TEMA 6. INTEGRALES INDEFINIDAS
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- Celia Vargas Coronel
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1 Unidd. Ingrls Indfinids TEM. INTEGRLES INDEFINIDS. Dfinición d Ingrl. Primiiv d un función.. Propidds d ls ingrls.. Ingrls inmdis. Méodos d ingrción.. Obnción d ingrls inmdis.. mbio d vribl.. Por prs.. Funcions rcionls.. Funcions rigonomérics. José Luis Lorn rgón
2 Unidd. Ingrls Indfinids ono con l P..U. En csi odos los ámns d l PU n un opción, incluso vcs n ls, ndrmos qu rlizr un ingrl, bin s indfinid o bin dfinid pr clculr un ár. L ingrción prc como un cusión d puno o un prdo dl problm d funcions. Pr l cálculo d árs y l d ingrls dfinids qu vrmos n l siguin m s ncsrio l cálculo ns d ingrls indfinids. Por lo gnrl si nos pidn clculr un ár l ingrl clculr srá más sncill qu si nos pidn clculr dircmn l ingrl indfinid. Por lo gnrl l lumno l rlizción d ingrls l rsul cosos l principio. Pro un vz qu l lumno mpic cogr solur y rlizr los jrcicios, comprndrá l méodo d ingrción plicr y no l rsulrá csivmn complicdo puns d Mmáics II pr prprr l mn d l PU
3 Unidd. Ingrls Indfinids. Dfinición d ingrl. Primiiv d un función. L ingrl s l oprción conrri d l drivd. sí si f noncs g s su drivd; d igul form l ingrl d g s f. drivd f ingrl g Dfinición: un función F s un primiiv d or función f dd, si l drivd d F s f: F primiiv d f F f El procso mdin l cul obnmos un primiiv d un función f s dnomin ingrción. sí como dd un función f su función drivd s únic, isn infinis primiivs d un función. Tods ls primiivs s difrncin por un consn. sí si F s un primiiv d f od función d l form GFK s mbién primiiv, y qu G Fk F f. Dfinición: l ingrl dfinid d un función f s l conjuno d ods ls primiivs d f, y s rprsn por: f d F dond F s un primiiv d f y s un consn consn d ingrción. El símbolo ingrl simpr v compñdo dl difrncil, d, qu nos indic sobr qu vribl s rliz l ingrl.. Propidds d l ingrl Vmos ls siguins propidds básics pr rlizr ls ingrls: P: l ingrl d un númro rl por un función s igul l númro por l ingrl d l función, s dcir ls consns s pudn scr fur d l ingrl: k f d k f d P.: L ingrl d l sum o difrnci d dos funcions s igul l sum o difrnci d ls ingrls d dichs funcions: g d f d f ± ± g d José Luis Lorn rgón
4 Unidd. Ingrls Indfinids. Ingrls inmdis l igul qu ls drivds nmos un bl d ingrls inmdis, s fácil d sudirls y qu s l plicción invrs l drivd. En s bl dmás d ls ingrls inmdis vrmos l primiiv compus, dond n vz d prcrá f y n vz d d prc f d. T B L D E I N T E G R L E S I N M E D I T S PRIMITIV SIMPLE PRIMITIV OMPUEST EJEMPLO d f f ' d f sn sn cos d d f f f ' d d f f d ln f ' d ln n n d cos ln d ln f ' d ln f f d ln sn d cos sn f f ' d cos f sn d cos cosln cos d sn cos f f ' d sn f d snln g d g g f f ' d g f g d g d g cos f ' d g f d g cos f cos cog d cog cog f f ' dcog f cog d cog d co g sn f ' sn f d co g f cog dcog d f ' d d rcsn rcsn f rcsnln f ln d f d d rcg rcg f f rcg puns d Mmáics II pr prprr l mn d l PU
5 Unidd. Ingrls Indfinids. Méodo d Ingrción.. Obnción d ingrls inmdis El méodo consis n dsrrollr ls funcions, inroducir fcors, o mnipulr ls funcions plicndo ls dos propidds d ls ingrls visos n l prdo pr obnr un ingrl inmdi fácilmn clculbl: Vmos lgunos jmplos: 7 d d sn 7 d 7 sn7 d cos7 7 7 ln d d d d g g d d g sn sn g lncos cos cos 7 sn d sn d cos 8 d d d d d rcsn rcsn José Luis Lorn rgón
6 Unidd. Ingrls Indfinids 9 d d d d rcg d 0 d. mbio d Vribl El méodo d cmbio vribl consis n susiuir l vribl por un función g g. D s form dg d. l rlizr s susiución l función solo db dpndr d, y l objivo s qu l función obnid s más sncill qu l originl. Un vz rlizd l ingrl n, s dshc l cmbio d vribl g -. En l prácic l cmbio s uiliz cundo n l ingrl nmos un función composición d f, Hf y l drivd f o un función proporcionl és dividindo. D s form con l cmbio f, dd/f ndrmos l ingrl d H qu dbrí d sr más sncill qu l ingrl originl si qurmos qu s méodo s úil. Es méodo nos prmi rsolvr ingrls smjns ls clculds n l prdo nrior, pro d form más sismáic. Vmos lgunos jmplos: g g d d g d g g d d d d d d sn d sn d sn cos cos d dd d d d d d rcg rcg d d d d d puns d Mmáics II pr prprr l mn d l PU
7 Unidd. Ingrls Indfinids d d d ln lnln ln ln d d dd. Ingrl por Prs El méodo d ingrl por prs s bs n l uilizción d l siguin iguldd: u dv u v v du No: rgl nmoécnic Un Dí Vi Un Vc Vsid D Uniform En l prácic s uiliz cundo n un ingrl g f d u dv, dond l función fddv y gu s cumpl:. f s fácil d ingrl pr obnr sí v f d F b. l drivr g, obnmos dug d cumpliéndos qu l ingrl v du F g' d s más sncill qu l originl. Mdin s méodo s clculn los siguins ipos d ingrls: Tipo : P d, llmndo uppolinomio y dv d s cumpl los rquisios:. L ingrl v d s inmdi b. dup bj un grdo l polinomio, con lo qu P' d s más sncill d clculr. Dbrmos rlizr l ingrl por prs ns vcs como l grdo d P hs qu qu mbién s inmdi l úlim ingrl rlizr s v du k d Ejmplo: d u dud dv - d v d u dud dv - d v José Luis Lorn rgón 7
8 Unidd. Ingrls Indfinids d 7 d 9 Tipo : Hcr por l lumno P sn d o P cos d, llmndo up y dvsn d s cumpl los rquisios:. L ingrl v cos sn d o sn v cos d s inmdi sn b. dup d bj un grdo l polinomio, con lo qu P' d o cos P' d s más sncill d clculr qu l nrior. Dbrmos rlizr l ingrl por prs ns vcs como l grdo d P hs qu l úlim ingrl rlizr s v du k sn d o k cos d qu mbién s inmdi. Ejmplo: 7 sn d u dud cos dvsn v cos cos d cos sn 9 8 cos d cos sn 8 lumno hcr por Tipo : sn b d o cos b, podmos llmr u y dvsnb. En s cso podmos llmr u y dv l rvés. S in qu hcr dos vcs l ingrción por prs, d form qu volvmos obnr l ingrl inicil. Dspjndo l ingrl obnmos l rsuldo d l mism. S llm sí vulgrmn l pscdill qu s murd l col. 9 I sn d u - du- - d cos dvsn v 8 puns d Mmáics II pr prprr l mn d l PU
9 Unidd. Ingrls Indfinids cos cos u - d du- - d sn dvcos v cos sn sn cos sn sn I cos sn I I cos sn I I sn d cos sn sn - cos 0 0 I cos d cos sn hcr por l lumno Tipo : P ln d, llmndo dvp y uln s cumpl los rquisios:. L ingrl v P d s inmdi ingrl d un polinomio b. du d con lo qu liminmos l logrimo d l ingrl y ndrmos qu clculr l ingrr d oro polinomio. Ejmplo: 7 ln uln du d 8 7 dv v ln- d 8 ln d ln c ln ln hcr 7 por l lumno José Luis Lorn rgón 9
10 Unidd. Ingrls Indfinids. Ingrls rcionls El méodo d ingrls rcionls consis n dscomponr un frcción polinómic n frccions simpls cuys ingrls son o logrimos nprinos o rcongns. Ls ingrls qu dsmos rsolvr son dl ipo: P I d Q no: vmos rsolvr primro ls ingrls qu prcrán n ls ingrls rcionls: d ln Ejmplo: d ln n d d n n n n Ejmplo: n d m n d con bc sin rícs rls rcongn logrimo, b c vmos con un jmplo Ejmplo: I d buscmos l drivd n l numrdor 8 8 d d I ln I d d 8 I ln d 8 I rcg rcg c d 0 puns d Mmáics II pr prprr l mn d l PU
11 Unidd. Ingrls Indfinids José Luis Lorn rgón so : grdop grdoq hcmos l división d form qu ndrmos qu ingrl l cocin qu s un polinomio y obnmos or función rcionl pro dond hor grdo dl numrdor mnor qu l dl dnomindor y por no smos n l cso. Ejmplo: I d I d d d I d I d d d so : grdop<grdoq. Disinguimos nr csos: El dnomindor s pud dscomponr por produco d fcors simpls disinos: Q- - - n d d P d Q P n n n......
12 Unidd. Ingrls Indfinids puns d Mmáics II pr prprr l mn d l PU Ejmplo: coninumos ls ingrl dl jmplo nrior: I d B. lculo d, B, : B B -- - si 0: si -: B0 B0 - si -: -- I d d d ln ln ln I d ln ln hcr por l lumno b El dnomindor s pud dscomponr por produco d fcors, lguno d llos no simpl: Q- n - - n d d P d Q P n n n n n n Ejmplo: 7 d I B B - B si : B- B-/ si -: /8 si 0: 0-B B
13 Unidd. Ingrls Indfinids d d d I ln ln I d ln ln hcr por l lumno c El dnomindor s pud dscomponr por produco d fcors, lguno d llos s un fcor d sgundo grdo: Q- - bc P P D d d... d Q... b c b c Ejmplo: 9 d D - D - si 0: si : -8D D - si -: -8-D --D Rsolvindo l sism, D D d D d I d d ln 0 8 d d d d ln ln d / d ln ln I ln ln rcg d rcg José Luis Lorn rgón
14 Unidd. Ingrls Indfinids rcg 0 d ln ln I I B B- / 0 - -/ 9B B-/ d d d I ln I d d d d d ln d I d d d d d d d I d d r co g r co g d ln ln r co g. Ingrls rigonomérics. Ls ingrls rigonomérics no sán n l progrmción d l PU d l myorí d ls comunidds, si bin s d n muchos insiuos y n ls crrrs con signurs d mmáics. Podmos disinguir vrios ipos: Tipo : impr n l sno o cosno Son ingrls dond sólo prcn snos y cosnos muliplicndo o dividindo, dond s cumpl qu l ponci dl sno, dl cosno o d los dos mbos simpr con mismo rgumno s impr. S rsulv con l siguin cmbio d vribl: Si sno impr y cosno pr cos b Si cosno impr y sno pr sn c Si mbos imprs sn ó cos puns d Mmáics II pr prprr l mn d l PU
15 Unidd. Ingrls Indfinids Vmos lgunos jmplos: sn cos d sn cos dd d d cos 7 d cos cos d sn d d cos 7 sn sn 7 7 sn d cos cos -sn dd d d sn sn d sn cos d d d sn cos d cos - Tipo : pr n l sno o cosno cos Son ingrls con producos y cocins d snos y cosnos con ponns prs, pr rsolvr ss ingrls s uiliz l rlción dl cosno dl ángulo dobl: coscos -sn : cos- sn sn cos cos cos - cos cos Vmos lgunos jmplos: cos sn sn d cos sn d d cos cos d sn cos cos sn d sn sn sn sn 8 8 José Luis Lorn rgón
16 Unidd. Ingrls Indfinids Tipo : cmbio gnrl. Es cmbio s pud plicr n culquir ingrl rigonoméric, rnsformndo s n un ingrl rcionl, si bin sólo s rcomind uilizr cundo no s pudn uilizr ls rgls nriors gnrlmn cundo hy sums o rss. S uiliz l siguin cmbio: g / g / d d d sn / cos / sn sn / cos / sn / cos / sn sn / cos / cos / g / / cos / g / cos / cos / sn / cos / sn / cos / g / cos cos / sn / cos / sn / cos / sn / g / onclusión: cos / g / d sn cos Ejmplo: sn cos d sn d Qu s ingrl rcionl. d puns d Mmáics II pr prprr l mn d l PU
17 Unidd. Ingrls Indfinids Problms lculr ls ingrls d d b d 8 7 / d ln 7 c d d ln 8 d d 8 d d ln d d / / d d f sn cos d sn cos d sn cos d sn 8 g d 9 d d 9 lndd d d ln d ln ln cg ln cg José Luis Lorn rgón 7
18 Unidd. Ingrls Indfinids h d d d d d d d d ln ln sn i cos d d cos -9sndd d 9sn sn sn d 9sn / / d d d cos / cos j rcg d rcg d rcg d rcg ln u rcg du d dvd v k d u du8 dv - d v d d u du dv - d v d d d 8 puns d Mmáics II pr prprr l mn d l PU
19 Unidd. Ingrls Indfinids José Luis Lorn rgón 9 l sn d cos cos Por l pscdill m d { d d ln n d B -B B B B- d d d d ln ln o d { d d d d
20 Unidd. Ingrls Indfinids B B- - / - - B/ / / d d d ln ln I ln ln ln ln p d rcsn d d d d d d d rcsn ln ln q d lnln r d ln d d d d lnln d d d d ln ln ln ln ln lnln ln uln du d dvd v 0 puns d Mmáics II pr prprr l mn d l PU
21 Unidd. Ingrls Indfinids PU Junio 00. Prub -.- D ods ls primiivs d l función fg sc, hálls l qu ps por l puno Pπ/, sn sn F g sc d d d d cos cos cos cos cos sn d d π Vmos l vlor d pr qu ps por P,. Fπ/ - F cos Oro méodo d d sn F g sc d sc cos d g g d d d cos d cos π Vmos l vlor d pr qu ps por P,. Fπ/ 0 F g No: Ls dos funcions son l mism, pus sc g d Junio 00. Prub B -.- lcúls d d d / José Luis Lorn rgón
22 Unidd. Ingrls Indfinids Junio 008. Prub- PR-- b lculr ln d ln ln d ln u d du d dv v d ln d Spimbr 00. Prub-B PR-.- b Dd l función f:[,] R dfinid por f/ln. lcúls un función primiiv d f qu ps por l puno P,. F I ln d ln d ln d d ln d ln I ln u ln du d dv d v ln ln lculmos : F-. F ln ln Spimbr 00. Prub-B -.- lcúls. d d d d rcg rcg d d d d puns d Mmáics II pr prprr l mn d l PU
23 Unidd. Ingrls Indfinids Spimbr 008 Prub- -. lculr d d d ln ln ln B B 0 B B Spimbr 008 Prub-B -. lculr d d d rcsn rcsn 9 d d José Luis Lorn rgón
Integrales 4.1. Tema 4. Integrales
Ingrls. Tm. Ingrls Si f() s un función conocid, l cálculo difrncil sudi l mnr d drminr or función f '() qu llmmos función drivd d f(). En l m nrior sudimos ls rgls d drivción, sí como lguns d sus pliccions.
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