INTEGRACIÓN INDEFINIDA

Transcripción

1 1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición: Sean F(x) y f(x) dos funciones reales definidas en un mismo dominio D. Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva de f(x) si se cumple quef'(x) = f(x), x. Dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x). Ejemplo: a) F(x)=sen x es una primitiva de f(x)=cos x en b) F(x)=ln x es una primitiva de f(x)=1/x en (0,+ ). c) F(x)=e x es una primitiva de f(x)=e x en. Proposición 1: Si F(x) es una primitiva de f(x), entonces F(x)+C es también una primitiva de f(x), C. Proposición 2: Si F(x) y G(x) son dos primitivas de f(x), entonces G(x)=F(x)+C.Es decir, dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante C. Nota: Según hemos visto en la proposición 2, para hallar todas las primitivas de una función f(x), basta calcular una primitiva concreta F(x), ya que las infinitas primitivas de dicha función serán todas de la forma F(x)+C, con C una constante cualquiera. 2. CONCEPTO DE INTEGRAL. INTEGRAL INDEFINIDA El proceso mediante el cual obtenemos una primitiva de una función f(x) se denomina Integración. Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Definición: Se llama Integral Indefinida de una función f(x) al conjunto de todas las primitivas de f(x). y se representa por ( ) ( ) -Se lee: integral de f(x) diferencial de x. - : es el signo de integración -f(x): es el integrando o función a integrar. -dx (diferencial de x): indica cuál es la variable de la función que se integra. Nota: Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar. Ejemplo: a) cosxdx=senx +C b) 1/x dx= lnx +C c) e x dx=e x + C F(x)=x 2 +3x DERIVADA INTEGRAL f(x)=2x+3 1

2 2.1. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA (LINEALIDAD) 1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. ( ) ( ) Nota: Para evitar errores graves en los cálculos, conviene tener en cuenta que, en general: ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3. INTEGRACIÓN INMEDIATA: Como ya hemos podido comprobar en lo visto hasta ahora en la unidad, el problema de determinar la integral indefinida de una función se reduce al de hallar una primitiva, es decir, al de calcular una función cuya derivada sea la función a integrar. Antes de empezar con los métodos y, a modo de curiosidad, debemos saber que no todas las integrales se pueden expresar como una función elemental. Algunos ejemplos de éstas son: Realmente son pocas las integrales que se pueden abordar con un único método. Por el contrario, es muy normal que debamos combinar varios de los métodos que veremos en lo que resta de unidad para integrar una función. Todos los métodos que abordaremos tienen como objetivo final transformar la integral inicial en otras hasta llegar finalmente a integrales inmediatas. Aunque la aplicación de las propiedades de linealidad de la integral vistas (integración por descomposición) no es realmente un método de integración considerado como tal, es uno de las estrategias más utilizadas o combinadas con otros métodos, proporcionándonos, en muchos casos, soluciones sencillas a determinadas integrales. Por ello, el primer método de integración y base de todos los demás de los que veremos a continuación, es el de integración inmediata, esto es utilizar al revés la tabla de derivadas de las funciones elementales vista en la unidad anterior y que resumimos a continuación: 2

3 3.1. TABLA DE INTEGRALES a, e, k, y C son constantes u es una función y u' es la derivada de u. Integrales Simples o Inmediatas Si x=u (siendo u una función) 3

4 EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN INMEDIATA: a) Integrales Inmediatas Polinómicas: 4

5 b) Integrales Inmediatas Trigonométricas: 5

6 c) Integrales logarítmicas y exponenciales: 6

7 d) Integrales trigonométricas: 7

8 e) Integrales trigonométricas inversas: 8

9 : -Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arco-tangente. Asimismo, transformamos el denominador en un binomio al cuadrado. -Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador.dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por su raíz cuadrada de 4/3. 9

10 4. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 4.1. INTEGRALES POR SUSTITUCIÓ N El método de integración por sustitución o cambio de var iable se basa en la regla de la cadena. ( ) ( ) El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla Pasos para integrar por sustitución : ( ) 1º Se hace el cambio de variable y se diferencia (derivada implícita) en los dos términos: t=u dt=u dx Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral: ( ) ( ) 2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar: ( ) ( ) 3º Se vuelve a la variable inicial : f(t)+c=f(x)+c E j e m p l o s : 1+x=t 2 x=t 2-1dx=2tdt 10

11 3 x =t 1+e x =t 2 e x =t

12 I NTEGR ALE S IR RACIONALES CON D ISTINTOS ÍNDICES En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común m últiplo de los índices. E j e m p l o s : I) II) Otros cambios de variables usuales: Ejemplos: 1 12

13 2 13

14 3 4 14

15 5 x + 2 = t 2 x - t 2 t 2 x - x=t x ( t 2-1 ) = t 2 +2 I n t e g r a m o s. S e r e a l i z a l a i n t e g r a l r a c i o n a l. t = 1, 1 = 2 A, A = 1 / 2 t = - 1, 1 = - 2 B, B = - 1 / 2 A p l i c a m o s l a s p r o p i e d a d e s d e l o s l o g a r i t m o s. 6 15

16 INTEGR ALE S R ACIO N ALES (S EN X, COS X) PAR ES Si R(sen x, cos x) es par Es decir: R(sen x, cos x)=r( -sen x, - cos x) Se realiza el cambio t = tg x. También se utiliza este cambio para toda función racional de tg x. E j e m p l o s : 16

17 INTEGRALE S R ACIO N ALES (S EN X, COS X) NO PARES Si R(sen x, cos x)no es par Se realiza el cambio t=tg x/2. E j e r c i c i o s 17

18 EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN INTEGRACIÓ N POR PARTES El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos. Sean u y v dos funciones derivables. La derivada del producto u v viene dada por la fórmula: d(u v)=v du+u dv despejando u dv=d(u v)-v du, integramos esta expresión: a) Se eligen como u: las funciones polinómicas, logarítmicas o arcotangente. b) Se eligen como dv: las funciones e xponenciales o trigonométricas (tipo seno y coseno). Nota: Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata. E j e m p l o s : 18

19 Proposición 1: Si al integrar por partes tomamos u = x n proceso n veces hay que repetir el E j e m p l o s : Proposición 2: Si tenemos una integral en la que sólo aparece un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: dv(v ) = 1 E j e mplos 19

20 Proposición 3: Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación. E j e mplos EJERCICIOS DE INTEGR ACIÓN POR PARTES

21 4.3. INTEGRALES RAC IONALES En la integración de funciones racionales se trata de hallar la integral ( ) siendo P(x) y Q(x) polinomios. ( ) Nota:En primer lugar, supondremos el grado de P(x) es menor que el de Q(x), si no fuera así se dividiría. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D o n d e C ( x ) e s e l c o c i e n t e y R ( x ) e l r e s t o d e l a d i visión polinómi c a. Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores. Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes casos: Caso 1: El denominador tiene sólo raíces reales simples: Q(x)=(x-a) (x-) (x-c) ( ) La fracción puede escribirse así: ( ),donde A, B, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C, son números que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x. Obteniendo, así, una suma de integrales de las fracciones simples que serán inmediatas o casi inmediatas Ejemplo: S e e f e c t ú a l a s u m a : C o m o l a s d o s f r a c c i o n e s t i e n e n e l m i s m o d e n o m i n a d o r, l o s n u m e r a d o r e s h a n d e s e r i g u a l e s : C a l c u l a m o s l o s c o e f i c i e n t e s d e A, B y C d a n d o a l a x l o s v a l o r e s q u e a n u l a n a l d e n o m i n a d o r. S e c a l c u l a n l a s i n t e g r a l e s d e l a s f r a c c i o n e s s i m p l e s : 21

22 O t r a f o r m a d e h a l l a r l o s c o e f i c i e n t e s e s r e a l i z a n d o l a s o p e r a c i o n e s e i g u a l a n d o c o e f i c i e n t e s. I g u a l a m o s c o e f i c i e n t e s : Caso 2: El denominador tiene sólo raíces reales múltiples: Si Qx)=(x-a) n, la fracción EjemploI ( ) ( ) puede escribirse así: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P a r a c a l c u l a r A, B y C, s u s t i t u i m o s x p o r 3 : x=-3, C = 3 8 D e r i v a m o s y v o l v e m o s a s u s t i t u i r p o r m e n o s 3 : 6x-2 = 2 A ( x + 3 ) + B X = - 3, B = - 20 V o l v e m o s a d e r i v a r : 6 = 2 A, A = 3 T a m b i é n p o d e m o s h a l l a r l o s c o e f i c i e n t e s r e a l i z a n d o l a s o p e r a c i o n e s e i g u a l a n d o c o e f i c i e n t e s : Ejemplo II P a r a c a l c u l a r l o s v a l o r e s d e A, B y C, d a m o s a x l o s v a l o r e s q u e a n u l a n a l d e n o m i n a d o r y o t r o m á s. x = - 1, 2 = - 4 B, b = - 1 / 2 x = 3, 1 0 = 1 6 C, C = 5 / 8 x = 0, 1 = - 3ª-3B + C, A = 3 / 8 22

23 Caso 3:El denominador tiene sólo raíces complejas simples: Si Q(x)=ax 2 +bx+c sin raíces reales la fracción ( ) ( ) ( ) ( ) puede escribirse así: Nota: Esta integral s e descompone en una de tipo log arítmico y otra de tipo arco-tangente. E j e m p l o I I g u a l a m o s l o s c o e f i c i e n t e s d e l o s d o s m i e m b r o s. L a p r i m e r a i n t e g r a l e s d e t i p o l o g a r í t m i c o y l a s e g u n d a l a t e n e m o s q u e d e s c o m p o n e r e n d o s, q u e s e r á n d e t i p o l o g a r í t m i c o y t i p o a r c o - t a n g e n t e. M u l t i p l i c a m o s p o r 2 e n l a s e g u n d a i n t e g r a l p a r a i r p r e p a r á n d o l a. E l 2 d e l n u m e r a d o r d e l a 2 ª i n t e g r a l l o t r a n s f o r m a m o s e n : D e s c o m p o n e m o s l a 2ªi n t e g r a l e n o t r a s d o s. L a s d o s p r i m e r a s i n t e g r a l e s s o n d e t i p o l o g a r í t m i c o. L a i n t e g r a l q u e n o s q u e d a e s d e t i p o a r c o - t a n g e n t e. V a m o s a t r a n s f o r m a r e l d e n o m i n a d o r d e m o d o q u e p o d a m o s a p l i c a r l a f ó r m u l a d e l a i n t e g r a l d e l a r c o - t a n g e n t e. T r a n s f o r m a m o s e l d e n o m i n a d o r e n u n b i n o m i o a l c u a d r a d o : M u l t i p l i c a m o s n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r p o r 4 / 3, p a r a o b t e n e r u n o e n e l d e n o m i n a d o r. D e n t r o d e l b i n o m i o a l c u a d r a d o m u l t i p l i c a r e m o s p o r s u r a í z c u a d r a d a d e 4 / 3. 23

24 E j e m p l o I I S u m a m o s y r e s t a m o s 3 e n e l n u m e r a d o r, d e s c o m p o n e m o s e n d o s f r a c c i o n e s y e n l a p r i m e r a s a c a m o s f a c t o r c o m ú n 3. M u l t i p l i c a m o s y d i v i d i m o s e n l a p r i m e r a f r a c c i ó n p o r 2. V a m o s a t r a n s f o r m a r e l d e n o m i n a d o r d e m o d o q u e p o d a m o s a p l i c a r l a f ó r m u l a d e l a i n t e g r a l d e l a r c o - t a n g e n t e. A s í, t r a n s f o r m a m o s e l d e n o m i n a d o r e n u n b i n o m i o a l c u a d r a d o. R e a l i z a m o s u n c a m b i o d e v a r i a b l e : EJERCICIOS INTEGRALES RACIONALES