Teoría de juegos Andrés Ramos Universidad Pontificia Comillas

Transcripción

1 Teoría de juegos Andrés Ramos Universidad Pontificia Comillas TEORÍA DE JUEGOS 1

2 Teoría de juegos 1. Matriz de pagos 2. Clasificación 3. Juegos bipersonales de suma 0 con estrategias puras 4. Juegos bipersonales de suma 0 con estrategias mixtas TEORÍA DE JUEGOS 2

3 Introducción Contrapuesta a análisis de decisión Situaciones de conflicto y competencia entre decisores La consecución de objetivos no sólo depende de decisiones propias y del azar sino de las decisiones de los competidores Criterios racionales de selección de estrategias para su propio beneficio TEORÍA DE JUEGOS 3

4 Clasificación teoría de juegos bipersonal Número de jugadores n-personales finito Número de estrategias infinito estático Evolución temporal dinámico cooperativo Intercambio de información entre jugadores no cooperativo TEORÍA DE JUEGOS 4

5 suma constante Variación de la riqueza suma no constante completa Cantidad de información de que disponen no completa perfecta Cantidad de información que adquieren no perfecta TEORÍA DE JUEGOS 5

6 Matriz de pagos X conjunto de estrategias del jugador 1 (finitas) Y conjunto de estrategias del jugador 2 (finitas) M (, ) 1 x y utilidad o pago que recibe el jugador 1 M (, ) 2 x y utilidad o pago que recibe el jugador 2 J2 ( a11, b11 ) J 1 ( aij, bij ) ( amn, bmn ) matriz de pagos a ij pago que recibe el jugador 1 si elige la i-ésima estrategia y el jugador 2 elige la j-ésima estrategia b pago que recibe el jugador 2 si elige la j-ésima estrategia y el jugador 1 elige la i-ésima ij estrategia TEORÍA DE JUEGOS 6

7 Dilema del prisionero Juego bipersonal, finito, estático, no cooperativo, de suma no constante Dos delincuentes son detenidos y acusados de cometer un delito conjuntamente. Los delincuentes están incomunicados y pueden delatar o no al otro. Si ambos delatan les caen 5 años de prisión a cada uno. Si uno delata y el otro no le caen 20 años para el delatado y 0 para el delator. Si ninguno delata les caen 1 año a cada uno. J 2 Delatar No Delatar J 1 Delatar (-5,-5) (0,-20) No Delatar (-20,0) (-1,-1) TEORÍA DE JUEGOS 7

8 Estrategias de equilibrio (Nash) * * ( x, y ) es un par de estrategias de equilibrio si y sólo si ningún jugador quiere cambiar de estrategia de forma unilateral. En el dilema del prisionero (Delatar, Delatar) es la estrategia de equilibrio. Si el juego fuera cooperativo (paso de información entre jugadores) la estrategia de equilibrio sería la (No Delatar, No Delatar). No siempre existen estrategias de equilibrio únicas. Equilibrios correlacionados. Mujer Fútbol Telenovela Hombre Fútbol (2,1) (0,0) Telenovela (-1,-1) (1,2) TEORÍA DE JUEGOS 8

9 Resolución de un juego bipersonal de suma nula 1. Buscar estrategias puras en equilibrio. Si existe es la solución, si no ir a punto Resolver el problema con estrategias mixtas por LP En cualquier momento se puede reducir la matriz de pagos eliminando estrategias dominadas. TEORÍA DE JUEGOS 9

10 Juegos bipersonales de suma 0 Por naturaleza son no cooperativos. Basta con dar la matriz de pagos de un jugador. Cada jugador debe esperar lo peor del otro. Matriz de pagos vista como pagos al jugador 1. El punto de equilibrio es el punto óptimo del juego. J 2 E 1 E 2 E 3 E J 1 E E TEORÍA DE JUEGOS 10

11 Estrategia dominada Estrategia de un jugador que independientemente de lo que haga el otro jugador siempre es igual o peor que otra. Ejemplo: se elimina estrategia E3 del jugador 1 J 2 E 1 E 2 E 3 E J 1 E Se elimina estrategia E3 del jugador 2 J 2 E 1 E 2 E J 1 E TEORÍA DE JUEGOS 11

12 Se elimina estrategia E2 del jugador 1 J 1 J 2 E 1 E 2 E Se elimina estrategia E2 del jugador 2 E 1 E 1 1 J 1 J 2 Estrategia óptima E1 de jugador 1 y E1 de jugador 2 TEORÍA DE JUEGOS 12

13 Valor del juego Pago al jugador 1 cuando ambos jugadores lo hacen de manera óptima. Ejemplo: valor del juego es 1 Juego justo Cuando el valor del juego es 0. TEORÍA DE JUEGOS 13

14 Criterio minimax Minimizar la pérdida máxima (criterio de aversión al riesgo) J 2 Min E 1 E 2 E 3 E J 1 E maximin E Max minimax Maximin: máximo de los pagos mínimos para el jugador 1 Minimax: mínimo de los pagos máximos para el jugador 2 Si minimax y maximin coinciden en una estrategia entonces la solución es estable, se trata de un punto de equilibrio. TEORÍA DE JUEGOS 14

15 Solución inestable J 2 Min E 1 E 2 E 3 E maximin J 1 E E Max minimax TEORÍA DE JUEGOS 15

16 Juegos con estrategias mixtas A cada posible estrategia de cada jugador éste le asigna una probabilidad. x i probabilidad de que el jugador 1 use la estrategia i i=1,...,m y j probabilidad de que el jugador 2 use la estrategia j j=1,...,n p pago para el jugador 1 si éste utiliza la estrategia i y el jugador 2 utiliza la j ij m i= 1 n j= 1 x y i j = 1 = 1 Pago esperado para el jugador 1 m n i= 1 j= 1 x y p i j ij v valor del juego v maximin para jugador 1 v minimax para jugador 2 TEORÍA DE JUEGOS 16

17 Criterio minimax para estrategias mixtas Un jugador debe elegir la estrategia mixta que minimice la máxima pérdida esperada. Teorema minimax Si se permiten estrategias mixtas, las estrategias óptimas según el criterio minimax proporcionan solución estable si v = v = v de manera que ningún jugador quiere cambiar unilateralmente su estrategia. TEORÍA DE JUEGOS 17

18 Solución por programación lineal Pago esperado para el jugador 1 m n i= 1 j= 1 x y p i j ij Para cualquier estrategia pura del competidor m xi pij v j = 1,, i= 1 La suma de las probabilidades es 1 m xi = 1 xi 0 i = 1,, m i= 1 Maximizar el pago del jugador 1 max v n TEORÍA DE JUEGOS 18

19 Visión del jugador 1 max v m i= 1 m i= 1 x p v j = 1,, n i i ij = 1 x 0 i = 1,, m i x TEORÍA DE JUEGOS 19

20 Visión del jugador 2 min w n j= 1 n j= 1 y p w i = 1,, m j j ij = 1 y 0 j = 1,, n j y Son problemas duales, es suficiente con resolver uno. En el óptimo v = w * * TEORÍA DE JUEGOS 20

21 Ejemplo juego de 2 jugadores de suma nula J 2 Min Papel Piedra Tijeras Papel J 1 Piedra Tijeras Max No hay estrategias dominadas. No tiene punto de equilibrio en estrategias puras. TEORÍA DE JUEGOS 21

22 Problema de optimización del jugador 2 min w y + y + y = 1 i y y w y + y w y y w y ( y, y, y ) = (1 3,1 3,1 3) * * * ( π, π, π ) = ( 1 3, 1 3, 1 3) * * * Se cambia el signo de las variables duales * * * ( x, x, x ) = (1 3,1 3,1 3) Valor del juego 0 Para cada jugador la estrategia óptima es sacar cualquier elemento con igual probabilidad. TEORÍA DE JUEGOS 22

23 Modelo de equilibrio de Cournot (i) Dos empresas compiten en un mercado por un producto homogéneo (i.e., no hay diferencia en quién lo produce). Las empresas no pueden cooperar El proceso se realiza sólo una vez (juego estático) a Q Q < a Precio del producto es elástico P( Q) = 0 Q > a Coste de producción unitario igual para las dos empresas. Coste total función de la cantidad producida C( q i ) = cq i y menor que el precio máximo de venta c < a La cantidad total a producir es Q = q1 + q2 TEORÍA DE JUEGOS 23

24 Modelo de equilibrio de Cournot (ii) Espacio de estrategias de cada empresa X i = [0, ) Función de pagos (beneficios netos) π ( q, q ) = q [ P( q + q ) c] = q [ a ( q + q ) c] Queremos maximizar la función de pagos Para la empresa i Punto de equilibrio π q i i j i i j i i j * * max π ( q, q ) = max q [ a ( q + q ) c] qi 0 i i j qi 0 i i j * i ( qi, q j ) * * 1 * = a 2qi q j c = 0 qi = ( a q j c) qi 2 a c = q =, 3 * * 1 2 * 2 Q = ( a c ) y 3 2 a + 2c P( Q) = a ( a c) = 3 3 TEORÍA DE JUEGOS 24

25 Modelo de equilibrio de Cournot (iii) Qué pasa si las empresas pueden cooperar entre ellas? Maximiza max π ( Q) = max Q[ a Q c] Q 0 Q 0 a c a c a + c Punto de equilibrio Q* = y P( Q) = a = TEORÍA DE JUEGOS 25

26 Modelo de equilibrio de Bertrand (i) Las empresas producen artículos diferenciados Pueden elegir el precio de venta La demanda de un producto es elástica q ( p, p ) = a p + bp i i j i j Coste de producción unitario c igual para las dos empresas TEORÍA DE JUEGOS 26

27 Modelo de equilibrio de Bertrand (ii) Espacio de estrategias de cada empresa X i = [0, ) Función de pagos (beneficios netos) π ( p, p ) = q ( p, p )[ p c] = ( a p + bp )( p c) Maximizar la función de pagos Para la empresa i Punto de equilibrio π i i j i i j i i j i * * max π ( p, p ) = max ( a p + bp )( p c) pi 0 i i j pi 0 i j i * i ( pi, p j ) * * 1 * = pi + c + a pi + bp j = 0 pi = ( a + bp j + c) pi 2 a + c 1 = 2 = ( < 2) 2 b * * p p b TEORÍA DE JUEGOS 27

28 Juegos polietápicos con información perfecta Juegos de varios jugadores que juegan en un cierto orden El resultado del juego para cada jugador depende de las decisiones de los demás Se resuelven mediante árboles de decisión TEORÍA DE JUEGOS 28