ELECTROMAGNETISMO PARA INGENIERÍA ELECTRÓNICA. CAMPOS Y ONDAS. Ondas Electromagnéticas en medios guiados

Transcripción

1 Ondas Elctromagnéticas n mdios guiados Introducción Capítulo 8 Son mdios guiados aqullos qu proporcionan un camino para qu las ondas lctromagnéticas s propagun d una manra más fácil d un punto a otro. Esto rprsnta un mjoraminto n la ficincia d la transmisión y una mayor confiabilidad n la rcupración d la sñal por part dl rcptor con rspcto a los mdios abirtos, pro tin como principal inconvnint la ncsidad d tnr conión física ntr misor y rcptor, lo cual rprsnta un problma n sistmas d comunicación d uno a muchos. Los mdios guiados incluyn básicamnt los cabls o línas d transmisión, los sistmas d fibra óptica y las guías d onda. En l prsnt capítulo, s tratara d modlar y studiar los difrnts fnómnos qu afctan la propagación d sñals a través d st tipo d mdios. Línas d transmisión Las línas d transmisión son sistmas formados por dos conductors sparados por aislant, a través d las cuals s nvía una sñal lctromagnética, rprsntada n una difrncia d potncial y una corrint, dsd un punto misor a otro rcptor. Las línas d transmisión s clasifican sgún la configuración gométrica d los conductors, l tipo d aislaminto, los tipos d conctors usados para iniciar y trminar la lína, tc. Los rqurimintos n la transmisión d sñal y las considracions conómicas dfinn l tipo d lína a usar n una aplicación spcífica; pro, indpndintmnt dl tipo d lína, s tinn cuacions d onda qu rign l comportaminto d la sñal n cualquir lína. Tipos d línas d transmisión Las línas d transmisión s clasifican usando varios critrios, normalmnt rlacionados con la topología d la lína. En sistmas d comunicacions s usan los siguints tipos: 3

2 ALEJANDRO PA PARRA Línas balancadas Cuando la transmisión s hac por dos hilos, n los cuals uno hac d conductor principal y otro d rtorno, la sñal lctromagnética s transmit como difrncia d potncial ntr ambos conductors y ambos llvan la misma corrint. Línas dsbalancadas Cuando la transmisión s hac por uno o varios hilos, pro s tin un solo conductor d rtorno l cual s ncuntra conctado a tirra, la sñal lctromagnética s transmit como potncial rspcto a tirra por cada uno d los conductors d la lína. Dntro d las línas balacadas, los tipos d conductors más usados son los siguints: Línas bipolars Están constituidas por dos conductors parallos con o sin aislaminto trno y con o sin aislaminto trior. Prtncn a st grupo las línas aéras o d distribución locals d nrgía, cabls d transmisión d potncia, y los cabls para transmisión d datos UTP y STP. 9 El prfil d st tipo d línas s mustra n la figura 7. Figura 7. Prfil d una lína d transmisión bipolar Línas d placas parallas Están constituidas por dos conductors planos parallos con o sin aislaminto trno y con o sin aislaminto trior. Prtncn a st grupo, algunos bobinados d máquinas léctricas rotativas. Figura 8. Prfil d una lína d transmisión d placas parallas 9 Unshildd Twistd Pair & Shildd Twistd Pair. Par trnzado no nchaqutado y nchaqutado por sus siglas n inglés. 3

3 Línas coaials Están constituidas por un conductor intrior aislado, cubirto por un conductor trno qu actúa como jaula d Faraday; l conjunto s ncuntra nchaqutado n un aislant trno. Son muy utilizadas n aplicacions d cabls para instrumntación y tlvisión UHF. Figura 9. Prfil d una lína d transmisión coaial Parámtros léctricos d línas d transmisión Indpndintmnt dl tipo d lína d transmisión, istn unos parámtros qu son d uso común n l modlado d la lína. El cambio n l tipo d lína afcta la forma d calcular los parámtros d la misma, dbido a las considracions d tipo gométrico, pro los parámtros usados para modlar línas d transmisión son simpr los mismos. Sin cpción, todos los parámtros s prsan n valors por unidad d longitud, si s dsa calcular los valors totals, basta con multiplicar l parámtro por la longitud total d la lína. Rsistncia léctrica sri R La rsistncia léctrica total d un conductor s calcula con la prsión clásica d rsistncia DC. R n l S La rsistncia por unidad d longitud s obtin a partir d sta prsión, al dividir la rsistncia por la longitud d la lína. R R l n S Las dimnsions y los valors d rsistncia léctrica para conductors cilíndricos laborados n cobr s ncuntran normalizados por la ANSI 3 n la tabla dnominada AWG, por Amrican Wir Gaug, s dcir calibr d alambr stándar amricano. 3 Amrican National Standars Institut Instituto Nacional d Estándars Amricano, quin s ncarga d dfinir los stándars d calidad qu dbn cumplir los industrials n los Estados Unidos, y cuyas normas son d acptación y rconociminto mundial. 33

4 ALEJANDRO PA PARRA Tabla 5. Calibr AWG y rsistncia léctrica para conductors d uso común n lctricidad y lctrónica Para obtnr una aproimación a la rsistncia ral d la lína, s db hacr la corrcción por fcto suprficial d acurdo con la frcuncia d opración d la lína. Inductancia sri L La inductancia sri quivalnt por unidad d longitud d cualquira d los tipos d línas s calcula como la suma d la inductancia mutua y la inductancia propia d cada conductor. L T L propia ida L propia rtorno L mutua m B S ds L I m 34

5 En l cálculo d la inductancia propia, s toman n cunta los nlazamintos d flujo ocurridos al intrior dl conductor, mintras qu para l cálculo d la inductancia mutua s dbn tomar los nlazamintos d flujo qu ocurrn n la rgión ntr conductors. m B ds m nm S L I m Cuando la frcuncia s hac muy alta, la corrint circula por la pil dl conductor, hacindo prácticamnt nulos los nlazamintos d flujo al intrior dl mismo, como s mustra n la figura 3. khz MHz Figura 3. Prfil d un conductor cilíndrico ilustrando la disminución n los nlazamintos d flujo dbido al fcto suprficial n dos frcuncias difrnts 3 Es por sto qu n alta frcuncia no s db considrar la inductancia propia, n l cálculo d la inductancia total d la lína. 3 Simulacions ralizadas con Quickfild. Softwar d lmntos finitos d Tra Analysis. Disponibl n 35

6 ALEJANDRO PA PARRA S pud considrar como alta frcuncia, aqulla rgión n la cual la profundidad d pntración d la sñal n l conductor s dsprciabl frnt a las dimnsions físicas dl mismo, n particular a su diámtro n l caso d conductors cilíndricos. Cuando la profundidad d pntración s comparabl con las dimnsions físicas dl conductor, ntoncs s considra zona d frcuncias mdias, y cuando s mayor qu éstas, s considra zona d frcuncias bajas. Capacitancia paralla C La capacitancia paralla aparc a causa d la difrncia d potncial ntr conductors y a la polarización dl mdio diléctrico qu los spara. S calcula usando la Ly d Gauss alrddor d uno d los lctrodos d la lína y la cuación d Laplac n l mdio qu las roda, como s ilustra n las figuras 3 y 3. Figura 3. Equipotncials usadas para l cálculo d capacitancia ntr dos conductors d un circuito imprso 36

7 Figura 3. Contorno usado para l cálculo d carga ncrrada n l cálculo d capacitancia ntr dos conductors d un circuito imprso Conductancia paralla G La conductancia paralla s db a la difrncia d potncial ntr conductors y a la conductividad no nula dl mdio diléctrico qu los spara. A psar d qu los conductors s ncuntran aislados, l aislant no tin una conductividad nula, por lo qu al aplicar una difrncia d potncial aparc una pquña corrint d fuga ntr conductors. Esta corrint d fuga s una corrint d conducción y s usualmnt muy pquña, por lo qu n la mayoría d las ocasions s dcid, voluntariamnt, no considrarla n l modlo d la lína. D todas formas, la considración o no d dicha corrint, dpnd d la tangnt d pérdidas dl aislant qu spara los dos conductors. La tangnt d pérdidas dl aislant s calcula como: 37

8 ALEJANDRO PA PARRA A continuación, s mustran los parámtros léctricos d un conjunto d línas; los rangos d baja mdia y alta frcuncia s toman como las frcuncias n las cuals la profundidad d pntración s comparabl con las dimnsions físicas dl conductor. Lína d dobl cinta La lína d dobl cinta stá constituida por dos placas parallas, sparadas por una capa d aislaminto qu normalmnt s d spsor mnor al ancho d la lína. Parámtro Baja frcuncia Mdia frcuncia Alta frcuncia R G L C : Conductividad dl conductor : Conductividad dl diléctrico Lína coaial 38

9 Parámtro Baja frcuncia Mdia frcuncia Alta frcuncia R G L C Lína bifilar Parámtro Baja frcuncia Frcuncia mdia Alta frcuncia R G L C 39

10 ALEJANDRO PA PARRA Ejmplo 88. Parámtros léctricos línas d transmisión. Un cabl coaial tin los siguints parámtros gométricos: Está construido n cobr, con aislaminto d spuma d politilno: Calcul los parámtros léctricos RLCG Solución: Profundidad d pntración d la onda n l conductor: Dado qu: Dl tto:.584 Por lo tanto: En la figura 33, s ncuntran los parámtros gométricos y algunos parámtros léctricos d varios tipos d cabl coaial. 3

11 Figura 33. Parámtros típicos d algunos tipos d cabl coaial Modlos d línas d transmisión Dpndindo d la longitud léctrica d la lína, s dcir la rlación qu ist ntr la lína física y la longitud d onda, s pudn usar difrnts modlos para rprsntar la lína dntro dl sistma d tlcomunicacions. En línas cortas o muy cortas s prmit l uso d modlos d parámtros concntrados, ya qu no s prsntan ondas stacionarias. En línas mdias o largas dfinitivamnt s dbn usar modlos d parámtros distribuidos. La forma más simpl d aproimar la vlocidad d propagación d una onda a través d una lína d transmisión s: La longitud d onda s rlaciona con la vlocidad d fas mdiant la cuación: Por jmplo, para una lína d transmisión qu tnga una inductancia distribuida d 547nH/m y una capacitancia d 8pF/m, la longitud d una sñal d MHz sría: Es dcir, una lína d 4cm. d st cabl db sr considrada lína mdia y modlada con parámtros distribuidos. Modlos d parámtros concntrados Los modlos d parámtros concntrados quivaln al modlo d rd d dos purtos con parámtros d transmisión o transmisión invrsa y son válidos para casos n los qu no intrsa l flujo d sñal a través d la lína, sino los valors d ntrada y salida d la misma. 3

12 ALEJANDRO PA PARRA v Av i Cv i i Bi Di v i ' A v B i i i ' í ' C v D i ' i Los parámtros ABCD saln d las cuacions d rd d dos posibls circuitos quivalnts, dnominados modlos T y Pi. Los parámtros concntrados s obtinn multiplicando los parámtros distribuidos por la longitud d la lína. Figura 34. Modlo T, s distribuy la rsistncia y la inductancia sri, y s djan concntradas la capacitancia y la conductancia paralla Figura 35. Modlo Pi, s distribuy la capacitancia y la conductancia paralla; la rsistncia y la inductancia sri s djan concntradas 3

13 Modlos d parámtros distribuidos En l modlo d parámtros distribuidos, éstos no s concntran, sino qu s modla la lína considrando la caída d tnsión y las pérdidas n cada sgmnto difrncial d lína. Est modlo prmit studiar l comportaminto d la sñal a lo largo d la lína y no solo n sus trmos. Admás d modlar la dinámica d la lína para análisis transitorio. La caída difrncial d voltaj n un sgmnto d lína s: dv d R jli Mintras qu la fuga difrncial d corrint s: di d G j CV Si s hac una sgunda drivada con rspcto a la distancia s ncuntra: d V d d I d R G j L j C di d dv d Rmplazando la cuación d la primra drivada spacial, n la sgunda s obtinn cuacions d onda EM para voltaj y corrint: V d d I d R j LG j CV V d R jlg jci I 33

14 ALEJANDRO PA PARRA 34 La solución, al igual qu n l caso d los mdios abirtos, s una función ponncial complja qu varía con l timpo y la distancia. En l caso d una alimntación snoidal. Las solucions para voltaj y corrint qudan: C j G L j R j C j G L j R Cos V V V Lo cual rprsnta un voltaj qu varía n forma snoidal con la distancia y s atnúa paulatinamnt dpndindo d la constant d atnuación α. Para l caso d la corrint la solución quda: Cos V t Cos I I I Dond la constant o s: C j G L j R di dv Dnominada impdancia intrínsca d la lína. Cuando las corrints y voltajs son snoidals a la ntrada d la lína: t j V p V t j I p I La solución quda d la forma: j t j p V V V La cual s pasa al dominio dl timpo como: t Cos V V t V p t j p, Lo cual rprsnta una onda viajra igual qu n l caso d los mdios abirtos. En l caso d la corrint la cuación d onda quda: t Cos V V t I p t j p,

15 Las constants d propagación para sta onda son las mismas qu n los mdios abirtos: Constant d fas (β), rprsnta l corriminto d fas por unidad d longitud rcorrida a lo largo d la lína, s mid n radians/m. Constant d atnuación (α), rprsnta la atnuación sufrida por l voltaj y la corrint a lo largo d la lína. S mid n nipr/m, aunqu al igual qu n los mdios abirtos s pud prsar n scala logarítmica. Constant d propagación (γ), s la suma complja d las otras dos contants: Vlocidad d propagación o vlocidad d fas ( ), s la vlocidad con la qu s dsplaza la onda a lo largo d la lína: Factor d vlocidad ( ), v p s la rlación ntr la vlocidad d fas y la vlocidad d la luz n l vacío. Timpo d rtardo La vlocidad d fas dfin l rtardo n timpo qu s obtin al rcorrr una distancia X a lo largo d la lína: Longitud d onda (λ) Es la distancia qu rcorr la onda para sufrir un corriminto d fas d π radians: Eist una rlación qu surg d forma inmdiata ntr la frcuncia y la longitud d onda: 35

16 ALEJANDRO PA PARRA Rmplazando n la vlocidad d fas: Dado qu la vlocidad d propagación s una constant, cuyo valor dpnd d los parámtros léctricos d la lína, la longitud d onda y la frcuncia son invrsamnt proporcionals n todas las línas d transmisión, indpndintmnt d su tipo. Modlos rducidos d parámtros distribuidos Dpndindo d la rlación ntr los parámtros léctricos d una lína d transmisión, s dfinn como un conjunto d modlos rducidos qu prmitn obtnr d forma más simpl las constants d propagación. Los modlos rducidos son d gran utilidad n l trabajo d campo, pus simplifican los cálculos facilitando las aplicacions d las cuacions d onda. Modlo RLC El modlo complto, analizado n l apart antrior, s llama modlo RLGC porqu toma n cunta todos los parámtros d la lína. La conductancia paralla, sin mbargo, no simpr s toma n cunta, dado qu la tangnt d pérdidas n los cabls s normalmnt muy baja. Si la tangnt d pérdidas dl aislant dl conductor s dsprciabl, s pud optar por un modlo rducido, llamado modlo RLC, n l cual no s toma n cunta la conductancia paralla. La rlación ntr la conductancia paralla y la capacitancia a una frcuncia spcífica dtrmina si s toma n cunta o no l fcto dl parámtro G: Ejmplo 89. Tangnt d pérdidas d una lína d transmisión. Una lína d transmisión tin una conductancia paralla y una capacitancia distribuida d. Calcul la tangnt d pérdidas dl cabl a una frcuncia d khz. Encuntr la frcuncia límit, n la cual la tangnt d pérdidas s hac dsprciabl. 36

17 Solución: La tangnt d pérdidas dl cabl: A sta frcuncia la tangnt d pérdidas s absolutamnt dsprciabl. Para calcular la frcuncia límit s tin: S dspja f: Finalmnt: Rmplazando: Es dcir qu st cabl s RLC n prácticamnt todas las frcuncias Modlo LC con pérdidas A partir dl modlo RLC s pud hacr una sgunda simplificación, n st caso cuando la rsistncia sri dl modlo corrgida por fcto pil s mucho más baja qu l producto d la inductancia por la frcuncia angular: En st modlo, l parámtro R no s toma n cunta para l cálculo d la constant d propagación y fas, por lo tanto, st parámtro no influy n la vlocidad d propagación ni la longitud d onda. Sin mbargo, al igual qu n los diléctricos d bajas pérdidas, l parámtro R influy n la atnuación a lo largo d la lína. 37

18 ALEJANDRO PA PARRA En alta frcuncia, todas las línas tindn a sr LC con pérdidas, ya qu la rsistncia s incrmnta por fcto pil con l cuadrado d la frcuncia, pro l producto WL s incrmnta con la primra potncia d la frcuncia, s dcir, lo hac más rápido. Una lína s considra LC con pérdidas cuando la rsistncia sri s vcs mnor al producto WL; s dcir, s pud stablcr una frcuncia d rfrncia a partir d la cual la lína s considra dntro d st modlo. Dspjando la frcuncia: Ejmplo 9. Frcuncia crítica d una lína d transmisión. Una lína d transmisión RLC tin una rsistncia sri d y una inductancia distribuida d. Calcul la rlación R/WL a una frcuncia d khz. Encuntr la frcuncia límit, n la cual la rsistncia s hac dsprciabl frnt a WL Solución: La rlación R/WL: A sta frcuncia la rsistncia no s para nada dsprciabl, l modlo s RLC. Para calcular la frcuncia límit s tin: Rmplazando: Es dcir qu st cabl s RLC hasta frcuncias crcanas a MHz, d allí n adlant s pud considrar LC con pérdidas. 38

19 Lína LC Est tipo d lína s idal, s aqulla qu no tin pérdidas ni por atnuación n l diléctrico ni tampoco n la rsistncia sri. Corrspond a un modlo d rfrncia, porqu n ralidad cabls LC puros no istn. Su utilidad s limita a cálculos n casos n qu la atnuación s dsprciabl qu la lína no s muy larga. o n En la tabla 6, s rsumn los parámtros d propagación para los distintos tipos d modlos rducidos d parámtros distribuidos. Tabla 6. Parámtros d propagación para los difrnts modlos d parámtros distribuidos Modlo/ Parámtros d propagación RLCG RLC(G<<ωC) LC con pérdidas (R<<ωL) LC α R(γ) β Im(γ) γ o Ejmplo 9. Parámtros d propagación n línas d transmisión. Una lína d transmisión tin los siguints parámtros léctricos: Mdidos a 5kHz. Calcul los parámtros d propagación, la vlocidad d propagación, la longitud d onda y la atnuación n db/km. Solución: Para calcular los parámtros d propagación, s dfin l modlo: 39

20 ALEJANDRO PA PARRA S dsprcia G: R no s dsprciabl, por lo tanto modlo RLC: La vlocidad d propagación n la lína: El factor d vlocidad: La longitud d onda: La atnuación n db: Propagación n línas d transmisión acotadas Cuando las línas d transmisión s ncuntran trminadas n una impdancia d carga, como s mustra n la figura 36, s prsntan fnómnos d rflión y transmisión, d forma smjant a como ocurrn n mdios abirtos acotados. 33

21 Figura 36. Lína d transmisión trminada n una carga Indpndintmnt d la configuración d la lína, las línas d campo léctrico y las d campo magnético son prpndiculars a la dircción d propagación d la sñal (corrspondn a un modo TE), tal como s obsrva n la figura 37. En dond s mustra un cort transvrsal d un conductor coaial, ilustrando las Línas d Furza dl campo léctrico y magnético. Figura 37. Línas d Furza dl campo magnético (puntado) y dl campo léctrico (continua) n l intrior d un conductor coaial Dbido al fcto suprficial, los campos E y H s propagan sncialmnt a través dl diléctrico, por lo qu la incidncia d la onda sobr una impdancia conctada a la lína s convirt n un problma d incidncia prpndicular. La proporcionalidad ntr la intnsidad d campo léctrico E y la difrncia d potncial, así como ntr la intnsidad d campo magnético H y la corrint léctrica, d acurdo con la Ly d Biot-Savart, indican qu los fnómnos asociados a la rflión d campos léctrico y magnético, n un caso d incidncia prpndicular, s pudn trapolar a la corrint y l voltaj qu s transmitn a lo largo d una lína. Para l caso d una onda d voltaj: E E y y 33

22 ALEJANDRO PA PARRA 33 Dado qu la difrncia d potncial ntr conductors y l campo léctrico son proporcionals, s tin: V V L L Dond y son la impdancia quivalnt d la carga y la impdancia intrínsca d la lína, rspctivamnt. El vctor rprsnta l voltaj incidnt y l voltaj rfljado. La onda d voltaj total sría la suma d las ondas incidnt y rfljada, igual qu n l caso dl campo léctrico: Para l caso d la corrint s tin: z z H H Como la corrint s dirctamnt proporcional a la corrint, s tin una corrint incidnt y una rfljada, cuya rlación s: I I L L La onda d corrint total sría la suma d las ondas incidnt y rfljada, igual qu n l caso dl campo magnético: Eist un voltaj y corrint transmitidos hacia la carga, los cuals por condicions d frontra dbn sr iguals al voltaj y la corrint total incidnts dl lado d la lína, justo n l punto d conión. I I V V El coficint d transmisión n función d las impdancias d lína y carga quda: L L

23 Ejmplo 9. Rflión n línas d transmisión acotadas. Una lína d transmisión LC sin pérdidas, L=.5H/m y un C=pF/m s ncuntra acoplando un gnrador con una antna tipo curno. Calcul l coficint d transmisión y l coficint d rflión. Solución: El coficint d transmisión: Impdancia d ntrada n línas d transmisión acotadas Al igual qu n l caso d los mdios abirtos acotados, la impdancia d ntrada d la lína s ntind como la rlación ntr l voltaj total y la corrint total: 333

24 ALEJANDRO PA PARRA En términos d la impdancia d la lína y d la carga, la cuación d la impdancia d ntrada quda: in Cos Cos jsin j Sin La cual s una cuación análoga a la d la impdancia n mdios abirtos acotados- incidncia prpndicular. En términos d la longitud léctrica d la lína s tin: in Cos jsin Cos j Sin Cos jsin in Cos j Sin ado qu la rlación ntr la longitud física d la lína X y la longitud d onda λ s quivalnt a la longitud léctrica. La cuación para la impdancia d ntrada quda: in Cos Cos jsin j Sin En términos d la función tangnt: in jtan j Tan Ejmplo 93. Impdancia d ntrada n línas d transmisión acotadas. Una lína d transmisión coaial sin pérdidas,. trmina n una antna tipo curno Calcul la impdancia d ntrada si la lína tin una longitud d a). λ, b). λ. 334

25 Solución: La cuación para la impdancia d ntrada quda: Para l primr caso: Calculando: in in j3 j5tan 5 j75 j3tan 75 j3 j5tan.5 5 j75 j3tan.5 Para l primr caso: in j3 j5tan.3 5 j75 j3tan.3 Calculando: Como s aprcia claramnt la impdancia d ntrada varía n función d la longitud léctrica d la lína. Impdancia d ntrada normalizada Al igual qu n los mdios abirtos, s acostumbra prsar la impdancia d ntrada n forma normalizada, scogindo como valor d normalización la impdancia d la lína d transmisión. La impdancia normalizada s la razón ntr la impdancia y la impdancia d normalización, s dcir: Para l caso d una lína d longitud L trminada n una carga s tin: 335

26 ALEJANDRO PA PARRA in L j Tan L j LTan L Normalizando con rspcto a s tin: in L j j L Tan L Tan L Equivalnt a: Para rcuprar la impdancia n ohmios, basta con multiplicar la impdancia normalizada por la impdancia d normalización. Lína trminada n cortocircuito Si la impdancia d carga s cro transmisión qudan:, las cuacions d los coficints d rflión y L L Es dcir, s prsnta rflión total y no ist onda transmitida. La impdancia d ntrada, sin mbargo, da como rsultado un valor dpndint d la longitud d la lína: 336

27 in L j Tan j Tan L L La impdancia normalizada: in L j Tan in L jtan Cuando s grafica la impdancia normalizada n función d la longitud léctrica s obtin la gráfica qu s mustra n la figura 38. Figura 38. Impdancia d ntrada normalizada para una lína trminada n corto-circuito Como s obsrva claramnt n la figura 38, la impdancia d ntrada s rpit cada. λ y s hac indtrminada tndindo a infinito n. λ y.7 λ. En la zona ntr y. λ, la impdancia normalizada s comporta como un inductor puro, s dcir, tin impdancia imaginaria pura positiva, mintras n la zona ntr. λ y. λ, lo hac como un capacitor, impdancia imaginaria pura ngativa. 337

28 ALEJANDRO PA PARRA Lína trminada n circuito abirto Si la impdancia d carga s infinita transmisión qudan:, las cuacions d los coficints d rflión y L L Es dcir, la onda transmitida tin l dobl d amplitud d la incidnt y la onda rfljada tin la misma amplitud d la rfljada. Est s un caso particular qu s analizará n dtall más adlant. La impdancia d ntrada da como rsultado un valor dpndint d la longitud d la lína: in L j Tan j Tan L L in j Tan L jtan L L in L jtan in L j Cot La impdancia normalizada: in L jcot Cuando s grafica la impdancia normalizada n función d la longitud léctrica s obtin la gráfica qu s mustra n la figura

29 Figura 39. Impdancia d ntrada normalizada para una lína trminada n circuito abirto Como s obsrva claramnt n la figura 39, la impdancia d ntrada s rpit cada. λ y s hac indtrminada tndindo a infinito n,. λ y λ. En la zona ntr y. λ, la impdancia normalizada s comporta como un capacitor puro, s dcir, tin impdancia imaginaria pura ngativa; mintras n la zona ntr. λ y. λ lo hac como un inductor, impdancia imaginaria pura positiva. Est comportaminto contrasta con l d la impdancia d ntrada para la lína trminada n corto-circuito, n dond l comportaminto s igual, pro con un dsplazaminto n distancia d. λ, como s ilustra n la figura 4. Figura 4. Comparativo ntr la impdancia d ntrada normalizada para una lína trminada n circuito abirto (azul) y una lína trminada n corto-circuito (rojo) 339

30 ALEJANDRO PA PARRA Lína bin acoplada Cuando la impdancia d la lína y la d la carga son iguals, s prsnta un caso spcial n l cual no s ocurr onda rfljada. Los coficints d transmisión y rflión qudan: L L L En st caso ist transmisión total, s dcir qu l total d la onda s propaga sin prsntar rflión. Esta condición s idal para maimizar la transmisión d potncia a la carga ya qu no ist rflión. La impdancia d ntrada, vista dsd la ntrada d la lína, quda: in L L j Tan j Tan L En st caso: in Indpndintmnt d la longitud léctrica d la lína. La impdancia d ntrada normalizada quda: Máimos y mínimos d voltaj Dbido a la rflión prsnt n una lína mal acoplada, la onda d voltaj total s la suma d las ondas incidnt y rfljada: En términos dl coficint d rflión: Dado qu l coficint d rflión s un númro compljo: 34

31 34 Rmplazando: j j j s V V V S hac factor común dl voltaj incidnt: j j s V V S multiplica y divid por una misma cantidad sin altrar la cuación: j j j j s V V j j j j j s V V Simplificando: j j j s V V S pud agrgar y rstar un mismo término sin altrar la cuación: j j j j j s V V Rducindo: j j j j s V V Aplicando la idntidad d Eulr: j j s Cos V V S obsrvan claramnt dos componnts d la sñal d voltaj: Una primra componnt, da orign a una onda viajra d amplitud, por su caráctr compljo: j j s V V

32 ALEJANDRO PA PARRA Una sgunda, d valor ral, simplmnt multiplica al voltaj sin gnrar onda viajra: j V ss V Cos Esta sgunda componnt d amplitud s comporta como una onda stacionaria sobrpusta a la onda viajra d amplitud. En l spacio, las dos componnts s suman como s mustra n la figura 4. Figura 4. Sumatoria d amplituds d voltaj viajro y stacionario n la lína d transmisión S aprcia claramnt qu istn puntos n los máimos d la onda stacionaria, dond l voltaj alcanza un valor máimo quivalnt a: Y puntos dond la onda stacionaria s anula qudando solo la componnt viajra. En st caso la amplitud dl voltaj alcanza un valor mínimo. Los valors máimos d voltaj s ncuntran n los máimos d la componnt stacionaria, s dcir, dond la función cosno alcanza los valors máimos; sto s n los múltiplos d π radians: Dspjando : Rmplazando 34

33 Simplificando: Para ncontrar los mínimos d voltaj, basta con ncontrar los mínimos d la componnt stacionaria. La función cosno s hac mínima n los múltiplos impars d π/ d radian: Dspjando : Rlación d onda stacionaria La rlación ntr l voltaj máimo y l voltaj mínimo dntro d la lína s dnomina rlación d onda stacionaria d voltaj VSWR. 3 Cuando s prsnta rflión total, la rlación d onda stacionaria s hac infinita. Ejmplo 94. Rlación d onda stacionaria máimos y mínimos d voltaj. Una lína d transmisión coaial sin pérdidas,. trmina n una antna tipo curno Calcul la rlación d onda stacionaria y l voltaj incidnt si l voltaj máimo mdido sobr la lína s d 3V RMS. Calcul a qué distancia léctrica dsd la antna s ncuntra l primr máimo y l primr mínimo. Solución: S calcula l coficint d rflión n magnitud y ángulo 3 Voltag Standing Wav Ratio, por sus siglas n inglés. 343

34 ALEJANDRO PA PARRA La rlación d onda stacionaria: El voltaj máimo vin dfinido por: Dspjando: Para l primr máimo: Para l primr mínimo: Rmplazando: 344

35 Potncia y pérdidas n línas d transmisión La potncia instantána transmitida por una lína d transmisión trminada n una carga, stá dtrminada por l producto dl voltaj y la corrint qu s propagan a lo largo d la lína. En l cálculo d potncia no solo s db tomar n cunta la impdancia propia d la lína, sino la rsultant d la lína y la carga considrando la longitud léctrica d la lína. S pud idntificar una componnt d potncia corrspondint al voltaj incidnt, dnominada potncia incidnt. P V _ RMS q Cos q En st caso, y ángulo. s la impdancia quivalnt dl sistma lína-carga, prsada n magnitud Una sgunda componnt d la potncia total s la potncia rfljada n la carga, ésta toma n cunta l voltaj rfljado y la impdancia quivalnt dl sistma. P V _ RMS q Cos q En términos dl coficint d rflión: P V _ RMS q Cos q Finalmnt, stá la potncia transmitida a la carga qu d acurdo con la ly d consrvación d nrgía db sr la difrncia ntr la potncia incidnt y la potncia rfljada. P V _ RMS q Cos q Al igual qu n los mdios abirtos, la constant d atnuación dfin la cantidad d potncia qu s pird por fcto Joul n l mdio físico, s dcir, la lína d transmisión. Rflctancia y transmitancia La rflctancia s l porcntaj d la potncia incidnt qu s rfljada por l sistma. Dsd l punto d vista matmático s la rlación prsada n porcntaj d la potncia rfljada y la potncia incidnt: 345

36 ALEJANDRO PA PARRA R P P La transmitancia s la rlación porcntual ntr la potncia transmitida y la potncia incidnt. Por ly d consrvación d la nrgía, la suma d la rflctancia y la transmitancia db sr igual a la unidad, s dcir al %. T P P Ejmplo 95. Potncia n línas mal acopladas. Una lína d transmisión con pérdidas d.3db/m,, s ncuntra acoplando un gnrador con una antna a una frcuncia d MHz. Qué porcntaj s transmit d la lína a la antna? Si la lína mid.3m, qué porcntaj d la potncia dl gnrador s transmit a la lína? Qué porcntaj s transmit n total, dl gnrador a la antna? Solución: El coficint d rflión ntr antna y lína s: antna lina 8 j3 5 3 j3 lina.3 Antna 8 j3 5 3 j 3 antna lina 3 La transmitancia ntr lína y antna s: T lina Antna.3 El porcntaj d potncia transmitida d la lína a la antna s: T lina Antna % 346

37 La longitud d onda n la lína s: La longitud léctrica d la lína s por tanto: La impdancia d ntrada d la lína stá dtrminada por: in jtan j Tan Rmplazando: in 5 8 j3 j5tan.3 5 j8 j3tan.3 in 33.5 j El coficint d rflión ntr lína y gnrador s: gnrador lina in in g g 33.5 j j 6. j gnrador lina La transmitancia ntr gnrador y lína quda: P P transmitida incidnt gnrador lína % La lína tin pérdidas, las cuals dbn sr considradas, por lo tanto: m db / Np / m.345 log D la cuación dl vctor d Poynting ntr lína y antna: P P transmitida incidnt línaantna.8 8% 347

38 ALEJANDRO PA PARRA Es dcir qu l 8% d la potncia qu s transmit a la lína, fctivamnt llga a la antna. El porcntaj d potncia total transmitida srá: P P transmitida incidnt Total P P transmitida lína incidnt gnrador P P transmitida antna incidnt lína P P transmitida antna incidnt gnrador % D la potncia mitida por l gnrador, solo l 7% s transmit a la antna. El 87.% pasa dl gnrador a la lína, s dcir qu l.8% s rtorna al gnrador, y la difrncia ntr 87.% y 7% qu fctivamnt pasa a la antna, s pird por fcto Joul n la lína d transmisión (5.%). Transformador d impdancias λ/4 La prsión d la impdancia d ntrada n una lína d transmisión trminada n una carga stá dfinida por: in jtan j Tan Cuando la longitud léctrica d la lína s igual a un cuarto d la longitud d onda, función tangnt s hac indtrminada tndindo a infinito., la En st caso, la impdancia d ntrada quda dfinida por: in jtan jtan. 5 in Si s dsa igualar la impdancia d ntrada a la impdancia dl gnrador para obtnr máima transfrncia d potncia, s obtin: g 348

39 Si la impdancia d carga s difrnt d la impdancia dl gnrador, s pud usar una lína d longitud. λ qu prmita igualar stas dos impdancias. La impdancia d la lína dsada para st fcto sría: Ejmplo 96. Transformador λ/4. Un gnrador s va a conctar con una antna. Qué impdancia dbrá tnr una lína d transmisión λ/4 qu prmita hacr l acopl rducindo al mínimo las pérdidas por rflión? Solución: Para acoplar ntr gnrador y antna s usa un tramo d lína como transformador λ/4 con una impdancia d: D sta forma s rduc a cro l coficint d rflión y la potncia transmitida solo quda afctada por las pérdidas n la lína. Métodos gráficos La carta d Smith La carta d Smith s la rprsntación gráfica, n l plano Gaussiano dl coficint d rflión, d la rsistncia y la ractancia normalizadas. Como hrraminta gráfica, la carta d Smith prmit obtnr algunos parámtros d las línas d transmisión y rsolvr problmas d adaptación d impdancias, vitando las opracions con númros compljos. Construcción El coficint d rflión n la carga, para una lína trminada n una impdancia L s obtin como: 349

40 ALEJANDRO PA PARRA En términos d la impdancia d carga normalizada: La impdancia d carga normalizada s pud prsar como un númro compljo: Multiplicando por l compljo conjugado: Sparando las componnts ral imaginaria s tin: El coficint d rflión tin part ral imaginaria: Dond s obtin: D la sgunda cuación s tin: D la primra cuación: 35

41 Dspjando: D dond: Rmplazando: Al rducir la prsión quda: Si s limina r y s pon n función d : D la primra cuación, s dduc qu l lugar gométrico d los puntos n l plano d Gauss, s una circunfrncia, cuyo cntro s ncuntra sobr l j ral, y l radio varía dpndindo d r. S tabula para obtnr cntro y radio n función d r: r X Radio ½ ½ 3 3/4 /4 4 4/5 /5 9 9/ / Los círculos rsultants s grafican n la figura 4. 35

42 ALEJANDRO PA PARRA Figura 4. Círculos dl lugar gométrico para l coficint d rflión Г n función d r D la cuación n función d, s tin: En st caso, l lugar gométrico d los puntos n l plano d Gauss, s también una circunfrncia, pro l cntro stá dsplazado sobr l j ral; una unidad, la coordnada y dl cntro y l radio d la circunfrncia varían dpndindo d. S tabula para obtnr cntro y radio n función d : Y Radio / / 4 /4 /4 / / Para valors d ngativos, s invirt la posición dl cntro, pro l radio no cambia: En la figura 43, s mustran los círculos qu s obtinn para l coficint d rflión n difrnts valors d. 35

43 Figura 43. Círculos dl lugar gométrico para l coficint d rflión Г n función d Cuando s suprponn los dos gráficos s obtin un lugar gométrico para l coficint d rflión n función d los dos parámtros r y, como s mustra n la figura 44. Est lugar gométrico rcib l nombr d carta d Smith. Figura 44. Carta d Smith para l coficint Г n función d r y La carta d Smith, complta, s mustra n la figura

44 ALEJANDRO PA PARRA Figura 45. Carta d Smith normalizada En la carta d Smith, s ubican sobr las circunfrncias d r y los valors d la impdancia normalizada. La distancia ntr st punto y l cntro, n una circunfrncia normalizada (radio unitario) constituy la magnitud l coficint d rflión. El ángulo qu s forma ntr l vctor qu un l punto con l cntro d la Carta constituy l ángulo d dicho coficint, como s mustra n la figura

45 Figura 46. Cálculo dl coficint d rflión usando la carta d Smith Cálculo d la impdancia d ntrada d una lína mal acoplada La circunfrncia gnrada rotando l vctor Г, sobr l cntro d la Carta, dfin l valor d la impdancia d ntrada normalizada para difrnts valors d longitud d lína, como s mustra n la figura 47. Figura 47. Mdición d la impdancia d ntrada usando la carta d Smith ado qu la impdancia d ntrada s rpit cada. λ, un giro complto dntro d la carta d Smith s un rcorrido igual a sta distancia léctrica. Un mdio giro quival a. λ, como s mustra n la figura

46 ALEJANDRO PA PARRA Figura 48. Transformador λ/4 usando la carta d Smith Parámtros d transmisión La carta d Smith, admás, prmit obtnr parámtros como l coficint d transmisión, y la rlación d onda stacionaria. Para l coficint d transmisión, basta rcordar qu por dfinición, l coficint d transmisión stá dtrminado por: Lo qu quival a sumar una unidad sobr l ral al vctor Г. Sobr la Carta, sto s pud hacr dirctamnt, ya qu s supon qu la circunfrncia máima d la carta d Smith s unitaria, por lo qu l coficint d transmisión s pud obtnr como s mustra n la figura 49. Figura 49. Coficint d transmisión usando la carta d Smith 356

47 Adicionalmnt, d la cuación dl coficint d rflión n términos d la impdancia normalizada s pud obtnr: Dspjando la impdancia normalizada: Comparando con la cuación d la ROE: S concluy qu la ROE s igual a la impdancia normalizada cuando l ángulo d Г s cro. Esto ocurr dntro d la carta d Smith, n l punto dond la circunfrncia d la impdancia corta l smij ral ngativo. Como s mustra n la figura 5. Figura 5. Cálculo d la ROE usando la carta d Smith Ejmplo 97. Parámtros d transmisión Carta d Smith. S concta una antna d L=(45- )Ω a una lína coaial LC o=7 Ω. Utilic la carta d Smith; calcular l coficint d rflión (magnitud y ángulo), l coficint d transmisión, la VS R y la impdancia d ntrada para una lína. λ. Solución: La impdancia d carga normalizada s: 357

48 ALEJANDRO PA PARRA S busca la intrscción d la circunfrncia con la circunfrncia, qu s ncuntra n la part infrior d la Carta. Como s mustra n la figura 5. S toma la distancia al cntro y s divid por l radio d la Carta (r) para normalizar: S mid l ángulo como s mustra n la figura 5. S toma la distancia dsd l punto d impdancia normalizada al trmo izquirdo d la Carta, como s mustra n la figura 5. S divid por l radio d la Carta (r) para normalizar. S mid l ángulo como s mustra n la figura 5. Para l cálculo d la SWR (ROE), s traza l círculo d impdancia d ntrada y s busca la intrscción con l j ral positivo. Finalmnt, para l cálculo d la impdancia d ntrada n una lína spcífica, s toma l punto d partida d la intrscción d la prolongación dl vctor Г, con la circunfrncia máima, obtnindo un valor d.46λ, tomada dsd l punto. A sta longitud s l suma la longitud léctrica d la lína: bido a qu una distancia d. λ s una vulta complta a la Carta, s dscuntan los múltiplos ntros d. λ dl valor obtnido, n st caso: S ubica st punto sobr la circunfrncia máima y s proycta sobr l círculo d impdancia. La proycción da como rsultado la impdancia d ntrada para la distancia léctrica dfinida, como s mustra n la figura

49 Para hallar l valor d la impdancia ral, s multiplica por l valor d normalización: Figura 5. Parámtros d transmisión usando la carta d Smith. Ejmplo

50 ALEJANDRO PA PARRA Diagrama d admitancia La prsión para la impdancia d ntrada normalizada s: Cuando la longitud léctrica d la lína s hac crcana a. λ, l valor d la función tangnt tind a infinito, por lo qu la impdancia d ntrada s hac igual a: El invrso d la impdancia d carga normalizada s una admitancia, llamada admitancia normalizada: En términos d admitancia: Lo cual significa qu n la carta d Smith s pud obtnr la admitancia con bas n la impdancia, con un simpl giro d. λ, quivalnt a 8 º, como s mustra n la figura 5. Figura 5. Obtnción d la admitancia d ntrada con bas n la carta d Smith 36

51 Ejmplo 98. Cálculo d admitancias Carta d Smith. S concta una antna d L=(8- )Ω a una lína LC o= Ω. Utilic la carta d Smith para obtnr la admitancia d la carga y la admitancia d ntrada para una lína d.λ. Solución: La impdancia d carga normalizada s: S busca la intrscción d la circunfrncia con la circunfrncia, qu s ncuntra n la part infrior d la Carta. Como s mustra n la figura 53. S traza l círculo d impdancia y sobr l mismo s ncuntra l punto diamtralmnt opusto al punto d la impdancia d ntrada (8º =. λ). Las coordnadas d s punto corrspondn a: La admitancia d la lína d transmisión s: La admitancia d la carga s: Para obtnr la admitancia d ntrada, s busca la intrscción dl vctor d admitancia d carga, con la circunfrncia máima y a partir d s punto s agrga una longitud igual a la longitud d la lína. S proycta l punto sobr l círculo d admitancia y s ncuntra l valor d la intrscción, como s mustra n la figura 53. El valor d la intrscción corrspond a las coordnadas: S obtin l valor n simns. 36

52 ALEJANDRO PA PARRA Figura 53. Cálculo d admitancias carta d Smith. Ejmplo 98 Línas trminadas n cortocircuito o n circuito abirto Para una lína trminada n cortocircuito, la impdancia d la carga, s ncuntra localizada n la intrscción d las circunfrncias qu corrspond al punto trmo izquirdo d la Carta, como s mustra n la figura 54. La admitancia d la carga s infinita, ya qu por dfinición la admitancia s l invrso d la impdancia, y ésta s cro. 36

53 En la carta d Smith, la admitancia d cortocircuito s ncuntra situada n un punto diamtralmnt opusto al d la impdancia, s dcir: Figura 54. Admitancia impdancia d una lína n corto-circuito Con la lína trminada n circuito abirto ocurr actamnt lo contrario. La impdancia s infinita, lo cual indica qu la admitancia s cro. Por lo tanto, para una lína n circuito abirto, la impdancia stará n l trmo drcho y la admitancia n l punto diamtralmnt opusto, como s mustra n la figura 57. Figura 55. Admitancia impdancia d una lína n circuito abirto 363

54 ALEJANDRO PA PARRA Dado qu la impdancia d una lína n cortocircuito no tin componnt ral, para calcular la impdancia o la admitancia d ntrada, l círculo d impdancia coincid con la circunfrncia máima d la Carta. Ejmplo 99. Admitancia d línas n corto circuito o circuito abirto Carta d Smith. Calcul la admitancia d una lína d. λ con una impdancia intrínsca d n cortocircuito. Ω, trminada Calcul la admitancia d la misma lína si s ncuntra trminada n circuito abirto. Solución: Como s mustra n la figura 55. S part d la admitancia d una lína n cortocircuito y s hac un dsplazaminto d. λ por la circunfrncia máima d la Carta. S obtin un valor para la admitancia d: La admitancia bas d la lína s: Por lo qu la admitancia n simns quda: Si s calcula la impdancia d ntrada s tin: Tóricamnt, la impdancia d una lína n cortocircuito vin dada por: Rmplazando s obtin: Como s aprcia claramnt, l rror s infrior a Ω. 364

55 Para l caso d la lína n circuito abirto, s part dl trmo izquirdo d la Carta qu s la admitancia d circuito abirto y s hac un dsplazaminto d. λ por la circunfrncia máima d la Carta. S obtin un valor para la admitancia d: Por lo qu la admitancia n simns quda: Si s calcula la impdancia d ntrada s tin: Tóricamnt, la impdancia d una lína n circuito abirto vin dada por: Nuvamnt, l rror s infrior a Ω. S aprcia claramnt qu los rsultados obtnidos analíticamnt y por método gráfico difirn muy poco. 365

56 ALEJANDRO PA PARRA Figura 56. Admitancia impdancia d una lína n corto-circuito o circuito abirto. Ejmplo 99 Cálculo d acopls ractivos usando carta d Smith El diagrama d admitancia prmit ralizar una aproimación qu n forma analítica rsulta d gran compljidad dado l manjo qu db hacrs d los númros compljos. Cuando s obsrva la circunfrncia d admitancia, s ncuntra qu istn al mnos dos puntos n los cuals s cruza la circunfrncia. Como s obsrva n la figura

57 Figura 57. Intrscción d la circunfrncia d admitancia con l círculo r= Estas intrsccions ocurrn dntro d una distancia simpr infrior a admitancia d ntrada tin por valor:. λ, y n llos la Si s pud conctar una admitancia ractiva pura n stos puntos, cuyo valor sa l invrso aditivo d la componnt imaginaria d la admitancia d ntrada, s pud obtnr una admitancia quivalnt igual a la unidad. Esta admitancia a conctar cumpl l papl d admitancia d compnsación, con lo cual al sr la admitancia total igual a la unidad, la impdancia quivalnt también sría igual a la unidad y, por lo tanto, l coficint d rflión s hac cro. La admitancia d compnsación o acopl, s concta como s mustra n la figura 58. Figura 58. Conión d un acopl ractivo para minimizar Г 367

58 ALEJANDRO PA PARRA El punto n l cual s concta la admitancia d compnsación s scog con bas n la carta d Smith, ntr una d dos posibilidads d o d, qu corrspondn a las dos intrsccions con l círculo, sgún s mustra n la figura 59. Figura 59. Distancias d rfrncia para ubicación d la admitancia d compnsación Ejmplo. Cálculo d distancias para conión d acopls Carta d Smith. S concta una antna d L=(6 + 4 )Ω a una lína LC o=7 Ω. Utilic la carta d Smith para obtnr la admitancia d la carga y la distancia n la cual s db conctar una admitancia d compnsación para llvar la admitancia d ntrada a la unidad. Calcul l valor d la admitancia a conctar n simns y la impdancia quivalnt n ohmios. Solución: La impdancia d carga normalizada s: En la carta d Smith s obtin una admitancia quivalnt d carga d: La intrscción dl vctor d admitancia con la circunfrncia máima s ncuntra n. 7 λ. 368

59 S buscan las intrsccions d la circunfrncia con la circunfrncia d admitancia. Como s mustra n la figura 6. Estas intrsccions s ncuntran n: Si s toma la solución positiva, la distancia d da como rsultado: Como la distancia no pud sr ngativa, s agrga una distancia d admitancia y la impdancia s rpitn.. λ, n la cual la Es dcir, la admitancia d acopl s db conctar a una distancia d. 8λ, dsd la carga y hacia l gnrador. En st punto, la admitancia d ntrada tin un valor d: Por lo qu s db conctar una admitancia ractiva d un valor d: Lo cual quival a una impdancia d: Eprsada n ohmios quda: El sistma complto quda: 369

60 ALEJANDRO PA PARRA Figura 6. Distancias d rfrncia para ubicación d la admitancia d compnsación Carta d Smith. Ejmplo Acopl ractivo a partir d sccions dl mismo conductor En lugar d conctar admitancias d compnsación, s usan normalmnt porcions dl mismo cabl qu constituy la lína, rmatados n cortocircuito o n circuito abirto, dpndindo d la ncsidad. 37

61 La longitud d cabl qu s db usar, s pud obtnr mdiant carta d Smith o por cálculo dircto a través d la admitancia d una lína n corto o n circuito abirto. Figura 6. Acopl ractivo con bas n una scción dl mismo conductor Esta porción d cabl rcib l nombr d acopl ractivo 33 y s obtin a partir dl punto d admitancia d cortocircuito o d circuito abirto dsplazándos sobr l círculo máimo. Para l jmplo antrior, la porción d cabl qu s db conctar n cortocircuito s calcula usando la carta d Smith, como s mustra n la figura 6. Si l acopl s hac con una lína n circuito abirto, la longitud d cabl a conctar sría: 33 En inglés s dnomina STUB. 37

62 ALEJANDRO PA PARRA Figura 6. Acopl ractivo con bas n una scción dl mismo conductor. Ejmplo Guías d onda Una guía d onda s cualquir structura qu prmit guiar ondas lctromagnéticas para sr transmitidas dsd un punto a otro, y dntro d la cual los campos lctromagnéticos s ncuntran confinados a una rgión dl spacio. 37

63 La structura d una guía d onda stá formada por una suprfici altamnt conductora qu forma las pards d la guía y un matrial aislant qu s ncuntra n mdio d llas a través dl cual s propaga la onda EM. Figura 63. Figura 63. Estructura d una guía d onda rctangular Las ondas lctromagnéticas s propagan por rflión múltipl n las pards d la guía, llvando la nrgía lctromagnética a lo largo d la structura, con solo las pérdidas gnradas por rflión, tal como s mustra n la figura 64. Figura 64. Propagación d una onda EM a través d una guía d onda En una guía d onda, la onda s propaga por rflión total ntr las pards conductoras n forma d igzag a través dl matrial diléctrico. D acurdo con la Ly d Snll l ángulo d incidncia d la onda sobr la pard d la guía, s igual al ángulo d rflión, como s mustra n la figura 64. El ángulo θ tin un valor máimo d, para garantizar la propagación d la onda. Aunqu la figura 63 mustra una guía d onda rctangular, n ralidad cualquir structura con pards rflctants pud srvir d guía d onda. S pudn ncontrar guías d onda d difrnts prfils, como los qu s mustran n la figura

64 ALEJANDRO PA PARRA Figura 65. Difrnts prfils para guías d onda Sin mbargo, las guías d onda más comuns son las rctangulars y las circulars. En cuanto a los matrials constructivos, a psar d qu las pards pudn sr hchas d cualquir matrial conductor, son más comuns l aluminio y l acro, aunqu para aplicacions spcíficas s usan pards d cobr, lo cual n muchos casos no s rcomndabl ya qu incrmnta considrablmnt l costo. Para l aislant, s mpla normalmnt air, aunqu n algunos casos s usa spuma d politilno d baja dnsidad. Por su mismo principio d funcionaminto, por una misma guía d onda s pudn propagar simultánamnt difrnts ondas d divrsas frcuncias. Dpndindo dl númro d ondas qu s propagun simultánamnt por l mdio, las guías d onda pudn sr monomodo o multi-modo. Figura 66. Propagación multi-modo n una guía d onda Una guía d onda (GDO) opra n l rango por ncima d los 3GHz y s usa principalmnt n microondas, acopls dirccionals, intrfacs ntr osciladors y antnas. Principios d propagación En una GDO, las ondas s propagan d acurdo con los principios d rflión incidncia oblicua, tratados antriormnt n st libro, tnindo los mismos modos d propagación, s dcir TE, TM y TEM. Los coficints d rflión y transmisión n modo TE vinn dados por: r _ TE Cos Cos Cos Cos t _ TE Cos Cos Cos 374

65 Mintras n modo TM son: t _ TM Cos Cos Cos r _ TM Cos Cos Cos Cos En una GDO idal, la impdancia s cro, ya qu la pard actúa como un conductor idal. En sta condición s prsnta rflión total y los coficints d Frsnl qudan: La rflctancia n ambos modos s hac y la transmitancia cro. Por lo tanto, no ist potncia transmitida a las pards y toda la potncia s rflja al diléctrico. Para l modo TE, la onda rfljada tin l campo léctrico n contrafas con l campo incidnt, mintras n l modo TM, los campos magnéticos s ncuntra n fas. En la figura 67, s mustra una onda n modo TM propagándos a través d una GDO. Figura 67. Propagación TM a lo largo d una guía d onda Guías d onda rctangulars Las guías d onda rctangulars prsntan un prfil como l mostrado n la figura 68. La dimnsión A s simpr l lado más largo dl rctángulo, l otro lado s B. Figura 68. Guía d onda rctangular Dbido a qu la onda s propaga por rflión total n una pard conductora, por condicions d frontra l campo léctrico n los puntos d rflión db sr cro. Esto implica qu la distancia mínima posibl ntr dos puntos d rflión total db sr una smilongitud d onda, como s mustra n la figura

66 ALEJANDRO PA PARRA Figura 69. Propagación a lo largo d una guía d onda rctangular El máimo valor dl ángulo d incidncia qu garantiza la propagación s d, qu s da cuando una smilongitud d onda, s igual al lado dl rctángulo qu forma la scción d la guía. Cualquir smilongitud d onda suprior a ésta no s propaga a través d la guía. A su vz, dbido a la proporcionalidad invrsa ntr la frcuncia y la longitud d onda, la mínima frcuncia qu s pud transmitir a través d una guía corrspond a la máima longitud d onda. La máima longitud d onda qu s pud propagar a lo largo d una guía d onda rcib l nombr d longitud d onda crítica y s pud calcular con bas n las dimnsions d la guía. Por lo tanto: Esta longitud d onda tin una frcuncia asociada: Dond U s la vlocidad d propagación d una onda lctromagnética n l diléctrico qu llna la guía. Para cualquir frcuncia infrior a la crítica, la longitud d onda s suprior y por lo tanto no s propaga. D sta forma, la guía d onda actúa como una spci d filtro qu solo prmit l paso d sñals con una frcuncia suprior a la frcuncia crítica. Para frcuncias supriors a la crítica, la guía d onda prmit la propagación d sñals, por lo qu ntr los puntos d rflión pud habr dos o más smilongituds d onda, dpndindo d la frcuncia. Para dnotar l modo particular qu s propaga a través d la GDO s usa l modo (TE, TM o TEM), con dos subíndics qu indican cuántas smilongituds d onda s ncuntran n dircción A y cuántas n dircción B. En la figura 7, s mustran las Línas d Furza dl campo léctrico y magnético para l modo d propagación TE. Las línas d campo E s dibujan n lína continua, mintras las d campo H stán n lína puntada. 376

67 Figura 7. Campo léctrico y magnético n una guía d onda modo TE En la figura 7, s mustran las Línas d Furza para l modo TE, como s aprcia, l campo E cambia d dircción n l cntro d la GDO, sto significa qu n s punto s ncuntra un nodo d la onda stacionaria y, por lo tanto, istn dos smilongituds d onda n dircción A y ninguna n dircción B. Figura 7. Campo léctrico y magnético d una onda n modo TE En la figura 7, s mustran otras configuracions d Línas d Furza para otros modos d propagación. Figura 7. Difrnts modos d propagación n una GDO rctangular Tomado d Plot of modal fild distribution in rctangular and circular wavguids : IEEE Transactions on Microwav Thory and Tchniqus, VOL. MTT-33, NO. 3. March

68 ALEJANDRO PA PARRA El modo TE, por tnr la mínima frcuncia qu s propaga dntro d la guía d onda, s dnomina modo principal, para cualquir otro modo d propagación, la longitud d onda crítica s calcula como: C La frcuncia crítica quda dfinida por: m A n B f C U m A n B Dond m y n son los subíndics dl modo d propagación TE mn. Ejmplo. Modos d propagación n guías d onda. Una guía d onda rctangular, laborada n cobr (σ=.8 7 Sm/m), con air n su intrior, tin dimnsions d cm. y transporta una sñal snoidal. Encuntr n qué intrvalo d frcuncia principal. por dicha lína solo s propaga l modo Encuntr una frcuncia cntral dl intrvalo propagación dl modo principal. n la cual s garantiza la Solución: S calculan las frcuncias d los primros modos d propagación TE, TE y TE. f C U m n A B Para l modo TE : Para l modo TE : Para l modo TE : 8 U 3 m / sg f C. 73GHz A m 8 U 3 m / sg f C _ 4. 7GHz B 6.4 m 8 3 f C _ 5. 4GHz Por lo tanto, la lína opra n modo principal n l intrvalo: ghz. La frcuncia cntral sría: f f f GHz 3. 6 GHz 378

69 Ejmplo. Dimnsionado d guías d onda. A través d una guía d onda rctangular laborada n aluminio (σ=.8 7 Sm/m) y con diléctrico air (σ= ), s transfir una sñal a una frcuncia d 4GHz. Obtnga las dimnsions qu db tnr la guía, d tal forma qu s garanticn las siguints condicions: Condición. Qu a través d la GDO solo s propagu l modo TE. Condición. Qu la frcuncia d transmisión sa l promdio gométrico (ft=f*f) d la frcuncia d cort dl modo dominant y la frcuncia dl modo TE. Condición 3. Qu la frcuncia d cort dl modo dominant sa la mitad d la frcuncia d cort dl modo TE. Solución: El mdio s air, por lo tanto: U=3 8 m/s. Para garantizar qu solo s propagu l modo TE s rquir qu A>>B Con la cuación d la frcuncia crítica para cada modo d propagación: f C _ TE U A B U A U U f C _ TE A B B La condición stablc qu: f U U A B U AB f 8 3 m / s 9 4 Hz.4 3 m La condición 3 stablc: U U A B A B Rmplazando: 3 AB B.4 m B.65cm A 5. 3cm Calculando la frcuncia dl modo principal: 8 U 3 m / s fc _ TE. 53GHz A 5.3 m El modo siguint s l TE Con lo cual s garantiza la condición. 8 U U 3 m / s fc _ TE 5. 6GHz A B B.65 m 379

70 ALEJANDRO PA PARRA Método gráfico para dtrminar modos d propagación Eist un método gráfico qu prmit dtrminar n forma simpl los modos qu s propagan a través d una guía d onda para una frcuncia spcífica. El método usa la rlación d las dimnsions d una guía d onda y la rlación d la frcuncia d la sñal con rspcto a la frcuncia dl modo principal TE. Inicialmnt, s toma una hoja d papl milimtrado o cuadriculado y s dibuja un rctángulo vrtical con las dimnsions A y B d la guía d onda o dimnsions proporcionals. Postriormnt, s hacn rctángulos pgados a ést; con las mismas dimnsions s hacn tantos rctángulos como la rlación dond f s la frcuncia d la onda y la frcuncia d cort dl modo principal. S traza un j horizontal y un j vrtical. Las subdivisions d los rctángulos corrspondn a los índics n y m, rspctivamnt. 38

71 Finalmnt, s dibuja un radio vctor sobr l j horizontal cuya longitud s igual a la rlación. S traza un cuarto d circunfrncia hasta l j vrtical. Los subíndics qu qudan dntro dl cuarto d círculo o justo n la frontra dl mismo s propagan. Los qu qudan por fura no. Figura 73. Método gráfico para dtrminar los modos d propagación n una guía d onda rctangular En l caso d la figura 73, s propagan los modos: TE, TE, TE, TE, TE, y sus corrspondints modos TM. Parámtros d propagación En una guía d onda, a difrncia d las línas d transmisión, dbido a la particular forma d dsplazars la onda EM, s tinn dos vlocidads d propagación y sus rspctivas longituds d onda a considrar. 38

72 ALEJANDRO PA PARRA La primra d llas s ilustra n la figura 74, y s rfir a la vlocidad con la cual s dsplaza la nrgía EM dntro d la guía. Figura 74. Longitud d onda d grupo dntro d una guía d onda Como s aprcia n la figura 74, la vlocidad d grupo guarda una rlación con la vlocidad d la onda n l diléctrico, la cual vin dada por: D dond sal qu: Dbido al modo d propagación, dntro d la guía s forman valls y crstas d nrgía, ubicados n los puntos d cruc d los rayos. La distancia ntr dos valls vin a dtrminar una smilongitud d onda d nrgía. Ésta rcib l nombr d longitud d onda d grupo. D dond sal: El ángulo θ s pud prsar n función d la longitud d onda n l diléctrico y la longitud d onda crítica: 38

73 La vlocidad d la onda EM s constant, indpndintmnt d la frcuncia o la longitud d onda: Por lo cual: D dond sal: Por lo tanto: Dada la idntidad: La longitud d onda d grupo quda: Rmplazando: A su vz, la vlocidad d onda d grupo quda: La sgunda vlocidad a considrar s la llamada vlocidad d fas, qu corrspond a la vlocidad con la qu cambia la fas d la onda sobr la pard d la guía, como s mustra n la figura 75. Figura 75. Vlocidad d fas sobr una guía d onda 383

74 ALEJANDRO PA PARRA Esta vlocidad s ncuntra también rlacionada con la vlocidad d la onda n l diléctrico: D dond s obtin: En función d la frcuncia crítica quda: La vlocidad d fas s suprior a la vlocidad d la onda n l diléctrico. La vlocidad d fas a su vz llva rlacionada una longitud d onda d fas, qu s mustra n la figura 75. D dond sal: En función d la frcuncia crítica s obtin: La rlación ntr la vlocidad d grupo y d fas vin dtrminada por: 384

75 Ejmplo 3. Vlocidad d grupo y d fas. A través d una guía d onda rctangular d sñal a una frcuncia d 4.5GHz. con diléctrico air, s transmit una Dfina qué modos d propagación s alcanzan a propagar por la guía y si ésta trabaja n monomodo o multimodo. Calcul la vlocidad d grupo y d fas para cada modo. Solución: La frcuncia d cort dl modo principal s: La rlación, da como rsultado: La rlación A/B s d, por lo qu n l método gráfico solo s propaga l modo principal. La vlocidad d grupo: La vlocidad d fas: Aquí ist una contradicción aparnt, ya qu la vlocidad d fas s suprior a la vlocidad d la luz, sin mbargo, db rcordars qu la vlocidad d fas no corrspond a ningún dsplazaminto físico, sino a una difrncia d fas ntr una onda y otra qu s toma como rfrncia, s dcir, la vlocidad con la qu cambia la fas d una sñal. 385

76 ALEJANDRO PA PARRA Impdancia intrínsca S comporta igual al a impdancia intrínsca d una lína d transmisión pro con la corrcción dbida a la rlación con la frcuncia crítica. S hac difrncia ntr la impdancia n modo TE y la impdancia n modo TM. _ TE fc f fc _ TM f Las impdancias n ambos modos stán rlacionadas como: _ TE _ TM Estas impdancias corrspondn a la impdancia d la guía d onda. Al acoplars con una impdancia d carga, la impdancia d ntrada s igual a la d una lína sin pérdidas. in L j j L Tan g Tan g Ejmplo 4. Impdancia intrínsca. A través d una guía d onda rctangular d con diléctrico air, s transmit una sñal n modo TE a una frcuncia d 4.5GHz. La guía stá rmatada por una antna tipo curno con una impdancia quivalnt d. Calcul la impdancia d ntrada dl conjunto. Solución: La frcuncia d cort dl modo principal s: 386

77 La rlación, da como rsultado: La impdancia intrínsca dl air s: La impdancia intrínsca d la guía n modo TE. _ TE 56 f C f 3 La longitud d onda n l air s: La longitud d onda d grupo: La impdancia d ntrada: Rmplazando: in L j j L Tan g Tan g in 56 5 j5 j56 3 cm Tan 8.94 cm 3 cm 56 j5 j5 Tan 8.94 cm 387

78 ALEJANDRO PA PARRA La impdancia intrínsca d la guía d onda tin una furt dpndncia d la frcuncia d transmisión. En la figura 76, s mustra la impdancia TE para dos modos d propagación n una guía d 5cm.5cm. Figura 76. Impdancia intrínsca d una guía d onda d 5.5cm. para l modo TE azul y TE rojo n función d la frcuncia Como s obsrva claramnt, cuando la frcuncia s acrca a la frcuncia d cort dl modo spcifico, la impdancia intrínsca tind a infinito, impidindo su propagación. Potncia y pérdidas n guías d onda rctangulars En las guías d onda idals, la rflión n las pards s total, ya qu no s prsnta campo transmitido. Sin mbargo, n condicions no idals, una pquña cantidad d la potncia transportada por la onda EM s cdida al mdio conductor, gnrando pérdidas por fcto Joul. La impdancia intrínsca d un bun conductor vin dtrminada por: En una guía d onda, hcha d cobr 4GHz vndría a sr:, l valor n una frcuncia d 388

79 Esta pquña impdancia, hac qu l coficint d transmisión sa ligramnt difrnt d cro y qu part d la potncia transportada por la onda s transmita a la pard. Eist, por lo tanto, un coficint d atnuación ligado a la conductividad d la pard d la guía, qu dtrmina la pérdida d potncia. La atnuación dbida al conductor para un modo particular d propagación vin dtrminada por: c R B s _ TM B A f f c Np m Dond l parámtro Rs s la rsistncia quivalnt por unidad d longitud, considrando l fcto suprficial, y A y B son las dimnsions d la GDO. R s c p f c Adicionalmnt, s considran las pérdidas por fcto Joul n l diléctrico qu llna la GDO. Estas pérdidas son normalmnt dsprciabls, pro dpndindo d la tangnt d pérdidas dl diléctrico, pudn llgar a sr importants. d d _ TM Np m La constant d atnuación total pud calculars como la suma d ambas componnts: g c d La constant d propagación n la GDO quda dtrminada por: g j g g Dond: Es dnominada constant d fas d grupo. 389

80 ALEJANDRO PA PARRA El vctor d Poynting n l intrior d la GDO quda dtrminado por: P E g g P Cos Dond in s la impdancia d ntrada d la guía y E s l campo léctrico n la ntrada d la guía. Las pérdidas dntro d la guía s pudn también mdir n scala logarítmica, usando: in in p log g g Db m Ejmplo 5. Constant d atnuación n guías d onda rctangulars. Una guía d onda rctangular, laborada n cobr (σ=.8 7 Sm/m) con air n su intrior, tin dimnsions d cm. y transporta una sñal snoidal. Encuntr n qué intrvalo d frcuncia (f, f ) por dicha lína solo s propaga l modo principal. Hall una frcuncia cntral dl intrvalo a la cual s garantiza la propagación dl modo principal. Encuntr la mínima longitud (cm) d la guía n la cual s prsntan ondas stacionarias. Calcul la constant d atnuación n la guía a dicha frcuncia, dsprci las prdidas n l air. Solución: S calculan las frcuncias d los primros modos d propagación TE y TE. f C U m A n B Para l modo TE : Para l modo TE : 8 U 3 m / sg f C. 73GHz A m 8 U 3 m / sg f C _ 4. 7GHz B 6.4 m Por lo tanto, la lína opra n modo principal n l intrvalo: ghz. 39

81 La frcuncia cntral sría: f f f GHz 3. 6GHz La mínima longitud d la guía para qu s prsntn ondas stacionarias s: 8 U g C 9 f f f m s Hz 3.6 cm Las ondas stacionarias s prsntan cada λg/ La constant d atnuación quda: R c b s _ TM b a f f c Np m R s p f fc _ TM f R s m _ TM Eprsada n db Np Np c m m Las pérdidas, al igual qu la impdancia intrínsca, también tinn una furt dpndncia d la frcuncia, dbido principalmnt a dos fctos:. La impdancia intrínsca cambia con la frcuncia, por lo qu la dnsidad d potncia qu rcib la GDO cambia y las pérdidas también. 39

82 ALEJANDRO PA PARRA. La profundidad d pntración d la sñal n la pard d la guía cambia modificando l parámtro Rs y ocasionando l incrmnto d la constant d atnuación. En la figura 77, s mustran las pérdidas normalizadas para una guía d onda d 5.5cm laborada n cobr. Como s aprcia claramnt, las pérdidas tindn a incrmntars con la frcuncia, por lo qu no rsulta convnint oprar la guía n frcuncias muy supriors a la d cort dl modo principal. Normalmnt, s busca la frcuncia d opración óptima n l punto d mínimas pérdidas. Figura 77. Pérdidas normalizadas n una guía d onda d 5.5cm. para l modo TE(azul) y TE(rojo), laborada n cobr Para las guías d onda cuadradas, las cuacions son iguals n las guías d onda rctangulars, solo qu s cumpl B=A. En st caso, la frcuncia d cort dl modo TE s igual a la dl modo TE y la sgunda frcuncia d cort n ordn ascndnt s la dl modo TE. Guías d onda circulars Las guías d onda d prfil circular tinn la vntaja d funcionar más ficintmnt n forma multimodal rducindo la atnuación por unidad d longitud considrablmnt (<3Db/km). 39

83 S usan n aplicacions n dond s rquira transportar potncia ficintmnt n distancias rlativamnt largas. Su structura s mustra n la figura 78. Figura 78. Esquma d una guía d onda circular Tinn sncialmnt los mismos modos d propagación d las guías rctangulars, pro la rlación ntr llos, las dimnsions físicas d la guía y la frcuncia crítica son difrnts. S basan n un conjunto d coficints dnominados d Bssl, pro los subíndics s rfirn al númro d smilongituds d onda n dircción φ y r, rspctivamnt. El modo d propagación TE, por jmplo, prsnta una smilongitud d onda n dircción φ y ninguna n dircción r. Figura 79. Modo d propagación TE n una guía d onda circular. Las línas d campo léctrico son continuas, las d campo magnético puntadas. El modo d propagación principal n st tipo d guía s l modo TE, dbido a la simtría qu prsnta la guía, la longitud d onda d cort para st modo s d 3.4 vcs l radio d la guía. Para los siguints modos d propagación la longitud d onda d cort s ncuntra n la tabla

84 ALEJANDRO PA PARRA Tabla 7. Longitud d onda d cort para difrnts modos d propagación n una guía d onda circular Modo d propagación Longitud d onda d cort TE 3.4r TM.6r TE.6r TE, TM.64r TE 3.49r TM.r TE 4 TE.8r TM.4r TM 3 TE 5.98r TE.94r TM TE.89r TM 4 TE 6.83r Ejmplo 6. Frcuncias d cort n guías d onda circulars. Una guía d onda circula rllna d air n su intrior tin un radio d.6 cm. y transporta una sñal snoidal. Encuntr n qué intrvalo d frcuncia (f, f ) por dicha lína solo s propaga l modo principal. Hall una frcuncia cntral dl intrvalo a la cual s garantiza la propagación dl modo principal. Solución: La longitud d onda d cort dl modo principal s: La frcuncia d cort asociada s: La longitud d onda d cort dl siguint modo: 394

85 La frcuncia d cort asociada s: Es dcir, n l intrvalo s propaga solo l modo principal. La frcuncia cntral dl intrvalo s: Propagación n fibra óptica El principio d rflión total intrna s usa para transmitir d manra altamnt ficint sñals lctromagnéticas a través d fibra óptica. En una fibra óptica s transmitn sñals n infrarrojo (7 a 3nm) con atnuacions muy pquñas, (<.5DB/km) por lo qu s usan n grands distancias. Por su amplísimo ancho d banda, s pudn usar para transmitir gran cantidad d sñals n forma multimodal. Una lína d fibra óptica stá constituida por un núclo cntral, l cual s ncuntra rcubirto por un rvstiminto qu tin un índic d rfracción infrior al dl núclo, como s mustra n la figura 8. La lína s ncuntra usualmnt aislada dl mdio trior por una funda opaca qu vita la disprsión y protg contra la polución o la contaminación luminosa dl ntorno. Figura 8. Esquma d un haz d fibra óptica El haz d luz s propaga dntro d la fibra como s mustra n la figura 8. Como misor s usa normalmnt un fotodiodo y como rcptor un fototransistor. 395

86 ALEJANDRO PA PARRA Figura 8. Propagación d un haz d luz a través d fibra óptica Para garantizar la propagación d la sñal, ist un ángulo crítico con l cual l haz d luz db ingrsar al núclo d la fibra. Est ángulo s llama d admisión y solo s propagan hacs qu ingrsn con un ángulo igual o infrior a ést. n Sn Por su configuración simpl, la fibra óptica s construy normalmnt n matrials flibls, como difrnts tipos d plásticos o drivados dl politilno, lo cual l da una gran flibilidad y facilidad n la instalación. Normalmnt, s mpaca n paquts qu continn cintos o mils d hacs dpndindo d las ncsidads. Para garantizar la propagación d un solo modo, la longitud d onda d rfrncia s: n n. r n n 6 La frcuncia asociada s: f c.6r n n Ejrcicios dl capítulo Part. Línas parámtros y modlos. Calcul los parámtros léctricos d una lína coaial n cobr con los siguints parámtros gométricos y a la frcuncia dada (PE=Politilno). Calibr AWG Diámtro aislant (mm) Malla d tirra (mm) Frcuncia (MHz) Aislant PE PE PE PE 396

87 . Calcul los parámtros léctricos d una lína bifilar n aluminio con los siguints parámtros gométricos y a la frcuncia dada: Calibr AWG Sparación (mm) Frcuncia (khz) Aislant 3. PE PE PE PE 3. Calcul los límits d opración n alta frcuncia para qu un cabl coaial n cobr y politilno con los siguints parámtros gométricos prsnt una atnuación máima d 3dB/km. Dsprci las pérdidas n l aislaminto: a=.35mm b=.5mm t=.3 Establzca n qué bandas st cabl s ncuntra oprando n: a) Baja frcuncia. b) Frcuncia mdia. c) Alta frcuncia. 4. Rpita los cálculos dl punto 3, para los cabls dl punto, considrando una atnuación máima d db/m. 5. Un cabl bifilar n cobr prsnta los siguints parámtros gométricos: a=.35mm D=.5mm Encuntr la frcuncia límit d opración para qu las pérdidas máimas san d 3dB/m. Dfina las bandas d opración para st cabl n: a) Baja frcuncia. b) Frcuncia mdia. c) Alta frcuncia. Part. Parámtros d propagación n línas d transmisión 6. Un cabl no disipativo (LC), sin pérdidas, tin los siguints parámtros distribuidos: Encuntr l factor d vlocidad y la impdancia caractrística. 7. Un cabl no disipativo tin un factor d vlocidad d.9 y una impdancia caractrística d Ω. Calcul la inductancia y la capacitancia distribuidas. 8. Una lína no disipativa tin una impdancia caractrística d Ω y un factor d vlocidad d.7. La lína trmina n una carga d Ω. Si l volta incidnt s d 6VRMS, MHz, calcul l valor dl voltaj máimo y mínimo sobr la lína, la distancia dsd la carga n dond s ncuntra l primr máimo d voltaj, la VSWR y l porcntaj d potncia rfljada y transmitida. 397

88 ALEJANDRO PA PARRA 9. Una lína no disipativa tin una impdancia caractrística d Ω, trmina n una carga d Ω. Calcul l coficint d rflión, la VS R y la impdancia d ntrada para.. Calcul los parámtros d propagación para una lína d transmisión con los siguints parámtros léctricos mdidos a una frcuncia d MHz: a) b) c). Calcul la impdancia intrínsca n alta frcuncia para las siguints línas construidas n cobr : a) Bifilar aislada por air: b) Bifilar aislada por politilno: c) Dobl cinta aislada por air: d) Dobl cinta aislada por politilno:. Calcul la impdancia intrínsca, l factor d vlocidad, la longitud d onda, la atnuación dbida al conductor, al diléctrico y la total, para una lína d microcinta laborada n plata y aislada con baqulita oprando a MHz, con los siguints parámtros gométricos:. 3. S concta un gnrador d volta d VRMS MHz g=6 Ω, a una antna qu tin un circuito quivalnt, formado por una rsistncia d 4 Ω y una inductancia sri d. uh, mdiant.8m d cabl coaial d impdancia caractrística 7 Ω, fv=.8. Calcul la potncia incidnt, rfljada y transmitida n la carga, la potncia incidnt ntrgada por l gnrador y la distancia a la cual s ubican los máimos d voltaj sobr la lína y la VSWR. 4. Un gnrador d sñals d impdancia intrna 6 Ω, s concta con la carga a través d una lína d transmisión no disipativa con impdancia intrínsca 7 Ω. Qué impdancia s db conctar como carga para obtnr la máima transfrncia d potncia? 5. En una lína d transmisión s tin un SVWR=3 y l máimo d voltaj s ncuntra justo n la carga. La potncia disipada n la carga s d 9W. Calcul l coficint d rflión, la impdancia d carga normalizada, la potncia incidnt y la rfljada. Part 3. Fibra óptica. Encuntr l ángulo crítico con l cual db incidir un rayo d luz n una fibra óptica, hcha con un matrial d ε r=, rodado por un matrial d ε r=.5, para qu ista rflión total. 398

89 . En la fibra óptica, qu s mustra n la figura, ncuntr n función d η y η, l valor máimo qu pud tnr l ángulo φ, para garantizar la propagación d la onda. Figura 3 3. En la fibra óptica, qu s mustra n la figura dl problma antrior, ncuntr l valor qu dbría tnr la impdancia η n función d η y η, para qu l ángulo φ corrsponda al ángulo d Brwstr y s garantic la propagación d la onda. Rspustas a los jrcicios Part. Línas parámtros y modlos. Parámtros R(Ω/m) L(uH/m) C(pF/m) G(Sm/m) Parámtros R(Ω/m) L(uH/m) C(pF/m) G(Sm/m) MHz<f<5.35MHz LF<36kHz MF: 36kHz<f<4.8MHz HF>4.8MHz. 4. Cabl f -f (MHz) LF(<kHz) HF(>MHz) MHz<f<34MHz LF<35kHz MF: 35kHz<f<3.5MHz HF>3.5MHz. 399