... rimero ebemos reconocer la función a maimizar. A y... jny_c@otmail.com
12 Seguno ebemos llevar too en función e una variable. Ecuación en, A Tercero ebemos erivar la función respecto a e igualar a cero espejano, como se ve. ( ) A u Cuarto ebemos eterminar la otra incógnita (en este caso y), reemplazano en. y y u. Con un alamina e ojalata cuaraa e cm. por lao se va a construir una caja sin tapa, si se recortan cuaraos en caa esquina e la lámina Cuál ebe ser la longitu el cuarao e la esquina para que su volumen sea máimo? Solución: la longitu el cuarao e la esquina y la longitu e un lao viene aa por: L y y... rimero ebemos reconocer la función a maimizar. V y... Seguno ebemos llevar too en función e una variable. Ecuación en V Tercero ebemos erivar la función respecto a e igualar a cero aemás e espejar. V Cuarto ebemos eterminar la otra incógnita (en este caso y), reemplazano en. y 0 y 6 Los primeros atos se escartan ya que no eistiría un volumen, entonces se ebe tomar los atos segunos por lo que la longitu el cuarao será 6 u y. En la elipse, ay que inscribir un rectángulo con los laos paralelos al eje e la elipse, Cuál eben ser a b las imensiones el rectángulo e moo que su área sea máima? Solución: espejano y e la elipse se tiene: yb... a rimero ebemos reconocer la función a maimizar, e la gráfica se puee eterminar la siguiente función. A ( )( y)... Seguno ebemos llevar too en función e una variable. Ecuación en A b b a a Tercero ebemos erivar la función respecto a e igualar a cero, y luego jny_c@otmail.com
13 espejamos, como se ve. A a a a a b b b 0 0 a a a a a Cuarto ebemos eterminar la otra incógnita (en este caso y), reemplazano en.. Encontrar los puntos e la curva y, que estén más cerca el origen. Solución: Despejano y e la anterior función: y y... rimero ebemos reconocer la función a minimizar, e la gráfica se puee la istancia el origen a un punto cualquiera e la función, esta viene aa por D y... Seguno ebemos llevar too en función e una variable. Ecuación D en Tercero ebemos erivar la función respecto a e igualar a cero, espués espejamos, como se ve. D 0 0 y y Cuarto ebemos eterminar la otra incógnita (en este caso y), reemplazano en. y y a y b y a or lo tanto los puntos más cercanos al origen, esta ao por:,,. Hallar la erivaa por efinición: f( ) Solución: empleano la fórmula para allar la erivaa por efinición e la función: f ( ) f ( ) f '( ) lim f '( ) lim 0 0 Desarrollano el MCD y racionalizano el numeraor: f '( ) lim lim 0 0 b jny_c@otmail.com
14 f '( ) lim 0 f '( ) lim 0 f '( ) lim 0 Simplificano y evaluano el límite tenemos: f '( ) lim 0 f '( ) f '( ) arcsin. Derivar y simplificar: y ln Solución: erivano y arcsin y arcsin ln ln ln Empleano reglas e erivación y luego regla e la caena. y arcsin arcsin ' arcsin ' ln ln ' ' arcsin ' y arcsin y Simplificano al máimo: arcsin y arcsin arcsin y arcsin jny_c@otmail.com
15 . Escriba las ecuaciones e la tangente y la normal a la curva Solución: ara resolver el problema emplearemos: jny_c@otmail.com y y y La ecuación e la tangente. y 6y en el punto (,), one y peniente (, y) curva y y y peniente La ecuación e la normal, one. y (, y) curva ara allar la peniente e la recta ebemos erivar implícitamente y 6 6 y y y y y y y Aora eterminemos la peniente e y 6 acuero al punto: y 6 6y y y, (,) y 6 (,) (,) Aora allamos la ecuación e la tangente y la ecuación e la normal, e acuero a la peniente y el punto y y y y y (,), y... L y y y y 0 (,), y... LN y. Analizano máimos, mínimos, puntos e infleión, crecimiento, ecrecimiento y el sentio e concavia graficar: y f ( ) 6 Solución: Derivaa e primer oren f ( ) 6 f '( ) Determinano los puntos críticos, para ello f '( ) 0. 0 f '( ) 0 0 Determinano los intervalos e crecimiento, para ello f '( ) 0 f '( ) 0 Derivaa e seguno oren f '( ) f ''( ) 6 Determinano los puntos e infleión f ''( ) 0 f ''( ) 6 0 T V convea - F V 0 concava V F convea 5
16 Determinano los intervalos e concavia, para ello f ''( ) 0 f ''( ) 6 0 Determinano los máimos y mínimos (utilizano el criterio e la seguna erivaa). f ''( ) 6 0 f ''(0) 0, entonces eiste un mínimo. f ''() 0, entonces eiste un máimo. f ''( ) 0, entonces eiste un máimo. Entonces la gráfica será: 5. Hállese en la parábola y un punto N cuya istancia a la recta y Solución: empleano la fórmula e istancia e un punto a una recta La recta A By C 0 es y 0, El unto N y y y N y N (, ) (, ) (, ) D sea mínima Reemplazano en la formula, llevano too en función e una variable y luego erivano: En one la única solución real es Sieno la istancia: 5 ABy C A By C 0, one: A B N(, y) D D' 0 si y entonces D D 5 y, por lo tanto: N, y N, jny_c@otmail.com 6
17 Formulario f ( ) f ( ). Definición e la erivaa f( ) lim 0. Reglas e erivación: si c es una constante cualquiera y las funciones u( ), v( ), w( ) son erivables, se tiene. 0 Derivaa e una constante. c cu u c Derivaa e una constante por una función. u v w u v w Derivaa e una suma.. Formulas principales e erivación u v uv v u Derivaa e un proucto. u v v u u Derivaa e un cociente. v v n n n arcsin log a, ln ln a sin cos arccos sin cos cos sin arctan cos sin tan sec arcctan tan cos ctan csec a a ln a, e e ctan sin '( ). Derivaa el logaritmo e la función aa se llama erivaa logarítmica e ica función: ln f( ) f f ( ) 5. Derivaa e una función inversa.- una función erivable y f ( ), con erivaa y ' f '( ) tiene función inversa f ( y) sieno también la función inversa erivable, y verificánose la formula. y y () t 6. Derivaa e una función aa en forma paramétrica. Si one () t y () t son funciones erivables y () t y respecto e t, entonces se tiene: t t 7. Derivaas e oren superior. Las erivaas e oren superior e una función y f ( ) se efine meiante. n n f ( ) f ( ) jny_c@otmail.com 7
18 8. Derivaa e una función implícita. Sea la función f (, y) 0 one la erivaa e la función viene aa por y f '(, y, ) 0 Done se espeja y e la ecuación. 9. Ecuaciones e la tangente y la normal a una curva cualquiera. Si y f ( ) es una curva en el plano, la ecuación e y y y y y y peniente la recta tangente y normal viene aa por y one. y (, y) curva 0. Gráfica e funciones: para graficar ebemos seguir los siguientes pasos: sea y f ( ) la función a graficar rimero ebemos allar la erivaa e primer oren y f ( ) y' f '( ) Determinamos los puntos críticos, para ello f '( ) 0. Determinano los intervalos e crecimiento, para ello f '( ) 0 Seguno ebemos allar la erivaa e seguno oren y' f '( ) y'' f ''( ) Determinano los puntos e infleión f ''( ) 0 Determinano los intervalos e concavia, para ello f ''( ) 0, Tercero eterminamos los máimos y mínimos (utilizano el criterio e la seguna erivaa). y'' f ''( ) Si y '' f ''( ) 0, entonces eiste un máimo. Si y '' f ''( ) 0, entonces eiste un mínimo. jny_c@otmail.com 8
19 ráctica:. Usano la efinición e la erivaa calcule f '( ) e la función f( ). Usano la efinición e la erivaa calcule f '( ) e la función f ( ) sin. Usano la efinición e la erivaa emostrar: f ( ) g( ) f g( ) f ( ) g. Calcule la erivaa e la función f( ) ln Rpta.: f '( ) 5. Calcule la erivaa e f( ) (Sug. racionalice el enominaor) Rpta.: 6. Hallar la erivaa e la siguiente función a arcsin y a Rpta.: a f '( ) y ' a a a a 7. Hallar la erivaa e la siguiente función f ( ) arctan ln a Rpta.: f '( ) a a sin 8. Derivar y simplificar: y ln cos cos Rpta: y ' cos 9. Utilizano erivación implícita calcular: ' ln y y y si y 0. Utilizano erivación implícita emostrar que y ', si n m y y mn. Demostrar que f ( ) e satisface la ecuación iferencial f ''( ) f ( ) e. comprobar que la función y c e c e satisface la ecuación y '' y ' y 0. Hallar las ecuaciones e la recta tangente y e la reta normal a y 6 7 en el punto 0 one la peniente e la tangente es. Rpta.: y, y 8. Hallar la recta tangente a la curva: y y 6, en el punto (,) 0 Rpta.: y Encontrar la ecuación e la recta tangente a la curva y que es paralela a la recta 8 y 0 Rpta.: 8 y Graficar analizano máimos, mínimos, intervalos e crecimiento, ecrecimiento, puntos e infleión, intervalos e concavia e: f ( ) Graficar analizano máimos, mínimos, intervalos e crecimiento, ecrecimiento, puntos e infleión, intervalos e concavia e: f ( ) 5 8. Realizano un análisis completo construir la gráfica e: f ( ) 9. Entre toos los rectángulos e un área S, eterminar aquél cuyo perímetro sea mínimo. Rpta.: los laos el rectangulo son s 0. Hallar el triángulo rectángulo e área máima. Si la suma e un cateto y la ipotenusa es una constante C c c Rpta.: los laos el triangulo son y. Hallar las coorenaas ( y, ) e la parábola y, más cercano al punto (9,0) Rpta.: (,) jny_c@otmail.com 9
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