1. Hallar la derivada por definición de f ( x) x x 1. Solución: para resolver la derivada aplicaremos la definición de la derivada: f '( x)

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "1. Hallar la derivada por definición de f ( x) x x 1. Solución: para resolver la derivada aplicaremos la definición de la derivada: f '( x)"

Transcripción

1 . Hallar la erivaa por efinición e f ( ) Solución: para resolver la erivaa aplicaremos la efinición e la erivaa: f '( ) lim 0 f ( ) f ( ) f ( ) f '( ) lim 0 ara allar la erivaa meiante efinición ebemos levantar la ineterminación, multiplicao y iviieno por la conjugaa el numeraor, se tiene. f '( ) lim lim 0 0 f '( ) lim lim 0 0 Cancelano y simplificano términos semejantes se tiene: f '( ) lim lim 0 0 Evaluano el límite: f '( ) f '( ). Hallar la erivaa e f( ) por efinición si f ( ) sec( ) f ( ) f ( ) Solución: para resolver la erivaa aplicaremos la efinición e la erivaa: f '( ) lim 0 sec( ) sec( ) f ( ) sec( ) f '( ) lim 0 Aplicano ientiaes trigonométricas sec( ) cos( ) cos cos sin sin, el problema se lo cos puee escribir e la siguiente manera. cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos cos sin sin f '( ) lim lim lim 0 0 cos( )cos( ) 0 cos( )cos( ) Repartieno el enominaor e la siguiente manera y aplicano propieaes e límites. cos( ) cos( )cos( ) sin sin cos( ) cos( ) sin sin f '( ) lim lim 0 cos( )cos( ) cos( )cos( ) 0 cos( )cos( ) cos( )cos( ) cos( ) sin( ) sin f '( ) lim lim 0 cos( ) cos( ) 0 cos( ) cos( ) sin( ) Aplicano los siguientes limites conocios: lim 0 lim jny_c@otmail.com

2 sin( ) sin( ) f '( ) 0 f '( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos ( ). Hallar por efinición la erivaa e f ( ) log Solución: para resolver la erivaa aplicaremos la efinición e la erivaa: f '( ) lim log( ) log f '( ) log f '( ) lim 0 Aplicano la propiea e resta e logaritmos. 0 f ( ) f ( ) log( ) log f '( ) lim lim log lim log lim log Recorano el límite conocio lim 0 ey acieno la analogía para nuestro problema. f '( ) limlog log e log e f '( ) log e 0 ln0 ln0. Demostrar por efinición la erivaa e y f( ), es g ( ) y f '( ) g( ) f ( ) g '( ) g ( ) Solución: aplicano la efinición e la erivaa para el cociente e funciones (mantenieno la notación e las funciones). f ( ) f ( ) y g( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) lim lim 0 0 g( ) g( ) Sumano y restano f ( ) g( ) en el numeraor y factorizano funciones, se tiene: y f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) g( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim lim 0 g( ) g( ) 0 g( ) g( ) Repartieno el enominaor para caa término y orenano e manera conveniente. y g( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim 0 g( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) y g( ) f ( ) lim lim 0 g( ) g( ) 0 g( ) g( ) Repartieno los límites para caa proucto. y g( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim lim lim lim 0 g( ) g( ) 0 0 g( ) g( ) 0 Notemos para caa termino aparece la efinición e la erivaa. Reemplazano y evaluano los límites. f ( ) f ( ) lim f '( ) 0 g( ) g( ) lim g'( ) 0 jny_c@otmail.com

3 y g ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) f '( ) f g f g f g g( ) g( ) g( ) g( ) g ( ) 5. Encontrar la erivaa por efinición: f( ) Solución: empleano la eriva por efinición, se tiene: y f '( ) g( ) f ( ) g '( ) g ( ) f ( ) f ( ) f '( ) lim f '( ) lim 0 0 Sacano mínimo común enominaor y esarrollano los binomios, se tiene: f '( ) lim lim lim lim Factorizano el numeraor y simplificano, se tiene: f '( ) lim lim 0 0 Evaluano el límite y simplificano se tiene: f '( ) f '( ) 6. Hallar por efinición la eriva e: f ( ) Solución: empleano la fórmula para allar la erivaa por efinición e la función: f ( ) f ( ) f '( ) lim f '( ) lim 0 0 La manera más conveniente e levantar la ineterminación es racionalizar las raíces cubicas e numeraor, para ello nos valemos el siguiente artificio matemático: f '( ) lim lim 0 0 Simplificano las raíces cuaraas, esarrollano los binomios y restano términos semejantes. f '( ) lim lim lim jny_c@otmail.com

4 Simplificano y evaluano el límite: f '( ) lim f '( ) 0 7. Derivar y simplificar al máimo la siguiente epresión ( ) ln arctan f Solución: aplicano propieaes e logaritmos y erivano en one aplicaremos regla e la caena. f ( ) ln ln arctan f '( ) f '( ) Simplificano, se puee observar que en los primeros términos tenemos iferencia e cuaraos en el enominaor y en el ultimo termino ay términos que se simplifican. f '( ) f '( ) f '( ) f '( ) b 8. Derivar y simplificar al máimo: f( ) arcsin b a Solución: Antes e comenzar a erivar poemos escribir la función e la siguiente manera. b b b f ( ) arcsin arcsin f ( ) arcsin b a b a b a Derivano y aplicano regla e la caena, se tiene. jny_c@otmail.com

5 b b b b f '( ) arcsin a a a b b b b b b a b a a b a a a De one el resultao será: f '( ) a b 9. Hallar la erivaa e la función: f ( ) ln cos cos Solución: Si erivamos tal como esta la función esta se ace mas compleja, por lo que se ebe acer un cambio e variable, si es posible. Si u cos f ( u) ln u u Como poemos ver aora tenemos una composición e funciones, proceemos a erivar aplicano erivaa e un logaritmo y regla e la caena: f ln u u u u u u u u u u f u u u u u Aora se añae a nuestro problema u por la epenencia que se a en el cambio e variable, proceieno a simplificar. f u u u u u u f u u u u u u u u u u cos f u f u sin u cos ( sin ) sin cos sin cos f sin cos 0. Hallar la erivaa e la función: f ( ) arctan ln Solución: Si erivamos tal como esta la función esta se ace mas compleja, por lo que se ebe acer un cambio e variable, si u es posible. Si u f ( ) arctan u ln u Como poemos ver aora tenemos una composición e funciones, proceemos a erivar (Se procee a añair u a causa e la epenencia que eiste en el cambio e variable). jny_c@otmail.com 5

6 f u u u u arctan u ln arctan u ln u u u u u u u u f u u u u u u u u u u u u u u u u f u f f u 9. Derivar y simplificar: f( ) arctan Solución: aplicano la erivaa: f 9 9 arctan arctan Aplicano reglas e erivación regla e la caena y tablas e erivaas se tiene: 9 9 f 9 arctan f 9 9 Simplificano al máimo, se tiene: 9 9 f f 9 Entonces la erivaa quea: 9 cos. Aplicano la regla e la caena erivar y simplificar: y ln tan sin Solución: erivano respecto e, se tiene: y cos cos ln tan ln tan sin sin Aplicano reglas e erivación, erivaa por tablas y regla e la caena, se tiene: jny_c@otmail.com 6

7 sin cos cos sin y tan tan sin sin sin cos sin sin y sec tan sin cos f sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos sin f sin cos sin cos f sin sin sin sin y. Hallar la ecuación e la recta tangente a la curva e e en el punto one la abscisa es =. y y y y peniente Solución: ara resolver el problema emplearemos la ecuación punto peniente., one (, y) curva ara allar recta tangente a la curva primero ebemos eterminar y e nuestra función, para ello emplearemos lo que es erivación implícita. y y y e e e e e y e e y e Aora eterminamos el punto que pertenece a la curva, esto con la ayua e la abscisa. y y e e ln e ln e ln e y ln e y y 0 (, 0) Reemplazano el punto (,0) en la peniente y e e e e y 0 e e Reemplazano el punto y la peniente en la ecuación punto peniente e la curva, se tiene. y 0 y. Determinar las ecuaciones e la recta tangente y normal a la parábola peniente e la recta es. y 6 7, en el punto one la jny_c@otmail.com 7

8 y y y y y Solución: la ecuación e la recta tangente y la recta normal son respectivamente, one y y peniente, erivano la función e igualano a, se tiene. y y Reemplazano = en la parábola para allar la orenaa. y 6 7 y (,) Tenemos el punto y tenemos la peniente, aora proceemos a allar la curva tangente y normal. y y... LT y y... L N 5. Hallar las ecuaciones e las rectas tangente a la curva y y y y Solución: ara resolver el problema emplearemos la ecuación punto peniente. ara allar la peniente e la recta ebemos erivar implícitamente. y y y 9 y 0 y Aora eterminemos la abscisa, para ello reemplazamos la orenaa en la función. y (0,) ( ) 0 (,) ara caa punto nos ará una recta tenremos un peniente istinta y por ene os rectas tangentes istintas. y 0 y (0,) y... L 0 y y (,) 0 y... L 9en el punto one la orenaa es y=., one y peniente (, y) curva 6. Encontrar la recta tangente a la curva y 6, que se paralela a la recta y 0. jny_c@otmail.com 8

9 y y y Solución: ara resolver el problema emplearemos la ecuación punto peniente. Despejano y erivano. 6 y y y ara que la recta tangente sea paralela a la recta y 0, estas eben tener penientes iguales. m y 0 y 0y m ara caa abscisa eterminemos su respectiva orenaa, reemplazano en la curva y y (0, ) 6 y y (, ) ara caa punto obtenremos una recta istinta pero con la misma peniente. y y (0, ) y... LT 0 y y (,) y... LT 7. Graficar analizano máimos, mínimos, intervalos e crecimiento, ecrecimiento, puntos e infleión, intervalos e concavia e: f ( ) 6 5 Solución: Derivaa e primer oren f ( ) 6 5 f '( ) Determinano los puntos críticos, para ello f '( ) 0. f '( ) 0 0,, Determinano los intervalos e crecimiento, para ello f '( ) 0 f '( ) ( )( ) 0 Derivaa e seguno oren f '( ) f ''( ) 6 Determinano los puntos e infleión f ''( ) 0 f ''( ) 0, Determinano los intervalos e concavia, para ello f ''( ) 0, f ''( ) 0 Determinano los máimos y mínimos (utilizano el criterio e la seguna erivaa). f ''( ) 0 f ''(0) 0, entonces eiste un máimo. f ''() 0, entonces eiste un mínimo. jny_c@otmail.com 9

10 f ''( ) 0, entonces eiste un mínimo. 8. Graficar analizano máimos, mínimos, intervalos e crecimiento, ecrecimiento, puntos e infleión, intervalos e Solución: concavia e: f( ) ( ) Derivaa e primer oren f ( ) ( ) f '( ) Determinano los puntos críticos, para ello f '( ) 0. f '( ) 0, Determinano los intervalos e crecimiento, para ello f '( ) 0 f '( ) 0 Derivaa e seguno oren f '( ) f ''( ) Determinano los puntos e infleión f ''( ) 0 f ''( ) 0 0 Determinano los intervalos e concavia, para ello f ''( ) 0, f ''( ) 0 Determinano los máimos y mínimos (utilizano el criterio e la seguna erivaa). f ''( ) f ''() 0, entonces eiste un mínimo. f ''( ) 0, entonces eiste un máimo Graficar realizano un análisis completo f( ) 5 Solución: Derivaa e primer oren f ( ) f '( ) Determinano los puntos críticos, para ello f '( ) 0. 5 f '( ) 0 5, 5, 0 5 Determinano los intervalos e crecimiento, para ello f '( ) 0 5 f '( ) 0 5 Derivaa e seguno jny_c@otmail.com 0

11 5 0 oren f '( ) f ''( ) 5 Determinano los puntos e infleión f ''( ) 0 0 f ''( ) 0 Intervalos e concavia Determinano los máimos y mínimos (utilizano el criterio e la seguna 0 erivaa). f ''( ) 5 f ''(5) 0, entonces eiste un mínimo. 5 5 f ''( 5) 0, entonces eiste un máimo Graficar realizano un análisis completo Solución: f ( ) e Derivaa e primer oren ( ) f e f '( ) e Determinano los puntos críticos, para ello f '( ) 0. f '( ) e 0 0 Determinano los intervalos e crecimiento, para ello f '( ) 0 '( ) 0 f e f '( ) e f ''( ) e e e Derivaa e seguno oren Determinano los puntos e infleión f ''( ) 0 f ''( ) e 0, Determinano los intervalos e concavia, para ello f ''( ) 0, f ''( ) e 0 Determinano los máimos y mínimos (utilizano el criterio e la seguna erivaa). f ''( ) e 0 f ''(0) e 0, entonces eiste un máimo.. Hallar las imensiones el triángulo rectangular e área máima cuya ipotenusa es. Solución: como en el problema se ace referencia a que es un triangulo rectángulo poemos utilizar el teorema e itágoras, según la grafica y y... rimero ebemos reconocer la función a maimizar. A y... jny_c@otmail.com

12 Seguno ebemos llevar too en función e una variable. Ecuación en, A Tercero ebemos erivar la función respecto a e igualar a cero espejano, como se ve. ( ) A u Cuarto ebemos eterminar la otra incógnita (en este caso y), reemplazano en. y y u. Con un alamina e ojalata cuaraa e cm. por lao se va a construir una caja sin tapa, si se recortan cuaraos en caa esquina e la lámina Cuál ebe ser la longitu el cuarao e la esquina para que su volumen sea máimo? Solución: la longitu el cuarao e la esquina y la longitu e un lao viene aa por: L y y... rimero ebemos reconocer la función a maimizar. V y... Seguno ebemos llevar too en función e una variable. Ecuación en V Tercero ebemos erivar la función respecto a e igualar a cero aemás e espejar. V Cuarto ebemos eterminar la otra incógnita (en este caso y), reemplazano en. y 0 y 6 Los primeros atos se escartan ya que no eistiría un volumen, entonces se ebe tomar los atos segunos por lo que la longitu el cuarao será 6 u y. En la elipse, ay que inscribir un rectángulo con los laos paralelos al eje e la elipse, Cuál eben ser a b las imensiones el rectángulo e moo que su área sea máima? Solución: espejano y e la elipse se tiene: yb... a rimero ebemos reconocer la función a maimizar, e la gráfica se puee eterminar la siguiente función. A ( )( y)... Seguno ebemos llevar too en función e una variable. Ecuación en A b b a a Tercero ebemos erivar la función respecto a e igualar a cero, y luego jny_c@otmail.com

13 espejamos, como se ve. A a a a a b b b 0 0 a a a a a Cuarto ebemos eterminar la otra incógnita (en este caso y), reemplazano en.. Encontrar los puntos e la curva y, que estén más cerca el origen. Solución: Despejano y e la anterior función: y y... rimero ebemos reconocer la función a minimizar, e la gráfica se puee la istancia el origen a un punto cualquiera e la función, esta viene aa por D y... Seguno ebemos llevar too en función e una variable. Ecuación D en Tercero ebemos erivar la función respecto a e igualar a cero, espués espejamos, como se ve. D 0 0 y y Cuarto ebemos eterminar la otra incógnita (en este caso y), reemplazano en. y y a y b y a or lo tanto los puntos más cercanos al origen, esta ao por:,,. Hallar la erivaa por efinición: f( ) Solución: empleano la fórmula para allar la erivaa por efinición e la función: f ( ) f ( ) f '( ) lim f '( ) lim 0 0 Desarrollano el MCD y racionalizano el numeraor: f '( ) lim lim 0 0 b jny_c@otmail.com

14 f '( ) lim 0 f '( ) lim 0 f '( ) lim 0 Simplificano y evaluano el límite tenemos: f '( ) lim 0 f '( ) f '( ) arcsin. Derivar y simplificar: y ln Solución: erivano y arcsin y arcsin ln ln ln Empleano reglas e erivación y luego regla e la caena. y arcsin arcsin ' arcsin ' ln ln ' ' arcsin ' y arcsin y Simplificano al máimo: arcsin y arcsin arcsin y arcsin jny_c@otmail.com

15 . Escriba las ecuaciones e la tangente y la normal a la curva Solución: ara resolver el problema emplearemos: jny_c@otmail.com y y y La ecuación e la tangente. y 6y en el punto (,), one y peniente (, y) curva y y y peniente La ecuación e la normal, one. y (, y) curva ara allar la peniente e la recta ebemos erivar implícitamente y 6 6 y y y y y y y Aora eterminemos la peniente e y 6 acuero al punto: y 6 6y y y, (,) y 6 (,) (,) Aora allamos la ecuación e la tangente y la ecuación e la normal, e acuero a la peniente y el punto y y y y y (,), y... L y y y y 0 (,), y... LN y. Analizano máimos, mínimos, puntos e infleión, crecimiento, ecrecimiento y el sentio e concavia graficar: y f ( ) 6 Solución: Derivaa e primer oren f ( ) 6 f '( ) Determinano los puntos críticos, para ello f '( ) 0. 0 f '( ) 0 0 Determinano los intervalos e crecimiento, para ello f '( ) 0 f '( ) 0 Derivaa e seguno oren f '( ) f ''( ) 6 Determinano los puntos e infleión f ''( ) 0 f ''( ) 6 0 T V convea - F V 0 concava V F convea 5

16 Determinano los intervalos e concavia, para ello f ''( ) 0 f ''( ) 6 0 Determinano los máimos y mínimos (utilizano el criterio e la seguna erivaa). f ''( ) 6 0 f ''(0) 0, entonces eiste un mínimo. f ''() 0, entonces eiste un máimo. f ''( ) 0, entonces eiste un máimo. Entonces la gráfica será: 5. Hállese en la parábola y un punto N cuya istancia a la recta y Solución: empleano la fórmula e istancia e un punto a una recta La recta A By C 0 es y 0, El unto N y y y N y N (, ) (, ) (, ) D sea mínima Reemplazano en la formula, llevano too en función e una variable y luego erivano: En one la única solución real es Sieno la istancia: 5 ABy C A By C 0, one: A B N(, y) D D' 0 si y entonces D D 5 y, por lo tanto: N, y N, jny_c@otmail.com 6

17 Formulario f ( ) f ( ). Definición e la erivaa f( ) lim 0. Reglas e erivación: si c es una constante cualquiera y las funciones u( ), v( ), w( ) son erivables, se tiene. 0 Derivaa e una constante. c cu u c Derivaa e una constante por una función. u v w u v w Derivaa e una suma.. Formulas principales e erivación u v uv v u Derivaa e un proucto. u v v u u Derivaa e un cociente. v v n n n arcsin log a, ln ln a sin cos arccos sin cos cos sin arctan cos sin tan sec arcctan tan cos ctan csec a a ln a, e e ctan sin '( ). Derivaa el logaritmo e la función aa se llama erivaa logarítmica e ica función: ln f( ) f f ( ) 5. Derivaa e una función inversa.- una función erivable y f ( ), con erivaa y ' f '( ) tiene función inversa f ( y) sieno también la función inversa erivable, y verificánose la formula. y y () t 6. Derivaa e una función aa en forma paramétrica. Si one () t y () t son funciones erivables y () t y respecto e t, entonces se tiene: t t 7. Derivaas e oren superior. Las erivaas e oren superior e una función y f ( ) se efine meiante. n n f ( ) f ( ) jny_c@otmail.com 7

18 8. Derivaa e una función implícita. Sea la función f (, y) 0 one la erivaa e la función viene aa por y f '(, y, ) 0 Done se espeja y e la ecuación. 9. Ecuaciones e la tangente y la normal a una curva cualquiera. Si y f ( ) es una curva en el plano, la ecuación e y y y y y y peniente la recta tangente y normal viene aa por y one. y (, y) curva 0. Gráfica e funciones: para graficar ebemos seguir los siguientes pasos: sea y f ( ) la función a graficar rimero ebemos allar la erivaa e primer oren y f ( ) y' f '( ) Determinamos los puntos críticos, para ello f '( ) 0. Determinano los intervalos e crecimiento, para ello f '( ) 0 Seguno ebemos allar la erivaa e seguno oren y' f '( ) y'' f ''( ) Determinano los puntos e infleión f ''( ) 0 Determinano los intervalos e concavia, para ello f ''( ) 0, Tercero eterminamos los máimos y mínimos (utilizano el criterio e la seguna erivaa). y'' f ''( ) Si y '' f ''( ) 0, entonces eiste un máimo. Si y '' f ''( ) 0, entonces eiste un mínimo. jny_c@otmail.com 8

19 ráctica:. Usano la efinición e la erivaa calcule f '( ) e la función f( ). Usano la efinición e la erivaa calcule f '( ) e la función f ( ) sin. Usano la efinición e la erivaa emostrar: f ( ) g( ) f g( ) f ( ) g. Calcule la erivaa e la función f( ) ln Rpta.: f '( ) 5. Calcule la erivaa e f( ) (Sug. racionalice el enominaor) Rpta.: 6. Hallar la erivaa e la siguiente función a arcsin y a Rpta.: a f '( ) y ' a a a a 7. Hallar la erivaa e la siguiente función f ( ) arctan ln a Rpta.: f '( ) a a sin 8. Derivar y simplificar: y ln cos cos Rpta: y ' cos 9. Utilizano erivación implícita calcular: ' ln y y y si y 0. Utilizano erivación implícita emostrar que y ', si n m y y mn. Demostrar que f ( ) e satisface la ecuación iferencial f ''( ) f ( ) e. comprobar que la función y c e c e satisface la ecuación y '' y ' y 0. Hallar las ecuaciones e la recta tangente y e la reta normal a y 6 7 en el punto 0 one la peniente e la tangente es. Rpta.: y, y 8. Hallar la recta tangente a la curva: y y 6, en el punto (,) 0 Rpta.: y Encontrar la ecuación e la recta tangente a la curva y que es paralela a la recta 8 y 0 Rpta.: 8 y Graficar analizano máimos, mínimos, intervalos e crecimiento, ecrecimiento, puntos e infleión, intervalos e concavia e: f ( ) Graficar analizano máimos, mínimos, intervalos e crecimiento, ecrecimiento, puntos e infleión, intervalos e concavia e: f ( ) 5 8. Realizano un análisis completo construir la gráfica e: f ( ) 9. Entre toos los rectángulos e un área S, eterminar aquél cuyo perímetro sea mínimo. Rpta.: los laos el rectangulo son s 0. Hallar el triángulo rectángulo e área máima. Si la suma e un cateto y la ipotenusa es una constante C c c Rpta.: los laos el triangulo son y. Hallar las coorenaas ( y, ) e la parábola y, más cercano al punto (9,0) Rpta.: (,) jny_c@otmail.com 9

3 DERIVADAS ALGEBRAICAS

3 DERIVADAS ALGEBRAICAS DERIVADAS ALGEBRAICAS DERIVADAS ALGEBRAICAS Entiénase la erivaa como la peniente e la recta tangente a la función en un punto ao, lo anterior implica que la función ebe eistir en ese punto para poer trazar

Más detalles

(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x)

(f + g) (x) = f (x) + g (x) (α f) (x) = α f (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g. [g(x)] 2 (f g) (x) = f (g(x)) g (x) Derivaa e una función en un punto: El concepto e erivaa e una función matemática se halla íntimamente relacionao con la noción e límite. Así, la erivaa se entiene como la variación que experimenta la función

Más detalles

Información importante

Información importante Departamento e Matemática Coorinación e Matemática I (MAT01) 1 er Semestre e 010 Semana 1: Lunes 07 viernes 11 e Junio Información importante Durante esta semana se publicarán las notas el Certamen en

Más detalles

4.1. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

4.1. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Escuela Colombiana e Ingeniería 4.. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Derivaa e y La erivaa e y se puee obtener como: y + Lim 0 Para calcular este límite se utilizan los siguientes conceptos previamente

Más detalles

3.1. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN

3.1. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN .. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN La erivaa y ' f ' es la primera erivaa e y con respecto a, pero igualmente es posible realizar la erivaa e la erivaa, y y '' f ''. Lo que se conoce como la seguna erivaa e

Más detalles

INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS

INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Las tutorías corresponen a los espacios acaémicos en los que el estuiante el Politécnico Los Alpes puee profunizar y reforzar sus conocimientos en iferentes temas e cara al eamen

Más detalles

( ) 2. Pendiente de una Recta Tangente. Sea f una función que es continua en x. 1. Para definir la pendiente de la recta tangente ( )

( ) 2. Pendiente de una Recta Tangente. Sea f una función que es continua en x. 1. Para definir la pendiente de la recta tangente ( ) Derivaa e una Función Ínice.. Introucción.. Peniente e una recta tangente.. Derivaa e una función. 4. Derivaas laterales. 5. Derivaa e una función compuesta (Regla e la Caena). 6. Tabla e erivaas usuales.

Más detalles

DEFINICION DE DERIVADA Sea una función definida en un intervalo abierto que contiene a a Diremos que f es Derivable en a si: si este límite existe

DEFINICION DE DERIVADA Sea una función definida en un intervalo abierto que contiene a a Diremos que f es Derivable en a si: si este límite existe DERIVADA DEFINICION DE DERIVADA Sea una función efinia en un intervalo abierto que contiene a a Diremos que f es Derivable en a si: si este límite eiste Dicho límite, cuano eiste, se llama DERIVADA e f

Más detalles

2.5 Derivación implícita

2.5 Derivación implícita SECCIÓN.5 Derivación implícita 4.5 Derivación implícita Distinguir entre funciones eplícitas e implícitas. Hallar la erivaa e una función por erivación implícita. E X P L O R A C I Ó N Representación gráfica

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS DERIVADA INCREMENTOS x = x - x y2 = f(x2) y = y - y y = f(x )

MATEMÁTICAS BÁSICAS DERIVADA INCREMENTOS x = x - x y2 = f(x2) y = y - y y = f(x ) Faculta e Contauría Aministración. UNAM Derivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS DERIVADA INCREMENTOS Se eine como incremento e la variable al aumento o isminución que eperimenta,

Más detalles

2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior

2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior SECCIÓN 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior 119 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior Encontrar la erivaa e una función por la regla el proucto. Encontrar

Más detalles

Tema 6: Derivadas, Técnicas de Derivación

Tema 6: Derivadas, Técnicas de Derivación Matemáticas º Bacillerato CCNN Tema 6: Derivaas, Técnicas e Derivación.- Introucción.- Tasa e Variación Meia.- Derivaa e una unción en un punto..- Derivaas Laterales...- Interpretación geométrica e la

Más detalles

FUNCIONES IMPLÍCITAS. y= e tanx cos x. ln x. y= x x CAPÍTULO 10. 10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 2 y 3)

FUNCIONES IMPLÍCITAS. y= e tanx cos x. ln x. y= x x CAPÍTULO 10. 10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 2 y 3) CAPÍTULO 10 FUNCIONES IMPLÍCITAS 10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 3) En el curso e Precálculo el 4º semestre se vieron iferentes clasificaciones e las funciones, entre ellas las funciones eplícitas

Más detalles

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Universia Metropolitana Dpto. e Matemáticas Para Ingeniería Cálculo I (FBMI0) Proesora Aia Montezuma Revisión: Proesora Ana María Roríguez Semestre 08-09A DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES DERIVADAS

Más detalles

CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería 5.1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ( ) f ( x) = a Enunciado. x h x. x h.

CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería 5.1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ( ) f ( x) = a Enunciado. x h x. x h. Escela Colombiana e Ingeniería.. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Aplicano la efinición e la erivaa se tiene: f a Ennciao. + f + f a a f ' Lim Lim Aplicano la efinición e la erivaa. 0 0 a a a a ( a f

Más detalles

4. Mecánica en la Medicina Derivar e Integrar

4. Mecánica en la Medicina Derivar e Integrar 4. Mecánica en la Meicina Derivar e Integrar Teoría Dr. Willy H. Gerber Instituto e Ciencias Físicas y Matemáticas, Universia Austral, Valivia, Chile 17.04.2011 W. Gerber 4. Mecánica en la Meicina - Matemática

Más detalles

La regla de la constante. DEMOSTRACIÓN Sea ƒ(x) c. Entonces, por la definición de derivada mediante el proceso de límite, se deduce que.

La regla de la constante. DEMOSTRACIÓN Sea ƒ(x) c. Entonces, por la definición de derivada mediante el proceso de límite, se deduce que. SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio 07. Reglas básicas e erivación razón e cambio Encontrar la erivaa e una función por la regla e la constante. Encontrar la erivaa e una función por la

Más detalles

LA DERIVADA POR FÓRMULAS

LA DERIVADA POR FÓRMULAS CAPÍTULO LA DERIVADA POR FÓRMULAS. FÓRMULAS Obtener la erivaa e cualquier función por alguno e los os métoos vistos anteriormente, el e tabulaciones y el e incrementos, resulta una tarea muy engorrosa,

Más detalles

Cálculo Diferencial en una variable

Cálculo Diferencial en una variable Tema 3 Cálculo Diferencial en una variable 3.1 Introucción Analizaremos en este Tema los conceptos funamentales acerca e las erivaas e las funciones reales e variable real. En el tema siguiente estuiaremos

Más detalles

2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior

2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior SECCIÓN.3 Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior 119.3 Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior Encontrar la erivaa e una función por la regla el proucto. Encontrar la erivaa

Más detalles

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Unia os Geometría Trigonometría 8. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8. El círculo trigonométrico o unitario En temas anteriores, las funciones trigonométricas se asociaron con razones, es ecir con cocientes e

Más detalles

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CAPÍTULO 6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 6.1 FUNCIONES TRASCENDENTES (Áreas 1, y ) Las funciones trascenentes se caracterizan por tener lo que se llama argumento. Un argumento es el número o letras que lo

Más detalles

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS CAPÍTULO 7 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 7. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Una fnción eponencial es aqella en la qe la variable está en el eponente. Ejemplos e fnciones eponenciales son

Más detalles

Regla de la cadena. f (x) 1 x 3. d dx x3 1 x 3. (3x 2 ) 3 x. f(x) 3 d dx ln x 3. 1 x. para x70, d dx ln x 1. para x60, d dx ln( x) 1x.

Regla de la cadena. f (x) 1 x 3. d dx x3 1 x 3. (3x 2 ) 3 x. f(x) 3 d dx ln x 3. 1 x. para x70, d dx ln x 1. para x60, d dx ln( x) 1x. 74 CAPÍTULO 3 La erivaa EJEMPLO 4 Diferencie f ()=ln 3. Regla e la caena Solución Debio a que 3 ebe ser positiva, se entiene que 70. Así, por (3), con u= 3, tenemos Solución alterna: Por iii) e las lees

Más detalles

Reglas de derivación (continuación)

Reglas de derivación (continuación) Derivaas Reglas e erivación Suma [f() + g()] = f () + g () Proucto Cociente [kf()] = kf () [f()g()] = f ()g() + f()g () [ ] f() = f ()g() f()g () g() g() Regla e la caena {f[g()]} = f [g()]g () {f(g[h()])}

Más detalles

4. CÁLCULO INTEGRAL...71

4. CÁLCULO INTEGRAL...71 Inice. FUNCIONES..... NATURALEZA Y DEFINICIÓN DE FUNCIÓN MATEMÀTICA..... PRINCIPALES TIPOS DE FUNCIONES...9.. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES.... LÍMITES..... LÌMITE DE UNA FUNCIÒN..... PROPIEDADES DE LOS

Más detalles

Áreas entre curvas. Ejercicios resueltos

Áreas entre curvas. Ejercicios resueltos Áreas entre curvas Ejercicios resueltos Recordemos que el área encerrada por las gráficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada por Ejercicios resueltos b a f x g x dx Ejercicio

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

Ejercicio 1 Relacione convenientemente cada una de las siguientes expresiones: (considere x > 0 ) P Q a b. ax + bxh + h. x bxh

Ejercicio 1 Relacione convenientemente cada una de las siguientes expresiones: (considere x > 0 ) P Q a b. ax + bxh + h. x bxh Módulo 1 DERIVADAS 1.1 Reglas de diferenciación Reconocimiento de saberes Ejercicio 1 Relacione convenientemente cada una de las siguientes epresiones: (considere > 0 ) ln ( e ) ln ln ( e ) ln e ln + ln

Más detalles

Ejercicios de derivadas e integrales

Ejercicios de derivadas e integrales Ejercicios e erivaas e integrales Este material puee escargarse ese http://wwwuves/~montes/biologia/matceropf Departament Estaística i Investigació Operativa Universitat e València Derivaas Reglas e erivación

Más detalles

Cuál es el resto? Números en columnas. Con la planilla de cálculo: b) Se escriben los números

Cuál es el resto? Números en columnas. Con la planilla de cálculo: b) Se escriben los números Números en columnas a) Se escriben los números en tres columnas: Encuentra en qué columna se ubican los números: 24; 141; 814; 1721; 10001. b) Se escriben los números en cinco colum- 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Más detalles

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS UNIDAD APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 98 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f

Más detalles

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

TEMA 4: Transformaciones 3D

TEMA 4: Transformaciones 3D TEMA 4: Transformaciones D Ínice. Sistemas e Coorenaas. Transformaciones Básicas. Traslación. Escalao. Rotación lana 4. Afilamiento 5. Deformaciones. Composición e Transformaciones 4. Rotación General

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Universidad de San Carlos de Guatemala

Universidad de San Carlos de Guatemala Clave: 03-2-M-2-00-203 Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Departamento de matemática Curso: Matemática Básica 2 Código del curso: 03 Semestre: Segundo semestre 203 Tipo de eamen:

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

1. Resolver las siguientes ecuaciones o inecuaciones.

1. Resolver las siguientes ecuaciones o inecuaciones. . Resolver las siguientes ecuaciones o inecuaciones. a) + ; b) + 9 + 6 + ; c) + + ; d) = + + ; e) + = 0; f) 5 < + ; g) + > ; h) < < ; i) + < ; j) + ; b) < ó c) 05 9 05 9 ó < ó > 0

Más detalles

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión

Más detalles

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio A-09 - Incorporado a la Enseñanza Oficial COLEGIO SAN PATRICIO - 0 - Prof. Celia R. Sánchez MATEMÁTICA - TRABAJO PRÁCTICO Nº 8 AÑO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA - ECUACIONES POTENCIACIÓN: Ejercicio

Más detalles

Guía de Estudio Algebra y Trigonometría Para Ciencias Agropecuarias

Guía de Estudio Algebra y Trigonometría Para Ciencias Agropecuarias Guía de Estudio Para Ciencias Agropecuarias Unidad: Geometría Analítica Los siguientes ejercicios están relacionados con los principales temas de Geometría Analítica e involucra todos los conocimientos

Más detalles

CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1

CBC. Matemática (51) universoexacto.com 1 CBC Matemática (51) universoexacto.com 1 PROGRAMA ANALÍTICO 1 :: UNIDAD 1 Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta

Más detalles

Matemáticas 2 Agosto 2015

Matemáticas 2 Agosto 2015 Laboratorio # 1 Línea recta I.-Determina la ecuación de la recta que satisface las siguientes condiciones y exprésala en la forma general. Pasa por el punto (1,5) y tiene pendiente 2 Pasa por y Pendiente

Más detalles

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad

PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad PRIMITIVAS E INTEGRAL DEFINIDA Ejercicios de selectividad Sea f : R R la función definida por f() = e /. (a) En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?

Más detalles

1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?.

1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?. ejerciciosyeamenes.com EXAMEN DERIVADAS. Estudia la derivabilidad de la función si f ()= si > 3. )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg() tiene pendiente?. 4. Ecuación de la recta tangente

Más detalles

Derivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva

Derivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva Nivelación de Matemática MTHA UNLP Derivada Pendiente de la recta tangente a una curva Definiciones básicas Dada una curva que es la gráfica de una función y = f() y sea P un punto sobre la curva La pendiente

Más detalles

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría Aplicaciones de las derivadas. Máimos, mínimos y monotonía Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f representada en el margen, halla los máimos y los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Planteamiento y resolución de los problemas de optimización Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por de ancha. Para ello

Más detalles

Preparación para cálculo

Preparación para cálculo Preparación para cálculo Este curso cubre los siguientes temas. Usted puede personalizar la gama y la secuencia de este curso para satisfacer sus necesidades curriculares. Plan de estudios (406 temas)

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

VECTORES: RECTAS Y PLANOS

VECTORES: RECTAS Y PLANOS ECTORES: RECTAS Y LANOS Determinar la ecuación e la recta que pasa por los puntos (3, 1, 0) y (1, 1, 2). Solución: I.T.I. 93, I.T.T. 04 Sea un punto A genérico e la recta e coorenaas ( x, y, z), los vectores

Más detalles

Apuntes sobre la Parábola: su medición según Arquímedes y otras propiedades

Apuntes sobre la Parábola: su medición según Arquímedes y otras propiedades Investigación y Docencia por Néstor guilera puntes sobre la Parábola: su meición según rquímees y otras propieaes Introucción (Versión revisaa e mayo e 2001) Muchas veces habrán oío que rquímees fue el

Más detalles

= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x

= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas

Más detalles

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

3.4. Derivadas de funciones trigonométricas. Derivada de la función seno

3.4. Derivadas de funciones trigonométricas. Derivada de la función seno 3.4 Derivaas e funciones trigonométricas 83 T 6. Drenao e un tanque El número e galones e agua que ay en un tanque t minutos espués e que éste empezó a vaciarse es Q(t) (3 t). Qué tan rápio salía el agua

Más detalles

LA CICLOIDE, UNA CURVA DE MUCHO EMPAQUE

LA CICLOIDE, UNA CURVA DE MUCHO EMPAQUE LA CICLOIDE, UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE CALOS S CHINEA LA CICLOIDE UNA CUVA DE MUCHO EMPAQUE Una breve introucción 1 Ecuaciones paramétricas La tangente y la normal en un punto 3 Longitu e un arco 4 El

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE CONFIABILIDAD

CONCEPTOS BÁSICOS DE CONFIABILIDAD CAPÍTULO II CONCEPTOS BÁSICOS DE CONFIABILIDAD El iseño e sistemas, comprene los aspectos más amplios e la organización e equipo complejo, turnos e operación, turnos e mantenimiento y e las habiliaes necesarias

Más detalles

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.

No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números

Más detalles

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que

Más detalles

Calcula la tangente de las siguientes curvas en los puntos dados: Calcula la derivada de las siguientes funciones: e) f (x) = x x.

Calcula la tangente de las siguientes curvas en los puntos dados: Calcula la derivada de las siguientes funciones: e) f (x) = x x. Derivadas Definición Reglas de derivación jercicio Calcula la tangente de las siguientes curvas en los puntos dados: a) y = en el origen + b) y = cos() en ( c) y = + en (3, 0) π, 0) d) y = en (, ) Solución

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

Preparación para Álgebra universitaria con trigonometría

Preparación para Álgebra universitaria con trigonometría Preparación para Álgebra universitaria con trigonometría Este curso cubre los siguientes temas. Usted puede personalizar la gama y la secuencia de este curso para satisfacer sus necesidades curriculares.

Más detalles

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto

Más detalles

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIEL TRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes

Más detalles

Cálculo de derivadas

Cálculo de derivadas 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula La gráfica f() representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa

Más detalles

UCLM - Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG)

UCLM - Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) PAEG Junio 03 Propuesta B Matemáticas aplicaas a las CCSS II º Bachillerato UCLM - Pruebas e Acceso a Enseñanzas Universitarias Oiciales e Grao (PAEG) Matemáticas aplicaas a las Ciencias Sociales II Junio

Más detalles

Logaritmo Natural. Z x. 1 t dt = ln(x) = I 1 1. ln(x) < 0 para x 2 (0; 1) y ln(x) > 0 para x 2 (1; 1)

Logaritmo Natural. Z x. 1 t dt = ln(x) = I 1 1. ln(x) < 0 para x 2 (0; 1) y ln(x) > 0 para x 2 (1; 1) Logaritmo Natural Si n 6= ya sabemos que R x t n t = n+ xn+ + C, con C una constante. De nición. La regla e corresponencia ln(x) = Z x t t = Z x I e ne una función con ominio D ln = (0; ): A esta función

Más detalles

48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU 48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU Unidad. Funciones. Derivabilidad TEMA FUNCIONES.DERIVABILIDAD.. Tasa de variación media. Derivada en un punto. Interpretación.. Tasa de variación

Más detalles

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo

Más detalles

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA f( t) f: ; t a, b y g() t De la regla de la cadena dy dy dt d dt d En donde dt se puede calcular

Más detalles

Unidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.

Unidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Unidad II Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Función En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio)

Más detalles

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x = Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.

Más detalles

Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL UAH Funciones reales de variable real 1 Tema FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una relación (una ley) que asigna a cada elemento

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas.

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. PROBLEMAS DE CÁLCULO INFORMÁTICA DE SISTEMAS . Cálculo diferencial. Probar que a si y sólo si a a, siendo a >. Utilizar estas desigualdades

Más detalles

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada

Más detalles

Academia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1

Academia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS 10. CARLOS VALLEJO MÁRQUEZ PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA Distancia entre puntos 1.- Determina la distancia entre los puntos

Más detalles

EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL

EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL AÑO 014 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 CAPÍTULO 1: FUNCIONES

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES

EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES 1. Resolver las inecuaciones: a) 3-8 - 7 b) 6-5 > 1-10 a) Para resolver la inecuación, se pasan los términos con al primer miembro y los independientes al segundo quedando

Más detalles

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 7 INTRODUCCIÓN El propósito e este tema es introucir a los alumnos en la terminología básica e las Ecuaciones Diferenciales eaminar brevemente como se

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

Inecuaciones: Actividades de recuperación.

Inecuaciones: Actividades de recuperación. Inecuaciones: Actividades de recuperación. 1.- Escribe la inecuación que corresponde a los siguientes enunciados: a) El perímetro de un triángulo equilátero es menor que 4. (x = lado del triángulo) b)

Más detalles

Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.

Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 1 Unidad 2: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. 1.- Factorización de polinomios. M. C. D y m.c.m de polinomios. Un número a es raíz de un polinomio es 0.

Más detalles

Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente

Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. La recta tangente a una curva en un punto

Más detalles

TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial

TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial En este tema vamos a hacer un estudio preliminar de las funciones de una variable real y el importante concepto de derivada. Comenzaremos recordando las funciones

Más detalles

TEMA 3: CÁLCULO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

TEMA 3: CÁLCULO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES TEMA : CÁLCULO DE FUNCIONES DE AIAS AIABLES. Hallar f,. f, f,. 4 4. Hallar el valor de la función f, en los puntos de la circunferencia.. Calcular los guientes límites: cos lim,, sen lim,, c, lim con,

Más detalles

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 5 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o

Más detalles

Trigonometría Analítica. Sección 6.6 Funciones trigonométricas inversas

Trigonometría Analítica. Sección 6.6 Funciones trigonométricas inversas 6 Trigonometría Analítica Sección 6.6 Funciones trigonométricas inversas Funciones Inversas Recordar que para una función, f, tenga inversa, f -1, es necesario que f sea una función uno-a-uno. o Una función,

Más detalles

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo III La derivada y algunas aplicaciones

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo III La derivada y algunas aplicaciones (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo III La derivada y algunas aplicaciones INTRODUCCIÓN Uno de los problemas fundamentales del Cálculo Diferencial se refiere a la determinación

Más detalles

[b] Aunque se puede calcular los índices de refracción, vamos a utilizar la expresión de la ley de

[b] Aunque se puede calcular los índices de refracción, vamos a utilizar la expresión de la ley de Opción A. Ejercicio [a] En qué consiste el fenómeno e la reflexión total e una ona? Qué circunstancias eben cumplirse para que ocurra? Defina el concepto e ángulo límite. ( punto) [b] Una ona sonora que

Más detalles

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : GEOGRAFÍA AYUD. C. ESCOBEDO C. AÑO : 2009 GEOMETRÍA ANALÍTICA

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : GEOGRAFÍA AYUD. C. ESCOBEDO C. AÑO : 2009 GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA DE GEOGRAFÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA CONSTRUCCIÓN ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS

Más detalles

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES

Más detalles

ECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA

ECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones ECUACIONES NO POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Una ecuación no polinómica es, en general, más difícil de resolver que una

Más detalles

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim Límites CIT_H. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: ( ) + + + a) lim b) lim c) lim d) lim + + + + + e) lim f) lim g) lim h) lim + 0 + + 9 + j) lim k) lim l) lim

Más detalles