INDICE Capitulo Primero. Número. Variable. Función Capitulo II. Límite y Continuidad de las Funciones Capitulo III. Derivada y Diferencial
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- Francisco Javier Valverde Páez
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1 INDICE Capitulo Primero. Número. Variable. Función 1. Números reales. Representación de números reales por los puntos 1 del eje numérico 2. Valor absoluto de un número real 3 3. Magnitudes variables y constantes 4 4. Dominio de definición de una variable 5 6. Función 8 7. Formas diversas de expresión de funciones 9 8. Funciones elementales principales. Funciones elementales Funciones algebraicas 16 Capitulo II. Límite y Continuidad de las Funciones 1. Límite de una variable. Variable infinitamente grande Límite de una función Función que tiende a infinito. Funciones acotadas Infinitésimos y sus propiedades fundamentales Teoremas fundamentales sobre límites Límite de la función sen x cuando x 0 40 x 7. El número e Logaritmos naturales Continuidad de las funciones Propiedades de las funciones continuas Comparación de infinitésimos 56 Capitulo III. Derivada y Diferencial 1. Velocidad del movimiento Definición de la derivada Interpretación geométrica de la derivada Funciones derivables Cálculo de la derivada de las funciones elementales. Derivada de la 70 función y = xn, siendo n entero y positivo 6. Derivadas de las funciones y = sen x; y = cos x Derivada de una constante, del producto de una constante por una 74 función, de la suma de producto y cociente de dos funciones 8. Derivada de la función logarítmica Derivada de una función compuesta Derivadas de las funciones y = tg x, y = ctg x, y = ln [x] La función implícita y su derivada Derivadas de la función potencial con exponente real cualquiera, de 87 la función exponencial y de función exponencial compuesta 13. Función inversa y su derivación Funciones trigonométricas y sus derivadas Tabla de las principales fórmulas de derivación Funciones dadas en forma paramétrica Ecuaciones paramétricas de algunas curvas 102
2 18. Derivada de una función dada paramétricamente Funciones hiperbólicas Diferencial Significado geométrico de la diferencial Derivadas de diversos órdenes Diferenciales de órdenes diversos Derivada de diversos órdenes de las funciones implícitas y de las 120 funciones definidas paramétricamente 25. Interpretación mecánica de la derivada segunda Ecuaciones de la tangente y de la normal. Longitudes de la 124 subtangente y de la subnormal 27. Significado geométrico de la derivada del radio vector respecto al 128 ángulo polar Capitulo IV. Teoremas sobre las Funciones Derivables 1. Teorema sobre la raíces de la derivada (teorema de Rolle ) Teorema de los incrementos finitos (teorema de Lagrange) Teorema sobre el cociente de los incrementos de dos funciones 149 (teorema de Cauchy) 4. Límite del cociente de dos infinitésimos. (Cálculo del límite de 150 indeterminaciones del tipo 0/0 5. Límite del coeficiente de dos magnitudes infinitamente grandes 164 (Cálculo del límite de indeterminaciones de la forma oo/oo) Capitulo V. Análisis de la Variación de las Funciones 1. Generalidades Crecimiento y decrecimiento de una función Máximo y mínimo de las funciones Análisis del máximo y mínimo de una función derivable mediante la 181 primera derivada 5. Análisis del máximo y mínimo de una función mediante la segunda 184 derivada 6. Valores máximo y mínimo de una función en un intervalo Aplicaciones a la teoría de máximos y mínimos de las funciones Análisis de los valores máximos y mínimos de una función mediante 192 la fórmula de Taylor 9. Convexidad y concavidad de las curvas. Puntos de inflexión Asíntotas Esquemas general del análisis de funciones y de la construcción de 207 gráficas 12. Estudio de las curvas dadas en forma paramétricas 212 Capitulo VI. Curvatura de una Curva 1. longitud del arco y su derivada Curvatura Cálculo de la curvatura Cálculo de la curvatura de una curva dada en forma paramétrica Cálculo de la curvatura de una curva dada en coordenadas polares Radio y círculo de curvatura. Centro de curvatura. Evoluta y evolvente 236
3 8. Cálculo aproximado de las raíces reales de una ecuación 246 Capitulo VII. Números Complejos. Polinomios 1. Números complejos. Generalidades Operaciones fundamentales con números complejos Elevación a una potencia y extracción de la raíz de un número 260 complejo 4. Función exponencial de exponente complejo y sus propiedades Fórmula de Euler. Forma exponencial de un número complejo Descomposición de un polinomio en factores Raíces múltiples de un polinomio Descomposición en factores de un polinomio con raíces complejas Interpolación. Fórmula de interpolación de Lagrange Fórmula de interpolación de Newton Derivación numérica Aproximación de las funciones mediante polinomios. Teoría de 280 Chébishev Capitulo VIII. Funciones de Varias Variables 1. Definición de las funciones de varias variables Representación geométrica de una función de dos variables Incremento parcial y total de la función Continuidad de las funciones de varias variables Derivadas parciales de la función de varias variables Interpretación geométrica de las derivadas parciales de una función 295 de dos variables 7. Incremento total y diferencial total Aplicación de la diferencial total a cálculos aproximados Aplicación de la diferencial a la evaluación del error en cálculos 302 numéricos 10. Derivada de una función compuesta. Derivada total Derivación de funciones implícitas Derivadas parciales de órdenes superiores Superficies y líneas de nivel Derivadas según un dirección Gradiente Fórmulas de Taylor correspondiente a una función de dos variables Máximos y mínimos de una función de varias variables Máximos y mínimos de una función de varias variables relacionadas 337 mediante ecuaciones dadas (máximos y mínimos ligados) 19. Ajuste de una función a unos datos experimentales por el método de 342 mínimos cuadrados Capitulo IX. Aplicaciones del Cálculo Diferencial a la Geometría del Espacio 1. Ecuaciones de una curva en el espacio Límite y derivada de una función vectorial de una variable independiente escalar. Ecuación de la tangente a una curva. Ecuación del plano normal 3. Reglas de derivación de los vectores (funciones vectoriales)
4 4. Derivadas primera y segunda de un vector respecto a la longitud del arco. Curvatura de la curva. Norma principal. Velocidad y aceleración de 370 un punto animado de un movimiento curvilíneo 5. Plano oscilador. Binomial. Torsión Plano tangente y normal a una superficie 385 Capitulo X. Integral Indefinida 1. Función primitiva e integral indefinida Tabla de integrales Propiedades de la integral indefinida Integración por cambio de variable o por sustitución Integración de ciertas funciones que contiene un trinomio de segundo 403 grado 6. Integración por partes Funciones racionales. Fracciones racionales elementales y su 411 integración 8. Descomposición de una fracción racional en fracciones simples Integración de las fracciones racionales Método de Ostrgradski Integración de funciones irracionales Integrales del tipo S R(x, ax2 + bx + c)dx Integración de las integrales binomias Integración de funciones trigonométricas Integración de funciones irracionales mediante sustituciones 441 trigonométricas 16. Funciones cuyas integrales no pueden expresarse mediante 443 funciones elementales Capitulo XI. Integral Definida 1. Planteamiento del problema. Sumas inferior y superior Integral definida Propiedades fundamentales de la integral definida Cálculo de la integral definida. Fórmulas de Newton Leibniz Cambio de variable en una integral definida Integración por pares Integración impropias Cálculo aproximado de las integrales definidas Fórmula de Chébishev Integrales dependientes de un parámetro Integración de una función compleja de variable real 507 Capitulo XII. Aplicaciones Geométricas y Mecánicas de la Integral Definida 1. Cálculo de áreas en coordenadas rectangulares área de un sector curvilíneo en coordenadas polares Longitud de un arco de curva Cálculo del volumen de un cuerpo en función de las áreas de 525 secciones paralelas 5. Volumen de un cuerpo de revolución Área de un cuerpo de revolución 528
5 7. Cálculo del trabajo mediante la integral definida Coordenadas del centro de gravedad Cálculo de momentos de inercia mediante la integral defendida 537 Capitulo XIII. Ecuaciones Diferenciales 1. Planteamiento del problema Definiciones Ecuaciones diferenciales de primer orden (generalidades) Ecuaciones de variables separadas y separables Ecuaciones homogéneas de primer orden Ecuaciones que se reducen a ecuaciones homogéneas Ecuaciones lineales de primer orden Ecuación de Bernoulli Ecuaciones en diferenciales totales Factor integrante Envolvente de un a familia de curvas Soluciones singulares de las ecuaciones diferenciales de primer 586 orden 13. Ecuación de Clairaut Ecuación de Lagrange Trayectorias ortogonales e isogonales Ecuaciones diferenciales de orden superior a uno (generalidades) Ecuación de la forma y(n) = f(x) Algunos tipos de ecuaciones diferenciales de segundo orden que se 603 reducen a ecuaciones de primer orden 19. Método gráfico de integración de las ecuaciones diferenciales de 613 segundo orden 20. Ecuaciones lineales homogéneas. Definiciones y propiedades 616 generales 21. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden 623 con coeficientes constantes 22. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de n SIMO orden 628 con coeficientes constantes 23. Ecuaciones diferenciales no homogéneas de segunda orden Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden 635 con coeficientes constantes 25. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden n Ecuación diferencial de las oscilaciones mecánicas Oscilaciones libres Oscilaciones forzadas Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes 663 constantes 31. Nociones sobre la teoría de la estabilidad de Liapunov Solución aproximada de las ecuaciones diferenciales de primer 676 orden por el método de Euler 33. Solución aproximada de las ecuaciones diferenciales por el método de la diferencias, basado en el empleo de la fórmula de Taylor. Método 679 de Adams
6 34. Método aproximado de integración de los sistemas de ecuaciones 686 diferenciales de primer orden Capitulo XIV. Integrales Múltiples 1. Integral doble Cálculo de la integral doble Cálculo de la integral doble (continuación) Cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales dobles Integrales dobles en coordenadas polares Cambio de variables en una integral doble (caso general) Cálculo de áreas de superficies Densidad de áreas de superficies Momento de inercia de una figura plana Coordenadas del centro de gravedad de una figura plana Integral triple Cálculo de integrales triples Cambio de variables en una integral triple Momento de inercia y coordenadas del centro de gravedad de un 764 cuerpo 15. Cálculo de las integrales dependientes de un parámetro 766 Capitulo XV. Integrales Curvilíneas e Integrales de Superficie 1. Integral curvilínea Cálculo de la integral curvilínea Fórmula de Green Condiciones para que una integral curvilínea no dependa del camino 788 de integración 5. Integral de superficie Cálculo de la integral de superficies Fórmula de Stokes Fórmula de Ostrogradski Operador de Hamilton y algunas de sus aplicaciones 808 Capitulo XVI. Series 1. Serie. Suma de una serie Condición necesaria de convergencia de una serie Comparación de series de términos positivos Criterio de d Alembert Criterio de Cauchy Criterio integral de convergencia Series alternadas. Teorema de Leibniz Series de términos positivos y negativos. Convergencia absoluta y 841 condicional 9. Series de funciones Series mayorables Continuidad de la suma de una serie Integración y derivación de las series Series de potencias, intervalo de convergencia Derivación de las series de potencias 860
7 15. Series de potencias de x a Series de Taylor y de Maclaurin Ejemplos de desarrollo de funciones en series Fórmula de Euler Serie binomial Desarrollo de la función ln (1 + x) en serie de potencias, cálculo de 870 logaritmos 21. Aplicación de las series al cálculo de integrales definidas Aplicación de las series a la integración de ecuaciones diferenciales Ecuación de Bessel 878 Capitulo XVII. Series de Fourier 1. Definición. Planteamiento del problema Ejemplos de desarrollo de funciones en serie de Fourier Una observación sobre el desarrollo de funciones periódicas en serie 904 de Fourier 4. Series de Fourier de funciones pares e impares Serie de Fourier de funciones de período 2l Desarrollo de una función no periódica en serie de Fourier Aproximación en media de una función dada mediante polinomios 912 trigonométricas 8. Integral de Dirichlet Convergencia de una serie de Fourier en un punto dado Algunas condiciones supeficientes para la convergencia de una serie 923 de Fourier 11. Análisis armónico numérico Integral de Fourier Integral de Fourier en forma compleja 932 Capitulo XVIII. Aplicaciones Físicas 1. Tipos fundamentales de ecuaciones de la física matemática Ecuación de las oscilaciones de una cuerda Solución de la ecuación de vibraciones de una cuerda por el método 942 de separación de las variables (Método de Fourier) 4. Ecuación de difusión del calor de un vástago. Planteamiento del 946 problema con condiciones de contorno 5. Difusión del calor en el espacio Solución del primer problema de contorno para la ecuación de 952 conducción del calor por el método de diferencias finitas 7. Difusión del calor en un vástago ilimitado Problemas que conducen a la búsqueda de las soluciones de la 960 ecuación de Laplace. Planteamiento de los problemas de contorno 9. Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas. Solución del problema de Dirichlet para un anillo circular con valores constantes de la 966 función desconocida en las circunferencias interna y externa 10. Solución del problema de Dirichlet para un círculo Solución del problema de Dirichlet por el método de diferencias 972 finitas Capitulo XIX.
8 Cálculo Operacional y Algunas de sus Aplicaciones 1. Función inicial y su transformación Transformadas de las funciones o(t) sen t, cos t Transformada de la función con escala modificada de la variable 984 independiente 4. Propiedad de lineabilidad de la transformada Teorema del desplazamiento Transformadas de las funciones e at, Sh at, Ch at, e-at cos at Derivación de la transformada Recurrencia entre las derivadas Tabla de transformadas Aplicaciones de la transformada de Laplace a la resolución de una 993 ecuación diferencial dada 11. Transformadas de fracciones racionales Ejemplos de solución de ecuaciones diferenciales y sistemas de 1000 ecuaciones diferenciales por el método operacional 13. Teorema de plegamiento Ecuaciones diferenciales de la teoría de circuitos eléctricos Solución de la ecuación diferencial de las oscilaciones Estudio de las oscilaciones libres Estudio de las oscilaciones mecánicas y eléctricas en caso de 1008 aplicación de un a fuerza exterior periódica 18. Solución de la ecuación de las oscilaciones en el caso de resonancia Teorema de retardo 1012
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