2.1 Reglas básicas de derivación y ritmos o velocidades de cambio

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1 PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo La ecuación de la velocidad instantánea es la derivada de la función posición: La velocidad instantánea para t = 2s, es 8 m/s Esperamos, que con los ejemplos resueltos se hayan despejado las dudas de porque la base del cálculo de las derivadas son los límites; ahora vamos a estudiar algunas reglas básicas para derivación, con éstas usted podrá calcular la derivada mucho más rápido y sencillo. Le invitamos a resolver los ejercicios impares propuestos al final de la sección La derivada y el problema de la recta tangente (página 103) para reforzar este tema. Sigamos adelante! 2.1 Reglas básicas de derivación y ritmos o velocidades de cambio Para iniciar el estudio de este tema acuda al texto básico y lea el capítulo 2: Derivación, la sección 2.2, Reglas básicas de derivación y razón de cambio. En este tema se analiza algunas fórmulas que permiten calcular las derivadas sin el uso directo de la definición por límites, este proceso es más sencillo, pero considere que por ambos métodos se llega a un mismo resultado. Revisemos la primera de las reglas de derivación, la regla de la constante, ésta es muy sencilla de aplicar. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 29

2 Guía didáctica: Cálculo PRIMER BIMESTRE La regla de la constante Analicemos el teorema 2.2 La regla de la constante, que nos dice: La derivada de una función constante es 0 8. Esta regla es sencilla así que vamos a resolver ejemplos, en el texto básico al final de la sección (página 115) hay una lista de ejercicios propuestos. Adelante Ahora analicemos algunos ejemplos de la aplicación de la regla de la constante. Calcule la derivada aplicando la regla de la constante. Función Derivada y = 10 y = 0 f(x) = -2 f (x) = 0 h(t)=6 h (t) =0 Como se mencionó anteriormente esta regla es bastante fácil, espero que con los ejemplos haya quedado claro; sigamos con la segunda regla de las derivadas, la regla de las potencias, ésta es una de las más aplicadas en el Cálculo La regla de las potencias Examinemos el teorema 2.3 La regla de las potencias en el texto básico: la derivada de una potencia es igual al exponente por la base elevado al exponente disminuido en uno. Ejemplos: Dudas?, Resolvamos los siguientes ejemplos! Calcular la derivada de las siguientes funciones: Función dada (potencia) Teorema regla de la potencias 8 Larson, R y Edwards, B. (2011). Cálculo, México, Mc Graw Hill. 30 UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja

3 PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo Aplicamos la regla de las potencias. El resultado es igual al exponente 7 por la base x elevada al exponente disminuida en 1 Simplificar 7-1 = 6 (exponente) Función dada (potencia) Para facilitar la resolución, reescribir la función Teorema regla de las potencias Aplicar la regla de las potencias. El resultado es igual al exponente -5 por la base x elevada al exponente disminuida en uno (-5-1) Simplificar -5-1 = -6 (exponente) Reescribir la función Actividad Recomendada: Ahora revisemos la página 109 del texto básico, ahí tenemos algunos ejemplos de cómo aplicar la regla de las potencias. Espero que con la explicación de estos ejercicios se haya entendido la aplicación de la regla de la potencia. Continuemos con la siguiente regla La regla del múltiplo constante Si analizamos la regla del múltiplo constante en el texto básico nos dice que: si tenemos una constante en una función ésta se mantiene y derivamos únicamente la función. Veamos unos ejemplos: Ejemplos: UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 31

4 Guía didáctica: Cálculo PRIMER BIMESTRE Calcular la derivada de la función aplicando la regla del múltiplo constante. Función dada: tiene una constante que es 5/2 Separar la constante de la variable A la constante se la deja igual y aplicar la regla de las potencias Resolver la multiplicación y restar los exponentes Como observamos en este ejemplo además de la constante en la función es necesario aplicar la regla del múltiplo constante, es decir, cuando desee derivar una función se puede utilizar algunas reglas de derivación para poder llegar al resultado; veamos otro ejemplo: Calcular la derivada de la función. La función dada Reescribir la función Elevar al cubo la parte que está en paréntesis Aplicar la regla de las potencias Resolver la multiplicación y restar los exponentes Observe que el uso de paréntesis es importante para evitar malos entendidos en la función y en la resolución de la misma. Conforme avanzamos con la unidad van surgiendo más reglas para la derivación de funciones, no olvide que todas se basan en el proceso de límite que estudiamos anteriormente; sigamos con la siguiente regla: Las reglas de suma y diferencia El teorema 2.5 las reglas de suma y diferencia del texto básico nos explican a detalle cómo se calcula la derivada de una suma o diferencia, de modo informal podemos decir que no es más que calcular la derivada de cada uno de sus términos; les ruego revisar la demostración del teorema y el ejemplo que se encuentra en el texto básico. 32 UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja

5 PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo Revisó los ejemplos? Seguimos con dudas? Resolvamos los siguientes ejemplos. Ejemplo: Calcular la derivada de las siguientes funciones. La función tiene sumas, diferencias y potencias Derivar cada función y aplicar la regla de las potencias Simplificar La función tiene una constante y una diferencia Aplicar la regla de la constante y la regla de la diferencia Simplificar Recuerde: al derivar una función estamos encontrando una nueva función. Para iniciar el cálculo de derivadas de las funciones trigonométricas, es necesario conocer algunos teoremas importantes Derivadas de las funciones seno y coseno En el texto básico encontramos el teorema 2.6 Derivadas de las funciones seno y coseno, si usted revisa se va a dar cuenta que las fórmulas de una manera resumida nos dicen que: La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función (cos). La derivada del coseno de una función es igual a menos seno de la función (- sen). Para entender este teorema, veamos los siguientes ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones aplicando los teoremas de las funciones trigonométricas del seno y coseno. Función dada: un múltiplo constante y el cos de t Conservar el múltiplo constante y derivar el cos de t que es igual al -sen de t Función dada: una constante y el sen de x Derivar la constante que es igual a 0 y derivar el sen de x que es igual a cos de x Simplificar UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 33

6 Guía didáctica: Cálculo PRIMER BIMESTRE Hemos estudiado las reglas de: la constante, potencia, múltiplo constante, suma y diferencia y las reglas para derivar funciones trigonométricas; todas estas son fundamentales para el estudio del cálculo, por lo que usted debe DOMINARLAS; la mejor manera de familiarizarse con ellas es: leerlas, entenderlas y realizar la mayor cantidad de ejercicios. Existen situaciones que requieren que calculemos: el ritmo de crecimiento de una población, el ritmo de producción, el flujo de agua, entre otros a fin dar solución a una infinidad de problemas; esto se lo puede solucionar gracias a los ritmos o velocidades, analicemos este tema Razón de cambio La razón de cambio es una aplicación de la derivada, que se ocupa de encontrar la razón de cambio de una magnitud respecto a otra Actividad Recomendada: Revise los ejemplos del texto básico, sección 2.2 (página 113) de cómo se calcula la velocidad media de un objeto en su caída, no profundice demasiado en el tema. Siguiendo con la derivada, hay que considerar que en la mayoría de los ejemplos resueltos en los puntos anteriores, se especificaba la regla de derivación que ustedes debían aplicar para encontrar la solución; en los siguientes ejercicios tendrá que utilizar algunas de ellas, continuemos: Ejemplos: Dadas las siguientes funciones encontrar la derivada de cada función. Función dada: regla de las potencias, sumas y diferencias Aplicar la regla de la potencia y la regla de la constante Resolver las operaciones Y obtener la respuesta Función dada: regla de las potencias Reescribir la función Aplicar la regla de la potencia Bajar al denominador la variable x -3/4, porque tiene signo negativo Y obtener la respuesta 34 UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja

7 PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo Función dada: múltiplo constante, potencia y la función trigonométrica cos x Resolver el denominador (2x) 3 Reescribir la función Aplicar las reglas de derivación de la potencia y del cos x Pasar x -4 al denominador por que tiene signo negativo Actividad Recomendada: Revise el ejemplo 10 de la página 114 del texto básico, ahí encontrará el problema de aplicación de las derivadas. Resuelva los ejercicios impares (Pág. 115) del texto básico, luego vaya al final del mismo (Pág. A-41) y compare sus resultados. Con las reglas estudiadas en los apartados anteriores se puede resolver gran cantidad de problemas pero existen ocasiones en que éstas no son suficientes y es por eso que surgieron otras reglas que abarcan este tipo de ejemplos se las conoce como reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior, sigamos adelante revisemos este tema. 2.2 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior Continuando con el estudio del tema le invito a revisar la sección 2.3, reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior del texto básico. Qué le pareció el tema? Le pareció complejo? No se preocupe resolveremos ejemplos Una vez que usted ha leído detenidamente las reglas del producto y cociente, le recomiendo que no trate de aprendérselas como simples fórmulas sino más bien entenderlas como un teorema teórico; con la ayuda de estas reglas podemos resolver funciones que contengan productos y cocientes de forma más sencilla. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 35

8 Guía didáctica: Cálculo PRIMER BIMESTRE La regla del producto De la lectura en el texto básico sobre la regla del producto podemos decir que: la derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera. Conviene que revise los ejemplos del 1 al 3 del texto básico (Pág. 120), luego es necesario que resuelva algunos ejemplos de aplicación de estas reglas, para despejar dudas que hayan surgido en el análisis de estos ejemplos. Ejemplos: Encuentre la derivada de las siguientes funciones. Función dada: un producto Aplicar la regla del producto Derivar los términos que corresponde Simplificar Función dada: un producto Reescribir la función Aplicar la regla del producto Derivar los términos que corresponde Sumar términos iguales Reescribir Recuerde: la derivada del producto no está dada por la derivada de cada una de sus funciones como en el caso de la suma o diferencia. Continuemos con la siguiente regla: 36 UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja

9 PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo La regla del cociente Como usted reviso la regla del cociente en el texto básico podemos decir que: la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo ello dividido por el cuadrado del denominador. Qué le pareció la regla? Compleja? No se preocupe resolveremos ejemplos Examinemos los ejemplos del 4 al 7 del texto básico (Pág. 121 a 123), Quedo un poco más claro!, Aún no!, resuelva los siguientes ejercicios de aplicación de estas reglas. Encuentre la derivada de las siguientes funciones. Función dada: cociente Aplicar la derivada del cociente Derivar los términos que corresponden Sacar factor común Simplificar Función dada: cociente Aplicar la regla del cociente Derivar los términos que corresponden Resolver UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 37

10 Guía didáctica: Cálculo PRIMER BIMESTRE Simplificar y encontrar la respuesta Con estos ejemplos las dudas se aclararon, sigamos con el siguiente tema: Derivadas de las funciones trigonométricas Con la regla del cociente se puede derivar las cuatro funciones trigonométricas restantes: tan, sec, cot, csc; pero para abreviar los cálculos podemos utilizar las fórmulas que nos dan en el teorema 2.9 Derivadas de las funciones trigonométricas (Pág. 123) del texto básico y analizar los ejemplos de la siguiente página (Pág. 124) ahí nos muestran algunas formas de calcular la derivada en este tipo de funciones. Resolvamos unos ejemplos: Considere: cuando trabajamos con funciones trigonométricas podemos utilizar identidades trigonométricas, lo que complica la comparación de resultados. Calcular la derivada de las siguientes funciones: Función dada: suma y una función trigonométrica Derivar cada término Simplificar Función dada: cociente y una función trigonométrica Aplicar la derivada del cociente Aplicar la derivada de la función trigonométrica Eliminar paréntesis Con las reglas analizadas en este apartado podemos calcular la derivada de cualquier función trigonométrica, basta con identificar la función y aplicar la regla correspondiente. Otro tema importante en la derivación son las derivadas de orden superior estas surgen al derivar una función velocidad. 38 UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja

11 PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo Derivadas de Orden Superior Las derivadas de orden superior se obtienen al derivar una función que ya fue derivada previamente, por ejemplo: podemos calcular la segunda derivada de una función, si calculamos la primera derivada de esa función y volvemos a derivar ésta última. Considere el siguiente ejemplo: Calcule la tercera derivada de una función. Para calcular la tercera derivada de una función debemos seguir los siguientes pasos: Primero, calcule la primera derivada de la función s(t) sʹ(t). Segundo, derive la función anterior sʹ(t) sʹʹ(t). Y finalmente, derive la segunda derivada sʹʹ(t) sʹʹʹ(t). Para calcular las derivadas de orden superior se utiliza las mismas reglas que revisamos en los apartados anteriores. Para aclarar este tema revise los siguientes ejemplos: Calcular segunda derivada de la siguiente función Función dada: sumas y diferencia Calcular la primera derivada Volver a derivar y calcular la segunda derivada Calcular la tercera derivada de la siguiente función Función dada: potencia Calcular la primera derivada Calcular la segunda derivada Calcular la tercera derivada Actividad Recomendada: Considere: antes de encontrar la derivada de orden superior asegúrese de simplificar al máximo el resultado de la derivada anterior para que los cálculos sean más sencillos. Para reforzar: resuelva los ejercicios impares (Pág. 126) del texto básico, luego vaya al final del mismo (Pág. A-42) y compare sus resultados. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 39

12 Guía didáctica: Cálculo PRIMER BIMESTRE 2.3 La regla de la Cadena Estimado estudiante otro de los teoremas importantes dentro del cálculo diferencial, es el denominado regla de la cadena, teorema que nos ayuda a derivar cualquier función por más compleja que sea. Revisemos una vez más el texto básico y lea, la sección 2.4, La regla de la cadena La regla de la cadena La regla de la cadena se aplica a funciones compuestas y añade versatilidad a las reglas analizadas 9. Considere que si aplicamos la regla de la cadena podemos encontrar la solución de forma más sencilla que si no la aplicáramos, pero con ambos métodos llegaríamos al mismo resultado. El teorema 2.10 La regla de la cadena (Pág. 131) del texto básico nos explica cómo aplicar ésta regla, pero es importante tener en cuenta que debemos comenzar a derivar en el siguiente orden: Se deriva la potencia. Se deriva la función. Se deriva el ángulo de la función si existe. Cada paso realizado va multiplicando al siguiente. Veamos un ejemplo: Calcular la derivada de la siguiente función, aplicando la regla de la cadena. Función dada: una potencia Aplicar la regla de la potencia y multiplicar por la derivada de la base Derivar Si analizamos el ejemplo anterior, nos damos cuenta que para derivar aplicamos normalmente la regla de las potencias en una función compuesta, la diferencia con las reglas que estudiamos anteriormente es que multiplicamos por la derivada de la base; para aclarar este tema conviene estudiar la regla general de las potencias aplicada a la regla de la cadena La regla general de las potencias La regla general de las potencias no es más que un caso particular de la regla de la cadena, revise el teorema 2.11 La regla general de las potencias, donde se explica a detalle cómo se emplea ésta. Además analice los ejercicios del 4 al 8 donde se ve la aplicación de la regla de la cadena, en los últimos ejemplos incluso hay algunas técnicas de simplificación que nos facilitan la resolución de problemas. 9 Larson, R y Edwards, B. (2011). Cálculo.México, Mc Graw Hill 40 UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja

13 PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Cálculo Veamos un ejemplo: calcular la derivada de la siguiente función: Función dada: una potencia Aplicar la regla general de la potencia (multiplicar por la derivada de la base) Derivar Simplificar Recuerde simplificar su resultado para que la función resultante sea lo más simple posible Funciones trigonométricas y la regla de la cadena Las reglas de las derivadas de funciones trigonométricas se resuelven normalmente con las reglas que revisamos anteriormente, lo adicional es que se debe derivar al ángulo o la base de la función; es importante que profundice el tema y se apoye en los ejemplos de la página 135 del texto básico. Aún no está claro!! Resolvamos unos ejemplos! Calcular la derivada de las siguientes funciones. Función dada Derivar la función por la derivada del ángulo o de la base Derivar UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 41

14 Guía didáctica: Cálculo PRIMER BIMESTRE Función dada Aplicar la regla del producto Aplicar la regla de la cadena con funciones trigonométricas Derivar Obtener factor común Aplicar la identidad trigonométrica del ángulo doble Revisemos otro ejercicio: Considere: en algunas funciones trigonométricas para llegar a un resultado más simplificado, es necesario aplicar identidades trigonométricas. 10 Función dada Reescribir la función Aplicar la regla de la cadena con funciones trigonométricas Derivar sen 2Ө Aplicar la regla de la cadena con funciones trigonométricas Si analizamos este último ejercicio nos damos cuenta que se aplicó la regla de la cadena dos veces, este caso se va a dar en varias funciones, por tanto debe recordar que en algunas funciones va a ser necesario aplicar la regla de la cadena más de una ocasión. Resolvamos los siguientes ejemplos de aplicación de las derivadas: 10 Aplicaciones de las Derivadas a la resolución de problemas, [En línea], disponible en [Consulta ] 42 UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja